Что называют периодом колебаний маятника кратко
Амплитуда, период, частота колебаний.
Амплитуда колебаний (лат. amplitude — величина) — это наибольшее отклонение колеблющегося тела от положения равновесия.
Для маятника это максимальное расстояние, на которое удаляется шарик от своего положения равновесия (рисунок ниже). Для колебаний с малыми амплитудами за такое расстояние можно принимать как длину дуги 01 или 02, так и длины этих отрезков.
Амплитуда колебаний измеряется в единицах длины — метрах, сантиметрах и т. д. На графике колебаний амплитуда определяется как максимальная (по модулю) ордината синусоидальной кривой, (см. рис. ниже).
Период колебаний.
Период колебаний — это наименьший промежуток времени, через который система, совершающая колебания, снова возвращается в то же состояние, в котором она находилась в начальный момент времени, выбранный произвольно.
Другими словами, период колебаний (Т) — это время, за которое совершается одно полное колебание. Например, на рисунке ниже это время, за которое грузик маятника перемещается из крайней правой точки через точку равновесия О в крайнюю левую точку и обратно через точку О снова в крайнюю правую.
За полный период колебаний, таким образом, тело проходит путь, равный четырем амплитудам. Период колебаний измеряется в единицах времени — секундах, минутах и т. д. Период колебаний может быть определен по известному графику колебаний, (см. рис. ниже).
Понятие «период колебаний», строго говоря, справедливо, лишь когда значения колеблющейся величины точно повторяются через определенный промежуток времени, т. е. для гармонических колебаний. Однако это понятие применяется также и для случаев приблизительно повторяющихся величин, например, для затухающих колебаний.
Частота колебаний.
Частота колебаний — это число колебаний, совершаемых за единицу времени, например, за 1 с.
Единица частоты в СИ названа герцем (Гц) в честь немецкого физика Г. Герца (1857-1894). Если частота колебаний (v) равна 1 Гц, то это значит, что за каждую секунду совершается одно колебание. Частота и период колебаний связаны соотношениями:
.
В теории колебаний пользуются также понятием циклической, или круговой частоты ω. Она связана с обычной частотой v и периодом колебаний Т соотношениями:
.
Циклическая частота — это число колебаний, совершаемых за 2π секунд.
Период колебаний математического маятника
Математический маятник — что это такое
Маятник — твердое тело, которое совершает под действием приложенных сил механические колебания около неподвижной точки или оси.
Простейший маятник состоит из небольшого груза массой m, подвешенного на невесомой нити или тонком стержне длиной l и совершающего колебания под воздействием земного притяжения. Если нить считать нерастяжимой, размер груза незначительным по сравнению с длиной нити, а массу нити незначительной по сравнению с массой груза, то груз можно считать материальной точкой массой m, находящейся на постоянном расстоянии l от точки подвеса. Такой маятник называют математическим.
Определение модели системы
Математические модели динамических систем часто используют для анализа самых разных технических, социально-экономических, естественнонаучных систем, в которых происходят циклические процессы.
Существуют различные классификации динамических процессов. Одна из них изображена на схеме:
Маятник Фуко
Отсюда следует, что если бы Земля не вращалась, данного эффекта просто не существовало бы. Это обстоятельство указывает на то, что причиной неинерциальности земной системы отсчета является вращение планеты.
Центробежное ускорение на экваторе равно 0,034 м/с^2. По сравнению с экваториальным ускорением свободного падения g = 9,78 м/с^2 это величина малая, но она заметно влияет на изменение веса тела на экваторе по сравнению с его весом на полюсе. Если, например, взвешивать на пружинных весах тело массой 10 кг, то уменьшение веса на экваторе за счет действия центробежной силы составит около 35 г.
Период колебаний математического маятника
Период колебаний — время, за которое происходит одно полное колебание. В СИ измеряется в секундах.
Чему равен, от чего зависит частота
Если за время t совершается N колебаний, то период, обозначаемый буквой T, равен
где v — частота колебаний. Она обратно пропорциональна периоду.
Колебания можно изобразить в виде графика:
Источник: physik.ucoz.ru.
Период колебаний математического маятника можно рассчитать по формуле
g — ускорение свободного падения. Не зависит от амплитуды колебаний и массы груза.
В случае математического маятника она определяется длиной подвеса и ускорением свободного падения:
Для физического маятника в уравнение добавляются инерция и масса подвеса:
Для пружинного маятника частоту определяет жесткость пружины k:
Уравнения движения и их решение, формулы с примерами
Математический маятник — это материальная точка, имеющая массу m и подвешенная на нити с неизменяемой длиной l. Покидая положение равновесия, подвес совершает колебательные движения по дуге.
Это дает нам дифференциальное уравнение гармонических колебаний
Из уравнения следует, что при малых углах отклонения от положения равновесия маятник будет колебаться с периодом
Из этого следует, что
Начальная фаза зависит от того, как маятник вывели из положения равновесия. Рассмотрим ситуацию, в которой маятник отклонили от положения равновесия на расстояние А и отпустили без начальной скорости. Запишем уравнение движения колеблющегося тела с учетом того факта, что в начальный момент координата тела будет равна А:
x = A × cos ω t + φ 0 ;
Уравнение движения маятника:
Если маятник толкнули, когда он находился в положении равновесия, начальная координата колеблющейся точки будет равна нулю:
Будет ли начальная координата положительной или отрицательной, определяет выбор положительного направления оси. Если направление оси совпадет с направлением начальной скорости, то в уравнении движения будет знак «плюс», если не совпадет — знак «минус».
Уравнение движения маятника:
Рассмотрим задачи, для которых требуется составлять и решать уравнения движения.
Необходимо определить амплитуду и частоту колебаний точки, если известно, что при смещении точки от положения равновесия на 5 см ее скорость равна 6 см/с, а при смещении на 3 см — 10 см/с.
Исключаем время из системы:
x 1 2 + v 1 2 ω 2 = А 2 x 2 2 + v 2 2 ω 2 = А 2
Преобразовав выражения и подставив значения, данные в условиях задачи, получаем:
Необходимо вычислить циклическую частоту колебаний точки, если известно, что при скорости 13 см/с ускорение равнялось 6 см/с^2, а при уменьшении скорости до 12 см/с произошло увеличение ускорения до 10 см/с^2.
Решение:
Координата точки меняется по закону
Запишем уравнения скорости и ускорения точки:
Преобразуем уравнение, исключив из него А, и подставим значения, данные в условиях задачи:
Практическое применение математического маятника
С помощью математического моделирования динамических систем можно обнаружить схожесть динамических процессов в реальных физических, технических, биологических, химических и социально-экономических системах. Разработка моделей, позволяющих предсказывать время и другие характеристики периодических процессов в этих системах, является эффективным способом анализировать, например, сельскохозяйственные или производственно-экономические процессы.
Период колебаний
Что такое колебательный процесс
Колебания — это движения или процессы, которые повторяются с определенным интервалом времени.
Систему, совершающую колебания, называют колебательной системой или осциллятором.
Исходя из физической природы, колебательные процессы бывают механического, электромагнитного и других видов.
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
Свободные или собственные колебания — колебания, которые наблюдают в системе, предоставленной себе после выведения из равновесного состояния.
Вынужденными колебаниями называют колебания, происходящие под действием внешней силы, изменяющейся периодически.
При механических колебаниях, которые относят к категории вынужденных:
Гармоническими колебаниями называют колебания, определяемые физической величиной, которая изменяется, согласно закону синуса или косинуса.
Разные периодические процессы, повторяющиеся в течение равных временных интервалов, могут быть записаны в виде суммы или суперпозиции гармонических колебаний.
Определение периода колебаний, формула
Колебательный процесс можно представить в виде уравнения. Тогда гармоническое колебание значения х будет представлено следующей формулой:
\(x(t)=A\times \cos \left(\omega _<0>t+\phi _ <0>\right)\)
Где \(x(t)\) является отклонением колеблющейся физической величины от равновесного значения;
А представляет собой амплитуду гармонических колебаний;
\(\omega _<0>\) равно циклической или круговой частоте колебаний;
\(\phi _<0>\) является начальной фазой колебаний, характерной для момента времени t=0, что можно определить с помощью выбора начала отсчета времени;
\(cp(t)=(co_<0>t+cp_<0>)\) описывает фазу колебаний в момент времени t, определяется в радианах, соответствует значению колеблющейся величины в данное время.
\(\cos \left(\alpha +2\pi \right)=\cos \alpha,\)
Период колебаний Т представляет собой минимальный временной интервал, в течение которого колебательная система возвращается в то состояние, в котором она находилась в начальный момент времени, определенный произвольно.
В этом случае фаза будет увеличена на \(2\pi:\)
\(\omega _<0>(t+T)+\phi _<0>=\left(\omega _<0>t+\phi _ <0>\right)+2\pi\)
Из данного равенства можно вычислить период колебаний:
Частота колебаний v является величиной, которая обратна периоду колебаний. Это количество полных колебаний, выполняемых за единицу времени:
На графике изображены гармонические колебания, где а — зависимость смещения х от времени /, б — зависимость скорости vx от времени С, в — зависимость ускорения ах от времени t.
Единицей частоты в СИ является герц (Гц). Это частота периодического периода, в котором в течение 1 секунды выполняется одно полное колебание.
Можно представить, что материальная точка совершает прямолинейные гармонические колебания, относительно оси Х около равновесного положения, которое является началом отсчета координат. Так как движения частицы колебательные, ей присуще скорость и ускорение. Характеристики данного процесса будут записаны таким образом:
Смещение \(x=A\times \cos \left(\omega _<0>t+\phi _ <0>\right)\)
Скорость \(v_
\(a_
Как найти период для физического маятника
В случае, когда углы отклонения \(\varphi\) небольшие, физический маятник будет совершать гармонические колебания. Можно считать его вес, приложенным к центру тяжести в точке С. Сила возврата маятника в равновесное положение является составляющей силы тяжести — сила F:
\(F=mg\times \sin \varphi\)
Отрицательное значение правой части уравнения означает, что сила F ориентирована по направлению уменьшения угла \(\alpha\)
Учитывая малый угол \(\varphi\) уравнение можно записать в следующем виде:
С помощью основного уравнения динамики, описывающее вращательное движение, можно вывести закон движения физического маятника:
При условии невозможности определения момента силы в явном виде, дифференциальное уравнение колебаний физического маятника будет записано в такой форме:
В результате сравнения полученного выражения и уравнения гармонических колебаний, получим:
Таким образом, получается, что формула циклической частоты пружинного маятника имеет следующий вид:
В таком случае для расчета периода колебаний математического маятника будет использоваться формула:
Исходя из расчетов, можно сделать следующие выводы:
В приведенных формулах:
Примеры решений
Шариком, привязанным к нити, совершено 60 колебаний в течение 2 минут. Необходимо определить, каковы период и частота колебаний шарика.
Ответ: период колебаний маятника равен 2 секундам, а частота составляет 0,5 Гц.
Согласно изображенного графика зависимости координаты от времени, необходимо рассчитать характеристики колебательного движения тела.
\(x(t)=A\sin 2\pi Vt=0.2\sin 2\pi \times 1.25t=0.2\sin 2.5\pi t\)
Ответ: амплитуда колебаний маятника составляет 0,2 метра, период колебаний соответствует 0,8 с, частота колебаний равна 1,25 Гц, уравнение координаты будет записано в следующем виде: \(x(t)=0.2\sin 2.5\pi t\)
Необходимо определить, какой длиной обладает математический маятник, который совершает гармонические колебания при частоте 0,5 Гц на поверхности Луны. Ускорение свободного падения в данном случае составляет 1,6 м/с2.
Период колебаний математического маятника рассчитывается по формуле:
Для того чтобы выразить длину маятника, необходимо возвести обе части равенства в квадрат:
Ответ: длина математического маятника примерно составляет 0,16 метра.
Период колебаний
Из Википедии — свободной энциклопедии
В принципе совпадает с математическим понятием периода функции, но имея в виду под функцией зависимость физической величины, совершающей колебания, от времени.
Это понятие в таком виде применимо как к гармоническим, так и к ангармоническим строго периодическим колебаниям (а приближенно — с тем или иным успехом — и непериодическим колебаниям, по крайней мере к близким к периодичности).
В случае, когда речь идет о колебаниях гармонического осциллятора с затуханием, под периодом понимается период его осциллирующей составляющей (игнорируя затухание), который совпадает с удвоенным временным промежутком между ближайшими прохождениями колеблющейся величины через ноль. В принципе, это определение может быть с большей или меньшей точностью и пользой распространено в некотором обобщении и на затухающие колебания с другими свойствами.
Единицы измерения: секунда и, в принципе, вообще единицы измерения времени.
Период колебаний связан соотношением взаимной обратности с частотой:
В квантовой физике период колебаний прямо связан с энергией (поскольку в квантовой физике энергия объекта — например, частицы — есть частота [3] колебаний его волновой функции).
Теоретическое вычисление периода колебаний той или иной физической системы сводится, как правило, к нахождению решения динамических уравнений (уравнения), описывающего эту систему. Для категории линейных систем (а приближенно — и для линеаризуемых систем в линейном приближении, которое зачастую является очень хорошим) существуют стандартные сравнительно простые математические методы, позволяющие это сделать (если известны сами физические уравнения, описывающие систему).
Для экспериментального определения периода используются часы, секундомеры, частотомеры, стробоскопы, строботахометры, осциллографы. Также применяются биения, метод гетеродинирования в разных видах, используется принцип резонанса. Для волн можно померить период косвенно — через длину волны, для чего применяются интерферометры, дифракционные решётки итп. Иногда требуются и изощренные методы, специально разработанные для конкретного трудного случая (трудность могут представлять как само измерение времени, особенно если речь идет о предельно малых или наоборот очень больших временах, так и трудности наблюдения колеблющейся величины).
Подобные системы довольно широко распространены за счет своей функциональной гибкости. Механизмы на основе таких маятников часто используются как элементы средств автоматики.
В том числе они нашли применение в контактных взрывателях различных боеприпасов, в качестве акселерометров в контурах управления ракет. Так же они активно используются в предохранительных клапанах, устанавливаемых в трубопроводах.
Что такое пружинный маятник
Пружинным маятником в физике называют систему, совершающую колебательные движения под действием силы упругости.
Приняты следующие обозначения:
Общий вид маятника:
Особенностями пружинных маятников являются:
Сочетание тела и пружины. Массой пружины обычно в расчетах пренебрегают. Роль тела могут играть различные объекты. На них оказывают действие внешние силы. Груз может крепиться разными способами. Витки пружины, которыми она начинается и заканчивается, изготавливают с учетом повышенной нагрузки;
У любой пружины есть исходное положение, предел сжатия и растяжения. При максимальном сжатии зазора между витками нет. Когда она максимально растянута, возникает необратимая деформация;
Полная механическая энергия появляется с началом процесса обратимого деформирования. В этот момент на объект не оказывает действие сила упругости;
Колебательные движения происходят под влиянием силы упругости. Масштаб влияния определяется несколькими причинами (тип сплава, расположение витков и т. д.). Так как может происходить и сжатие и растяжение, можно сделать вывод, что сила упругости действует в двух противоположных направлениях;
От массы тела, величины и направления прикладываемой силы зависит скорость в плоскости его перемещения. Например, если подвесить груз к пружине и, растянув её, отпустить, то груз будет перемещаться в двух плоскостях: вертикально и горизонтально.
Виды пружинных маятников
Существует два типа данной системы:
Сила упругости в пружинном маятнике
До начала деформирования пружина находится в равновесном состоянии. Прикладываемое усилие может как растягивать, так и сжимать её.
Применяя к пружинному маятнику закон сохранения энергии, мы можем рассчитать силу упругости в нем. Упругость прямо пропорциональна расстоянию, на которое сместился груз.
Расчёт силы упругости может быть проведен таким образом:
где k — коэффициент жесткости пружины (Н\м),
Уравнения колебаний пружинного маятника
Свободные колебания пружинного маятника описываются с помощью гармонического закона.
Если допустить вероятность того, что колебания идут вдоль оси Х, и при этом выполняется закон Гука, то уравнение примет вид:
Для проведения расчета колебаний, учитывая все вероятности, применяют следующие формулы:
Период и частота свободных колебаний пружинного маятника
При разработке проектов всегда определяется период колебаний и их частота. Для их измерения используются известные в физике формулы.
Изменение циклической частоты покажет формула, приведенная на рисунке:
Факторы, от которых зависит частота:
Коэффициент упругости. На этот коэффициент влияет количество витков, их диаметр, расстояние между ними, длина пружины, жесткость используемого сплава и т. д.
Масса груза. От этого фактора зависит возникающая инерция и скорость перемещения.
Амплитуда и начальная фаза пружинного маятника
Учитывая начальные условия и рассчитав уравнение колебаний, можем точно описать колебания пружинного маятника.
В качестве начальных условий используются: амплитуда (А) и начальная фаза колебаний (ϕ).
Энергия пружинного маятника
При рассмотрении колебания тел учитывают, что груз движется прямолинейно. Полная механическая энергия тела в каждой точке траектории является константой и равняется сумме его потенциальной энергии и кинетической энергии.
Расчет имеет особенности. При его проведении нужно учитывать несколько условий:
Колебания проходят в двух плоскостях: вертикальной и горизонтальной.
В качестве равновесного положения выбирается ноль потенциальной энергии. Находясь в этом положении пружина сохраняет свою форму.
Влияние силы трения при расчете не учитывают.
Дифференциальное уравнение гармонических колебаний пружинного маятника
Отметим, что пружинный маятник — это обобщенное определение. Скорость движения груза (тела) напрямую зависит от комплекса условий, в том числе приложенного к нему усилия.