Что значит стягивает дугу в геометрии

Геометрия. Урок 5. Окружность

Смотрите бесплатные видео-уроки на канале Ёжику Понятно.

Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!

Содержание страницы:

Определение окружности

Окружность – геометрическое место точек, равноудаленных от данной точки.

Отрезки в окружности

Радиус окружности R – отрезок, соединяющий центр окружности с точкой на окружности.

Хорда a – отрезок, соединяющий две точки на окружности.

Диаметр d – хорда, проходящая через центр окружности, он равен двум радиусам окружности ( d = 2 R ).

O A – радиус, D E – хорда, B C – диаметр.

Теорема 1:
Радиус, перпендикулярный хорде, делит пополам эту хорду и дугу, которую она стягивает.

Касательная к окружности – прямая, имеющая с окружностью одну общую точку.

Из одной точки, лежащей вне окружности, можно провести две касательные к данной окружности.

Теорема 2:
Отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны ( A C = B C ).

Теорема 3:
Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному к точке касания.

Дуга в окружности

Теорема 4:
Равные хорды стягивают равные дуги.

Углы в окружности

В окружности существует два типа углов: центральные и вписанные.

Центральный угол – угол, вершина которого лежит в центре окружности.

∠ A O B – центральный.

Если провести диаметр, то он разобьёт окружность на две полуокружности. Градусная мера каждой полуокружности будет равна градусной мере развернутого угла, который на неё опирается.

Вписанный угол – угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность.

∠ M A N = ∠ M B N = ∠ M C N = ∪ M N 2 = α 2

∠ M A N = ∠ M B N = ∪ M N 2 = 180 ° 2 = 90 °

Длина окружности, длина дуги

Но невооуруженным глазом видно, что длины дуг разные. Если градусная мера дуги окружности зависит только от величины центрального угла, который на неё опирается, то длина дуги окружности зависит ещё и от радиуса самой окружноси.

Длина окружности находится по формуле:

Площадь круга и его частей

Теперь поговорим про площадь круга, площадь сектора и площадь сегмента.

Круг – часть пространства, которая находится внутри окружности.

Иными словами, окружность – это граница, а круг – это то, что внутри.

Примеры окружности в реальной жизни: велосипедное колесо, обруч, кольцо.

Примеры круга в реальной жизни: пицца, крышка от канализационного люка, плоская тарелка.

Площадь круга находится по формуле: S = π R 2

Сектор – это часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами, соединяющими концы дуги с центром круга.

Примеры сектора в реальной жизни: кусок пиццы, веер.

Площадь кругового сектора, ограниченного центральным углом α находится по формуле: S α = π R 2 360 ° ⋅ α

Сегмент – это часть круга, ограниченная дугой и хордой, стягивающей эту дугу.

Примеры сегмента в реальной жизни: мармелад “лимонная долька”, лук для стрельбы.

Чтобы найти площадь сегмента, нужно сперва вычислить площадь кругового сектора, который данный сегмент содержит, а потом вычесть площадь треугольника, который образован центральным углом и хордой.

S = π R 2 360 ° ⋅ α − 1 2 R 2 sin α

Теорема синусов

Если вокруг произвольного треугольника описана окружность, то её радиус можно найти при помощи теоремы синусов:

a sin ∠ A = b sin ∠ B = c sin ∠ C = 2 R Достаточно знать одну из сторон треугольника и синус угла, который напротив неё лежит. Из этих данных можно найти радиус описанной окружности.

Примеры решений заданий из ОГЭ

Модуль геометрия: задания, связанные с окружностями.

Источник

Окружность

Окружность — это геометрическая фигура, образованная замкнутой кривой линией, все точки которой одинаково удалены от одной и той же точки.

Точка, от которой одинаково удалены все точки окружности, называется центром окружности. Центр окружности обычно обозначают большой латинской буквой O:

Окружность делит плоскость на две области — внутреннюю и внешнюю. Геометрическая фигура, ограниченная окружностью, — это круг:

Построение окружности циркулем

Для построения окружности используют специальный прибор — циркуль:

Установим циркулю произвольный раствор (расстояние между ножками циркуля) и, поставив его ножку с остриём в какую-нибудь точку плоскости (например, на листе бумаги), станем вращать циркуль вокруг этой точки. Другая его ножка, снабжённая карандашом или грифелем, прикасающимся к плоскости, начертит на плоскости замкнутую линию — окружность:

Радиус, хорда и диаметр

Радиус — это отрезок, соединяющий любую точку окружности с центром. Радиусом также называется расстояние от точки окружности до её центра:

Все радиусы окружности имеют одну и ту же длину, то есть они равны между собой. Радиус обозначается буквой R или r.

Хорда — это отрезок, соединяющий две точки окружности. Хорда, проходящая через центр, называется диаметром окружности.

Диаметр обозначается буквой D. Диаметр окружности в два раза больше её радиуса:

Дуга — это часть окружности, ограниченная двумя точками. Любые две точки делят окружность на две дуги:

Чтобы различать дуги, на которые две точки разделяют окружность, на каждую из дуг ставят дополнительную точку:

Для обозначения дуг используется символ :

О хорде, которая соединяет концы дуги, говорят, что она стягивает дугу.

Хорда AB стягивает дуги AFB и AJB.

Источник

Что такое хорда окружности в геометрии, её определение и свойства

Хорда в переводе с греческого означает «струна». Это понятие широко применяется в разных областях науки — в математике, биологии и других.

В геометрии для термина определение будет следующим: это отрезок прямой линии, который соединяет между собой две произвольные точки на одной окружности. Если такой отрезок пересекает центр кривой, она называется диаметром описываемой окружности.

Как построить геометрическую хорду

Чтобы построить этот отрезок, прежде всего необходимо начертить круг. Обозначают две произвольные точки, через которые проводят секущую линию. Отрезок прямой, который располагается между точками пересечения с окружностью, называется хордой.

Если разделить такую ось пополам и из этой точки провести перпендикулярную прямую, она будет проходить через центр окружности. Можно провести обратное действие — из центра окружности провести радиус, перпендикулярный хорде. В этом случае радиус разделит её на две идентичные половины.

Если рассматривать части кривой, которые ограничиваются двумя параллельными равными отрезками, то эти кривые тоже будут равными между собой.

Свойства

Существует ряд закономерностей, связывающих между собой хорды и центр круга:

Взаимосвязь с радиусом и диаметром

Вышеуказанные математические понятия связаны между собой следующими закономерностями:

Хорда и радиус

Между этими понятиями существуют следующие связи:

Отношения со вписанными углами

Углы, вписанные в окружность, подчиняются следующим правилам:

Взаимодействия с дугой

Если два отрезка стягивают участки кривой, одинаковые по размеру, то такие оси равны между собой. Из этого правила вытекают следующие закономерности:

Хорда, которая стягивает ровно половину окружности, является её диаметром. Если две линии на одной окружности параллельны между собой, то будут равными и дуги, которые заключены между этими отрезками. Однако не следует путать заключённые дуги и стягиваемые теми же линиями.

Источник

Углы в окружности, центральный и вписанный. Свойства и способы нахождения

Планиметрия – это раздел геометрии, изучающий свойства плоских фигур. К ним относятся не только всем известные треугольники, квадраты, прямоугольники, но и прямые и углы. В планиметрии также существуют такие понятия, как углы в окружности: центральный и вписанный. Но что они означают?

Что такое центральный угол?

Для того чтобы понять, что такое центральный угол, нужно дать определение окружности. Окружность – это совокупность всех точек, равноудаленных от данной точки (центра окружности).

Очень важно отличать ее от круга. Нужно запомнить, что окружность – это замкнутая линия, а круг – это часть плоскости, ограниченная ею. В окружность может быть вписан многоугольник или угол.

Центральный угол – это такой угол, вершина которого совпадает с центром окружности, а стороны пересекают окружность в двух точках. Дуга, которую угол ограничивает точками пересечения, называется дугой, на которую опирается данный угол.

Рассмотрим пример №1.

На картинке угол AOB – центральный, потому что вершина угла и центр окружности – это одна точка О. Он опирается на дугу AB, не содержащую точку С.

Чем вписанный угол отличается от центрального?

Вам будет интересно: Площадь боковой поверхности и объем усеченной пирамиды: формулы и пример решения типовой задачи

Однако кроме центральных существуют также вписанные углы. В чем же их различие? Так же как и центральный, вписанный в окружность угол опирается на определенную дугу. Но его вершина не совпадает с центром окружности, а лежит на ней.

Приведем следующий пример.

Угол ACB называется углом, вписанным в окружность с центром в точке О. Точка С принадлежит окружности, то есть лежит на ней. Угол опирается на дугу АВ.

Чему равен центральный угол

Для того чтобы успешно справляться с задачами по геометрии, недостаточно уметь различать вписанный и центральный углы. Как правило, для их решения нужно точно знать, как найти центральный угол в окружности, и уметь вычислить его значение в градусах.

Вам будет интересно: Профиль крыла самолета: виды, технические и аэродинамические характеристики, метод расчета и наибольшая подъемная сила

Итак, центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается.

На картинке угол АОВ опирается на дугу АВ, равную 66°. Значит, угол АОВ также равен 66°.

Таким образом, центральные углы, опирающиеся на равные дуги, равны.

На рисунке дуга DC равна дуге AB. Значит, угол АОВ равен углу DOC.

Как найти вписанный угол

Может показаться, что угол, вписанный в окружность, равен центральному углу, который опирается на ту же дугу. Однако это грубая ошибка. На самом деле, даже просто посмотрев на чертеж и сравнив эти углы между собой, можно увидеть, что их градусные меры будут иметь разные значения. Так чему же равен вписанный в окружность угол?

Градусная мера вписанного угла равна одной второй от дуги, на которую он опирается, или половине центрального угла, если они опираются на одну дугу.

Рассмотрим пример. Угол АСВ опирается на дугу, равную 66°.

Значит, угол АСВ = 66° : 2 = 33°

Рассмотрим некоторые следствия из этой теоремы.

Где могут встретиться задачи на эту тему? Их виды и способы решения

Так как окружность и ее свойства – это один из важнейших разделов геометрии, планиметрии в частности, то вписанный и центральный углы в окружности – это тема, которая широко и подробно изучается в школьном курсе. Задачи, посвященные их свойствам, встречаются в основном государственном экзамене (ОГЭ) и едином государственном экзамене (ЕГЭ). Как правило, для решения этих задач следует найти углы на окружности в градусах.

Углы, опирающиеся на одну дугу

Этот тип задач является, пожалуй, одним из самых легких, так как для его решения нужно знать всего два простых свойства: если оба угла являются вписанными и опираются на одну хорду, они равны, если один из них – центральный, то соответствующий вписанный угол равен его половине. Однако при их решении нужно быть крайне внимательным: иногда бывает сложно заметить это свойство, и ученики при решении таких простейших задач заходят в тупик. Рассмотрим пример.

Дана окружность с центром в точке О. Угол АОВ равен 54°. Найти градусную меру угла АСВ.

Углы, опирающиеся на разные дуги одной окружности

Иногда в условиях задачи напрямую не прописана величина дуги, на которую опирается искомый угол. Для того чтобы ее вычислить, нужно проанализировать величину данных углов и сопоставить их с известными свойствами окружности.

В окружности с центром в точке О угол АОС равен 120°, а угол АОВ – 30°. Найдите угол ВАС.

Для начала стоит сказать, что возможно решение этой задачи с помощью свойств равнобедренных треугольников, однако для этого потребуется выполнить большее количество математических действий. Поэтому здесь будет приведен разбор решения с помощью свойств центральных и вписанных углов в окружности.

Итак, угол АОС опирается на дугу АС и является центральным, значит, дуга АС равна углу АОС.

Точно так же угол АОВ опирается на дугу АВ.

Зная это и градусную меру всей окружности (360°), можно с легкостью найти величину дуги ВС.

Вершина угла САВ, точка А, лежит на окружности. Значит, угол САВ является вписанным и равен половине дуги СВ.

Угол САВ = 210° : 2 = 110°

Задачи, основанные на соотношении дуг

Некоторые задачи вообще не содержат данных о величинах углов, поэтому их нужно искать, исходя только из известных теорем и свойств окружности.

Найдите угол, вписанный в окружность, который опирается на хорду, равную радиусу данной окружности.

Если мысленно провести линии, соединяющие концы отрезка с центром окружности, то получится треугольник. Рассмотрев его, можно заметить, что эти линии являются радиусами окружности, а значит, все стороны треугольника равны. Известно, что все углы равностороннего треугольника равны 60°. Значит, дуга АВ, содержащая вершину треугольника, равна 60°. Отсюда найдем дугу АВ, на которую опирается искомый угол.

Угол АВС = 300° : 2 = 150°

В окружности с центром в точке О дуги соотносятся как 3:7. Найдите меньший вписанный угол.

Для решения обозначим одну часть за Х, тогда одна дуга равна 3Х, а вторая соответственно 7Х. Зная, что градусная мера окружности равна 360°, составим уравнение.

По условию, нужно найти меньший угол. Очевидно, что если величина угла прямо пропорциональна дуге, на которую он опирается, то искомый (меньший) угол соответствует дуге, равной 3Х.

Значит, меньший угол равен (36° * 3) : 2 = 108° : 2 = 54°

Так как 300° : 60° = 5, то большая дуга в 5 раз больше меньшей.

Большая дуга = 50 * 5 = 250

Итак, конечно, существуют и другие подходы к решению подобных задач, но все они так или иначе основаны на свойствах центральных и вписанных углов, треугольников и окружности. Для того чтобы успешно их решать, необходимо внимательно изучать чертеж и сопоставлять его с данными задачи, а также уметь применять свои теоретические знания на практике.

Источник

Хорды и дуги

Докажем ряд теорем, устанавливающих зависимость между хордами и их дугами в одной и той же окружности или в равных окружностях.

При этом будем иметь в виду дуги, меньшие полуокружности.

Теорема 1. Равные дуги стягиваются равными хордами.

Пусть дуга АВ равна дуге СК. Требуется доказать, что и хорда АВ равна хорде СК (рис. 314).

Доказательство. Соединим концы хорд с центром окружности — точкой О. Полученные треугольники АОВ и КОС равны, так как имеют по две соответственно равные стороны (радиусы одной окружности) и по равному углу, заключённому между этими сторонами (эти углы равны, как центральные, соответствующие равным дугам). Следовательно, АВ = СК.

Теорема 2 (обратная). Равные хорды стягивают равные дуги.

Пусть хорда АВ равна хорде СК. Требуется доказать, что дуга АВ равна дуге СК (рис. 314).

Доказательство. Соединим концы хорд с центром окружности — точкой О. Полученные треугольники АОВ и КОС равны по трём соответственно равным сторонам. Следовательно, равны углы АОВ и СОК; но углы эти центральные, соответствующие дугам АВ и СК; из равенства этих углов следует равенство дуг: \(\breve <АВ>= \breve<СК>\).

Теорема 3. Большая дуга стягивается и большей хордой.

Пусть дуга АВ больше дуги СК (рис. 315).

Требуется доказать, что хорда АВ больше хорды СК.

Рассмотрим теперь треугольники ОАD и ОАЕ. В этих треугольниках гипотенуза ОА общая, а катет ОЕ меньше катета ОD, тогда по следствию из теоремы Пифагора катет АЕ больше катета АD. Но эти катеты составляют половины хорд АВ и АС’, значит, и хорда АВ больше хорды АС’. Вследствие равенства хорд АС’ и СК получаем
АВ > СК.

Теорема 4 (обратная). Большая хорда стягивает и большую дугу.

Пусть хорда А В больше хорды СК.

Требуется доказать, что дуга АВ больше дуги СК (рис. 315). Между дугами АВ и СК может существовать только одно из трёх следующих соотношений:

Но дуга AВ не может быть меньше дуги СК, так как тогда по прямой теореме хорда АВ была бы меньше хорды СК, а это противоречит условию теоремы.

Дуга АВ не может быть равна дуге СК, так как тогда хорда АВ равнялась бы хорде СК, а это тоже противоречит условию. Следовательно, \(\breve <АВ>> \breve<СК>\).

Свойство дуг, заключенных между параллельными хордами

Теорема. Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны.

Пусть хорда AB параллельна хорде СD (рис. 316).

Требуется доказать, что \(\breve = \breve\). Проведём диаметр MN ⊥ AB. Так как CD || AB, то MN ⊥ CD.
Перегнём чертёж по диаметру MN так, чтобы правая часть совпала с левой.

Тогда точка В совпадёт с точкой А, так как они симметричны относительно оси MN (AB ⊥ MN по построению и AK = KB).

Аналогично, точка D совпадёт с точкой С. Отсюда \(\breve = \breve\).

Свойство дуг, заключённых между касательной и параллельной ей хордой

Теорема. Дуги, заключённые между касательной и параллельной ей хордой, равны.

Пусть касательная АВ и хорда СD параллельны. Точка Е — точка касания прямой АВ с окружностью О (рис. 320).

Требуется доказать, что \(\breve = \breve\).

Для доказательства соединим точку касания Е с центром круга.

OE ⊥ AB, а так как СD || АВ, то OE ⊥ CD, а перпендикуляр к хорде, проведённый из центра той же окружности, делит стягиваемую ею дугу пополам.

Следовательно, \(\breve = \breve\).

Диаметр, перпендикулярный к хорде

Теорема 1. Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею дуги пополам.

Пусть диаметр AB перпендикулярен к хорде CD (черт. 312). Требуется доказать, что
$$ CE = ED, \breve = \breve, \breve = \breve $$

Соединим точки С и D с центром окружности О. В равнобедренном треугольнике СОD отрезок ЕО является высотой, проведённой из вершины О на основание CD; следовательно, ОЕ является и медианой и биссектрисой, т. е. СЕ = ЕD и ∠1 = ∠2. Но ∠1 и ∠2 суть центральные углы. Отсюда равны и соответствующие им дуги, а именно
$$ \breve = \breve $$
Дуги CA и ВА также равны между собой, как дополняющие равные дуги до полуокружности.

Теорема 2 (обрaтная). Диаметр, проведённый через середину хорды, не проходящей через центр, перпендикулярен к ней и делит дуги, стягиваемые хордой, пополам.

Пусть диаметр AB делит хорду CD пополам. Требуется доказать, что AB ⊥ CD,

Соединим точки С и В с центром круга. Получим равнобедренный треугольник СОD, в котором ОК является медианой, а значит, и высотой. Следовательно, AB⊥CD, а отсюда (по теореме 1) следует, что
$$ \breve = \breve; \breve = \breve $$

Теорема 3 (обратная). Диаметр, проведённый через середину дуги, делит пополам хорду, стягивающую эту дугу, и перпендикулярен к этой хорде.

Пусть диаметр AB делит дугу СВD пополам (черт. 313). Требуется доказать, что

Соединим центр круга О с точками С и D. В равнобедренном треугольнике СОD отрезок ОК является биссектрисой угла СОD, так как по условию теоремы \(\breve\) = \(\breve\), поэтому ОК будет и медианой и высотой этого треугольника. Следовательно, диаметр AB проходит через середину хорды и перпендикулярен к ней.

Источник