Что называют равносильными уравнениями

Равносильные уравнения. Равносильные преобразования уравнений

Равносильными называют уравнения, имеющие одни и те же корни. Равносильными считаются также уравнения, каждое из которых не имеет корней.

Основные равносильные преобразования уравнений:

Умножение или деление обеих частей уравнения на одно число или выражение не равное нулю.

Применение всех формул и свойств, которые есть в математике.

Равносильные уравнения и уравнения следствия

Равносильные преобразования уравнений можно назвать «правильными» или «безошибочными» преобразованиями, потому что, сделав их, вы не нарушите математических законов. Почему тогда математики так их и не назвали: «правильные преобразования уравнений»? Потому что есть еще «полу-правильные» преобразования уравнений. В них уравнение при преобразовании приобретает дополнительные корни по ходу решения, но лишние корни мы при записи ответа не учитываем. Строгие математики их называют уравнениями следствиями:

Если каждый корень первого уравнения является корнем второго уравнения, но при этом у второго также есть корни не подходящие первому, то второе уравнение является следствием второго.

Пример (ОГЭ). Решите уравнение \(x^2-2x+\sqrt<2-x>=\sqrt<2-x>+3\)

Перенесем оба слагаемых из правой части в левую.

Взаимно уничтожим подобные слагаемые. Это и есть «полу-правильное преобразование», так как после него у уравнения становится два корня вместо изначального одного.

Сверяем корни с ОДЗ и исключаем неподходящие.

\(↑\) не подходит под ОДЗ

Пример. В каких пунктах применялись равносильные преобразования, а в каких был переход к уравнению следствию? Укажите какие виды равносильных преобразований применялись.

В пункте a) применялось равносильное преобразование 1.

В пункте b) перешли к уравнению следствию, так как \(\sqrt\) «ушло», то ОДЗ расширилось;

В пункте с) тоже перешли к уравнению следствию, из-за того что умножили на знаменатель;

В пункте d) применялось равносильное преобразование: «Извлечения корня нечетной степени из обеих частей уравнения»;

В пункте e) умножили обе части уравнения на \(2\) т.е. равносильно преобразовали;

В пункте f) перешли от вида \(a^=a^\) к виду \(f(x) =g(x)\), что тоже является равносильным преобразованием.

Источник

Равносильные уравнения, преобразование уравнений

Некоторые преобразования позволяют нам перейти от решаемого уравнения к равносильным, а также к уравнениям-следствиям, благодаря чему упрощается решение первоначального уравнения. В данном материале мы расскажем, что из себя представляют эти уравнения, сформулируем основные определения, проиллюстрируем их наглядными примерами и поясним, как именно осуществляется вычисление корней исходного уравнения по корням уравнения-следствия или равносильного уравнения.

Понятие равносильных уравнений

Равносильными называются такие уравнения, имеющие одни и те же корни, или же те, в которых корней нет.

Определения такого типа часто встречаются в различных учебниках. Приведем несколько примеров.

Уравнения с одинаковыми корнями считаются равносильными. Также ими считаются два уравнения, одинаково не имеющие корней.

Когда мы говорим о совпадающем множестве корней, то имеем в виду, что если определенное число будет корнем одного уравнения, то оно подойдет в качестве решения и другому уравнению. Ни одно из уравнений, являющихся равносильными, не может иметь такого корня, который не подходит для другого.

Приведем несколько примеров таких уравнений.

Для наглядности рассмотрим несколько примеров неравносильных уравнений.

Определения, данные выше, подойдут и для уравнений с несколькими переменными, однако в том случае, когда мы говорим о двух, трех и более корнях, более уместно выражение «решение уравнения». Таким образом, подытожим: равносильные уравнения – это те уравнения, у которых одни и те же решения или их совсем нет.

Понятие уравнений-следствий

Процитируем несколько примеров определений уравнений-следствий, взятых из учебных пособий.

Следствием уравнения f ( x ) = g ( x ) будет уравнение p ( x ) = h ( x ) при условии, что каждый корень первого уравнения будет в то же время корнем второго.

Источник

Равносильность уравнений

Урок 28. Алгебра 11 класc

В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам

Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобрев в каталоге.

Получите невероятные возможности

Конспект урока «Равносильность уравнений»

• обобщить сведения о равносильности уравнений;

• повторить основные теоремы равносильности;

• рассмотреть причины потери и появления посторонних корней при решении уравнений.

В процессе изучения математики, начиная с младших классов, мы постоянно сталкиваемся с уравнениями с одной или двумя переменными, с неравенствами, с системами уравнений или неравенств. На сегодняшнем уроке мы постараемся обобщить все, что мы знаем об уравнениях.

Начнем с определения.

Два уравнения с одной переменной f(x) = g(x) и p(x) = h(x) называют равносильными, если множества их корней совпадают.

Другими словами, два уравнения называют равносильными, если они имеют одинаковые корни или если оба уравнения не имеют корней.

Дадим еще одно определение.

Если каждый корень уравнения f(x) = g(x) является в то же время корнем уравнения p(x) = h(x), то уравнение p(x) = h(x) называют следствием уравнения f(x) = g(x).

Очевидно, что справедливо следующее утверждение: два уравнения равносильны тогда и только тогда, когда каждое из них является следствием другого.

Таким образом, общую схему можно описать так. Исходное уравнение преобразовывается в более простое уравнение, полученное уравнение преобразовывается в еще более простое уравнение и так происходит до тех пор, пока не получится довольное простое уравнение, корни которого и находят.

Естественно возникает вопрос, а будут ли корни решенного простого уравнения корнями нашего исходного уравнения? Если все преобразования были равносильными, то есть все полученные уравнения равносильные, тогда да. Если же некоторые преобразования были равносильными, а в некоторых мы не уверены, но точно знаем, что переходили с их помощью к уравнениям-следствиям, то однозначного ответа на вопрос мы не получим.

Для того, чтобы на данный вопрос ответить точно, нужно все найденные корни проверить, подставив их в исходное уравнение. Если найденный корень последнего уравнения не удовлетворяет исходному уравнению, то его называют посторонним корнем и в ответ его включать не надо.

Как правило, решение уравнения осуществляется в три этапа.

1. Технический. На этом этапе осуществляется преобразование по схеме, которую мы описали выше.

2. Анализ решения. На этом этапе, анализируя проведенные преобразования, отвечают на вопрос, все ли они были равносильными.

3. Проверка. Если анализ, проведенный на втором этапе, показывает, что некоторые преобразования могли привести к уравнению-следствию, то обязательно проверка всех найденных корней их подстановкой в исходное уравнение.

Давайте теперь определимся: как же узнать, является ли переход от одного уравнения к другому равносильным преобразованием?

Попробуем вспомнить все теоремы, в которых уравнение заменяется равносильным уравнением. Эти теоремы были доказаны нами ранее, поэтому мы просто напомним их.

Теорема 1. Если какой-либо компонент уравнения перенести из одной части уравнения в другую с противоположным знаком, то получится уравнение, равносильное данному.

Теорема 2. Если обе части уравнения возвести в одну и ту же нечетную степень, то получится уравнение, равносильное данному.

Теперь давайте вспомним, что областью определения уравнения эф от икс равно жэ от икс или областью допустимых значений переменной (ОДЗ) называют множество тех значений переменной икс, при которых одновременно имеют смысл выражения f(x) и g(x).

Теорема 4. Если обе части уравнения f(x) = g(x) умножить на одно и тоже выражение h(x, которое: имеет смысл всюду в области определения (в области допустимых значений) уравнения f(x) = g(x); нигде в этой области не обращается в ноль, то получится уравнение f(x)h(x) = g(x)h(x), равносильное данному.

Следствием этой теоремы будет известный факт о том, что если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильно данному.

Теперь давайте вспомним, какие преобразования переводят уравнение в уравнение-следствие.

Если в процессе решения, мы воспользуемся последними теоремами, но не будем проверять выполнение необходимых условий, то получится уравнение-следствие.

Второй корень является посторонним для уравнения:

А появился он потому, что мы умножили обе части уравнения на одно и то же выражение, нарушив при этом условие теоремы 4.

В этой теореме содержится требование: выражение, на которое мы умножаем обе части уравнения, нигде не должно обращаться в ноль. А в нашем случае, выражение x – 2 обращается в ноль при x = 2, которое и оказалось посторонним корнем.

Теперь давайте обе части исходного уравнения возведем в квадрат. Получим:

Посторонний корень появился потому, что мы возвели обе части уравнения в одну и ту же четную степень, нарушив при этом условие теоремы пять. В этой теореме содержится требование: обе части уравнения должны быть неотрицательны. Про выражение x – 5 мы не можем этого утверждать.

Потенцируя, получим уравнение

Но этот корень является посторонним для исходного уравнения, поскольку оба выражения под знаками логарифмов принимают отрицательные значения.

А появился этот корень потому, что при потенцировании, мы нарушили условие шестой теоремы. В этой теореме содержится требование: выражения под знаками логарифмов должны быть положительными, о выражениях 2x – 4 и 3x – 5 этого утверждать мы не можем, так как они при одних значениях x положительны, при других – они отрицательны.

В нашем примере переход от логарифмического уравнения к уравнению 2x – 4 = 3x – 5 привел к расширению области определения уравнения.

Область определения логарифмического уравнения задается системой неравенств

решением которого будет промежуток

Областью определения уравнения 2x – 4 = 3x – 5 является множество всех действительных чисел. То есть у области определения логарифмического уравнения добавился луч от минус бесконечности до двух. В этом промежутке и находится корень уравнения x = 1.

Давайте попробуем сформулировать возможные причины расширения области определения уравнения:

1. Освобождение в процессе решения уравнения от знаменателей, содержащих переменную величину.

2. Освобождение в процессе решения уравнения от знаков корней четной степени.

3. Освобождение в процессе решения уравнения от знаков логарифмов.

Итак при решении уравнения обязательна проверка всех найденных корней, если:

1. Произошло расширение области определения уравнения.

2. Осуществлялось возведение обеих частей уравнения в одну и ту же четную степень.

3. Выполнялось умножение обеих частей уравнения на одно и то же выражение с переменной (имеющее смысл во всей области определения уравнения).

В рассмотренном примере, при проверке корней у нас были небольшие и несложные вычисления, а как же быть в случаях, когда проверка корней сопровождается значительными вычислительными трудностями? Существует несколько так называемых обходных путей проверки.

Например, при проверке корней в примере, мы не высчитывали значение левой части уравнения, а просто прикидывали чему равно получившееся выражение. Такая прикидка – один из обходных путей проверки.

Но этот корень можно было проверить и другим способом. Мы могли его проверить не по исходному уравнению, а по полученному в процессе преобразований уравнению-следствию.

Как правило, самый легкий путь проверки – по области определения исходного уравнения.

Каждый раз, при решении уравнений, явно выделять три этапа мы не будем. Но мысленно мы всегда такое разбиение будем делать.

Рассмотрим еще один пример.

Мы рассмотрели варианты, когда уравнение в процессе преобразований приобретает новые корни, но бывают случаи, когда уравнение теряет корни. Укажем причины потери корней при решении уравнений:

Можно сделать вывод, что применяя при решении уравнения какую-либо формулу, надо следить за тем, чтобы ОДЗ переменной для правой и левой частей формулы были одинаковыми.

Источник

Равносильные уравнения и уравнения-следствия

Существуют преобразования уравнений, позволяющие переходить от решаемого уравнения к так называемым равносильным уравнениям и уравнениям-следствиям, по решениям которых есть возможность определить решение исходного уравнения. В этой статье мы подробно разберем, какие уравнения называются равносильными, а какие – уравнениями-следствиями, дадим соответствующие определения, приведем поясняющие примеры и объясним, как найти корни уравнения по известным корням равносильного уравнения и уравнения-следствия.

Равносильные уравнения, определение, примеры

Дадим определение равносильных уравнений.

Равносильные уравнения – это уравнения, имеющие одни и те же корни или не имеющие корней.

Такие же по смыслу определения, но немного отличающиеся по формулировке, приводятся в различных учебниках математики, например,

Два уравнения f(x)=g(x) и r(x)=s(x) называют равносильными, если они имеют одинаковые корни (или, в частности, если оба уравнения не имеют корней) [1, с. 179].

Уравнения, имеющие одни и те же корни, называют равносильными уравнениями. Уравнения, не имеющие корней, также считают равносильными [2, с. 23].

Два уравнения с одной переменной f(x)=g(x) и p(x)=h(x) называют равносильными, если множества их корней совпадают [3, с. 201].

Уравнения, имеющие одно и то же множество корней, называются равносильными [4, с. 186].

Под одними и теми же корнями понимается следующее: если какое-то число является корнем одного из равносильных уравнений, то оно является и корнем любого другого из этих уравнений, и не одно из равносильных уравнений не может иметь корня, который не является корнем любого другого из этих уравнений.

Озвученное определение равносильных уравнений относится как к уравнениям с одной переменной, так и к уравнениям с большим числом переменных. Однако для уравнений с двумя, тремя и т.д. переменными слово «корни» в определении нужно заменить словом «решения». Итак,

Равносильные уравнения – это уравнения, имеющие одни и те же решения, или не имеющие их.

Уравнения-следствия

Приведем определения уравнений-следствий из школьных учебников:

Если все корни первого уравнения являются корнями второго уравнения, то второе уравнение называется следствием первого уравнения [4, с. 187].

Из определения уравнения-следствия вытекает, что абсолютно любое уравнение является следствием любого уравнения, не имеющего корней.

Стоит привести несколько довольно очевидных следствий из определения равносильных уравнений и определения уравнения-следствия:

Нахождение корней уравнения по корням равносильного уравнения и уравнения-следствия

Из определения равносильных уравнений следует, что если известны все корни одного из равносильных уравнений, то можно считать известными все корни всех остальных уравнений этой группы: они будут такими же.

Когда известны все корни уравнения-следствия, то есть возможность определить все корни уравнения, следствием которого является данное уравнение. Для этого нужно лишь провести отсеивание посторонних корней.

Источник

Понятие равносильных уравнений. Уравнения-следствия.

Онлайн-конференция

«Современная профориентация педагогов
и родителей, перспективы рынка труда
и особенности личности подростка»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Равносильными уравнениями называются уравнения, имеющие одинаковое множество корней, или не имеющие корней.

б) каждое из уравнений не имеет корней. Значит, эти уравнения равносильны.

В процессе решения уравнений необходимо, по возможности, совершать преобразования, сохраняющие равносильность. Перечислим эти преобразования.

Если в уравнении перенести слагаемое из одной части уравнения в другую, поменяв при этом его знак, то получится уравнение, равносильное данному.

Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю, то получится уравнение, равносильное данному.

Если к обеим частям уравнения прибавить (или отнять) один и тот же многочлен, то получится уравнение, равносильное данному.

Если обе части уравнения возвести в одну и ту же нечётную степень, то получится уравнение, равносильное данному.

Если невозможно совершить равносильные преобразования, то необходимо следить за областью допустимых значений уравнения. К таким уравнениям относятся иррациональные, дробно рациональные, логарифмические. Приведём примеры.

(Т.к. подкоренное выражение равно выражению в квадрате, то оно не будет отрицательным, именно поэтому включать подкоренное выражение в ОДЗ нет необходимости).

ОДЗ, значит, это посторонний корень.

ОДЗ, значит, этот корень посторонний.

ОДЗ, значит, это посторонний корень.

Если все корни первого уравнения являются корнями второго уравнения, то второе уравнение называется следствием первого уравнения. При этом, второе уравнение может иметь корни, которые не являются корнями первого уравнения. Их называют посторонними корнями, которые необходимо выявить и отбросить.

Чтобы уравнения получались равносильными, необходимо определять область допустимых значений и отсеивать посторонние корни.

Посторонние корни появляются вследствие расширения области определения.

Потеря корней может произойти вследствие деления обеих частей уравнения на выражение, содержащее переменную.

Следствия из определений равносильных уравнений и уравнений-следствий:

Если два уравнения равносильны, то каждое из них является следствием другого.

Если каждое из уравнений является следствием другого, то эти уравнения равносильны.

Два уравнения равносильны тогда и только тогда, когда каждое из них является следствием другого.

Равносильны ли уравнения:

Какое из двух данных уравнений является следствием другого:

Записать какое-нибудь следствие уравнения:

Докажите, что уравнение не имеет корней:

При каких значениях уравнения будут равносильны:

При каких значениях уравнения будут равносильны:

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Разработка состоит из теоретической и практической части. Теоретическая включает в себя определения равносильных уравнений и уравнений-следствий, следствия из этих определений, примеры, в которых отражены случаи появления посторонних корней и потери корней. Практическая часть содержит большой объём заданий для определения равносильности и решения уравнений.

Номер материала: ДБ-281692

Не нашли то что искали?

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Педагогам Северной Осетии в 2022 году будут выплачивать надбавки за стаж

Время чтения: 2 минуты

Утверждены сроки заключительного этапа ВОШ

Время чтения: 1 минута

Время чтения: 2 минуты

Госдума приняла закон об использовании онлайн-ресурсов в школах

Время чтения: 2 минуты

Учителям предлагают 1,5 миллиона рублей за переезд в Златоуст

Время чтения: 1 минута

Путин поручил не считать выплаты за классное руководство в средней зарплате

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Источник