Что значит универсальное множество

ХНУРЭ дистанционное обучение

Новости сайта

Студентам, хто досі не має доступ до необхідних, за розкладом, навчальних дисциплін.

Шановні студенти ХНУРЕ.

Оголошення для тих, хто досі не має доступ до необхідних, за розкладом, навчальних дисциплін.

Ми не можемо підключати студентів до навчальних дисциплін на вимогу студента.
Ми підключаємо студентів тільки за заявкою викладача.

Тому, будь ласка, зверніться до викладачів тих курсів, доступу до яких у вас немає, щоб вони написали нам лист зі списком студентів, яких потрібно додати на їх дисципліну.

Внимание первокурсников!

Обратите внимание, что хотя логины для почты и системы “ХНУРЭ Дистанционное обучение” одинаковые, но пароли разные!

Новый пароль должен быть не менее 8 символов, в нем должны быть минимум 1 цифра, 1 буква в нижнем регистре и 1 буква в верхнем регистре.

Забыли или потеряли пароль?

Если Вы были зарегистрированы в нашей системе и помните свой логин (он же адрес электронной почты в домене @nure.ua), на который был зарегистрирован ваш аккаунт, воспользуйтесь системой автоматического восстановления пароля:

Восстановить пароль от dl.nure.ua

Восстановить пароль от почты можно в комнате 282 по студенческому билету.

ВНИМАНИЕ! сотрудники ЦТДО не работают со студентами напрямую, а только через ответственных за ДО. Все обращения в очную или при помощи писем на адреса сотрудников – обрабатываться не будут.

Источник

Универсальное множество

В различных конкретных случаях роль универсального множества играют различные множества. Так, при рассмотрении студентов института универсальным (полным) множеством является вся совокупность студентов. Отдельные группы (факультеты) можно рассматривать как подмножества. В некоторых случаях универсальным множеством может являться и отдельная группа, в которой имеют место свои подмножества (отличники; студенты, проживающие в общежитии; юноши; девушки и т.п.).

Вполне очевидно, что для универсального множества справедливы следующие соотношения:

и 1.19

Универсальное множество удобно изображать графически в виде множества точек прямоугольника. Различные области внутри прямоугольника будут означать различные подмножества универсального множества. Изображение множества в виде областей в прямоугольнике, представляющем универсальное множество, называют диаграммой Эйлера-Венна.

Источник

Универсальное множество. Дополнение множества до универсального множества.

Универсальное множество. Дополнение множества до универсального множества.

В конкретных математических областях бывает полезно ввести в рассмотрение столь обширное множество I, что все рассматриваемые множества окажутся его подмножествами. Такое множество I принято называть универсальным множеством или универсумом.Если выбрано некоторое универсальное множество I, то возникает новая теоретико-множественная операция — дополнение. Для всякого множества М (при этом подразумевается, что М — подмножество универсального множества I его дополнение, обозначаемое через М, — это множество всех элементов универсума, которые не принадлежат множеству М:

Таким образом, дополнение — это частный случай разности:

M = I \ M,
все отличие здесь состоит в том, что разность берется относительно фиксированного множества, содержащего все множества, которые в данной связи рассматриваются.

4. Объединение, пересечение и вычитание множеств.

а)Пересечением множеств М и N называют множество тех объектов, которые принадлежат множествам М и N одновременно.

Обозначение: М N = <х|х М и х N>.

б) Объединением множеств М и N называют множество тех элементов, которые содержатся по крайней мере в одном из множеств М или N. Обозначение: M N = <х | х М или х N>.

в) Разностью множеств М и N называют множество тех элементов, которые принадлежат множеству М и не принадлежат множеству N. Обозначение: М \ N. = <х | х М и х N>.

Свойства операций над множествами.

4. Поглощение A U A = A, A n A = A.

5. Существование универсальных границ. А U 0 = A A n 0 = 0 A u U = U A n U = A

6. Двойное дополнение A = A

7. A U A = U A n A = 0

Отношения эквивалентности и порядка.

Решение рекуррентных соотношений. Примеры.

Производящие функции.

Пусть — произвольная (бесконечная) последовательность чисел (целых, рациональных, вещественных или комплексных). Производящей функцией (производящим рядом) называется запись вида Замечание. Не следует думать, что мы можем сказать, чему равно значение производящей функции в точке . Переменная является формальной, и ряд смысла не имеет. Единственное, что мы можем сказать про функцию , это что ее значение в нуле равно . Если, однако, производящий ряд является полиномом (т.е. все его коэффициенты кроме конечного числа равны нулю), то значение этого ряда в любой точке выражается конечной суммой и поэтому имеет смысл.

Маршруты, пути.

32.Матричное задание графов.

Предположим, что все вершины и все ребра неориентиронеориентированного графа или все вершины и все дуги (включая петли) ориентированного графа пронумерованы начиная с единицы.

Граф (неориентированный или ориентированный) может быть представлен в виде матрицы типа nхm, где n — число вершин,a m — число ребер (или дуг). Для неориентированного графа элементы этой матрицы задаются следующим образом: .

Более эффективной матричной структурой, представляющей граф, служит матрица смежности вершин, или булева матрица графа. Это квадратная матрица В порядка n, элементы которой определяют следующим образом:

для неориентированного графа Заметим, что в k-й строке матрицы ориентированного граграфа количество единиц равно полустепени исхода dg+ v_k вершины v_k, а количество единиц в k-м столбце dg- v_k — полустепени захода Для неориентированного графа матрица смежности вершин симметрическая.

Поиск маршрутов в графах.

Алгоритм (Тэрри) поиска пути в связном графе, из вершины vi в вершину vj, где vi vj.

Исходя из вершины vi осуществлять последовательный переход от каждой достигнутой вершины к смежной ей вершине, по следующим правилам:

1. идя по произвольной дуге, всякий раз отмечать направление, в котором оно было пройдено;

2. исходя из некоторой вершины vk, всегда следовать только по дуге, которое не было пройдено или было пройдено в противоположном направлении;

3. для всякой вершины vk, отличной от vi, отмечать первую заходящую в vk дугу, если вершина vk встречается в первый раз;

4. исходя из некоторой вершины, vk, отличной от вершины vi, по первой заходящей в vk дуге идти лишь тогда, когда нет других возможностей.

Эйлеровы графы и циклы.

Эйлеровым путем в графе называется путь, содержащий все ребра графа. Эйлеровым циклом в графе называется цикл, содержащий все ребра графа. Связный граф называется эйлеровым, если существует замкнутая цепь, проходящая через каждое его ребро. Такая цепь называется эйлеровой цепью. Отметим, что в этом определении требуется, чтобы каждое ребро проходилось только один раз. Если снять ограничение на замкнутость цепи, то граф называется полуэйлеровым, при этом каждый эйлеров граф будет полуэйлеровым. Если граф обладает эйлеровым циклом, то он является связным, а все его вершины — четными.

39. Гамильтоновы графы и циклы.

Планарные графы.

Граф называется плоским, если никакие два его ребра не пересекаются. Граф называется планарным, если он изоморфен некоторому плоскому графу. Любой планарный граф допускает плоское представление, в котором все ребра являются отрезками. Любой граф укладывается в трехмерном пространстве , т.е. любой граф можно изобразить в трехмерном пространстве так, чтобы его ребра не пересекались.

Принцип Дирихле.

Самая популярная формулировка принципа Дирихле такова: «Если в n клетках сидит m зайцев, причем m > n, то хотя бы в одной клетке сидят по крайней мере два зайца». На первый взгляд даже непонятно, почему это совершенно очевидное замечание является весьма эффективным методом решения задач. Дело в том, что в каждой конкретной задаче нелегко бывает понять, что же здесь «зайцы» и «клетки» и почему зайцев больше, чем клеток. Выбор зайцев и клеток часто неочевиден; далеко не всегда по виду задачи можно определить, что следует воспользоваться принципом Дирихле. А главное, этот метод дает неконструктивное доказательство (мы, естественно, не можем сказать, в какой именно клетке сидят два зайца, а знаем только, что такая клетка есть), а попытка дать конструктивное доказательство, т. е. доказательство путем явного построения или указания требуемого объекта, может привести к гораздо большим трудностям. Некоторые задачи решаются также методами, в какой-то мере аналогичными принципу Дирихле. Сформулируем соответствующие утверждения (все они легко доказываются методом от противного).

а) Если на отрезке длиной 1 расположено несколько отрезков. сумма длин которых больше 1, то по крайней мере два из них имеют общую точку.

б) Если на окружности радиуса 1 расположено несколько дуг, сумма длин которых больше 2, то по крайней мере две из них имеют общую точку.

в) Если внутри фигуры площадью 1 расположено несколько фигур, сумма площадей которых больше 1, то по крайней мере две из них имеют общую точку.

44.Сущность теории Рамсея. Теорема Рамсея. Числа Рамсея.

Теорема Рамсея гарантирует существование чисел Рамсея для любых k и m. Таким образом можно говорить о содержании в бесконечном графе высокоорганизованной структуры любой сложности. Но об этом позже (быть может). А пока хочется остановиться на числах Рамсея. Для удобства перефразируем определение: Число Рамсея R(k, m) это наименьшее число n такое, что в любом полном графе с n вершинами, ребра которого раскрашены в красный и синий цвета, найдется либо подграф с k вершинами, все ребра которого окрашены в красный цвет, либо подграф с m вершинами, все ребра которого окрашены в синий цвет. Чтобы понять сложность вычисления чисел Рамсея, то следует отметить что число R(5, 5) до сих пор не найдено. Можно заметить три очевидных факта, касающихся чисел Рамсея:
1. R(k, m) = R(m, k)
2. R(1, m) = 1
3. R(2, m) = m
Остальные числа вычисляются индивидуально.

Приложение теоремы Рамсея. Теорема Ван дер Вардена.

Головоломка о вечеринке представляет собой задачу, типичную для приложений теории Рамсея. Какое количество людей достаточно для того, чтобы образовать группу, в которой всегда окажется либо четверо людей знакомых друг с другом, либо четверо, друг с другом незнакомых? На этом рисунке гости представлены точками. Каждое красное ребро на этом графе соединяет гостей, знакомых друг с другом, а каждое синее — незнакомых. В группе из 17 точек, изображённых на рисунке, невозможно найти четыре точки для которых сеть соединяющих их рёбер была бы целиком красной или целиком синей Поэтому требуется более 17 человек, чтобы среди них обязательно оказалось либо четверо знакомых, либо четверо незнакомых друг с другом. На самом деле во всякой группе из 18 человек всегда найдутся либо четверо знакомых, либо четверо незнакомых друг с другом. Если множество всех натуральных чисел любым способом разбито на конечное число классов, то хотя бы один из этих классов содержит сколь угодно длинную арифметическую прогрессии.

Этот удивительный по простоте формулировки и очень нетривиальный по доказательству результат выдающийся российский математик и педагог Александр Яковлевич Хинчин (19.07.1894-18.11.1959) назвал одной из жемчужин теории чисел. Знаменитая теорема Ван дер Вардена утверждает, что для любых натуральных чисел n>2, r>1 найдется такое минимальное натуральное число W(n,r), что в любой раскраске множества натуральных чисел <1. W(n,r)>в r цветов найдется одноцветная арифметическая прогрессия длины n. Величину W(n,r) из теоремы Ван дер Вардена принято называть функцией Ван дер Вардена.

Универсальное множество. Дополнение множества до универсального множества.

В конкретных математических областях бывает полезно ввести в рассмотрение столь обширное множество I, что все рассматриваемые множества окажутся его подмножествами. Такое множество I принято называть универсальным множеством или универсумом.Если выбрано некоторое универсальное множество I, то возникает новая теоретико-множественная операция — дополнение. Для всякого множества М (при этом подразумевается, что М — подмножество универсального множества I его дополнение, обозначаемое через М, — это множество всех элементов универсума, которые не принадлежат множеству М:

Таким образом, дополнение — это частный случай разности:

M = I \ M,
все отличие здесь состоит в том, что разность берется относительно фиксированного множества, содержащего все множества, которые в данной связи рассматриваются.

4. Объединение, пересечение и вычитание множеств.

а)Пересечением множеств М и N называют множество тех объектов, которые принадлежат множествам М и N одновременно.

Обозначение: М N = <х|х М и х N>.

б) Объединением множеств М и N называют множество тех элементов, которые содержатся по крайней мере в одном из множеств М или N. Обозначение: M N = <х | х М или х N>.

в) Разностью множеств М и N называют множество тех элементов, которые принадлежат множеству М и не принадлежат множеству N. Обозначение: М \ N. = <х | х М и х N>.

Свойства операций над множествами.

4. Поглощение A U A = A, A n A = A.

5. Существование универсальных границ. А U 0 = A A n 0 = 0 A u U = U A n U = A

6. Двойное дополнение A = A

7. A U A = U A n A = 0

Источник

УНИВЕРСАЛЬНОЕ МНОЖЕСТВО

Смотреть что такое «УНИВЕРСАЛЬНОЕ МНОЖЕСТВО» в других словарях:

универсальное множество — — [http://www.iks media.ru/glossary/index.html?glossid=2400324] Тематики электросвязь, основные понятия EN universal set … Справочник технического переводчика

УНИВЕРСАЛЬНОЕ МНОЖЕСТВО — универсум, нек рое множество, фиксированное в рамках данной математич. теории и содержащее в качестве элементов все объекты, рассматриваемые в этой теории. Напр., для элементарной арифметики У. м. является множество всех целых чисел. Особую роль… … Математическая энциклопедия

Дизъюнктивно-универсальное множество — Определение Дизъюнктивно универсальное множество (ДУМ) G порядка n и ранга p это множество функций алгебры логики такое, что для любой существует набор функций такой, что … Википедия

Множество — У этого термина существуют и другие значения, см. Множество (значения). Запрос «Целое» перенаправляется сюда; о типе данных в программировании см. Целое (тип данных). Множество одно из ключевых понятий математики, в частности, теории… … Википедия

ПРОЕКТИВНОЕ МНОЖЕСТВО — множество, к рое может быть получено из борелевских множеств повторным применением операций проектирования и перехода к дополнению. П. м. классифицируются по классам, образующим проективную иерархию. Пусть I=ww бэровское пространство… … Математическая энциклопедия

Нечёткое множество — Эту страницу предлагается объединить с Теория нечётких множеств … Википедия

Нечеткое множество — Нечёткое (или размытое, расплывчатое, туманное, пушистое) множество понятие, введённое Лотфи Заде в 1965 г. в статье «Fuzzy Sets» (нечёткие множества) в журнале Information and Control [1]. Л. Заде расширил классическое канторовское понятие… … Википедия

Пушистое множество — Нечёткое (или размытое, расплывчатое, туманное, пушистое) множество понятие, введённое Лотфи Заде в 1965 г. в статье «Fuzzy Sets» (нечёткие множества) в журнале Information and Control [1]. Л. Заде расширил классическое канторовское понятие… … Википедия

Источник

Словари

Под множеством понимается совокупность каких-либо объектов, называемых элементами множества. Теория множеств занимается изучением свойств как произвольных множеств, так и множеств специального вида независимо от природы образующих их элементов. Терминология и многие результаты этой теории широко используются в математике, например в математическом анализе, геометрии и теории вероятностей.

Сравнение множеств. Если из элементов двух множеств можно составить пары таким образом, чтобы каждому элементу первого множества соответствовал определенный элемент второго множества, а каждому элементу второго множества соответствовал один и только один элемент первого множества, то говорят, что между такими двумя множествами установлено взаимно однозначное соответствие. Чтобы установить взаимно однозначное соответствие, необязательно пересчитывать элементы множеств. Например, мы знаем, что американские штаты находятся во взаимно однозначном соответствии с их столицами, хотя можем оставаться в неведении относительно общего их числа. Мы могли бы утверждать: «Столиц штатов ровно столько, сколько штатов». Между двумя конечными множествами можно установить взаимно однозначное соответствие тогда и только тогда, когда оба множества состоят из одного и того же числа элементов. В теории множеств аналогичные утверждения используются, даже когда множества содержат бесконечно много элементов. Если между двумя множествами можно установить взаимно однозначное соответствие, то говорят, что они имеют одинаковое количество элементов или равномощны. Если же при любом способе образования пар некоторые элементы из первого множества остаются без пары, то говорят, что первое множество содержит больше элементов, чем второе, или, что первое множество имеет большую мощность. С понятием мощности связаны, казалось бы, удивительные результаты. Например, на первый взгляд положительных целых чисел в два раза больше, чем четных положительных чисел, так как четно каждое второе число. Но, согласно теории множеств, четных положительных чисел столько же, сколько всех положительных целых чисел. Действительно, можно образовать пары чисел 2 и 1, 4 и 2, 6 и 3 и, вообще каждому четному числу 2n поставить в соответствие целое число n. Именно это обстоятельство имел в виду Б. Рассел (1872-1970), сформулировав факт, названный им парадоксом Тристрама Шенди. Герой романа Стерна сетовал на то, что ему потребовался целый год, чтобы изложить события первого дня его жизни, еще один год понадобился, чтобы описать второй день, и что при таком темпе он никогда не завершит свое жизнеописание. Рассел возразил, заметив, что если бы Тристрам Шенди жил вечно, то смог бы закончить свое жизнеописание, так как события n-го дня Шенди мог бы описать за n-й год и, таким образом, в летописи его жизни ни один день не остался бы не запечатленным. Иначе говоря, если бы жизнь длилась бесконечно, то она насчитывала бы столько же лет, сколько дней. Эти примеры показывают, что бесконечное множество можно поставить во взаимно однозначное соответствие со своим бесконечным подмножеством. Иногда это свойство принимают за определение бесконечного. Если можно установить взаимно однозначное соответствие между некоторым множеством и множеством положительных целых чисел, то говорят, что такое множество счетно. Для обозначения количества элементов в счетном множестве часто используют символ А0 (алеф-нуль). Так называемые «трансфинитные» числа, например А0, могут не подчиняться обычным законам арифметики. Например, так как существует А0 четных чисел, А0 нечетных и А0 целых чисел, то приходится признать, что А0 + А0 = А0. Идея сравнения множеств путем установления взаимно однозначного соответствия между ними используется в различных разделах математики. Число всех действительных чисел, как показал основатель научной теории множеств Г. Кантор (1845-1918), больше, чем А0 чисел. Следовательно, если можно показать, что множество действительных чисел, обладающих некоторым особым свойством, является всего лишь счетным множеством, то заведомо должны существовать действительные числа, этим свойством не обладающие. Например, так как множество алгебраических чисел счетно, должны существовать неалгебраические числа. Такие числа называются трансцендентными. Поразительная и далеко не очевидная теорема, высказанная в качестве гипотезы Кантором и доказанная Э. Шредером и Ф. Бернштейном около 1896, утверждает, что если можно установить взаимно однозначное соответствие между множеством A и подмножеством множества B, и между множеством B и подмножеством множества A, то существует взаимно однозначное соответствие между всем множеством A и всем множеством B.

Аксиома выбора. Неожиданные трудности в теории множеств могут возникнуть, казалось бы, в самых простых случаях. Если, например, задано семейство непересекающихся множеств, ни одно из которых не пусто, то интуитивно кажется очевидным, что мы можем построить новое множество, содержащее ровно по одному элементу из каждого множества, входящего в это семейство. Но если наше семейство содержит бесконечно много множеств, то для построения нового множества может потребоваться бесконечное число произвольных выборов, а законность такого процесса при тщательном анализе становится отнюдь не очевидной. Аксиома выбора, утверждающая, что такое множество существует, была впервые сформулирована в 1904 Э. Цермело (1871-1953). До сих пор не удалось показать, что аксиома выбора следует из остальных аксиом теории множеств. Но около 1938 К.Гедель (1906-1978) показал, что если теория множеств непротиворечива (т.е. не содержит внутренних противоречий) без аксиомы выбора, то она остается непротиворечивой и после присоединения к ней аксиомы выбора.

Куратовский К., Мостовский А. Теория множеств. М., 1970

Источник