Что называется первообразной функции приведите примеры
Что называется первообразной функции приведите примеры
Изучая математику, мы не раз сталкивались со взаимно-обратными операциями.
Примерами взаимно-обратных операций являются:
Операция, обратная дифференцированию, называется интегрированием, а процессом, обратным нахождению производной, является процесс нахождения первообразной.
Или Первообразной для функции F(x) называется функция, производная которой равна данной.
Зад ача интегрирования состоит в том, чтобы для заданной функции найти все ее первообразные. Важную роль в решении этой задачи играет признак постоянства функции:
Если
Все первообразные функции а можно записать с помощью одной формулы, которую называют общим видом первообразных для функции f.
Основное свойство первообразных:
Любая первообразная для функции f на промежутке I может быть записана в виде
где F(x) – одна из первообразных для функции f(х) на промежутке I, а С – произвольная постоянная.
В этом утверждении сформулированы два свойства первообразной
1) какое бы число ни подставить вместо С, получим первообразную для f на промежутке I;
2) какую бы первообразную Ф для f на промежутке I ни взять, можно подобрать такое число С, что для всех х из промежутка I будет выполнено равенство Ф(х) = F(x) + C.
Геометрический смысл первообразной
Пример 1. Выяснить, является ли функция F (x) = х 3 – 3х + 1 первообразной для функции f(x) = 3(х 2 – 1).
Решение: F'(x) = (х 3 – 3х + 1)′ = 3х 2 – 3 = 3(х 2 – 1) = f(x), т.е. F'(x) = f(x), следовательно, F(x) является первообразной для функции f(x).
Пример 2. Найти все первообразные функции f(x): f(x) = х 4 + 3х 2 + 5
Решение: Используя таблицу и правила нахождения первообразных, получим:
Ответ:
Задание № 1
Скачай задание из Приложений к странице. Распечатай, выполни предложенные задания, отсканируй и отошли учителю
Первообразная и неопределенный интеграл, их свойства
Определение первообразной
Определение неопределенного интеграла
Имея заданный дифференциал функции, мы можем найти неизвестную функцию.
∫ f ( x ) d x ‘ = F ( x ) + C ‘ = f ( x )
∫ d ( F ( x ) ) = ∫ F ‘ ( x ) d x = ∫ f ( x ) d x = F ( x ) + C
∫ f ( x ) ± g ( x ) ) d x = ∫ f ( x ) d x ± ∫ g ( x ) d x
Промежуточные равенства первого и второго свойств неопределенного интеграла мы привели в качестве пояснения.
Для того, чтобы доказать третье и четвертое свойства, необходимо найти производные от правых частей равенств:
k · ∫ f ( x ) d x ‘ = k · ∫ d ( x ) d x ‘ = k · f ( x ) ∫ f ( x ) d x ± ∫ g ( x ) d x ‘ = ∫ f ( x ) d x ‘ ± ∫ g ( x ) d x ‘ = f ( x ) ± g ( x )
Производные правых частей равенств равны подынтегральным функциям, что является доказательством первого свойства. Его же мы используем в последних переходах.
Как видите, задача интегрирования представляет собой обратный процесс по отношению к задаче дифференцирования. Обе эти задачи тесно связаны между собой.
Первое свойство может быть использовано для проведения проверки интегрирования. Для проверки нам достаточно вычислить производную полученного результата. Если полученная функция будет равна подынтегральной функции, то интегрирование проведено верно.
Благодаря второму свойству по известному дифференциалу функции мы можем найти ее первообразную и использовать ее для вычисления неопределенного интеграла.
Решение
Используя таблицу производных основных элементарных функций получаем
d ( ln x ) = ( ln x ) ‘ d x = d x x = f ( x ) d x ∫ f ( x ) d x = ∫ d x x = ∫ d ( ln ( x ) )
Ответ: f ( x ) = 1 x = ln ( x ) + 1
Необходимо найти неопределенный интеграл ∫ 2 sin x 2 cos x 2 d x и проверить результат вычисления дифференцированием.
Решение
Используем таблицу производных для тригонометрических функций, получим:
Проверим полученный результат дифференцированием.
В результате проверки мы получили подынтегральную функцию. Это значит, что интегрирование было проведено нами верно. Для осуществления последнего перехода мы использовали формулу синуса двойного угла.
Если таблицу производных основных элементарных функций переписать в виде дифференциалов, то из нее по второму свойству неопределенного интеграла можно составить таблицу первообразных.
Подробнее эту тему мы рассмотрим в следующем разделе «Таблица первообразных (таблица неопределенных интегралов)».
Первообразная функции и общий вид
Этот урок — первый из серии видео, посвященных интегрированию. В нём мы разберём, что такое первообразная функции, а также изучим элементарные приёмы вычисления этих самых первообразных.
На самом деле здесь нет ничего сложного: по существу всё сводится к понятию производной, с которым вы уже должны знакомы.:)
Сразу отмечу, что, поскольку это самый первый урок в нашей новой теме, сегодня не будет никаких сложных вычислений и формул, но то, что мы изучим сегодня, ляжет в основу гораздо более сложных выкладок и конструкций при вычислении сложных интегралов и площадей.
Кроме того, приступая к изучению интегрирования и интегралов в частности, мы неявно предполагаем, что ученик уже, как минимум, знаком к понятиям производной и имеет хотя бы элементарные навыки их вычисления. Без четкого понимания этого, делать в интегрировании совершенно нечего.
Однако здесь же кроется одна из самых частых и коварных проблем. Дело в том, что, начиная вычислять свои первые первообразные, многие ученики путают их с производными. В результате на экзаменах и самостоятельных работах допускаются глупые и обидные ошибки.
Поэтому сейчас я не буду давать четкого определения первообразной. А взамен предлагаю вам посмотреть, как она считается на простом конкретном примере.
Что такое первообразная и как она считается
Допустим, нам необходимо посчитать следующую производную:
Мы знаем такую формулу:
Считается эта производная элементарно:
Но мы можем записать и так, согласно определению производной:
А теперь внимание: то, что мы только что записали и есть определением первообразной. Но, чтобы записать ее правильно, нужно написать следующее:
Аналогично запишем и такое выражение:
Если мы обобщим это правило, то сможем вывести такую формулу:
Теперь мы можем сформулировать четкое определение.
Первообразной функции называется такая функция, производная которой равна исходной функции.
Вопросы о первообразной функции
Казалось бы, довольно простое и понятное определение. Однако, услышав его, у внимательного ученика сразу возникнет несколько вопросов:
На последний вопрос я отвечу сразу. К сожалению, первообразная, в отличие от производной, считается не всегда. Нет такой универсальной формулы, по которой из любой исходной конструкции мы получим функцию, которая будет равна этой сходной конструкции. А что касается степеней и констант — сейчас мы об этом поговорим.
Решение задач со степенными функциями
Давайте попробуем посчитать такое выражение:
Поэтому мы с уверенностью можем записать следующее:
Эту формулу нужно знать, точно так же, как и производную степенной функции.
Итак, что нам известно на данный момент:
Идем далее. Что нам еще может потребоваться? Конечно же, правило вычисления первообразных от суммы и от разности. Запишем так:
\[f\left( x \right)\to F\left( x \right)\]
\[g\left( x \right)\to G\left( x \right)\]
\[c\cdot f\to c\cdot F\left( c=const \right)\]
А если простейшие функции мы начнем умножать и делить, как тогда посчитать первообразную произведения или частного. К сожалению, аналогии с производной произведения или частного здесь не работают. Какой-либо стандартной формулы не существует. Для некоторых случаев существуют хитрые специальные формулы — с ними мы познакомимся на будущих видеоуроках.
Однако запомните: общей формулы, аналогичной формуле для вычисления производной частного и произведения, не существует.
Решение реальных задач
Задача № 1
Давайте каждую из степенных функций посчитаем отдельно:
Возвращаясь к нашему выражению, мы запишем общую конструкцию:
Задача № 2
Как я уже говорил, первообразные произведений и частного «напролом» не считаются. Однако здесь можно поступить следующим образом:
Мы разбили дробь на сумму двух дробей.
\[F\left( x \right)=1\cdot x+\ln x\]
\[F\left( x \right)=x+\ln x\]
Все эти приемы можно и нужно комбинировать. Степенные выражения можно
Решение выражений со степенью с рациональным показателем
Пример № 1
Посчитаем каждый корень отдельно:
Итого всю нашу конструкцию можно записать следующим образом:
Пример № 2
Следовательно, мы получим:
Итого, собирая все в одно выражение, можно записать:
Пример № 3
Надеюсь, я никого не удивлю, если скажу, что то, что мы только что изучали — это лишь самые простые вычисления первообразных, самые элементарные конструкции. Давайте сейчас рассмотрим чуть более сложные примеры, в которых помимо табличных первообразных еще потребуется вспомнить школьную программу, а именно, формулы сокращенного умножения.
Решение более сложных примеров
Задача № 1
Вспомним формулу квадрата разности:
Давайте перепишем нашу функцию:
\[f\left( x \right)=\left( \sqrt[3]
Первообразную такой функции нам сейчас предстоит найти:
Собираем все в общую конструкцию:
Задача № 2
В этом случае нам нужно раскрыть куб разности. Вспомним:
С учетом этого факта можно записать так:
Давайте немного преобразуем нашу функцию:
Считаем как всегда — по каждому слагаемому отдельно:
Запишем полученную конструкцию:
Задача № 3
Сверху у нас стоит квадрат суммы, давайте его раскроем:
Давайте напишем итоговое решение:
А теперь внимание! Очень важная вещь, с которой связана львиная доля ошибок и недопониманий. Дело в том, что до сих пор считая первообразные с помощью производных, приводя преобразования, мы не задумывались о том, чему равна производная константы. А ведь производная константы равна «нулю». А это означает, что можно записать такие варианты:
Вот это очень важно понимать: если производная функции всегда одна и та же, то первообразных у одной и той же функции бесконечно много. Просто к нашим первообразным мы можем дописывать любые числа-константы и получать новые.
Еще раз переписываем наши конструкции:
Во второй нашей функции мы получим следующую конструкцию:
И вот теперь мы действительно получили то, что от нас требовалось в исходном условии задачи.
Решение задач на нахождение первообразных с заданной точкой
Сейчас, когда мы знаем о константах и об особенностях записи первообразных, вполне логично возникает следующий тип задач, когда из множества всех первообразных требуется найти одну-единственную такую, которая проходила бы через заданную точку. В чем состоит эта задача?
Дело в том, что все первообразные данной функции отличаются лишь тем, что они сдвинуты по вертикали на какое-то число. А это значит, что какую бы точку на координатной плоскости мы не взяли, обязательно пройдет одна первообразная, и, причем, только одна.
Итак, задачи, которые сейчас мы будем решать, сформулированы следующем образом: не просто найти первообразную, зная формулу исходной функции, а выбрать именно такую из них, которая проходит через заданную точку, координаты которой будут даны в условии задачи.
Пример № 1
Для начала просто посчитаем каждое слагаемое:
Теперь подставляем эти выражения в нашу конструкцию:
Давайте запишем то самое решение, которое мы искали:
Пример № 2
В первую очередь необходимо раскрыть квадрат разности по формуле сокращенного умножения:
Исходная конструкция запишется следующим образом:
Осталось отобразить итоговое выражение:
Решение тригонометрических задач
Забегая наперед, хотел бы отметить, что тот прием, который мы сейчас будем использовать для нахождения первообразных от тригонометрических функций, на самом деле, является универсальным приемом для самопроверки.
Задача № 1
Вспомним следующую формулу:
Исходя из этого, мы можем записать:
Перепишем выражение с учетом этого факта:
Задача № 2
Тут будет чуть сложнее. Сейчас увидите, почему.
Вспомним такую формулу:
Чтобы избавится от «минуса», необходимо сделать следующее:
Вот наша конструкция
Итого запишем окончательную конструкцию:
Вот и все, о чем я хотел сегодня вам рассказать. Мы изучили сам термин первообразных, как считать их от элементарных функций, а также как находить первообразную, проходящую через конкретную точку на координатной плоскости.
Надеюсь, этот урок хоть немного поможет вам разобраться в этой сложной теме. В любом случае, именно на первообразных строятся неопределенные и неопределенные интегралы, поэтому считать их совершенно необходимо. На этом у меня все. До новых встреч!
Основная информация
Первообразная некоторой функции находится при помощи операции интегрирования. Последняя является обратной для вычисления производной. Например, существует какое-то выражение Z(p). Его производной является некоторая функция z(р), то есть [Z(p)]’ = z(p). Нахождение Z(p) осуществляется по таблице первообразных или интегралов. Когда такой нет под рукой, то можно применить и таблицу производных. При этом следует учитывать константу.
Табличные значения специалисты не рекомендуют заучивать, поскольку такие действия приводят к потере драгоценного времени. Они считают, что в процессе нахождения интегралов информация отложится в голове. Для начала рекомендуется рассмотреть неопределенный интеграл, а затем переходить к другим его видам.
Применение интеграла
Интеграл — один из основных элементов высшей математики. Его обозначают «∫». После этого символа следует подынтегральное выражение, которое записывается в следующем виде: (функция)d(переменная). Следует отметить, что совокупность символов «d(переменная)» обозначает, по какой переменной следует осуществлять операцию интегрирования.
При помощи операции поиска первообразной можно находить площади некоторых фигур, величину пути при неравномерном движении и множество других параметров, для которых невозможно применить общие формулы и соотношения.
Алгебраический смысл интеграла заключается в представлении некоторой суммы в виде маленьких слагаемых. Их бывает много видов: неопределенный, определенный, двойной и так далее. Однако конечным результатом является некоторая производная. Следует отметить, что идет строгое разделение по переменным, по которым выполняется интегрирование. В этом случае их нужно классифицировать на два вида: определенный и неопределенный.
Неопределенным интегралом произвольной функции z(p) называется выражение, представленное в виде ее первообразной с учтенной константой Z(p) + C, то есть ∫(z(p)) dp = Z(p) + С. У него отсутствуют ограничения в виде некоторых числовых значений границ. Первообразная находится в общем виде. Во втором случае также следует найти исходную функцию, но по формуле Ньютона-Лейбница подставляются числовые значения. Далее находится конкретная числовая величина.
Чтобы найти первообразную, необходимо руководствоваться некоторыми правилами. Математики рекомендуют их знать, поскольку это поможет в дальнейшем обучении.
Методика нахождения
Существуют определенные правила нахождения первообразных. Для нахождения интеграла простейшей функции необходимо воспользоваться таблицей первообразных (рис. 1). Далее нужно найти соответствующее выражение и записать результат. Однако задания не всегда могут быть простыми, поскольку некоторые выражения следует упростить, а другие — решаются только при помощи формул интегрирования по частям.
Рисунок 1. Таблица первообразных.
Методика нахождения первообразной для простой табличной функции состоит из двух этапов. Для этой цели следует воспользоваться обыкновенным алгоритмом, который рекомендуют математики всего мира:
Если первый метод не подходит, то следует воспользоваться формулой первообразной, которая позволяет выполнять операцию интегрирования по частям. Прибегать к такому варианту следует в том случае, когда функция является сложной и ее нет в таблицах производных и интегралов.
Суть соотношения заключается в упрощении сложного выражения и сведении его к табличному значению. Следует отметить, что методика может применяться много раз и без каких-либо ограничений. Специалисты выделили отдельные подынтегральные функции, к которым нужно применять эту методику:
Если по какой-то причине интеграл невозможно взять, то это объясняется только наличием ошибок при интегрировании. Специалисты рекомендуют пересмотреть ход решения или начать его заново. Иногда необходимо осуществить замену подынтегрального выражения, но этот способ не будет рассматриваться, поскольку он является очень сложным.
Геометрический смысл
У интеграла есть определенный геометрический смысл, который заключается в нахождении площади криволинейной трапеции. К последним принадлежат плоские фигуры, ограниченные некоторым заданным графиком, а также прямыми или другими графиками. Основные требования — непрерывность и конечное значение S (площади) должно быть больше нуля. Как правило, в подынтегральную часть идет сама функция, а границами являются значения переменных.
В качестве ограничителей могут выступать также и оси декартовой системы координат. Чтобы вычислить площадь этой фигуры, необходимо выполнить такие операции:
Проверив результат при расчетах и на калькуляторе интегралов, можно сделать вывод, что задача решена правильно. Кроме того, следует проверять подынтегральное выражение. Например, если дана функция с корнем четной степени (квадрат, четвертая и так далее), то необходимо указывать, что функция должна быть больше или равна 0.
Первообразная функции
Что такое первообразная функции
Первообразная функции представляет собой такую функцию, производная которой соответствует исходной функции.
К примеру, требуется преобразовать производную, которая имеет следующий вид:
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
Известна справедливая формула:
Таким образом, можно посчитать заданную производную:
Можно выполнить следующие подробные преобразования для \(x^<2>\)
Исходя из формулировки производной, выражение можно представить и в таком виде:
Таким образом, данная запись является определением первообразной. Для корректной записи следует выполнить следующую операцию:
По аналогии можно записать следующее выражение:
При обобщении этого правила, получится формула:
Выполнив необходимые действия, можно сформулировать определение первообразной.
Основное свойство, сколько первообразных существует для функции
В том случае, когда F(х) представляет собой первообразную функцию f(х), функция F(х) + С, в которой С является произвольной постоянной, также будет первообразной функцией f(х). Таким образом, в математике все первообразные функции f(х) будут записаны в виде F(х) +С. Данное утверждение является основным свойством множества первообразных.
Графически все подобные первообразные данной функции f(х) получают из геометрического графика какой-то одной первообразной с помощью параллельных переносов по порядку вдоль оси Оу.
Первообразная функции и неопределенный интеграл
Неопределенным интегралом от функции f(x) называют выражение F(х)+С, то есть совокупность всех первообразных данной функции f(х).
Обозначение неопределенного интеграла:
Где f(x) представляет собой подынтегральную функцию; f(x) dx —подынтегральное выражение; x представляет собой переменную интегрирования; F(x) является одной из первообразных функции f(x); С является элементарной произвольной постоянной.
Существует несколько характерных для интеграла свойств:
Таблица первообразных с неопределенными интегралами будет иметь следующий вид:
Допустим, что дана функция f(х), F является ее произвольной первообразной. В процессе расчетов можно записать следующее выражение для решения:
Где F(x) представляет собой первообразную для f(x).
Таким образом, интеграл функции f(х) на физическом промежутке (а;b) представляет собой разность первообразных в точках b и а.
Как записать всю совокупность первообразных функций
Элементарная запись выглядит следующим образом:
Где f (x) dx является подынтегральным выражением; f (x) представляет собой подынтегральную функцию; х — это переменная интегрирования; F (x) представляет собой первообразную для функции f (x); С — является некоторой постоянной величиной.
d является знаком дифференциала и обладает двойным назначением:
Таблица первообразных и правила их нахождения
В качестве разъяснения можно использовать пример первообразной:
Данная первообразная для функции:
В качестве подтверждения следует представить производную:
К примеру, необходимо решить пару задач:
Нахождение F(х) выполняют двумя способами:
Можно выполнить проверку:
С помощью простых вычислений можно проверить все строчки таблицы. Таким образом, будет выполняться соотношение:
С помощью специальных правил можно отыскать первообразные. Согласно первому правилу, первообразная суммы равна сумме первообразных. Допустим:
F является первообразной для f.
G является первообразной для g.
Необходимо представить доказательство выражения:
F + G является первообразной для f + g.
Второе правило о постоянном множителе. По условиям задачи:
Где F представляет собой первообразную для f; k является константой.
Требуется подтвердить, что:
kF является первообразной для kf.
Доказать данное выражение можно с помощью определения первообразной и по правилу дифференцирования. Таким образом:
Смысл правила заключается в том, что при известной первообразной для f можно получить первообразную для kf с помощью умножения F на k.
Третье правило можно записать таким образом:
если y = F(x) является первообразной для функции y = f(x),