Что находится в основании пирамиды

Пирамида

Вершина пирамиды — точка, соединяющая боковые рёбра и не лежащая в плоскости основания.

Основание — многоугольник, которому не принадлежит вершина пирамиды.

Апофема — высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины.

Высота — отрезок перпендикуляра, проведённого через вершину пирамиды к плоскости её основания (концами этого отрезка являются вершина пирамиды и основание перпендикуляра).

Диагональное сечение пирамиды — сечение пирамиды, проходящее через вершину и диагональ основания.

Некоторые свойства пирамиды

1) Если все боковые ребра равны, то

– около основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр

– боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы

Если боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы, то все боковые ребра пирамиды равны.

Если около основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр, то все боковые ребра пирамиды равны.

Виды пирамид

Для правильной пирамиды справедливо:

– боковые ребра правильной пирамиды равны;

– в правильной пирамиде все боковые грани — равные равнобедренные треугольники;

– в любую правильную пирамиду можно вписать сферу;

– около любой правильной пирамиды можно описать сферу;

– площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.

Усечённой пирамидой называется многогранник, заключённый между основанием пирамиды и секущей плоскостью, параллельной её основанию.

Тетраэдр – треугольная пирамида. В тетраэдре любая из граней может быть принята за основание пирамиды.

Источник

Пирамида является одной из основных фигур в геометрии. О её особенностях рассказано в статье.

Определение пирамиды в геометрии

Эта стереометрическая фигура включает в себя часть пространства, отделённую плоскими многоугольниками: произвольным в основании и гранями — треугольниками, содержащими общую вершину и отрезок в виде общей стороны с ним.

Элементы пирамиды

Элементами этой геометрической фигуры являются:

Место, куда сходятся все боковые грани фигуры, является вершиной.

Многоугольник, от каждой стороны которого отходят треугольные грани, носит название основания. Например, оно может быть шестиугольным.

Треугольники, соединяющиеся у вершины, с общей стороной с основанием, носят название боковых граней. У них противоположная вершина совпадает с точкой вершины пирамиды.

Высота фигуры представляет собой вертикальный отрезок, ограниченный многоугольником основания и вершиной.

На каждом треугольнике боковой стороны можно указать апофему. Она опускается от вершины по грани до ребра основания, будучи к нему перпендикулярной.

Боковыми ребрами называют те отрезки, которые соединяют соседние боковые грани.

У пирамиды может быть несколько диагональных сечений. Они включают в себя диагональ многоугольника вместе с вершиной пирамиды.

Виды пирамид

Такие фигуры могут относиться к различным видам, в зависимости от типа основания и расположения вершины.

Можно указать следующие разновидности пирамид:

Правильной она будет в том случае, если в основании лежит правильный многоугольник. Проекция вершины на многоугольник основания должна приходиться на центр. Тетраэдр рассматривается как одна из разновидностей правильной пирамиды.

У прямоугольной фигуры одна из граней находится в плоскости, перпендикулярной многоугольнику, лежащему в основании.

Усеченная — это часть фигуры, находящаяся между пересекающей плоскостью и многоугольником основания. Причём эта плоскость должна располагаться горизонтально.

Свойства пирамиды

У этой объёмной геометрической фигуры имеются следующие свойства при условии равенства боковых рёбер:

круг возможно описать вокруг многоугольника основания;

угол, под которым наклонены боковые грани, будет таким же.

В том случае, когда треугольные грани имеют одни и те же углы с основанием, возможно сделать вывод о том, что их рёбра одинаковы.

Свойства правильной пирамиды

У такой фигуры можно отметить особые свойства.

У правильной пирамиды все боковые треугольники одинаковы.

Каждая из них является равнобедренным треугольником.

Внутрь любой такого типа пирамиды можно вписать сферу. При этом она будет касаться основания и всех граней, имея с каждой из этих сторон по одной общей точке.

Снаружи возможна сфера, касающаяся всех вершин.

Нетрудно вычислить площадь поверхности такой фигуры. Для этого надо умножить длину периметра многоугольника, находящегося в её основании, на половину длины апофемы.

Особым случаем является ситуация, когда у вписанной и описанной сфер центры совпадают. В этом случае можно утверждать, что если сложить все плоские углы у боковых граней, то их сумма будет равна числу «Пи». При этом, для того чтобы узнать величину каждого из них, достаточно эту величину разделить на количество граней.

Формулы объема и площади поверхности пирамиды с примерами расчета

Вычислить объём можно с использованием следующей формулы.

где используются такие обозначения:

S – площадь основания;

Полную площадь поверхности можно вычислить как сумму площадей основания и всех боковых треугольников.

Пример решения задачи

Если стороны основания составляют 3 см, а боковые рёбра — 4 см, то по теореме Пифагора можно определить высоту фигуры.

Сначала по теореме Пифагора находят длину половины диагонали. Она будет равна корню квадратному из 18 (4,25 см), так как является диагональю квадрата.

Здесь рассматривается четырехугольная пирамида.

По теореме Пифагора находим высоту. Она будет равна примерно 4,5 см.

Площадь основания составляет 3 * 3 = 9 кв. см. Нужно учесть, что это квадрат со стороной 3 см. Подставив значения в формулу для объёма, получим следующее.

V = (1 / 3) * 9 * 4,5 = 13,5 куб. см.

Для расчёта площади поверхности надо узнать площадь квадратного основания и треугольных боковых сторон. Для этого сначала по теореме Пифагора находят длину апофемы. Она будет равна 4,27 см.

Каждая боковая сторона имеет площадь 12,81 кв. см, а основание — 9 кв. см. Сложив площади всех граней, получим 60,24 кв. см. Посчитать площадь поверхности можно, рассмотрев развертку фигуры.

Источник

Формулы и свойства правильной четырехугольной пирамиды. Усеченная пирамида

Что такое пирамида в общем случае?

В геометрии под ней понимают объемную фигуру, получить которую можно, если соединить все вершины плоского многоугольника с одной единственной точкой, лежащей в другой плоскости, чем этот многоугольник. Рисунок ниже показывает 4 фигуры, которые удовлетворяют данному определению.

Вам будет интересно: Литовские статуты: даты и история изданий, регламент, хронология принятия статутов

Особым типом пирамид, которые от остальных представительниц класса отличаются идеальной симметрией, являются правильные пирамиды. Чтобы фигура была правильной, должны выполняться следующие два обязательных условия:

Отметим, что второе обязательное условие можно заменить иным: перпендикуляр, проведенный к основанию из вершины пирамиды (точка пересечения боковых треугольников), должен пересекать это основание в его геометрическом центре.

Правильная четырехугольная пирамида

Теперь перейдем к теме статьи и рассмотрим, какие свойства правильной четырехугольной пирамиды характеризуют ее. Сначала покажем на рисунке, как выглядит эта фигура.

Ее основание является квадратом. Боковые стороны представляют 4 одинаковых равнобедренных треугольника (они также могут быть равносторонними при определенном соотношении длины стороны квадрата и высоты фигуры). Опущенная из вершины пирамиды высота пересечет квадрат в его центре (точка пересечения диагоналей).

Эта пирамида имеет 5 граней (квадрат и четыре треугольника), 5 вершин (четыре из них принадлежат основанию) и 8 ребер. Ось симметрии четвертого порядка, проходящая через высоту пирамиды, переводит ее в саму себя путем поворота на 90o.

Египетские пирамиды в Гизе являются правильными четырехугольными.

Далее приведем формулы, позволяющие определить все характеристики этой фигуры.

Четыре основных линейных параметра

Начнем рассмотрение математических свойств правильной четырехугольной пирамиды с формул высоты, длины стороны основания, бокового ребра и апофемы. Сразу скажем, что все эти величины связаны друг с другом, поэтому достаточно знать только две из них, чтобы однозначно вычислить оставшиеся две.

Предположим, что известна высота h пирамиды и длина a стороны квадратного основания, тогда боковое ребро b будет равно:

Теперь приведем формулу для длины ab апофемы (высота треугольника, опущенная на сторону основания):

Очевидно, что боковое ребро b всегда больше апофемы ab.

Оба выражения можно применять для определения всех четырех линейных характеристик, если известны другие два параметра, например ab и h.

Площадь и объем фигуры

Эту формулу знает каждый школьник. Площадь боковой поверхности, которая образована четырьмя одинаковыми треугольниками, можно определить через апофему ab пирамиды так:

Если ab является неизвестной, то можно ее определить по формулам из предыдущего пункта через высоту h или ребро b.

Общая площадь поверхности рассматриваемой фигуры складывается из площадей So и Sb:

S = So + Sb = a2 + 2 × a × ab = a (a + 2 × ab)

Рассчитанная площадь всех граней пирамиды показана на рисунке ниже в виде ее развертки.

Описание свойств правильной четырехугольной пирамиды не будет полным, если не рассмотреть формулу для определения ее объема. Эта величина для рассматриваемой пирамиды вычисляется следующим образом:

То есть V равен третьей части произведения высоты фигуры на площадь ее основания.

Свойства правильной усеченной четырехугольной пирамиды

Получить эту фигуру можно из исходной пирамиды. Для этого необходимо срезать верхнюю часть пирамиды плоскостью. Оставшаяся под плоскостью среза фигура будет называться пирамидой усеченной.

Боковая поверхность усеченной фигуры образована не треугольниками, а равнобедренными трапециями.

Одним из важных свойств этой пирамиды является ее объем, который рассчитывается по формуле:

V = 1/3 × h × (So1 + So2 + √(So1 × So2))

Источник

Вы уже знакомы с пирамидой, т. е. многогранником, одна грань которого является многоугольником, а остальные грани-треугольники имеют общую вершину.

Треугольные грани пирамиды, имеющие общую вершину, называют боковыми гранями, а эту общую вершину — вершиной пирамиды. Ребра боковых граней, сходящиеся в вершине пирамиды, называют боковыми ребрами пирамиды. Многоугольник, которому не принадлежит вершина пирамиды, называют основанием пирамиды (рис. 107).

Пирамиды разделяют на треугольные, четырехугольные, пятиугольные и т. д. в зависимости от количества сторон их оснований. Пирамида, изображенная на рисунке 107, — пятиугольная, а на рисунке 108, — восьмиугольная. Треугольную пирамиду называют еще тетраэдром. У тетраэдра все грани являются треугольниками (рис. 109).

Перпендикуляр, проведенный из вершины пирамиды к плоскости ее основания, называется высотой пирамиды. На рисунке 108 показана высота

Плоскость, проходящая через два боковых ребра пирамиды, не принадлежащие одной грани, называется диагональной плоскостью, а сечение пирамиды диагональной плоскостью — диагональным сечением. На рисунке 111 показано диагональное сечение шестиугольной пирамиды.

Пирамида, основанием которой является правильный многоугольник, а основание ее высоты совпадает с центром этого многоугольника, называется правильной пирамидой (рис. 112).

Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины, называется апофемой пирамиды.

Отметим, что в правильной пирамиде:

Отметим, что если в пирамиде равны все:

Боковые грани составляют боковую поверхность пирамиды, а боковые грани вместе с основанием — полную поверхность пирамиды.

Вы знаете, что боковая поверхность правильной пирамиды равна произведению полупериметра ее основания и апофемы.

Теорема 1.

Если пирамиду пересечь плоскостью, параллельной основанию, то:

Используя рисунок 115, докажите эту теорему самостоятельно.

Секущая плоскость, параллельная основанию пирамиды, разделяет ее на две части (рис. 116). Одна из этих частей также является пирамидой, а другая — многогранником, который называется усеченной пирамидой.

Параллельные грани усеченной пирамиды называются ее основаниями (рис. 117). Основания усеченной пирамиды — подобные многоугольники, стороны которых попарно параллельны, поэтому ее боковые грани являются трапециями.

Высотой усеченной пирамиды называется перпендикуляр, проведенный из какой-либо точки одного основания пирамиды к плоскости другого основания.

Усеченная пирамида называется правильной, если она является частью правильной пирамиды. Высота боковой грани правильной усеченной пирамиды называется апофемой усеченной пирамиды. На рисунке 118 показана четырехугольная правильная усеченная пирамида и одна из ее апофем.

Теорема 2.

Боковая поверхность правильной усеченной пирамиды равна произведению полусуммы периметров ее оснований и апофемы:

Доказательство:

Пусть есть правильная -угольная усеченная пирамида (рис. 119). Пусть и — соответственно периметры нижнего и верхнего оснований и — апофема пирамиды.

Боковая поверхность данной пирамиды состоит из равных трапеций. Пусть и — основания одной из этих трапеций, тогда ее площадь равна . Учитывая, что боковая поверхность пирамиды состоит из таких трапеций, получим, что

Теперь установим формулу для вычисления объема пирамиды.

Тела, имеющие равные объемы, называются равновеликими.

Теорема 3.

Треугольные пирамиды с равновеликими основаниями и равными высотами равновелики.

Доказательство:

Пусть есть две треугольные пирамиды с равновеликими основаниями и равными высотами (рис. 120). Разделим высоты одной и другой пирамид на долей и через точки деления проведем плоскости, параллельные основаниям. Этим самым пирамиды разделяются на частей. Для каждой части первой пирамиды построим наибольшие по объему призмы, целиком содержащиеся в пирамиде, а для каждой части другой пирамиды — наименьшие по объему призмы, целиком содержащие эту часть.

Пусть и — объемы первой и второй пирамид, a и — суммарные объемы призм, построенных для этих пирамид. При счете от оснований пирамид призма в -й части первой пирамиды равновелика призме для -й части второй пирамиды, так как у этих призм равновелики основания и равные высоты. Поэтому объем больше объема на объем первой призмы, у которой основанием является основание второй пирамиды, а высота равна , где — высота пирамиды (см. рис. 120), т.е. , или , где — площадь основания пирамиды. Теперь учтем, что , a . Поэтому , или . При увеличении значения переменной значение выражения стремится к нулю, а это означает, что , или

Такие же рассуждения можно провести, если первую и вторую пирамиды поменять ролями. В результате получим неравенство

Из неравенств (1) и (2) следует, что .

Теорема 4.

Объем пирамиды равен третьей доле произведения площади ее основания и высоты:

Доказательство:

Пусть есть треугольная пирамида (рис. 121). Достроим ее до призмы с основанием (рис. 122). Отделим от призмы данную пирамиду, получится четырехугольная пирамида (рис. 122 и 123). Диагональная плоскость разделяет ее на две пирамиды и , у которых одна и та же высота, проведенная из вершины , и равные основания и . Поэтому, в соответствии с теоремой 3, пирамиды и равновелики. Сравним пирамиду с данной пирамидой . У них равные основания и и высоты, проведенные из вершин и , поэтому эти пирамиды также равновелики. Получается, что все три пирамиды , и равновелики. Поскольку объем призмы равен произведению площади основания и высоты призмы , которая равна высоте пирамиды , то объем пирамиды , т. е. третьей части призмы , равен третьей доле этого объема, т. е. .

Пусть теперь есть произвольная пирамида (рис. 124). Через диагонали основания , выходящие из одной вершины , проведем диагональные сечения, они разделят данную пирамиду на треугольные пирамиды . Поскольку все они имеют общую высоту , то

Пример:

Найдем объем усеченной пирамиды, нижнее и верхнее основания которой имеют площади и , а высота равна (рис. 125).

Для этого достроим данную усеченную пирамиду до полной. Пусть высота дополнительной пирамиды равна . Искомый объем можно найти как разность объемов полной и дополнительной пирамид:

Чтобы найти высоту , используем установленное в теореме 1 утверждение о том, что площади сечений пирамиды относятся как квадраты их расстояний от вершины:

Решим это уравнение, учитывая, что и — положительные числа:

Таким образом, объем усеченной пирамиды равен третьей доле произведения высоты пирамиды и суммы площадей и оснований пирамиды и их среднего геометрического .

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Источник