Что значит угол в радианах

Перевод градусов в радианы и обратно: формулы, примеры

Углы измеряются в градусах или в радианах. Важно понимать связь между этими единицами измерения. Понимание этой связи позволяет оперировать углами и осуществлять переход от градусов к радианам и обратно. В данной статье выведем формулу для перевода градусов в радианы и радианов в градусы, а также разберем несколько примеров из практики.

Связь между градусами и радианами

Связь градусов с радианами

Связь между радианами и градусами выражается формулой

Формулы перевода радианов в градусы и наоборот

Из формулы, полученной выше, можно вывести другие формулы для перевода углов из радианов в градусы и из градуов в радианы.

Выразим один радиан в градусах. Для этого разделим левую и правую части радиуса на пи.

Также можно выразить один градус в радианах.

Можно произвести приблизтельные вычисления величин угла в радианах и наоборот. Для этого возьмем значения числа π с точностью до десятитысячных и подставим в полученные формулы.

Значит, в одном радиане примерно 57 градусов

Один градус содержит 0,0175 радиана.

Формула перевода радианов в градусы

Чтобы перевести угол из радианов в градусы, нужно значение угла в радианах умножить на 180 и разделить на пи.

Примеры перевода градусов в радианы и радианов в градусы

Пример 1. Перевод из радианов в градусы

Применим формулу перехода от радианов к градусам и получим:

Аналогично можно получить формулу перевода из градусов в радианы.

Формула перевода из градусов в радианы

y ° = y · π 180 р а д

Переведем 47 градусов в радианы.

Согласно формуле, умножим 47 на пи и разделим на 180.

Источник

Что значит угол в радианах

Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно «не очень. »
И для тех, кто «очень даже. » )

В предыдущем уроке мы освоили отсчёт углов на тригонометрическом круге. Узнали, как отсчитывать положительные и отрицательные углы. Осознали, как нарисовать угол больше 360 градусов. Пришла пора разобраться с измерением углов. Особенно с числом «Пи», которое так и норовит запутать нас в хитрых заданиях, да.

Градусная мера угла.

К градусам мы как-то привыкли. Геометрию худо-бедно проходили. Да и в жизни частенько встречаемся с фразой «повернул на 180 градусов», например. Градус, короче, штука простая.

Да? Ответьте мне тогда, что такое градус? Что, не получается с ходу? То-то.

Где-то в то же время, в Древнем Египте мучились другим вопросом. Во сколько раз длина окружности больше длины её диаметра? И так измеряли, и этак. Всё получалось немного больше трёх. Но как-то лохмато получалось, неровно. Но они, египтяне не виноваты. После них ещё веков 35 мучились. Пока окончательно не доказали, что как бы мелко не нарезать окружность на равные кусочки, из таких кусочков составить ровно длину диаметра нельзя. В принципе нельзя. Ну, во сколько раз окружность больше диаметра установили, конечно. Примерно. В 3,1415926. раз.

Для практического применения принято запоминать всего две цифры после запятой. Запоминаем:

Раз уж мы поняли, что длина окружности больше диаметра в «Пи» раз, имеет смысл запомнить формулу длины окружности:

В геометрии пригодится.

Для общего образования добавлю, что число «Пи» сидит не только в геометрии. В самых различных разделах математики, а особенно в теории вероятности, это число возникает постоянно! Само по себе. Вне наших желаний. Вот так.

Радианная мера угла.

Будем считать, что этот малюсенький угол имеет величину 1 градус:

Маленький такой угол, почти и нет его. Наводим курсор на картинку (или коснёмся картинки на планшете) и видим примерно один радиан. L = R

Один радиан много больше одного градуса. А во сколько раз?

Смотрим следующую картинку. На которой я нарисовал полукруг. Развёрнутый угол размером, естественно, в 180°.

А теперь я нарежу этот полукруг радианами! Наводим курсор на картинку и видим, что в 180° укладывается 3 с хвостиком радиана.

Кто угадает, чему равен этот хвостик!?

Действительно, в 180° градусах укладывается 3,1415926. радиан. Как вы сами понимаете, всё время писать 3,1415926. неудобно. Поэтому вместо этого бесконечного числа всегда пишут просто:

А вот в Интернете число

Вот теперь совершенно осмысленно можно записать приближённое равенство:

Или точное равенство:

Это соотношение полезно запомнить В одном радиане примерно 60°. В тригонометрии очень часто приходится прикидывать, оценивать ситуацию. Вот тут это знание очень помогает.

Или, более экзотическое выражение:

Обратный перевод чуть сложнее. Но не сильно. Если угол дан в градусах, мы должны сообразить, чему равен один градус в радианах, и умножить это число на количество градусов. Чему равен 1° в радианах?

Вот и всё. Умножаем число градусов на это значение и получаем угол в радианах. Например:

Это из серии слегка нестандартных вопросов, которые могут и в ступор вогнать.

Осталось сравнить эти два синуса. Что. забыли, как? С помощью тригонометрического круга, конечно! Рисуем круг, рисуем примерные углы в 60° и 1,05°. Смотрим, какие синусы у этих углов. Короче, всё, как в конце темы про тригонометрический круг расписано. На круге (даже самом кривом!) будет чётко видно, что sin60° существенно больше, чем sin1,05°.

Совершенно аналогично поступим и с косинусами. На круге нарисуем углы примерно 4 градуса и 4 радиана (не забыли, чему примерно равен 1 радиан?). Круг всё и скажет! Конечно, cos4 меньше cos4°.

Потренируемся в обращении с мерами угла.

Переведите эти углы из градусной меры в радианную:

360°; 30°; 90°; 270°; 45°; 0°; 180°; 60°

У вас должны получиться такие значения в радианах (в другом порядке!)

0

Я, между прочим, специально выделил ответы в две строчки. Ну-ка, сообразим, что за углы в первой строчке? Хоть в градусах, хоть в радианах?

А пока продолжим тренировку. Переведите эти углы из радианной меры в градусную:

У вас должны получиться такие результаты (в беспорядке):

210°; 150°; 135°; 120°; 330°; 315°; 300°; 240°; 225°.

1. В какую четверть попадают углы:

2. В какую четверть попадают углы:

Тоже без проблем? Ну, смотрите. )

3. Сможете разместить по четвертям углы:

Смогли? Ну вы даёте..)

4. На какие оси попадёт уголок:

5. В какую четверть попадают углы:

И это получилось!? Ну, тогда я прям не знаю. )

6. Определить, в какую четверть попадают углы:

1, 2, 3 и 20 радианов.

Ответ дам только на последний вопрос (он слегка хитрый) последнего задания. Угол в 20 радианов попадёт в первую четверть.

Остальные ответы не дам не из жадности.) Просто, если вы не решили чего-то, сомневаетесь в результате, или на задание №4 потратили больше 10 секунд, вы слабо ориентируетесь в круге. Это будет вашей проблемой во всей тригонометрии. Лучше от неё (проблемы, а не тригонометрии!)) избавиться сразу. Это можно сделать в теме: Практическая работа с тригонометрическим кругом в разделе 555.

Там рассказано, как просто и правильно решать такие задания. Ну и эти задания решены, разумеется. И четвёртое задание решено за 10 секунд. Да так решено, что любой сможет!

Если Вам нравится этот сайт.

Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

А вот здесь можно познакомиться с функциями и производными.

Источник

§ 11. Радианная мера углов

1. Понятие угла

В геометрии
Угол — геометрическая фигура, образованная двумя лучами, которые выходят из одной точки.

В тригонометрии*
Угол — фигура, образованная при повороте луча на плоскости около начальной точки.

2. Измерение углов
Градусная мера углачасть развернутого угла)

Каждому углу ставится в соответствие градусная мера α ∈ [0°; 180°].

Каждому углу как фигуре ставится в соответствие угол поворота, с помощью которого образован этот угол. Угол поворота

Объяснение и обоснование

1. Понятие угла. В курсе геометрии угол определяется как геометрическая фигура, образованная двумя лучами, которые выходят из одной точки. Например, угол AOB, изображенный в первом пункте таблицы 16, — это угол, образованный лучами OA и OB.

Угол можно рассматривать также как результат поворота луча на плоскости около начальной точки. Например, поворачивая луч OA около точки O от начального положения OA до конечного положения OB, также получим угол AOB. Заметим, что достичь конечного положения ОВ можно при повороте луча OA как по часовой стрелке, так и против нее.

2. Измерение углов. Данные выше различные определения угла приводят к различному пониманию измерения углов.

В курсе геометрии каждому углу соответствует его градусная мера, которая может находиться только в пределах от 0° до 180°, и поэтому, например, для прямого угла AOB его мера записывается однозначно: ∠ AOB = 90° (1° — это 1/180 часть развернутого угла).

При измерении углов поворота договорились, что направление поворота против часовой стрелки считается положительным, а по часовой стрелке — отрицательным.

Поэтому при измерении углов, образованных при повороте луча около начальной точки, мы можем получить как положительные, так и отрицательные значения углов поворота. Например, если угол AOB, в котором лучи ОА и ОВ являются взаимно перпендикулярными, получен при повороте луча OA на угол 90° против часовой стрелки, то значение угла поворота β (см. соответствующий рисунок в пункте 2 табл. 16) равно +90° (или просто 90°). Если тот же угол AOB получен при повороте луча OA на угол 270° по часовой стрелке (понятно, что полный оборот — это 360°), то значение угла поворота γ равно (–270°). Этот же угол AOB можно получить также при повороте луча OA против часовой стрелки на 90° и еще на полный оборот; в этом случае значение угла поворота ϕ равно 90° + 360°, то есть 450° и т. д.
Выбрав как значение угла поворота произвольное отрицательное или положительное число (градусов), мы всегда можем повернуть луч OA (по часовой стрелке или против нее) и получить соответствующий угол AOB. Таким образом, величина угла поворота (в градусах) может принимать все действительные значения от.

Для измерения углов принимают определенный угол за единицу измерения и с ее помощью измеряют другие углы.

За единицу измерения можно принять любой угол, например один градус (1°) — 1/180 часть развернутого угла.

В технике за единицу измерения углов принимают полный оборот (заметим, что 1 градус — это 1/360 часть полного оборота).

В мореходстве за единицу измерения углов принимают румб, равный 1/32 час ти полного оборота.

В математике и физике, кроме градусной меры углов, используется также радианная мера углов.

Если рассмотреть некоторую окружность,

то 1 радиан — это центральный угол, соответствующий дуге, длина которой равна радиусу окружности.

Таким образом, если угол AOB равен одному радиану (рис. 59), то это означает, что ∪AB = OA = R.

Установим связь между радианной и градусной мерами углов. Центральному развернутому углу AOC, с градусной мерой 180°, соответствует полуокружность, то есть дуга, длина которой равна πR, а углу в один радиан — дуга длиной R. Итак, радианная мера развернутого угла AOC равна радиан. Таким образом, одному и тому же развернутому углу АОС соответствует градусная мера 180° и радианная мера π радиан. Это соответствие часто записывают так:

Задача 1 Выразите в радианах величины углов, градусная мера которых равна: 30°; 45°; 60°; 90°; 270°; 360°.
Поскольку 30° — это 1/6часть угла 180°, то из соответствия 180° = π (рад)
получаем, что 30°=6/π (рад).

Аналогично можно вычислить и величины других углов.

В общем случае учитываем, что 1°=π/180 радиан, тогда:

Поскольку радианными мерами рассмотренных углов приходится пользоваться достаточно часто, запишем полученные результаты в виде справочной таблицы:

Задача 2 Выразите в градусах величины углов, радианнная мера которых равна: π/10 ; 2π/3 ; 3π/4 ; 5.

Отметим, что далее в этом разделе будет рассматриваться в основном радианная мера угла и утверждения будут доказаны для радианной меры угла. Однако их можно переформулировать и для градусной меры угла, пользуясь приведенными выше соотношениями.

Условимся далее вместо слов «угол, радианная мера которого равна α радиан» говорить коротко «угол α».

Вопросы для контроля

1. Объясните, как можно определить угол с помощью поворота луча. Как при таком определении измеряются углы?

2. Как вы понимаете такие утверждения: «Величина угла равна 450°», «Величина угла равна (–225°)»? Изобразите эти углы.

3. Как можно определить угол в 1°?

4. Дайте определение угла в 1 радиан.

5. Чему равна градусная мера угла в π радиан?

6. Объясните на примерах, как по радианной мере угла найти его градусную меру и наоборот — по градусной мере угла найти его радианную меру.
Упражнения

1°. Изобразите угол, образованный поворотом луча OA около точки O на: 1) 270°; 2) –270°; 3) 720°;

7) 540°; 8) –180°; 9) 360°; 10) –60°.

2°. Чему равны градусные и радианные меры углов поворота, показанных на рисунке 60?

3. Выразите в радианной мере величины углов, градусная мера которых равна:

1 °) 225°; 2°) 36°; 3) 100°; 4) –240°; 5) –22,5°; 6) –150°.

4. Выразите в градусной мере величины углов, радианная мера которых равна:

1) 3π; 2) 3 4 π; 3) −2 5 π;

6) 11 6 π;7) −π 8 ; 8) 3.
5. С помощью калькулятора (или таблиц) найдите радианные меры углов, градусная мера которых равна:

1) 27°; 2) 132°; 3) 43°; 4) 114°.

6. С помощью калькулятора (или таблиц) найдите градусные меры углов, радианная мера которых равна:

1) 0,5585; 2) 0,8098; 3) 3,1416; 4) 4,4454.

Источник

Что такое один градус? Что такое один радиан? Перевод радианов в градусы и обратно.

В прошлый раз мы с вами ответили на первый вопрос, касаемый работы с углами. А именно — как отсчитываются углы. Рассмотрели положительные и отрицательные углы, а также углы, большие 360 градусов. И на круге углы порисовали.)

В этом же уроке настал черёд ответить на второй вопрос, связанный с измерением углов. Здесь мы разберёмся с загадочными радианами и особенно — с пресловутым числом «пи», которое будет мозолить нам глаза на протяжении всего дальнейшего изучения тригонометрии. Поймём, что это за число, откуда оно берётся и как с ним работать. И задания порешаем, само собой. Стандартные и не очень…)

Разберёмся? Ну сколько же можно бояться числа «пи», в конце-то концов!)

Итак, в чём же измеряются углы в математике? Начнём с привычного и знакомого. С градусов.

Что такое один градус? Градусная мера угла.

К градусам вы уже попривыкли. Геометрию изучаете, да и в жизни постоянно сталкиваетесь. Например, «повернул на 90 градусов».) Короче, градус — штука простая и понятная.

Вы и вправду так думаете? Тогда сможете сказать мне, что такое градус? Нет, гуглить и потрошить Википедию не надо. Ну как, слабо с ходу? Вот так-то…

Начнём издалека. С древнейших времён. А именно — с двух очагов древних цивилизаций Вавилона и Египта.)

Градус — это 1/360 часть окружности. И всё!

Придумали градусы в Древнем Вавилоне.) Как? Очень просто! Просто взяли да разбили окружность на 360 равных кусочков. Почему именно на 360? А не на 100 или на 1000? Вроде бы, число 100 поровнее, чем 360… Вопрос хороший.

Основная версия — астрономическая. Ведь число 360 очень близко к числу дней в году! А для наблюдений за Солнцем, Луной и звёздами это было оч-чень удобно.)

Кроме того, в астрономии (а также строительстве, землемерии и прочих смежных областях) очень удобно делить окружность на равные части. А теперь давайте прикинем чисто математически, на какие числа делится нацело 100 и на какие — 360? И в каком из вариантов этих делителей нацело больше? А людям такое деление очень удобно, да…)

Что такое число «пи»? Как оно возникло?

А теперь переместимся из Древнего Вавилона в Древний Египет. Примерно в то же самое время там разгадывали другую загадку. Не менее интересную, чем вопрос, на сколько частей бить окружность. А именно — во сколько раз длина окружности больше её диаметра? Или по-другому: чему равна длина окружности с диаметром, равным единице?

И так измеряли и сяк… Каждый раз получалось чуть-чуть больше трёх. Но как-то коряво получалось, неровно…

Но они, египтяне, ни в чём не виноваты. После них математики всех мастей продолжали мучиться аж до 18 века! Пока в 1767 году окончательно не доказали, что, как бы мелко ни нарезать окружность на равные кусочки, из таких кусочков сложить точно длину диаметра нельзя. Принципиально нельзя. Только лишь примерно.

Нет, конечно же, во сколько раз длина окружности больше её диаметра установили давным-давно. Но, опять же, примерно… В 3,141592653… раза.

Это число — и есть число «пи» собственной персоной.) Да уж… Корявое так корявое… После запятой — бесконечное число цифр безо всякого порядка, безо всякой логики. В математике такие числа называются иррациональными. И на сегодняшний день доказательство факта иррациональности числа «пи» занимает аж десять (!) лекций на 4-м курсе мехмата МГУ… Этот факт, кстати, и означает, что из одинаковых кусочков окружности её диаметр точно не сложить. Никак. И никогда…

Конечно, рациональные приближения числа «пи» известны людям ещё со времён Архимеда. Например:

22/7 = 3,14285714…

377/120 = 3,14166667…

355/113 = 3,14159292…

Сейчас, в век суперкомпьютеров, погоня за десятичными знаками числа «пи» не стихает, и на сегодняшний день человечеству известно уже два квадриллиона (!) знаков этого числа…

Но нам для практического применения такая сверхточность совершенно не требуется. Чаще всего достаточно запомнить всего лишь две цифры после запятой.

Вот и всё. Раз уж нам ясно, что длина окружности больше её диаметра в «пи» раз, то можно записать (и запомнить) точную формулу для длины окружности:

Здесь L — длина окружности, а d — её диаметр.

В геометрии всяко пригодится.)

Для общего развития скажу, что число «пи» сидит не только в геометрии или тригонометрии. Оно возникает в самых различных разделах высшей математики. В интегралах, например. Или в теории вероятностей. Или в теории комплексных чисел, а также рядов. Само по себе возникает, хотим мы того или нет… Поступите в ВУЗ — убедитесь лично.)

Ну а теперь снова вернёмся к старым добрым градусам. Как мы помним, один градус — это 1/360 часть окружности. С исторической и практической точек зрения людям такое деление на 360 равных частей оказалось очень даже удобно, но…

Как выяснилось гораздо позже Древнего Вавилона, градусы удобны далеко не всем. Например, высшей математике они ой как неудобны! Высшая математика — дама серьёзная. По законам природы устроена. И она справедливо заявляет: «Сегодня вы на 360 частей круг разбили, завтра — на 100 разобьёте, послезавтра — на 250… А мне что делать? Каждый раз под ваши хотелки подстраиваться?»

Против природы не попрёшь… Пришлось прислушаться и уступить. И ввести новую меру угла, не зависящую от наших хотелок. )

Итак, знакомьтесь — радиан!

Что такое один радиан? Радианная мера угла.

В основе определения радиана — та же самая окружность. Угол в 1 радиан — это угол, который отсекает от окружности дугу, длина которой (L) равна радиусу окружности (R). И всё!

Причём величина угла в один радиан не зависит от радиуса окружности! Никак. Можно нарисовать очень большую окружность, можно очень маленькую. Но угол, отсекающий от окружности дугу, равную радиусу, никогда не изменит своей величины и будет составлять ровно один радиан. Всегда. Это важно.)

Запоминаем:

Угол в один радиан — это угол, вырезающий из окружности дугу, равную радиусу окружности. Величина угла в 1 радиан не зависит от радиуса окружности.

Кстати говоря, градусная мера угла тоже не зависит от радиуса окружности. Большая окружность, маленькая — углу в один градус без разницы. Но градус — это величина, искусственно придуманная людьми для их личного удобства! Древними вавилонянами, если мы помним.) 1/360 часть окружности. Так уж сложилось чисто исторически. А если бы по каким-то причинам договорились на 100 частей разбить окружность? Или на 200? Кто знает, что тогда называлось бы градусом сегодня… Вот на сколько частей разобьём окружность, такой «градус» и получим. А вот радиан — штука универсальная!) К способу разбиения окружности никак не привязан. Строго дуга, равная радиусу! И чем больше радиус, тем больше (по длине) будет и соответствующая вырезаемая дуга. И наоборот. Но сама величина угла в один радиан не меняется. И разбиение окружности (любой!) радианами — всегда одинаковое. И сейчас мы в этом лично убедимся.)

Как переводить радианы в градусы и обратно?

К этому моменту вам уже должно быть интуитивно понятно, что один радиан существенно больше одного градуса. Всё-таки непонятно? Тогда смотрим снова на картинку:

Будем считать, что малюсенький красный угол имеет величину примерно один градус. Совсем крохотный уголок, почти и нет его… А большой зелёный угол — примерно один радиан! Чувствуете разницу?) Конечно же, один радиан сильно больше одного градуса…

А вот теперь начинается самое интересное! Вопрос: а во сколько раз один радиан больше одного градуса? Или сколько градусов в одном радиане? Сейчас выясним!)

Смотрим на очередные картинки:

На картинке слева изображён полукруг. Обычный развёрнутый угол величиной 180°. А вот на картинке справа — тот же самый полукруг, но нарезанный радианами! Видно, что в 180° помещается примерно три с хвостиком радиана.

Вопрос на засыпку: как вы думаете, чему равен этот хвостик?)

Да! Он равен 0,141592653… Привет, число «пи», вот мы про тебя и вспомнили!)

Стало быть, в 180° укладывается 3,141592653… радиан. Понятное дело, что каждый раз писать такое длинное число неудобно, поэтому пишут приближённо:

Вот и всё. Вот и весь секрет тотального присутствия числа «пи» в тригонометрии. Эту простую формулку надо знать железно. Уловили?)

Так сколько же градусов в одном радиане? Не вопрос! Если в «пи» радианах содержится 180 градусов, то сколько же тогда градусов сидит в одном радиане? Правильно, в «пи» раз меньше! То есть меньше примерно в 3,14 раза.

Вот и делим обе части нашего соотношения на «пи» и получаем один радиан в градусах:

Это приближённое равенство также очень полезно запомнить. В одном радиане примерно 60 градусов. Такой грубой оценки бывает вполне достаточно для ответа на очень многие каверзные вопросы, связанные с углами. Бывает и недостаточно, конечно. В своё время мы такие хитрые задачки рассмотрим.)

Но это не самое главное применение этой формулы!) А самое главное — перевод радианов в градусы и обратно.

Переводим радианы в градусы!

Чаще всего углы в тригонометрии заданы в радианах с числом «пи». Это — самая стандартная ситуация. Если угол задан в радианах с числом «пи», то всё очень просто. Мы знаем, что «пи» радиан — это 180 градусов. Вот и подставляем вместо «пи» радиан — число 180. Сокращаем всё что сокращается и получаем угол в градусах.

Или более мудрёный угол:

Переводим градусы в радианы!

Обратный перевод градусов в радианы чуть сложнее, но ненамного. Если угол задан в градусах, то сначала нам надо узнать, сколько составляет один градус в радианах. И умножить это значение на количество градусов.) И чему же равен 1° в радианах?

Вот и все дела. Умножаем дробь π /180 на количество градусов, сокращаем что сокращается и получаем угол в радианах. Например:

Вот и всё. Заменять «пи» на примерно 3,14 никакой необходимости нет: его всегда буквой пишут. Что правда, то правда: нас же в заданиях обычно точный ответ интересует! А не приближённый.) Кстати, кому интересен приближённый ответ, посчитайте на калькуляторе. Получите примерно 0,628 и 2,356 радиана соответственно.

Итак, в непринуждённой беседе с лирическими отступлениями мы узнали, что радианы — это очень даже просто, не больно и не страшно.) Да и перевод туда-обратно несложен. И «пи» — не кусается… Так откуда же проблемы?

Это и приводит к казусам. Человек смотрит на пример, видит «пи» и автоматически считает, что это 180°. Везде и всюду. Кстати, это срабатывает. До поры до времени, пока примеры — типовые. Но любое отклонение примера от шаблона — тут же валит наповал! Почему?

Потому, что само по себе «пи» — это число! А никакие не градусы! Это «пи» радиан = 180°!

Ещё раз запоминаем:

Это заклинание надо понимать железно. Причём не просто механически зазубрить, а именно понимать каждое слово и каждый значок! И особенно — слово «радиан». Я не шучу. Ибо, если на вопрос, «Что такое «пи» в тригонометрии?», вы, блистая знаниями, радостно заявляете:

то это говорит о том, что вы не понимаете до конца смысла этой зелёной фразы. И все дальнейшие беседы уже бессмысленны, да…

Ещё раз: «пи» — это число! Примерно равное 3,14. Точного значения этого числа не знает никто: оно бесконечно длинное, корявое, иррациональное. Но — число! Такое же, как 2 или 7. Можно пройти примерно «пи» километров. Три километра и ещё около 140 метров. Можно купить «пи» килограммов картошки. Если продавец образованный встретится.) Можно выпить «пи» литров кока-колы. Если здоровье не жалко… И так далее…

Всё равно непонятна зелёная запись? Хорошо, вот вам простые житейские фразы:

1 километр — это 1000 метров;

3 часа — это 180 минут;

2 года — это 730 дней;

И тому подобное. Точно так же и с градусами/радианами:

«Пи» радиан — это 180 градусов!

Уяснили, что «пи» — это просто число? Или я уже достал вас этой заезженной фразой? Ну ладно, убедили. Тогда вот вам парочка нестандартных вопросов:

А теперь сравниваем эти два синуса. Как? По кругу, разумеется! Рисовать углы мы с вами уже умеем, что такое синус угла на круге — тоже знаем. Вперёд! Рисуем круг, углы примерно 0,79 ° и 45° и смотрим какие синусы у этих углов. Даже на самом корявом круге будет видно, что sin45° гораздо больше, чем sin0,79°.

С косинусами — всё то же самое. Рисуем на круге в правильных четвертях углы примерно 5 градусов и 5 радианов (помним, чему примерно равен один радиан в градусах?). Круг нам всё и подскажет. А именно, что cos5 меньше, чем cos5°.

Вообще, задачки с углами в радианах без «пи» (типа определить знак выражения sin10∙cos20) относятся к разряду нестандартных. В следующем уроке разберём парочку таких.)

Ну что, потренируемся с переводом углов?) Решаем несложные задания.

1. Переведите следующие углы из градусной меры в радианную:

Ответы (по возрастанию):

Как вы думаете, что это были за углы? Да! Это углы, которые попадают на координатные оси! Эти опорные значения надо держать в голове надёжно. До автоматизма! Как в градусах, так и в радианах. Зачем? Да всё за тем же! Для правильного распределения любых углов по четвертям.) Это полезное умение — залог успеха в любом задании по тригонометрии. Любом! От примитивных примеров до вполне себе солидных ЕГЭшных задачек части 2 (уравнения с отбором корней, тригонометрические неравенства и прочие хитрые штучки).

2. Переведите углы в радианную меру:

Ответы (в беспорядке):

Переведите следующие углы из радианной меры в градусную:

Ответы (в беспорядке):

300°; 225°; 120°; 330°; 240°; 135°; 210°; 315°; 150°.

А это что за углы? Правильно! Это углы, в пределах одного оборота, кратные предыдущим трём! Но не попадающие на оси координат. Такие углы вы также обязаны уметь просчитывать! И более того, все углы, кратные 30, 45 или 60 градусам, вы обязаны уметь просчитывать! Как в пределах одного оборота, так и за его пределами. Как положительные, так и отрицательные… В соответствующем уроке мы научимся с вами проделывать такие полезные вещи.

Если и это получилось, то тогда можно считать, что перевод радианов в градусы и обратно — уже не ваша проблема. Но перевод углов из одной размерности в другую — это лишь ещё один шаг вперёд к успешному постижению тригонометрии. Шаг мощный, но недостаточный. Ведь, чаще всего, с углами надо потом ещё и что-то делать.) Рисовать на круге, например. Или синус/косинус считать. Да и тангенс/котангенс тоже…

Второй серьёзный шаг — это умение правильно определять положение любого угла на тригонометрическом круге. Любого! Как в градусах, так и в радианах. С градусами на круге мы уже плотно поработали в предыдущем уроке. Теперь настал черёд набивать руку в работе с радианами.

Источник