Полная механическая энергия системы частиц сохраняется, если на частицы системы действуют только потенциальные силы, как внутренние, так и внешние.
В тех случаях, когда на частицы системы действуют непотенциальные силы, полная механическая энергия не сохраняется, поэтому закон сохранения механической энергии не выполняется. Механическая энергия при этом переходит в другие виды энергии в равном количестве. Другими словами, ни в каких ситуациях энергия не возникает и не исчезает, она переходит из одного вида в другой.
3.8. Примеры применения законов сохранения
В механике часто встречаются задачи, в которых рассматривается движение одной частицы в потенциальном силовом поле. При этом потенциальная энергия частицы зависит от ее положения в поле Если изображать на графике зависимость потенциальной энергии от одной переменной, например от x, считая другие постоянными, то эта зависимость называется потенциальной кривой. Информация о виде потенциальной кривой позволяет получить очень ценные сведения о характере движения частицы в силовом поле, не решая уравнений ее движения.
Для простоты рассмотрим одномерный случай, когда U=U(x), (рис. 3.9). Тогда из закона сохранения механической энергии следует, что
(3.41)
(3.42)
Пусть полная механическая энергия Е0 такова, как изображено на рис. 3.9.
Движение частицы возможно в областях: для которых выполнено условие (3.42). Проанализируем более подробно результаты, следующие из (3.41) и (3.42).
Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет
Особый интерес для физики представляет случай, когда сила, действующая на частицу, определяется положением частицы в пространстве. Математически это означает, что каждой точке пространства ставится в соответствие вектор Р, представляющий силу, действующую на частицу, если она окажется в этой точке. Математик
скажет, что задано векторное поле Р. Физик скажет, что частица находится в некотором поле (физическое понятие), с которым она
взаимодействует, и это взаимодействие характеризуется силой Р, зависящей от характеристик поля в точке, где находится частица.
Пусть задано векторное поле Р = Р(р) (точка задается радиусом-
вектором г, в этой точке задан вектор Р). Рассмотрим две точки А и В в пространстве и некоторую кривую /, соединяющую эти точки. Зададим направление вдоль кривой, например от точки А к точке В.
Поскольку вектор Р задан в каждой точке пространства, он определен в каждой точке кривой. Разобьем кривую / на малые элементы
Д/, каждому элементу поставим в соответствие вектор Д/ = тД/, т — единичный касательный вектор к кривой в заданном направлении.
Для каждого элемента вычислим скалярное произведение Р Д/, значение Р берется в начальной точке элемента. Вычислим сумму
для всех элементов кривой. Предел такой суммы при все более мелком разбиении называется криволинейным интегралом:
Пока это были математические упражнения. Если векторное поле
Р представляет поле сил, действующих на частицу, смысл выражения (2.93) ясен: это работа, совершаемая силовым полем при перемещении частицы вдоль кривой / из точки А в точку В. Эта работа зависит, вообще говоря, от начальной и конечной точки и от вида кривой.
Однако существуют такие векторные поля, для которых интеграл вида (2.93) не зависит от вида кривой, соединяющей точки А и В, а зависит только от положения этих точек. Ясно, что поле, удовлетворяющее такому требованию, должно обладать специальной структурой. Сконструируем такое поле.
Пусть мы имеем некоторую скалярную функцию от переменных х,у,1‘- № = Щх, у, I) (каждой точке пространства ставится в соответствие некоторое число). Для функции от нескольких переменных определены так называемые частные производные по этим переменным. Например, для функции И»частная производная по х обозначается и вычисляется как обычная производная по х, а остальные переменные при этом считаются постоянными. Аналогично вычисляются производные по другим переменным. Приведем наглядный пример. Пусть функция Щх, у, г) представляет температуру воздуха в разных точках пространства, и мы хотим экспериментально найти частную производную по х в некоторой точке (х, у, г). Проведем через данную точку прямую, параллельную оси х. Для всех точек этой прямой координаты у, I постоянны. Будем измерять температуру только в точках, лежащих на этой прямой. Очевидно, она будет функцией от х. Найдем производную функции Щх, у, г) по х. Это и будет частная производная.
Рассмотрим значения функции IV в соседних точках: (х, у, г) и (х + с!х, у + ду, I + сЦ). Вычислим разность
Величина д ^определяет изменение функции И^при малом смещении из точки (х, у, г). Можно показать, что
Величина называется полным дифференциалом функции IV.
Отправляясь от скалярного поля Щх, у> г), построим векторное поле
Можно показать, что выражение в скобках в правой части равенства (2.95) является вектором, т. е. ведет себя надлежащим образом при преобразованиях координат. Этот вектор называется градиентом функции ЩХу у, I) и обозначается VIV. Этому обозначению можно придать смысл, введя векторный дифференциальный оператор
Вектор градиента будет строиться тогда формальным «умножением» этого оператора на функцию, градиент которой мы определяем. Формула (2.95) принимает вид
(Знак «минус» в правой части выбран из соображений удобства, и смысл этого выбора прояснится далее.)
А теперь то, ради чего все это делалось. Векторное поле (2.97) таково, что интеграл
вдоль кривой, соединяющей точки А и В, не зависит от вида кривой и равен разности значений функции IV в точках А и В.
Доказательство. Место точек, в которых функция IVпринимает определенное значение, скажем определяется уравнением Щху у у г) = IVх. Это уравнение задает некоторую поверхность (если IV — температура, то точки с одинаковой температурой будут располагаться на некоторой поверхности). Задаваясь различными значениями IV, получим семейство непересекающихся (это важно!) поверхностей. Точка А лежит на одной из них, точка В — на другой. Пусть значения функции IV на этих поверхностях IV(А) и IV(В). Между этими поверхностями лежат поверхности, отвечающие промежуточным значениям IV. Проведем кривую из точки А в точку В. Она пронзит эти промежуточные поверхности. Рассмотрим две соседине из них. Они вырежут из кривой отрезок Л/. Ему соответствует вектор
Скалярное произведение
дает разность значений функции IV на концах вектора Л/ (см. формулу (2.94)), т. е. между соседними поверхностями. Перемещаясь вдоль кривой от точки А до точки В и суммируя эти разности, получим
по какой бы кривой мы ни перемещались. Это доказывает формулу (2.98).
от начальной и конечной точек кривой и не зависит от вида кривой.. Верно и обратное: если упомянутый интеграл не зависит от вида
Это были математические факты. Вернемся к механике. Оказывается, существуют такие поля сил, при перемещении в которых совершаемая этими силами работа не зависит от формы траектории, а зависит только от положения начальной и конечной точки. Такие поля сил называются потенциальными.
Пример. Сила тяжести. Пусть ось г направлена вертикально вверх.
На всякое тело у поверхности земли действует сила Р = -mgk. Эта сила не зависит от координат (но задана в каждой точке). Такое поле называется однородным. Вычислим работу этой силы при перемещении частицы из точки (*,, у,, г,) в точку (х2, у2, ^).
При вычислении было учтено, что сумма малых перемещений — это полное перемещение, т. е. вектор, идущий из начальной точки в конечную. Видим, что работа действительно не зависит от пути, а зависит только от высоты начальной и конечной точки.
Пусть частица движется в потенциальном поле. Это значит, что
— некоторая скалярная функция.
Уравнение (2.88) дает
(Интеграл вычисляется вдоль траектории, индексами 1, 2 отмечены две точки траектории, учтена формула (2.98).) Равенство (2.102) означает, что для любых двух точек на траектории частицы
Здесь Ук — значение кинетической энергии частицы в данной точке, а Уп — значение функции Щх, у, в этой точке.
Если частица движется в потенциальном поле, величина Е = IV. + Уп не изменяется. Скалярная функция Уп называется потенциальной энергией частицы, величина Е тогда представляет полную энергию частицы. Приведенное утверждение выражает закон сохранения механической энергии.
Теперь понятно, почему в формуле (2.97) был выбран знак «минус». Благодаря этому выбору сохраняющаяся величина Е представляется суммой, а не разностью двух величин. Вектор градиента направлен в сторону быстрейшего возрастания функции. Таким образом, сила направлена в сторону быстрейшего убывания потенциальной энергии.
Если на частицу помимо потенциальной действует непотенциальная сила, полная механическая энергия не сохраняется. Именно, если Р = + Р вместо равенства (2.102) будем иметь
Изменение механической энергии равно работе непотенциальной силы.
В заключение этого пункта отмстим, что понятие потенциальной энергии появляется не только в случае, когда частица находится в некотором физическом поле (гравитационном или электрическом). Зависимость силы от координаты при одномерном движении (когда положение частицы задается одним числом) всегда приводит к закону сохранения вида (2.103), а такая зависимость может быть реализована чисто механическим способом, например с помощью пружины. Мы еще вернемся к этому вопросу далее.
Задача 2.15. Найти градиент модуля радиуса-вектора.
Решение. Функция /(х, у, г) = |г| определяет, очевидно, скалярное поле (она ставит в соответствие каждой точке пространства число — расстояние до этой точки от начала координат). Поскольку нахождение градиента состоит в вычислении частных производных по координатам, нужно функцию выразить через координаты явно. Имеем:
остальные производные — аналогично. Таким образом,
Это единичный вектор в направлении ради уса-вектора.
Задача 2.16. Найти градиент функции
Решение. Имеем:
Задача 2.17. Чему равна потенциальная энергия частицы в гравитационном поле у поверхности земли?
Решение. Векторное поле F = -mg к потенциально. Это означает, что оно должно быть градиентом некоторого скалярного поля, которое нам нужно найти. Решение предыдущей задачи подсказывает, что вектор к есть градиент функции /(х, у, z) — Z- Легко видеть, что искомое скалярное поле будет fV(x,у,z) = mgz+ const. Константа появилась потому, что градиент любой константы равен нулю, и при любой константе мы будем получать правильное выражение для силы. Это важное обстоятельство: потенциальная энергия определена с точностью до произвольной константы. Это математический факт. Физически ему соответствует то, что нет способа измерить потенциальную энергию. Потенциальная энергия ненаблюдаема. Измерить можно лишь разность потенциальных энергий, и только эта разность имеет физический смысл. Ноль отсчета потенциальной энергии устанавливается произвольно.
Задача 2.18. Потенциальная энергия заряженной частицы в электростатическом поле равна Wn = до, где q — заряд частицы, ср — потенциал электрического поля. Какую скорость будет иметь электрон, пройдя в электрическом поле разность потенциалов 1 млн вольт?
13 Дж. Видим, что кинетическая энергия электрона вдвое больше энергии покоя. Из
Особый интерес для физики представляет случай, когда сила, действующая на частицу, определяется положением частицы в пространстве. Математически это означает, что каждой точке пространства ставится в соответствие вектор F, представляющий силу, действующую на частицу, если она окажется в этой точке. Математик
скажет, что задано векторное поле F. Физик скажет, что частица находится в некотором поле (физическое понятие), с которым она
взаимодействует, и это взаимодействие характеризуется силой F, зависящей от характеристик поля в точке, где находится частица.
Пусть задано векторное поле F = F(r) (точка задается радиусом-
вектором г, в этой точке задан вектор F). Рассмотрим две точки А и В в пространстве и некоторую кривую /, соединяющую эти точки. Зададим направление вдоль кривой, например от точки А к точке В.
Поскольку вектор F задан в каждой точке пространства, он определен в каждой точке кривой. Разобьем кривую I на малые элементы
Д/, каждому элементу поставим в соответствие вектор Д/ = тД/, т — единичный касательный вектор к кривой в заданном направлении.
для всех элементов кривой. Предел такой суммы при все более мелком разбиении называется криволинейным интегралом:
Пока это были математические упражнения. Если векторное поле
F представляет поле сил, действующих на частицу, смысл выражения (2.93) ясен: это работа, совершаемая силовым полем при перемещении частицы вдоль кривой / из точки А в точку В. Эта работа зависит, вообще говоря, от начальной и конечной точки и от вида кривой.
Однако существуют такие векторные поля, для которых интеграл вида (2.93) не зависит от вида кривой, соединяющей точки А и В, а зависит только от положения этих точек. Ясно, что поле, удовлетворяющее такому требованию, должно обладать специальной структурой. Сконструируем такое поле.
Пусть мы имеем некоторую скалярную функцию от переменных х, у, z ‘? W= Щх, у, z) (каждой точке пространства ставится в соответствие некоторое число). Для функции от нескольких переменных определены так называемые частные производные по этим переменным. Например, для функции Wчастная производная по х обозначается и вычисляется как обычная производ- дх
ная по х, а остальные переменные при этом считаются постоянными. Аналогично вычисляются производные по другим переменным. Приведем наглядный пример. Пусть функция Щх, у,z)представляет температуру воздуха в разных точках пространства, и мы хотим экспериментально найти частную производную по х в некоторой точке (х, у, г). Проведем через данную точку прямую, параллельную оси х. Для всех точек этой прямой координаты у, z постоянны. Будем измерять температуру только в точках, лежащих на этой прямой. Очевидно, она будет функцией от х. Найдем производную функции Щх, у,z) по х. Это и будет частная производная.
Рассмотрим значения функции W в соседних точках: (х, у,z) и (х + dx, у + dy,z + dz). Вычислим разность
Величина d ^определяет изменение функции Wпри малом смещении из точки (х, у, г). Можно показать, что
Величина d W называется полным дифференциалом функции W.
Отправляясь от скалярного поля Щх, у, z), построим векторное поле
Можно показать, что выражение в скобках в правой части равенства (2.95) является вектором, т. е. ведет себя надлежащим образом при преобразованиях координат. Этот вектор называется градиентом функции Щх, у, z) и обозначается V W. Этому обозначению можно придать смысл, введя векторный дифференциальный оператор
Вектор градиента будет строиться тогда формальным «умножением» этого оператора на функцию, градиент которой мы определяем. Формула (2.95) принимает вид
(Знак «минус» в правой части выбран из соображений удобства, и смысл этого выбора прояснится далее.)
А теперь то, ради чего все это делалось. Векторное поле (2.97) таково, что интеграл
вдоль кривой, соединяющей точки А и В, не зависит от вида кривой и равен разности значений функции W в точках А и В.
Доказательство. Место точек, в которых функция Wпринимает определенное значение, скажем Щ, определяется уравнением Щх, у, z) = Щ. Это уравнение задает некоторую поверхность (если W — температура, то точки с одинаковой температурой будут располагаться на некоторой поверхности). Задаваясь различными значениями Щ получим семейство непересекающихся (это важно!) поверхностей. Точка А лежит на одной из них, точка В — на другой. Пусть значения функции W на этих поверхностях W(A) и V(B). Между этими поверхностями лежат поверхности, отвечающие промежуточным значениям W. Проведем кривую из точки А в точку В. Она пронзит эти промежуточные поверхности. Рассмотрим две соседине из них. Они вырежут из кривой отрезок А/. Ему соответствует вектор
дает разность значений функции W на концах вектора А/ (см. формулу (2.94)), т. е. между соседними поверхностями. Перемещаясь вдоль кривой от точки А до точки В и суммируя эти разности, получим
по какой бы кривой мы ни перемещались. Это доказывает формулу (2.98).
от начальной и конечной точек кривой и не зависит от вида кривой.. Верно и обратное: если упомянутый интеграл не зависит от вида
Это были математические факты. Вернемся к механике. Оказывается, существуют такие поля сил, при перемещении в которых совершаемая этими силами работа не зависит от формы траектории, а зависит только от положения начальной и конечной точки. Такие поля сил называются потенциальными.
Пример. Сила тяжести. Пусть ось z направлена вертикально вверх.
На всякое тело у поверхности земли действует сила F = -mgk. Эта сила не зависит от координат (но задана в каждой точке). Такое поле называется однородным. Вычислим работу этой силы при перемещении частицы из точки (*,, у,, г,) в точку (xv yv zj- Имеем:
При вычислении было учтено, что сумма малых перемещений — это полное перемещение, т. е. вектор, идущий из начальной точки в конечную. Видим, что работа действительно не зависит от пути, а зависит только от высоты начальной и конечной точки.
Пусть частица движется в потенциальном поле. Это значит, что
Уравнение (2.88) дает
(Интеграл вычисляется вдоль траектории, индексами 1, 2 отмечены две точки траектории, учтена формула (2.98).) Равенство (2.102) означает, что для любых двух точек на траектории частицы
Здесь WK — значение кинетической энергии частицы в данной точке, a Wn — значение функции Щх, у, z) в этой точке.
Если частица движется в потенциальном поле, величина Е = WK + Wn не изменяется. Скалярная функция Wn называется потенциальной энергией частицы, величина Е тогда представляет полную энергию частицы. Приведенное утверждение выражает закон сохранения механической энергии.
Теперь понятно, почему в формуле (2.97) был выбран знак «минус». Благодаря этому выбору сохраняющаяся величина Е представляется суммой, а не разностью двух величин. Вектор градиента направлен в сторону быстрейшего возрастания функции. Таким образом, сила направлена в сторону быстрейшего убывания потенциальной энергии.
Изменение механической энергии равно работе непотенциальной силы.
В заключение этого пункта отметим, что понятие потенциальной энергии появляется не только в случае, когда частица находится в некотором физическом поле (гравитационном или электрическом). Зависимость силы от координаты при одномерном движении (когда положение частицы задается одним числом) всегда приводит к закону сохранения вида (2.103), а такая зависимость может быть реализована чисто механическим способом, например с помощью пружины. Мы еще вернемся к этому вопросу далее.
Задача 2.15. Найти градиент модуля радиуса-вектора.
Решение. Функция /(х, у, z)= г определяет, очевидно, скалярное поле (она ставит в соответствие каждой точке пространства число — расстояние до этой точки от начала координат). Поскольку нахождение градиента состоит в вычислении частных производных по координатам, нужно функцию выразить через координаты явно. Имеем:
остальные производные — аналогично. Таким образом,
Это единичный вектор в направлении радиуса-вектора.
Задача 2.16. Найти градиент функции/(х, у, z) — х.
Решение. Имеем:
Задача 2.17. Чему равна потенциальная энергия частицы в гравитационном поле у поверхности земли?
Решение. Векторное поле F = -mgk потенциально. Это означает, что оно должно быть градиентом некоторого скалярного поля, которое нам нужно найти. Решение предыдущей задачи подсказывает, что вектор к есть градиент функции /(х, у, z) = Z- Легко видеть, что искомое скалярное поле будет Ж(х, у, z) — mgz + const. Константа появилась потому, что градиент любой константы равен нулю, и при любой константе мы будем получать правильное выражение для силы. Это важное обстоятельство: потенциальная энергия определена с точностью до произвольной константы. Это математический факт. Физически ему соответствует то, что нет способа измерить потенциальную энергию. Потенциальная энергия ненаблюдаема. Измерить можно лишь разность потенциальных энергий, и только эта разность имеет физический смысл. Ноль отсчета потенциальной энергии устанавливается произвольно.
Задача 2.18. Потенциальная энергия заряженной частицы в электростатическом поле равна Жп= qq>, где q — заряд частицы, ср — потенциал электрического поля. Какую скорость будет иметь электрон, пройдя в электрическом поле разность потенциалов 1 млн вольт?
Решение. Заряд электрона q = —е. Формула (2.103) дает Жк1 — ар, = = Жк2 — ар2. Начальная кинетическая энергия электрона Ж, = 0.
Если изображать на графике зависимость потенциальной энергии от одной переменной, например от x, считая другие постоянными, то эта зависимость называется потенциальной кривой. Информация о виде потенциальной кривой позволяет получить очень ценные сведения о характере движения частицы в силовом поле, не решая уравнений ее движения.
рассмотрим одномерный случай, когда U=U(x), (рис. 3.9). Тогда из закона сохранения механической энергии следует, что
(3.41)
(3.42)
для которых выполнено условие (3.42). Проанализируем более подробно результаты, следующие из (3.41) и (3.42).
и вычисляется как обычная производная по х, а остальные переменные при этом считаются постоянными. Аналогично вычисляются производные по другим переменным. Приведем наглядный пример. Пусть функция Щх, у, г) представляет температуру воздуха в разных точках пространства, и мы хотим экспериментально найти частную производную по х в некоторой точке (х, у, г). Проведем через данную точку прямую, параллельную оси х. Для всех точек этой прямой координаты у, I постоянны. Будем измерять температуру только в точках, лежащих на этой прямой. Очевидно, она будет функцией от х. Найдем производную функции Щх, у, г) по х. Это и будет частная производная.
— некоторая скалярная функция.
, откуда V = 0,94с.
