Что значит сравнить числа
Сравнение натуральных чисел
Сравнить два числа — это значит определить, равны они или нет, если нет, то определить, какое из них больше, а какое — меньше.
Равные и неравные натуральные числа
Если записи двух натуральных чисел одинаковы, то говорят, что эти числа равны между собой. Числа, которые равны, называются равными. Если записи двух натуральных чисел отличаются, то говорят, что эти числа не равны. Числа, которые не равны, называются неравными.
Пример. Натуральное число 34 равно числу 34 (их записи одинаковы), а натуральные числа 63 и 67 не равны (их записи различны). Следовательно числа 34 и 34 — равные, а 63 и 67 — неравные.
Равенства и неравенства
Для записи результата сравнения чисел используются следующие знаки:
Запись, которая состоит из математических выражений, между которыми ставится знак = называется равенством.
2 + 3 = 5 — равенство.
2 + 2 = 1 + 1 + 2 — равенство (подобные записи представляют собой равенство двух числовых выражений, и означают равенство значений этих выражений).
Равенства могут быть как верными (например, 5 = 5 — верное равенство), так и неверными (например, 11 = 14 — неверное равенство).
Знаки > и должны быть обращены остриём к меньшему числу.
Запись, которая состоит из математических выражений, между которыми ставится знак > или называется неравенством.
2 8 — неверное неравенство).
Правила чтения равенств и неравенств
Равенства и неравенства читаются слева направо. Левая часть равенства читается в именительном падеже, а правая — в дательном.
Пример. 7 = 7 — семь равно семи.
Левая часть неравенства читается в именительном падеже, а правая — в родительном.
Пример. 11 > 9 — одиннадцать больше девяти, 3 Пример. Сравним числа 1 и 3, 7 и 4. Запишем все однозначные натуральные числа в одной строке в следующем порядке:
Число 1 меньше числа 3 (1 4), так как в натуральном ряду число 7 находится правее числа 4.
Для применения правил сравнения чисел по их десятичной записи необходимо принять одну условность: будем считать, что число 0 меньше любого натурального числа, и что нуль равен нулю.
Правила сравнения натуральных чисел по их десятичной записи:
Если записи сравниваемых чисел состоят из одинакового количества цифр, то числа сравниваются поразрядно слева направо. Большим будет считаться то число, у которого первая (слева направо) из неодинаковых цифр больше.
Когда говорят, что цифры равны (или одна цифра больше другой), то имеют ввиду, что соответствующие им числа равны (или одно число больше другого).
Пример. Сравним натуральные числа 4026 и 4019. Для удобства сравнения можно записать их одно под другим:
Сначала сравниваем значения разряда тысяч. Получаем равенство 4 = 4, поэтому переходим к сравнению значений следующего разряда. Опять получаем равенство 0 = 0, переходим к сравнению значений разряда десятков. Теперь имеем неравенство 2 > 1, из которого делаем вывод, что число 4026 больше числа 4019 (4026 > 4019), потому что у первого числа, цифра разряда десятков (2) больше, чем цифра разряда десятков (1) у второго числа.
Если количество цифр в записи сравниваемых чисел разное, то большим будет считаться то число, у которого количество цифр больше.
Пример. Сравним натуральные числа 347 503 и 34 503. Для удобства сравнения можно записать их одно под другим:
Записав числа одно под другим, можно наглядно заметить, что первое число имеет большее количество цифр, чем второе, следовательно 347 503 > 34 503.
Два натуральных числа равны, если у них одинаковое количество цифр и цифры одинаковых разрядов равны.
Пример. Сравним числа 38 526 734 и 38 526 734. Для удобства сравнения можно записать их одно под другим:
38 526 734
38 526 734
Записи данных чисел одинаковы (количество цифр и цифры одинаковых разрядов равны), следовательно эти числа равны.
Двойные неравенства, тройные неравенства и т. д.
Когда нужно записать, что одно число больше другого, но меньше третьего, часто используют двойные неравенства.
В виде двойного неравенства можно записывать результат сравнения трёх натуральных чисел.
Пример. Допустим, нужно сравнить три натуральных числа 11, 34 и 8. Сравнивая данные числа между собой, получим три неравенства 11 8, которые можно записать как двойное неравенство:
Сравнение натуральных чисел
Вам уже известно, что натуральные числа используются для обозначения количества тех или иных предметов. Возьмем, к примеру, конфеты. Мама купила шоколадные батончики и высыпала их кучкой на столе. Дети пересчитали, и их оказалось 25 штук.
Пришел с работы папа и высыпает рядом еще конфеты. На первый взгляд, эта кучка не отличается от первой, но пересчитав количество папиных конфет, дети увидели, что их всего 23. Значит, эти кучки разные. Чтобы это выяснить, дети произвели два действия:
Сравнить натуральные числа – это означает узнать, отличаются ли они друг от друга или они одинаковые. Если сравниваемые числа отличаются, тогда мы может узнать, что одно число больше другого, а второе, соответственно, меньше первого.
Как сравнить натуральные числа
Сравнить натуральные числа можно такими способами:
В результате сравнения мы можем получить:
Равенство натуральных чисел
Если два натуральных числа имеют полностью одинаковую запись, то и записанные с их помощью числа одинаковы (говорят просто – они равны). Если их записи отличаются, тогда эти числа не равны.
Если мы определили, что числа не равны, тогда нам необходимо выяснить, какое положение они занимают по отношению друг к другу, большее или меньшее.
Запись и чтение неравенств
Неравенство – это запись чисел или математических выражений, которая содержит знаки неравенства.
Читается подобная запись следующим образом. Первое число называется в именительном падеже (кто? что?), а второе в родительном (кого? чего?). Например, так: «два меньше четырех», «восемьдесят девять больше семидесяти восьми».
Если стрелка смотрит влево: « меньше » и означает, что слева от него находится число меньшее, чем справа.
Если стрелка смотрит вправо: «>», такой знак называется « больше » и означает, что слева от него находится большее число, чем справа.
Стрелка знака всегда указывает на меньшее число, а двойная вилка – на большее!
Например, дано неравенство 5 верным (правильно отмеченным), например, 1 неверным (неправильно отмеченным), например, 5>6.
Сравнение однозначных натуральных чисел с помощью ряда
Этот способ лучше всего подходит для сравнения однозначных натуральных чисел.
Меньшим называют число, которое в натуральном ряду находится раньше другого, а большим – то, которое расположено позже другого.
Например, число 2 в натуральном ряду стоит раньше, чем число 4, значит, 2 8.
Число 1 (единица) – самое меньшее из натуральных чисел, поскольку стоит в натуральном ряду первым.
На координатном луче меньшее число обозначается раньше (левее), а большее число – позже (правее) другого числа.
Рис. 1. Большее и меньшее число на координатном луче.
Действительно, чем больше в числе цифр, тем выше разряд самой первой цифры в этом числе.
К примеру, 123456>12345, потому что в первом числе цифра 1 обозначает сотню тысяч, а во втором – десяток тысяч.
Поэтому, для решения задач на сравнение чисел с разным количеством цифр, из которых они состоят, нам достаточно сравнить эти количества:
123456 – шестизначное число, 6 цифр;
12345 – пятизначное число, 5 цифр;
Например, сравним два числа: 12336 и 12345. Оба числа пятизначные. Значит, сравниваем каждую цифру, начиная с 5 разряда (десятков тысяч):
Сравнение двух, трех, и более чисел
Сравнивать между собой можно не только два натуральных числа.
Вернемся к примеру с конфетами на столе. Бабушка тоже купила конфеты и высыпала их на столе. Дети пересчитали их, и в бабушкиной кучке оказалось 33 штуки. Количество конфет мы можем записать натуральными числами: 25, 23 и 33.
Сравнив их между собой, мы увидим три неравенства:
Гораздо удобнее записать результат сравнения в виде двойного неравенства :
23 
Как видите, все неравенства верны.
Чтобы быстро записать двойное, тройное, и т.д. неравенство, нужно расставить данные числа слева направо в порядке возрастания (предварительно сравнив между собой), оставив небольшие промежутки между ними. А после этого в оставленные промежутки записать знаки
Урок 30 Бесплатно Сравнение чисел
В этом уроке мы научимся сравнивать числа как с разными, так и c одинаковыми знаками.
Узнаем, что такое быстрое сравнение с нулем, а также поговорим про то, что касается сравнения чисел и модулей.
Сравнение чисел с одинаковым знаком
Со сравнением двух чисел, оба из которых больше нуля, вы уже знакомы: для этого мы просто смотрим на числа, их разряды и понимаем, какое из них больше. Для нас очевидно еще с начальной школы, что 3 больше, чем 2, 154 больше, чем 145, 1428 больш,е чем 425, и так далее.
Если говорить про отрицательные числа, то для начала приведем аналогию из реальной жизни.
То есть, казалось бы, 10 больше, чем 7, но при этом -10°С меньше, чем -7°С.
Чтобы сравнить два числа, оба из которых отрицательные, надо сравнить их модули, тогда меньше будет то число, у которого модуль больше.
Это же работает и в обратную сторону.
Если два числа отрицательны и модуль первого меньше модуля второго, то первое число больше второго.
Если оба числа отрицательны и их модули равны, то и сами числа равны.
Пример:
Допустим, необходимо сравнить \(\mathbf<-324>\) и \(\mathbf<-245>\)
Первым делом находим модули:
Также сравним \(\mathbf<-5>\) и \(\mathbf<-5>\)
Мы видим, что модули чисел равны, к тому же, они оба отрицательны, значит эти числа равны.
Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации
Сравнение чисел с разными знаками
Сейчас мы познакомимся с одним интересным свойством сравнения, которое позволит нам сравнивать числа с разными знаками вообще без каких-либо усилий с нашей стороны.
Задумывались ли вы раньше, почему если мы знаем, что Борис выше Анны, а Сергей выше Бориса, мы сразу сделаем вывод, что Сергей выше и Анны тоже?
Или если мы знаем, что Ваня пришел раньше Пети, а Петя раньше Ильи, то мы делаем вывод, что Ваня пришел раньше Ильи.
Это свойство называется транзитивностью.
Если говорить абстрактно, то это свойство говорит о следующем: если между объектом А и объектом Б есть транзитивное отношение и между объектом Б и объектом В тоже есть это же транзитивное отношение, то это значит, что это отношение есть между А и В.
Звучит может немного непонятно, но на примере со сравнением сейчас все встанет на свои места.
Отношения «быть больше», «быть равным» и «быть меньше» обладают свойством транзитивности.
Поэтому если мы знаем, что 2 меньше, чем 3, а 3 меньше, чем 4, то мы можем утверждать, что 2 меньше, чем 4.
Зафиксируем эти правила коротко и емко.
1. Если а меньше b и b меньше с, то а меньше с
2. Если a больше b и b больше с, то а больше с
3. Если а равно b и b равно с, то а равно с
Более подробно про отношения говорят на курсах высшей математики, дискретной математики или математической логики, но при этом бояться таких абстрактных понятий не стоит.
Теперь мы можем применить это мощное свойство к сравнению чисел с разными знаками.
Мы знаем, что отрицательные числа меньше нуля.
Также мы знаем, что положительные числа больше или, другими словами, нуль меньше положительных чисел.
Тогда, зная транзитивность отношения «меньше», мы можем прийти к выводу, что a меньше с.
Заметьте, что мы нигде ни для а, ни для с не предполагали конкретных значений, а значит, любое отрицательное число меньше любого положительного.
Те же самые рассуждения можно провести в обратную сторону и получить, что любое положительное число больше любого отрицательного.
Итак, посмотрим, как происходит процесс сравнения чисел с разными знаками на практике.
Пример 1
Сравним \(\mathbf<-5>\) и \(\mathbf<3>\).
\(\mathbf<-5>\)- отрицательное число, \(\mathbf<3>\)— положительное.
Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации
Мерзляк 5 класс — § 6. Сравнение натуральных чисел
Вопросы к параграфу
1. Что значит сравнить два различных натуральных числа? — это значит определить, какое из них больше, а какое меньше.
2. Как, используя натуральный ряд, можно определить, какое из двух натуральных чисел меньше? Больше? — в натуральном ряду меньшие числа стоят раньше. а большие — позже.
3. Какое число меньше любого натурального числа? — число 0.
4. Как сравнивать натуральные числа, имеющие разное количество цифр? — надо посчитать количество цифр в каждом числе — большим будет то, у которого цифр больше.
5. Какое из натуральных чисел с одинаковым количеством цифр больше? — если количество цифр одинаковое, то надо посмотреть на первую неодинаковую цифру, двигаясь слева на право. Большим будет число у которого первая (при чтении слева) неодинаковая цифра больше.
6. Как на координатном луче расположена точка с меньшей координатой относительно точки с большей координатой? — точка с меньшей координатой всегда расположена левее, чем точка с большей координатой.
Решаем устно
1. Какое из чисел 516 и 615 расположено на координатном луче левее?
Левее расположено число 516, так 516
2. Какое из чисел 405 и 504 расположено на координатном луче правее?
Правее расположено число 504, так как 504 > 405.
3. В 8 ч термометр показывал температуру 4 °С, а в 14 ч — 12 °С. Чему равна цена деления этого термометра, если его столбик поднялся на четыре деления?
1) 12 — 4 = 8 (°С) — поднялась температура с 8 до 14 часов.
2) 8 : 4 = 2 (°С) — цена деления этого термометра.
4. Вычислите:
5. В коробке лежат пять красных и три зелёных карандаша. Наугад из неё вынимают по одному карандашу. Какое наименьшее количество карандашей надо взять, чтобы среди них были хотя бы два красных и один зелёный?
Если вынимать из коробки наугад по одному карандашу, то могут подряд попадаться все красные или все зелёные карандаши. Красных карандашей в коробке больше (5 > 3), значит существует вероятность, что первые 5 попыток мы будем вытаскивать красные карандаши, но в шестую попытку нам обязательно попадётся зелёный, так как красных в коробке уже не останется.
То есть после 6 попыток у нас точно будет как минимум 1 жёлтый карандаш и как минимум 2 красных.
Ответ: 6 карандашей.
Упражнения
142. Прочитайте неравенство:
143. Запишите в виде неравенства утверждение:
144. Сравните числа:
145. Сравните числа:
146. Расположите в порядке возрастания числа: 894, 479, 846, 591, 701.
479, 591, 701, 846, 894
147. Расположите в порядке убывания числа: 639, 724, 731, 658, 693.
731, 724, 693, 658, 639
148. Назовите все натуральные числа, которые:
149. Запишите все натуральные числа, которые:
150. Отметьте на координатном луче все натуральные числа, которые:
1) меньше 12
Натуральные числа, которые меньше 12: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11.
2) больше 4, но меньше 10
Натуральные числа, которые больше 4, но меньше 10: 5, 6, 7, 8, 9.
151. Запишите цифру, которую можно поставить вместо звёздочки, чтобы получилось верное неравенство (рассмотрите все возможные случаи):
152. Запишите цифру, которую можно поставить вместо звёздочки, чтобы получилось верное неравенство (рассмотрите все возможные случаи):
153. 1) Запишите какое-либо натуральное число, которое больше 473 и меньше 664, содержащее цифру 5 в разряде десятков. Сколько таких чисел можно написать?
Этому условию удовлетворяют:
Значит таких чисел можно написать 10 + 10 = 20 штук.
2) Запишите какое-либо натуральное число, которое больше 578, но меньше 638, содержащее цифру 6 в разряде сотен. Сколько таких чисел можно написать? Запишите наименьшее и наибольшее из таких чисел.
Этому условию удовлетворяют:
Значит таких чисел можно написать 10 + 10 + 10 + 8 = 38 штук.
Ответ: 38 чисел, 600 и 637.
154. Запишите какое-либо натуральное число, которое больше 2 364 и меньше 2 432, содержащее цифру 8 в разряде единиц. Сколько таких чисел можно написать? Запишите наименьшее и наибольшее из таких чисел.
Этому условию удовлетворяют:
Значит таких чисел можно написать 7 штук.
Ответ: 7 чисел, 2 368 и 2 428.
155. На координатном луче отметили числа 5, 12, а, b и с (рис. 64). Сравните:
Расставим числа, обозначающие количество собранных грибов в порядке возрастания:
Из условия мы знаем, что собрали грибов:
Теперь расставим ребят в порядке возрастания количества собранных ими грибов:
Соотнесём количество собранных грибов с именами ребят:
Ответ: Маша — 34 гриба, Дима — 58 грибов, Петя — 76 грибов, Катя — 82 гриба.
157. Запишите в виде двойного неравенства утверждение:
158. Запишите в виде двойного неравенства утверждения:
159. В записи чисел вместо нескольких цифр поставили звёздочки. Сравните эти числа:
160. В записи чисел вместо нескольких цифр поставили звёздочки. Сравните эти числа:
161. Сравните:
1) 2 км > 1 968 м
так как 2 км = 2 000 м, а 2 000 м > 1 968 м
2) 4 дм
так как 4 м = 40 дм, а 4 дм
3) 3 км 94 м
так как 3 км 94 м = 3 094 м, а 3 094
4) 712 кг
так как 8 ц = 800 кг, а 712 кг
8) 5 т 7 ц 36 кг
так как 5 т 7 ц 36 кг = 5 т 736 кг, а 5 т 736 кг
9) 8 т
так как 8 т = 80 ц, а 80 ц
10) 83 дм 7 см > 8 м 30 см.
так как 8 м 30 см = 80 дм 30 см, а 83 дм 7 см > 80 дм 30 см
162. Сравните:
1) 6 892 м
так как 7 км = 7 000 м, а 6 892 м
2) 8 см
так как 8 дм = 80 см, а 8 см
3) 4 км 43 м
так как 4 км 43 м = 4 043 м, а 4 043 м
4) 27 дм 3 см > 270 см;
так как 27 дм 3 см = 273 см, а 273 см > 270 см
5) 9 ц > 892 кг;
так как 9 ц = 900 кг, а 900 кг > 892 кг
6) 2 ц 86 кг и 264 кг;
так как 2 ц 86 кг = 286 кг, а 286 кг > 264 кг
7) 3 т 248 кг
так как 3 т 248 кг = 32 ц 48 кг, а 32 ц 48 кг
8) 12 т 2 кг = 120 ц 2 кг.
так как 12 т 2 кг = 120 ц 2 кг, а 120 ц 2 кг = 120 ц 2 кг
Упражнения для повторения
163. Вычислите:
164. Из 24 м ткани можно сшить семь одинаковых платьев. Сколько таких платьев можно сшить из 48 м этой ткани?
1) 48 : 24 = 2 (раза) — больше ткани использовали на платья.
2) 7 • 2 = 14 (платьев) — можно сшить из 48 метров ткани.
165. Знаменитый университет Сорбонна, находящийся в Париже (Франция), основан в 1215 г. Он основан на 6 лет позже Кембриджского университета (Великобритания) и на 540 лет раньше Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова.
Определите год основания:
Сколько лет исполняется в этом году Новосибирскому государственному университету, если Кембриджский университет основан раньше него на 750 лет?
1) 1215 — 6 = 1209 (год) — год основания Кембриджского университета.
2) 1215 + 540 = 1755 (год) — год основания Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова.
3) 1209 + 750 = 1959 (год) — год основания Новосибирского государственного университета.
4) 2020 — 1959 = 61 (год) — исполняется в 2020 году Новосибирскому государственному университету.
Ответ: Кембриджский университет основан в 1209 году, Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова основан в 1755 году, Новосибирскому государственному университету в 2020 году исполняется 61 год.
Задача от мудрой совы
166. Семь гномов собрали вместе 28 грибов. Все они собрали разное количество грибов, и ни у кого не оказалось пустой корзинки. Сколько грибов собрал каждый гном?
Используем метод подбора.
Минимальное количество грибов, которое могли собрать гномы — 1 гриб. Предположим, что:
Тогда вместе они собрали:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28 (грибов)
Это соответствует условию задачи. Значит наше предположение было верным.
Сравнение целых чисел: правила, примеры
После того, как получили полное представление о целых числах, можно говорить об их сравнении. Для этого выясняется, какие числа равные и неравные. Разберутся правила, благодаря которым выясняем, какие из двух неравных больше или меньше. Это правило основано на сравнении натуральных чисел. Будет рассмотрено сравнение трех и более целых чисел, нахождение наименьшего и наибольшего целого числа из заданного множества.
Равные и неравные целые числа
Сравнение двух чисел приводит к тому, что они либо равны либо не равны. Рассмотрим определения.
Два целых числа называют равными, когда их запись полностью совпадает. Иначе они считаются неравными.
При сравнивании чисел используется правило модуля числа.
Если два числа имеют одинаковые знаки и их модули равны, то эти два числа считаются равными. Иначе их называют не равными.
Рассмотрим на примере данное определение.
Видно, что числа имеют одинаковый знак, но это не значит, что они равны. Для сравнения используется модуль числа. По модулю первое число оказалось меньше второго. Они не равны ни по модулю, ни без него.
Значит, делаем вывод, что числа не равны.
Рассмотрим еще пример.
Если получаем неравные числа, тогда необходимо уточнение, какое из них меньше и какое больше.
Сравнение произвольных целых чисел с нулем
При сравнении отрицательных чисел с нулем другая ситуация. Все числа, которые меньше нуля, считаются отрицательными. Отсюда делаем вывод, что любое отрицательное число меньше нуля, нуль равен нулю, а любое целое положительное больше нуля. Суть правила заключается в том, что нуль больше отрицательных чисел, но меньше всех положительных.
Сравнение положительных целых чисел
Все целые положительные числа являются натуральными. Значит, равнение положительных чисел аналогично сравнению натуральных.
Рассмотрим еще один пример.
Сравнение целых отрицательных и положительных чисел
Любое целое отрицательное число меньше целого положительного и наоборот.
Сравним несколько чисел и рассмотрим на примере.
Сравнение целых отрицательных чисел
Рассмотрим правило сравнения:
Из двух отрицательных чисел меньшим является то, модуль которого больше и наоборот.
Рассмотрим на примере.
Сравниваемые целые числа на координатной прямой
Рассмотрим целые числа, расположенные на координатной прямой.
Из рассмотренных выше правил получим, что на горизонтальной координатной прямой точки, которым соответствуют большие целые числа, то есть лежат правее тех, которым соответствуют меньшие.
Начало отсчета – это ноль. Он больше всех отрицательных и меньше всех положительных. Также и с точками, находящимися на координатной прямой.
Наибольшее отрицательное и наименьшее положительное целое число
В предыдущих пунктах подробно было рассмотрено сравнение двух целых чисел. В данном пункте поговорим о сравнении трех и более чисел, рассмотрим ситуации.
Когда производится сравнение нескольких чисел, то появляется определение наибольшего и наименьшего значения числа.
Число заданного множества считается наименьшим, если оно меньше любого другого из заданных чисел множества.
Число заданного множества является наибольшим, если оно больше любого другого из заданных чисел множества.
Очевидно, что множество целых чисел огромно и бесконечно, поэтому указать наименьшее или наибольшее число невозможно. Это можно сделать только в заданном множестве чисел. Число, расположенное правее на координатной прямой, всегда считается большим, чем то, которое левее.