Что значит сократить одночлен

Одночлен и его стандартный вид

теория по математике 📈 алгебраические выражения

Одночлен – это простейшее алгебраическое выражение, которое состоит из произведения чисел, переменных и их степеней. Никаких других действий одночлен не имеет. Числовой множитель у одночлена называется коэффициентом.

Пример №1. Рассмотрим примеры одночленов.

Стандартный вид одночлена

Чтобы определить коэффициент у одночлена, он должен быть представлен в стандартном виде.

Что такое одночлен стандартного вида?

Одночлен стандартного вида – это одночлен, у которого на первом месте стоит коэффициент, а далее – буквенные множители (переменные).

Такие одночлены приведены в примере №1. Рассмотрим, как привести одночлен к стандартному виду.

Здесь выполняем умножение чисел 3 и (-2), затем степеней х и у (при умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываем, а основание оставляем тем же); записываем на первом месте число (коэффициент одночлена), а затем уже степени. Получаем одночлен стандартного вида.

-12a 3 b 2 (-4b 7 )=48a 3 b 9

Данный ответ получен после умножения чисел и степеней с одинаковым основанием. Записан на первом месте коэффициент 48, а затем остальные множители.

Степень одночлена

Сумму показателей степени переменных называют степенью одночлена.

Рассмотрим, как найти степень одночлена.

– 113с 3 х 6

У переменных показатели степени равны 3 и 6, складываем их и получаем 9. Значит, степень одночлена равна 9. Пример №5.

18ху

У этого одночлена степень равна 2, так как у переменных х и у первая степень, складывая 1 и 1, получаем 2.

Источник

Действия с одночленами

В предыдущей статье мы рассказали, что из себя представляют одночлены. В этом материале разберем, как решать примеры и задачи, в которых они применяются. Здесь будут рассмотрены такие действия, как вычитание, сложение, умножение, деление одночленов и возведение их в степень с натуральным показателем. Мы покажем, как определяются такие операции, обозначим основные правила их выполнения и то, что должно получится в результате. Все теоретические положения, как обычно, будут проиллюстрированы примерами задач с описаниями решений.

Удобнее всего работать со стандартной записью одночленов, поэтому все выражения, которые будут использованы в статье, мы приводим в стандартном виде. Если изначально они заданы иначе, рекомендуется сначала привести их к общепринятой форме.

Правила сложения и вычитания одночленов

Наиболее простые действия, которые можно проводить с одночленами – это вычитание и сложение. В общем случае результатом этих действий будет являться многочлен (одночлен возможен в некоторых частных случаях).

Когда мы складываем или вычитаем одночлены, сначала записываем в общепринятой форме соответствующую сумму и разность, после чего упрощаем получившееся выражение. Если есть подобные слагаемые, их нужно привести, скобки – раскрыть. Поясним на примере.

Запишем сумму исходных выражений. Добавим скобки и поставим между ними плюс. У нас получится следующее:

Если у нас задано три, четыре и больше слагаемых, мы осуществляем это действие точно так же.

Условие: проведите в правильном порядке указанные действия с многочленами

Начнем с раскрытия скобок.

Мы видим, что полученное выражение можно упростить путем приведения подобных слагаемых:

У нас получился многочлен, который и будет результатом данного действия.

В принципе, мы можем выполнить сложение и вычитание двух одночленов с некоторыми ограничениями так, чтобы получить в итоге одночлен. Для этого нужно соблюсти некоторые условия, касающиеся слагаемых и вычитаемых одночленов. О том, как это делается, мы расскажем в отдельной статье.

Правила умножения одночленов

Действие умножения не налагает никаких ограничений на множители. Умножаемые одночлены не должны соответствовать никаким дополнительным условиям, чтобы в результате получится одночлен.

Чтобы выполнить умножение одночленов, нужно выполнить следующие шаги:

Посмотрим, как это делается на практике.

Начнем с составления произведения.

Раскрываем в нем скобки и получаем следующее:

Далее нам нужно объединить числовые множители в одну группу, а потом сгруппировать множители с одинаковыми переменными:

Все, что нам осталось сделать – это умножить числа в первых скобках и применить свойство степеней для вторых. В итоге получим следующее:

Если у нас в условии стоят три многочлена и больше, мы умножаем их по точно такому же алгоритму. Более подробно вопрос умножения одночленов мы рассмотрим в рамках отдельного материала.

Правила возведения одночлена в степень

Мы знаем, что степенью с натуральным показателем называют произведение некоторого числа одинаковых множителей. На их количество указывает число в показателе. Согласно этому определению, возведение одночлена в степень равнозначно умножению указанного числа одинаковых одночленов. Посмотрим, как это делается.

( − 2 · a · b 4 ) 3 = ( − 2 · a · b 4 ) · ( − 2 · a · b 4 ) · ( − 2 · a · b 4 ) = = ( ( − 2 ) · ( − 2 ) · ( − 2 ) ) · ( a · a · a ) · ( b 4 · b 4 · b 4 ) = − 8 · a 3 · b 12

А как быть в том случае, когда степень имеет большой показатель? Записывать большое количество множителей неудобно. Тогда для решения такой задачи нам надо применить свойства степени, а именно свойство степени произведения и свойство степени в степени.

Решим задачу, которую мы привели выше, указанным способом.

Условие: выполните возведение − 2 · a · b 4 в третью степень.

Зная свойство степени в степени, мы можем перейти к выражению следующего вида:

Возведению одночлена в степень мы также посвятили отдельную статью.

Правила деления одночленов

Последнее действие с одночленами, которое мы разберем в данном материале, – деление одночлена на одночлен. В результате мы должны получить рациональную (алгебраическую) дробь (в некоторых случаях возможно получение одночлена). Сразу уточним, что деление на нулевой одночлен не определяется, поскольку не определяется деление на 0.

Для выполнения деления нам нужно записать указанные одночлены в форме дроби и сократить ее, если есть такая возможность.

Начнем с записи одночленов в форме дроби.

Эту дробь можно сократить. После выполнения этого действия получим:

3 · x 2 · y · z 7 2 · p 3 · t 5

Условия, при которых в результате деления одночленов мы получим одночлен, приводятся в отдельной статье.

Источник

Многочлен. Упрощение, степень, стандартный вид, нуль-многочлены

Содержание

Мы с вами уже разобрали, чем являются одночлены, и выяснили, что при произведении одночленов также получится одночлен. Однако совсем иная ситуация обстоит с суммой одночленов. Давайте рассмотрим на примере:

Если данные выражения не являются одночленами, то какое название мы можем им дать? Все просто – такие примеры называют многочленами.

Многочлены – это выражения, которые являются суммой нескольких одночленов.

Упрощение многочленов

Многочлены могут быть как небольшими, так и состоящими из нескольких частей. Давайте рассмотрим несколько примеров таких выражений:

В выражениях может находиться несколько подобных членов, что позволяет упростить само выражение. В данном выражении мы можем увидеть подобные одночлены, которые закрашены одинаковыми цветами:

Для упрощения такого многочлена нам нужно использовать правило подобных слагаемых, т.е. произвести отдельные арифметические действия над каждой подобной частью. В конце у нас получится такое выражение:

Такое упрощение называют приведением подобных членов многочлена. Это преобразование позволяет заменить многочлен на тождественно равный ему, но более простой – с меньшим количество членов.

Стандартный вид многочленов

Многочлен, состоящий из одночленов стандартного вида, расположенных в порядке убывания степеней и среди которых нет подобных, называют многочленом стандартного вида.

Одночлены в многочлене стандартного вида располагают в порядке убывания их степени, а свободный одночлен записывают в самом конце. Для примера можно привести следующие выражения:

Стоит отметить, что любой многочлен можно привести к стандартному виду, если привести подобные. То есть из выражения нестандартного вида:

Мы можем получить выражение стандартного вида:

Степень многочлена

Рассмотрим многочлен стандартного вида:

Степенью многочлена стандартного вида называют наибольшую из степеней одночленов, из которых этот многочлен составлен.

Давайте рассмотрим еще несколько примеров многочленов с их степенями:

$\color3x^<2>-xy+5y^<2>$ – степень равна двум

$\color 3x^<4>y^<2>$ – степень равна шести

$\color 3$ – степень равна нулю

Коэффициенты многочленов

Выделенные числа и будут являться коэффициентами переменных множителей.

Нуль-многочлены

Число 0, а также многочлены, которые тождественно равны нулю, называют нуль-многочленами. Примеры таких выражений:

Их не относят к многочленам стандартного вида и считается, что нуль-многочлены не имеют степени.

Источник

Одночлен. Подобные одночлены. Степень одночлена.

Одночленом является выражение, содержащее числа, натуральные степени переменных и их произведения, причем оно не должно содержать любых действий с этими числами и переменными.

Одночлен (или моном) — простое выражение в математике, которое рассматривается и используется в элементарной алгебре. Если точнее, произведение, которое состоит из числового множителя и 1-ной либо нескольких переменных, каждая из которых взята в положительной степени.

Или другими словами:

Стандартным видом одночлена является одночлен как произведение числового множителя, который стоит на 1-ом месте, и степеней разных переменных. Каждый одночлен возможно привести к стандартному виду методом перемножения всех переменных и чисел, которые входят в него.

Приведение одночлена к стандартному виду:

Произведение одночленов тоже является одночленом.

Одночлен в некоторой натуральной степени тоже оказывается одночленом.

Результаты таких действий (умножение одночленов и возведение одночлена в степень) обычно приводятся к стандартному виду.

Число 0 является нулевым одночленом.

Подобные одночлены.

2 одночлена, которые приведены к стандартному виду, являются подобными, когда они совпадают либо отличаются лишь числовым коэффициентом.

Сложение и вычитание подобных одночленов является приведением подобных слагаемых.

Одночлены, у которых произведения переменных одинаковы (порядок их может отличаться) называются подобными одночленами.

Подобными одночленами являются и ; и ; и ; 5 и −3; и .

Подобными одночленами не являются и .

Если у подобных одночленов коэффициенты равны, то они являются равными (одинаковыми) одночленами.

Подтвердить это можно, записав одночлены в стандартном виде:

8xy 3 ; xy 3 ; 8y 3 x; 2⋅4xyyy; 8x 3 y => 8xy 3 ; xy 3 ; 8xy 3 ; 8xy 3 ; 8x 3 y;

Если у подобных одночленов коэффициенты оказываются противоположными числами, то такие одночлены являются противоположными.

Умножение одночленов. Возведение одночленов в степень.

При умножении одночленов и возведении одночленов в степень пользуются правилом умножения степеней с одинаковым основанием и правилом возведения степени в степень. При этом получают одночлен, представляемый обычно в стандартном виде.

Для того, чтобы умножить одночлен на одночлен, необходимо умножить их коэффициенты и степени с равными основаниями.

Что бы возвести одночлена в степень, необходимо возвести его коэффициент в эту степень и умножить показатель степени всех букв на показатель степени, в которую возводится одночлен.

Для того, чтобы поделить одночлен на одночлен, необходимо поделить коэффициенты делимого на коэффициент делителя, к найденной части дописать множителями все буквы делимого с показателем, который равен разнице показателей этой буквы в делимом и делителе.

Складывая и вычитая многочлены используют правило раскрытия скобок.

Чтобы умножить одночлен на многочлен, необходимо все члены многочлена умножить на этот одночлен и одночлены, которые получены, сложить.

Чтобы умножить многочлен на многочлен, необходимо все члены 1-го многочлена домножить на все члены второго многочлена и члены, которые получены, сложить.

Чтобы разделить многочлен на одночлен, необходимо все члены многочлена разделить на этот одночлен и результаты, которые получены, сложить.

Источник

Одночлен — что это за понятие в алгебре, и какими бывают одночлены?

Изучение алгебры идет от простого к сложному — но если пропустить одну из начальных тем, то разобраться в последующих будет очень трудно. Базовым алгебраическим понятием считаются одночлены и состоящие из них числовые выражения и уравнения.

Что такое одночлены, какими они бывают, и каким правилам подчиняются?

Одночлены — простые буквенно-числовые произведения

Согласно любому учебнику, одночленами называют:

Усвоить суть термина легко на примере. Например, можно взять следующие выражения:

Во всех приведенных выражениях числа и буквенные переменные со степенями умножены друг на друга. Соответственно, вне зависимости от длины и сложности выражений все они являются одночленами.

Стандартный одночлен — что это такое?

При решении некоторых буквенно-числовых выражений одночлены по условиям задачи требуется привести к стандартному виду. Фактически это означает, что выражение нужно упростить — записать в такой форме, чтобы читать и решать его было максимально удобно.

Для стандартных одночленов действуют такие правила:

Если числовых коэффициентов и однотипных буквенных переменных в выражении несколько, то сначала их требуется перемножить между собой.

При работе с одночленами важно не забывать, что иногда числового коэффициента перед переменными может и не быть. Однако в таких случаях он подразумевается. Например, одночлен x 2 подразумевает наличие коэффициента, равного единице, но для удобства единица пропускается в буквенно-числовой записи.

Источник