Что называется основанием системы счисления в информатике
Системы счисления
Система счисления — это совокупность правил записи чисел посредством конечного набора символов (цифр).
Системы счисления бывают:
Непозиционные системы счисления
Примеры: унарная, римская, древнерусская и др.
Позиционные системы счисления
Основание системы счисления —
количество различных цифр, используемых в этой системе.
отношение количественного эквивалента цифры в этом разряде к количественному эквиваленту той же цифры в нулевом разряде
где i — номер разряда, а s — основание системы счисления.
Разряды числа нумеруются справа налево, причем младший разряд целой части (стоящий перед разделителем — запятой или точкой) имеет номер ноль. Разряды дробной части имеют отрицательные номера:
По определению веса разряда
где i — номер разряда, а s — основание системы счисления.
Тогда, обозначив цифры числа как ai, любое число, записанное в позиционной системе счисления, можем представить в виде:
Например, для системы счисления с основанием 4:
Выполнив вычисления, мы получим значение исходного числа, записанное в десятичной системе счисления (точнее, в той, в которой производим вычисления). В данном случае:
= 1⋅64 + 3⋅16 + 0⋅4 + 2⋅1 + 2⋅0,25 =
= 64 + 48 + 2 + 0,5 = 114,5
Таким образом, для перевода числа из любой системы счисления в десятичную следует:
Вспомним пример перевода из системы счисления с основанием 4 в десятичную:
13024 = 1⋅4 3 + 3⋅4 2 + 0⋅4 1 + 2⋅4 0 = 114
Иначе это можно записать так:
114 = ((1 ⋅ 4 + 3) ⋅ 4 + 0) ⋅ 4 + 2 = 13024
Отсюда видно, что при делении 114 на 4 нацело в остатке должно остаться 2 — это младшая цифра при записи в четверичной системе. Частное же будет равно
Деление его на 4 даст остаток — следующую цифру (0) и частное 1 ⋅ 4 + 3. Продолжая действия, получим аналогичным образом и оставшиеся цифры.
В общем случае для перевода целой части числа из десятичной системы счисления в систему с каким-либо другим основанием необходимо:
Системы счисления. Основные понятия.
Запись числа в некоторой системе счисления называется кодом числа.
Количество разрядов в записи числа называют разрядностью и совпадает с его длиной.
Системы счисления делятся на позиционные и непозиционные. Позиционные системы счисления делятся
на однородные и смешанные.
Непозиционная система счисления — древнейшая, здесь все цифры числа имеют величину, которая не
зависит от позиции (разряда).
Т.е., если есть 5 палочек, значит число соответственно равно 5, так как каждой палочке, вне зависимости
от её места в строке, соответствует только 1 предмет.
Позиционная система счисления — значение каждой цифры зависит от позиции (разряда) этой цифры в числе.
Например, стандартная 10-я система счисления является позиционной. Допустим дано число 453.
Цифра 4 означает число сотен и соответствует числу 400, 5 — кол-во десятков и соответствует значению
50, а 3 — единицы и значению 3. Легко заметить, что с увеличением разряда увеличивается значение.
Таким образом, заданное число запишем в виде суммы 400+50+3=453.
Однородная система — для каждого разряда (позиции) числа набор допустимых символов (цифр)
одинаковый. Как пример снова используем 10-ю систему. Если записывать число в однородной 10-й системе,
(1-й разряд — 0, 2-й — 5, 3-й — 4), а 4F5 — нет, так как символ F не входит в набор цифр от 0 до 9.
Смешанная система — в каждом разряде (позиции) числа набор допустимых символов (цифр) может
отличаться от наборов в других разрядах. Хороший пример — система измерения времени. В разряде
В непозиционных системах счисления вес цифры не зависим от позиции, которую она занимает в
числе. К примеру, в римской системе счисления в числе XXXII (32) вес цифры X в каждой позиции
Цифрами в римской системе служат: I(1), V(5), X(10), L(50), C(100), D(500), M(1000).
Размер числа в римской системе счисления определяют как сумму либо разность цифр в числе. Когда
меньшая цифра стоит слева от большей – она вычитается, когда справа – прибавляется.
Самая первая система счисления — единичная (непозиционная).
В позиционных системах счисления вес каждой цифры изменяется в зависимости от ее позиции в
последовательности цифр, которые изображают число.
Каждая позиционная система характеризуется своим основанием.
Основание позиционной системы счисления – это количество разных знаков либо символов, которые
используются для изображения цифр в этой системе.
множество позиционных систем.
Перевод систем счисления. Числа можно перевести из одной системы счисления в другую.
Таблица соответствия цифр в различных системах счисления.
Информатика
Системы счисления
Основные понятия
Система счисления — это совокупность правил записи чисел посредством конечного набора символов (цифр).
Непозиционные системы счисления
Позиционные системы счисления
Разряды числа нумеруются справа налево, причем младший разряд целой части (стоящий перед разделителем — запятой или точкой) имеет номер ноль. Разряды дробной части имеют отрицательные номера:
Перевод в десятичную систему счисления
По определению веса разряда
Тогда, обозначив цифры числа как ai, любое число, записанное в позиционной системе счисления, можем представить в виде:
Например, для системы счисления с основанием 4:
Выполнив вычисления, мы получим значение исходного числа, записанное в десятичной системе счисления (точнее, в той, в которой производим вычисления). В данном случае:
Таким образом, для перевода числа из любой системы счисления в десятичную следует:
Примеры:
Перевод из десятичной системы счисления
Вспомним пример перевода из системы счисления с основанием 4 в десятичную:
13024 = 1⋅4 3 + 3⋅4 2 + 0⋅4 1 + 2⋅4 0 = 114
Иначе это можно записать так:
114 = ((1 ⋅ 4 + 3) ⋅ 4 + 0) ⋅ 4 + 2 = 13024
Отсюда видно, что при делении 114 на 4 нацело в остатке должно остаться 2 — это младшая цифра при записи в четверичной системе. Частное же будет равно
Деление его на 4 даст остаток — следующую цифру (0) и частное 1 ⋅ 4 + 3. Продолжая действия, получим аналогичным образом и оставшиеся цифры.
В общем случае для перевода целой части числа из десятичной системы счисления в систему с каким-либо другим основанием необходимо:
Примеры:
Системы счисления с кратными основаниями
При работе с компьютерами широко применяют двоичную систему счисления (поскольку на ней основано представление информации в компьютере), а также восьмеричную и шестнадцатеричную, запись в которых более компактна и удобна для человека. С другой стороны, благодаря тому что 8 и 16 — степени 2, переход между записью в двоичной и одной из этих систем осуществляется без вычислений.
Достаточно заменить каждый разряд шестнадцатеричной записи четырьмя (16=2 4 ) разрядами двоичной (и наоборот) по таблице.
Аналогично происходит и перевод между двоичной и восьмеричной системой, только разряд восьмеричной соответствует трем разрядам двоичной (8=2 3 )
Арифметика
Сложение
| • | • | • | • | (перенос) | ||||
| 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | ||
| 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | |
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 | (номера разрядов) |
Вычитание
| • | • | • | (перенос) | |||||
| 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | ||
| 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | ||
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 | (номера разрядов) |
1. Системы счисления
Основные понятия
Система счисления — это совокупность правил записи чисел посредством конечного набора символов (цифр).
Непозиционные системы счисления
Позиционные системы счисления
Разряды числа нумеруются справа налево, причем младший разряд целой части (стоящий перед разделителем — запятой или точкой) имеет номер ноль. Разряды дробной части имеют отрицательные номера:
Перевод в десятичную систему счисления
По определению веса разряда
Тогда, обозначив цифры числа как ai, любое число, записанное в позиционной системе счисления, можем представить в виде:
Например, для системы счисления с основанием 4:
Выполнив вычисления, мы получим значение исходного числа, записанное в десятичной системе счисления (точнее, в той, в которой производим вычисления). В данном случае:
Таким образом, для перевода числа из любой системы счисления в десятичную следует:
Примеры:
Перевод из десятичной системы счисления
Вспомним пример перевода из системы счисления с основанием 4 в десятичную:
13024 = 1⋅4 3 + 3⋅4 2 + 0⋅4 1 + 2⋅4 0 = 114
Иначе это можно записать так:
114 = ((1 ⋅ 4 + 3) ⋅ 4 + 0) ⋅ 4 + 2 = 13024
Отсюда видно, что при делении 114 на 4 нацело в остатке должно остаться 2 — это младшая цифра при записи в четверичной системе. Частное же будет равно
Деление его на 4 даст остаток — следующую цифру (0) и частное 1 ⋅ 4 + 3. Продолжая действия, получим аналогичным образом и оставшиеся цифры.
В общем случае для перевода целой части числа из десятичной системы счисления в систему с каким-либо другим основанием необходимо:
Примеры:
Системы счисления с кратными основаниями
При работе с компьютерами широко применяют двоичную систему счисления (поскольку на ней основано представление информации в компьютере), а также восьмеричную и шестнадцатеричную, запись в которых более компактна и удобна для человека. С другой стороны, благодаря тому что 8 и 16 — степени 2, переход между записью в двоичной и одной из этих систем осуществляется без вычислений.
Достаточно заменить каждый разряд шестнадцатеричной записи четырьмя (16=2 4 ) разрядами двоичной (и наоборот) по таблице.
Аналогично происходит и перевод между двоичной и восьмеричной системой, только разряд восьмеричной соответствует трем разрядам двоичной (8=2 3 )
Учитель информатики
Сайт учителя информатики. Технологические карты уроков, Подготовка к ОГЭ и ЕГЭ, полезный материал и многое другое.
§ 1.1. Системы счисления
Информатика. 8 класса. Босова Л.Л. Оглавление
Ключевые слова:
1.1.1. Общие сведения о системах счисления
Система счисления — это знаковая система, в которой приняты определённые правила записи чисел. Знаки, с помощью которых записываются числа (рис. 1.1), называются цифрами, а их совокупность — алфавитом системы счисления.
В любой системе счисления цифры служат для обозначения чисел, называемых узловыми; остальные числа (алгоритмические) получаются в результате каких-либо операций из узловых чисел.
Пример 1. У вавилонян узловыми являлись числа 1, 10, 60; в римской системе счисления узловые числа — это 1, 5, 10, 50, 100, 500 и 1000, обозначаемые соответственно I, V, X, L, С, D, М.
Рис. 1.1. Знаки, используемые для записи чисел в различных системах счисления
Системы счисления различаются выбором узловых чисел и способами образования алгоритмических чисел. Можно выделить следующие виды систем счисления:
Простейшая и самая древняя система — так называемая унарная система счисления. В ней для записи любых чисел используется всего один символ — палочка, узелок, зарубка, камушек. Длина записи числа при таком кодировании прямо связана с его величиной, что роднит этот способ с геометрическим представлением чисел в виде отрезков. Именно унарная система лежит в фундаменте арифметики, и именно она до сих пор вводит первоклассников в мир счёта. Унарную систему ещё называют системой бирок.
Система счисления называется непозиционной, если количественный эквивалент (количественное значение) цифры в числе не зависит от её положения в записи числа.
Пример 2. В древнеегипетской системе счисления числа 1, 2, 3, 4, 10, 13, 40 обозначались соответственно следующим образом:
Те же числа в римской системе счисления обозначаются так: I, II, III, IV, X, XIII, XL. Здесь алгоритмические числа получаются путём сложения и вычитания узловых чисел с учётом следующего правила: каждый меньший знак, поставленный справа от большего, прибавляется к его значению, а каждый меньший знак, поставленный слева от большего, вычитается из него.
Система счисления называется позиционной, если количественный эквивалент цифры зависит от её положения (позиции) в записи числа.Основание позиционной системы счисления равно количеству цифр, составляющих её алфавит.
Десятичная система
Десятичная система записи чисел, которой мы привыкли пользоваться в повседневной жизни, с которой мы знакомы с детства, в которой производим все наши вычисления, — пример позиционной системы счисления. Алфавит десятичной системы составляют цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Алгоритмические числа образуются в ней следующим образом: значения цифр умножаются на «веса» соответствующих разрядов, и все полученные значения складываются. Это отчётливо прослеживается в числительных русского языка, например: «три-ста пять-десят семь».
Основанием позиционной системы счисления может служить любое натуральное число q > 1. Алфавитом произвольной позиционной системы счисления с основанием q служат числа 0, 1, …, q—1, каждое из которых может быть записано с помощью одного уникального символа; младшей цифрой всегда является 0.
Основные достоинства любой позиционной системы счисления — простота выполнения арифметических операций и ограниченное количество символов, необходимых для записи любых чисел.
В позиционной системе счисления с основанием q любое число может быть представлено в виде:
Запись числа по формуле (1) называется развёрнутой формой записиСвёрнутной формой записи числа называется его представление в виде 1 ± an-1an-2…a1a0,a-1…a-m. 1 Далее будут рассматриваться только положительные целые числа.
Пример 3. Рассмотрим десятичное число 14351,1. Его свёрнутая форма записи настолько привычна, что мы не замечаем, как в уме переходим к развёрнутой записи, умножая цифры числа на «веса» разрядов и складывая полученные произведения:
1.1.2. Двоичная система счисления
Двоичной системой счисления называется позиционная система счисления с основанием 2. Для записи чисел в двоичной системе счисления используются только две цифры: 0 и 1.
На основании формулы (1) для целых двоичных чисел можно записать:
Такая форма записи «подсказывает» правило перевода натуральных двоичных чисел в десятичную систему счисления: необходимо вычислить сумму степеней двойки, соответствующих единицам в свёрнутой форме записи двоичного числа.
Получим правило перевода целых десятичных чисел в двоичную систему счисления из формулы (1′).
Разделим аn-1 • 2 n-1 + аn-2 • 2 n-2 + … + а0 • 2 0 на 2. Частное будет равно аn-1 • 2 n-2 + … + а1, а остаток будет равен а0.
Полученное частное опять разделим на 2, остаток от деления будет равен а1.
Если продолжить этот процесс деления, то на n-м шаге получим набор цифр:
которые входят в двоичное представление исходного числа и совпадают с остатками при его последовательном делении на 2.
Таким образом, для перевода целого десятичного числа в двоичную систему счисления нужно последовательно выполнять деление данного числа и получаемых целых частных на 2 до тех пор, пока не получим частное, равное нулю. Исходное число в двоичной системе счисления составляется последовательной записью полученных остатков, начиная с последнего.
Пример 4. Переведём десятичное число 11 в двоичную систему счисления. Рассмотренную выше последовательность действий (алгоритм перевода) можно изобразить так:
Выписывая остатки от деления в направлении, указанном стрелкой, получим: 1110 = 10112.
Пример 5. Если десятичное число достаточно большое, то более удобен следующий способ записи рассмотренного выше алгоритма:
1.1.3. Восьмеричная система счисления
Восьмеричной системой счисления называется позиционная система счисления с основанием 8. Для записи чисел в восьмеричной системе счисления используются цифры: 0, 1,2, 3, 4, 5, 6, 7.
На основании формулы (1) для целого восьмеричного числа можно записать:
Например: 10638 = 1 • 8 3 + 0 • 8 2 + 6 • 8 1 + 3 • 8 0 = 56310.
Таким образом, для перевода целого восьмеричного числа в десятичную систему счисления следует перейти к его развёрнутой записи и вычислить значение получившегося выражения.
Для перевода целого десятичного числа в восьмеричную систему счисления следует последовательно выполнять деление данного числа и получаемых целых частных на 8 до тех пор, пока не получим частное, равное нулю. Исходное число в новой системе счисления составляется последовательной записью полученных остатков, начиная с последнего.
Пример 6. Переведём десятичное число 103 в восьмеричную систему счисления.
1.1.4. Шестнадцатеричная система счисления
Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, А, В, С, D, Е, F.
Здесь только десять цифр из шестнадцати имеют общепринятое обозначение 0,…, 9. Для записи цифр с десятичными количественными эквивалентами 10, 11, 12, 13, 14, 15 обычно используются первые пять букв латинского алфавита.
Таким образом, запись 3AF16 означает:
Пример 7. Переведём десятичное число 154 в шестнадцатеричную систему счисления.
1.1.5. Правило перевода целых десятичных чисел в систему счисления с основанием q
Для перевода целого десятичного числа в систему счисления с основанием q следует:
Представим таблицу соответствия десятичных, двоичных, восьмеричных и шестнадцатеричных чисел от 0 до 2010.
В Единой коллекции цифровых образовательных ресурсов (http://sc.edu.ru/) размещена интерактивная анимация «Преобразование десятичного числа в другую систему счисления» (135050). С её помощью можно понаблюдать за переводом произвольного целого числа от 0 до 512 в позиционную систему счисления, основание которой не превышает 16.
В размещённой там же виртуальной лаборатории «Цифровые весы» (135009) вы сможете освоить ещё один способ перевода целых десятичных чисел в другие системы счисления — метод разностей.
1.1.6. Двоичная арифметика
Арифметика двоичной системы счисления основывается на использовании следующих таблиц сложения и умножения:
Пример 8. Таблица двоичного сложения предельно проста. Так как 1 + 1 = 10, то 0 остаётся в младшем разряде, а 1 переносится в старший разряд.
Пример 9. Операция умножения двоичных чисел выполняется по обычной схеме, применяемой в десятичной системе счисления, с последовательным умножением множимого на очередную цифру множителя.
Таким образом, в двоичной системе счисления умножение сводится к сдвигам множимого и сложениям.
1.1.7. «Компьютерные» системы счисления
В компьютерной технике используется двоичная система счисления, обеспечивающая ряд преимуществ по сравнению с другими системами счисления:
Обмен информацией между компьютерными устройствами осуществляется путём передачи двоичных кодов. Пользоваться такими кодами из-за их большой длины и зрительной однородности человеку неудобно. Поэтому специалисты (программисты, инженеры) на некоторых этапах разработки, создания, настройки вычислительных систем заменяют двоичные коды на эквивалентные им величины в восьмеричной или шестнадцатеричной системах счисления. В результате длина исходного слова сокращается в три, четыре раза соответственно. Это делает информацию более удобной для рассмотрения и анализа.
С помощью ресурса «Интерактивный задачник, раздел “Системы счисления»» (128659), размещённого в Единой коллекции цифровых образовательных ресурсов, можно проверить, насколько прочно вы усвоили изученный в этом параграфе материал.
Самое главное о системе счисления
Система счисления — это знаковая система, в которой приняты определённые правила записи чисел. Знаки, с помощью которых записываются числа, называются цифрами, а их совокупность — алфавитом системы счисления.
Система счисления называется позиционной, если количественный эквивалент цифры зависит от её положения (позиции) в записи числа. Основание позиционной системы счисления равно количеству цифр, составляющих её алфавит.
Основанием позиционной системы счисления может служить любое натуральное число q > 1.
В позиционной системе счисления с основанием q любое число может быть представлено в виде:
Вопросы и задания
1. Ознакомьтесь с материалами презентации к параграфу, содержащейся в электронном приложении к учебнику. Что вы можете сказать о формах представления информации в презентации и в учебнике? Какими слайдами вы могли бы дополнить презентацию?
10. Верны ли следующие равенства? а) 334 = 217;
б) 338 = 214.
11. Найдите основание х системы счисления, если: а) 14х = 910;
б) 2002х = 13010.
19. Вычислите выражения: а) (11111012 + AF16) : 368; б) 1258 + 1012 ∙ 2A16 − 1418. Ответ дайте в десятичной системе счисления.