Что значит слово выразить в математике
Что такое числовые выражения
Содержание статьи
Отличительной особенностью выражения является наличие математических действий. Оно обозначаются определенными знаками (умножения, деления, вычитания или сложения). Последовательность выполнения математических действий при необходимости корректируется скобками. Выполнить математические действия – значит найти значение выражения.
Что не является выражением
Не всякую математическую запись можно отнести к числу выражений.
Равенства не являются выражениями. Присутствуют при этом в равенстве математические действия или нет, не имеет значения. Например, a=5 – это равенство, а не выражение, но и 8+6*2=20 тоже нельзя считать выражением, хотя в нем и присутствуют умножение и сложение. Этот пример тоже принадлежит к категории равенств.
Понятия выражения и равенства не являются взаимоисключающими, первое входят в состав второго. Знак равенства соединяет два выражения:
5+7=24:2
Можно это равенство упростить:
5+7=12
Выражение всегда предполагает, что представленные в нем математические действия могут быть выполнены. 9+:-7 – это не выражение, хотя здесь есть знаки математических действий, ведь выполнить эти действия невозможно.
Существуют и такие математические примеры, которые формально являются выражениями, но не имеют смысла. Пример такого выражения:
46:(5-2-3)
Число 46 необходимо разделить на результат действий в скобках, а он равен нулю. На нуль же делить нельзя, такое действие в математике считается запретным.
Числовые и алгебраические выражения
Существует два вида математических выражений.
Если выражение содержит только числа и знаки математических действий, такое выражение называется числовым. Если же в выражении наряду с числами присутствуют переменные, обозначаемые буквами, или чисел нет вообще, выражение состоит только из переменных и знаков математических действий, оно называется алгебраическим.
Принципиальное отличие числового значения от алгебраического состоит в том, что у числового выражения значение только одно. Например, значение числового выражения 56–2*3 всегда будет равно 50, ничего изменить нельзя. У алгебраического же выражения значений может быть много, ведь вместо буквы можно подставить любое число. Так, если в выражении b–7 вместо b подставить 9, значение выражения будет равно 2, а если 200 – оно будет составлять 193.
Числовые и буквенные выражения. Формулы
Так же, как и у нашего языка общения есть алфавит и знаки-помощники (точка, тире, запятая и т.д.), математический язык вычисления также имеет свой алфавит:
Буквы и цифры в математике служат для обозначения чисел.
Цифрами обозначается конкретное, какое-то определённое число.
Буквами – любое или неизвестное число, в зависимости от задачи.
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ – это «слова» и «фразы» математики, записи, в которых содержатся:
При этом знаки математических действий и вспомогательные знаки ОБЯЗАТЕЛЬНО связывают числа и обозначают последовательность действий над ними.
Примеры математических выражений:
ВНИМАНИЕ!
НЕ ЯВЛЯЕТСЯ математическим выражением:
Например, это НЕ математические выражения:
Случаи опускания знака умножения в выражениях
В буквенных выражениях обычно знак умножения пишут только между числами, которые выражены цифрами.
В остальных случаях знак умножения опускают, например:
Как читать математические выражения
Простейшие математические выражения, состоящие из одного математического действия, называются по названию результата этого действия:
Более сложные выражения, называют по последнему выполняемому действию:
Важно не только уметь читать готовые математические выражения, но и «переводить» слова на математический язык – язык чисел, знаков действия и других символов:
Алгоритм чтения математических выражений
Чтобы прочитать математическое выражение, нужно:
При чтении сложного выражения повторяем действия алгоритма столько раз, сколько необходимо.
Формулы
Используя математические выражения можно одну величину представить в виде другой, то есть, установить зависимость значения одной величины от значения другой величины.
Велосипедист едет со скоростью \(v_<1>\) км/ч. Найти скорость:
а) автомобиля, если известно, что он едет в 3 раза быстрее: \(v_=3\cdot v_<1>\);
б) пешехода, если известно, что он двигается на 15 км/ч медленнее: \(v_
= v_<1>-15\).
Иначе это называется выразить одну величину через другую.
Многие величины в математике имеют свои собственные обозначения. Например: S – площадь фигуры, P – периметр, t – время и т.д.
Запись такого равенства называется формулой.
ФОРМУЛА – это запись зависимости значения некоторой величины от значений одной или нескольких других величин. Или другими словами, это запись правила вычисления одной неизвестной величины при помощи известных других.
Насколько публикация полезна?
Нажмите на звезду, чтобы оценить!
Средняя оценка 3.3 / 5. Количество оценок: 8
Выражения в математике.
Числовые и алгебраические выражения и их преобразования.
Как работать с математическими выражениями?
Допустим, перед вами пример. Хоть простой, хоть суперсложный (уравнение, неравенство, интеграл, производная и т.д….). Допустими, вы не Витя Перестукин и с математикой на «ты». Сможете, глядя на пример, сразу дать ответ?
В 99% случаев — нет. Если вы не гений математической мысли, конечно.)
Почему? А потому, что вам, так или иначе, придётся решать этот пример. Что значит «решать»? Это значит, последовательно, шаг за шагом, этот пример упрощать, добираясь до окончательного ответа. Или, по-другому, преобразовывать. Естественно, все эти фокусы (т.е. преобразования) надо проделывать по определённым правилам математики. Вот насколько успешно вы проведёте эти самые преобразования, настолько вы и сильны в математике.)
Так вот, имейте в виду: если вы не умеете делать правильные преобразования выражений, в математике вы не сможете сделать НИЧЕГО. Вообще ничего. Грустная перспектива? Вот и я так думаю.
Чтобы нас с вами не постигла столь печальная участь, имеет смысл разобраться в этой теме. Тем более тема достаточно простая. Разберёмся?:)
Что такое выражение в математике?
2+3 — это математическое выражение. a 2 — b 2 — это математическое выражение. И здоровенная дробь, и интеграл, и даже одно число или одна буковка — это всё математические выражения.
состоит из двух математических выражений, соединённых знаком равенства «=» (равно).
x 2 -4x+4≤0 – это тоже два математических выражения, соединённых знаком «≤» (меньше либо равно).
Короче говоря, термин «математическое выражение» применяется, чаще всего, чтобы не мычать, как корова и не кукарекать, как петух…
Спросят у вас, к примеру, что такое разность квадратов двух выражений. Первый вариант ответа: «Это ммммм… такая фиговина… Может, я лучше напишу разность? Вам какую?»
А человек в теме уверенно и с блеском в глазах ответит: «Разность квадратов двух выражений — это математическое выражение, представляющее собой произведение разности этих выражений и их суммы»!
Или: что такое квадратный корень? Квадратный корень — это математическое выражение, состоящее из подкоренного выражения и знака корня (радикала).
Согласитесь, второй вариант ответа выглядит куда более солидно и научно.)
Вот в таких вопросах фраза «математическое выражение» очень и очень удобна. Чтобы не объясняться на пальцах, как иностранные туристы в экзотической стране.
Гораздо сложнее — это конкретные математические выражения и работа с ними. Это совершенно другое дело.
Дело всё в том, что у каждого вида математических выражений имеется свой набор правил и приёмов, которому необходимо следовать при работе с ними.
У чисел — свой набор, у буквенных выражений — свой, у дробей — свой, у всяких там синусов, логарифмов, производных, интегралов — свои наборы действий. В каких-то наборах эти правила похожи или даже совпадают, а где-то — кардинально отличаются. Но пугаться этих жутких слов не надо. Эти страшные понятия мы с вами обязательно освоим в соответствующих разделах. А здесь мы с вами поработаем только с двумя видами математических выражений. А именно — с числовыми выражениями и с алгебраическими выражениями.
Что такое числовое выражение?
Что такое числовое выражение? Всё проще пареной репы.) Числовое выражение — это какое-то выражение с числами. Да-да, всего-навсего. Математическое выражение, составленное из цифр, знаков действий, скобок, знаков равенства/неравенства — это всё числовые выражения.
10-6 — числовое выражение,
(3-2,1)·0,5 — числовое выражение.
Или даже вот эти монстры:
это всё числовые выражения.
Да, в последнем примере появились специальные математические символы — радикал, значок логарифма и значок синуса. Но в этом выражении тоже нет букв. Только числа! Это самое главное.
Короче говоря, любые числа, дроби, примеры на вычисление без иксов, игреков и прочих буковок — это всё числовые выражения. Намёк понятен?)
В чём главный признак числового выражения? В том, что в нём нет букв. Вообще никаких. Математические значки (если надо) — пожалуйста. А вот букв — нету. Это ключевой признак.)
Что же можно делать с числовыми выражениями? Числовые выражения, как правило, можно (и нужно) считать. Для этого, бывает, приходится менять знаки, раскрывать скобки (или наоборот, заключать в скобки), сокращать, выносить общий множитель, раскладывать на множители т.д. То есть, делать преобразования числовых выражений. Но о преобразованиях выражений — чуть позже. Терпение, друзья.)
А здесь мы с вами разберёмся с одним забавным случаем, когда с числовым выражением делать ничего не надо. Совсем! Эта приятная операция (ничего не делать)) производится, когда числовое выражение не имеет смысла.
Понятное дело, что если мы с вами напишем какую-то белиберду типа 4+)-(=), то делать ничего и не будем. Ибо непонятно, что с этим делать. Ну, разве посчитать количество скобочек.)
Однако, попадаются в математике и внешне вполне себе благопристойные выражения.
Однако это числовое выражение тоже не имеет смысла. Почему? А потому, что если выписать отдельно знаменатель дроби да посчитать, получается ноль. На который делить нельзя. Нет такой операции в математике!
И это выражение тоже не имеет смысла! Догадались? А вы посчитайте, что под корнем получится.) Минус единичка там получится. А извлекать квадратный корень из отрицательных чисел в средней школе не учат (а вот в ВУЗе — пожалуйста). Это тоже запретное действие в (школьной) математике.
Конечно, чтобы сделать такое умозаключение, пришлось потрудиться и посчитать, что в знаменателе да под корнем получится. А в примерах может быть такого понаворочено, что… Тут уж ничего не поделаешь.)
Короче говоря, числовое выражение не имеет смысла тогда, когда в результате преобразований этого самого выражение получается запретное действие. Запретных действий в математике не так уж много: это деление на ноль, извлечение корня чётной степени из отрицательного числа, ограничения в логарифмах, в тригонометрии и в арках. Это обсуждается в соответствующих темах.
Итак, что такое числовое выражение — вникли (надеюсь).
Когда числовое выражение не имеет смысла — осознали.
Пора двигаться на следующий уровень.)
Что такое алгебраическое выражение?
Если в игру дополнительно вступают буквы, то выражение становится… Да! Оно становится алгебраическим выражением!
Понятие алгебраическое выражение — более широкое, чем числовое. Почему? Потому, что в понятие алгебраические выражения входят и все числовые тоже. То есть, любое числовое выражение — это и алгебраическое выражение. Только без букв. Типа всякий русский — россиянин, но не всякий россиянин — русский.)
В выражении х+6, например, буква икс — переменная величина. Или коротко — переменная. В отличие от шестёрки, которая — величина постоянная. Или коротко — постоянная.
Что означает термин «алгебраическое выражение»? Он означает, что, в отличие от арифметики, (которая, как известно, работает только с числами), мы должны использовать законы и правила алгебры. Непонятно? Поясняю на несложном примере:
Что можно сделать? Посчитать и всего делов-то.) Слева шестёрка и справа тоже. А для каких-нибудь других чисел такое выполняется? Тоже можно посчитать и сравнить. Но чисел в математике — бесконечное количество. И что же? Каждый раз считать и сравнивать?!
А вот если мы шагнём из арифметики в алгебру и распишем данное равенство через алгебраические выражения:
то мы сразу решим все вопросы! Для всех чисел махом! Мощная штука — алгебра.)
А когда алгебраическое выражение не имеет смысла? Что такое ОДЗ?
С числовыми выражениями всё ясно. Там на ноль делить нельзя да корни извлекать из отрицательных чисел, ну и некоторые другие логарифмические/тригонометрические фишки. А тут как узнаешь, на что делим или из чего извлекаем…
Очень просто! Точно так же!
Возьмём, к примеру, алгебраическое выражение:
Имеет ли оно смысл? Бэ-то любое число… Любое-то любое… Но есть среди этого бесконечного набора чисел такое значение b, при котором это выражение точно не имеет смысла. Догадались? Да! Это единичка (b=1). Если в знаменателе дроби заменить переменную b (как по-школьному говорят «подставить») на единичку, то в знаменателе нолик получится. На который делить нельзя. Вот и получается, что наше выражение имеет смысл при любом b, кроме единички.
И вот этот самый весь остальной набор чисел, которые можно подставлять в данное выражение, и который не приводит к запретному действию, в математике называется областью допустимых значений (ОДЗ) выражения. В нашем примере областью допустимых значений (ОДЗ) служат все числа, кроме единички.
Видим квадратный корень. Сразу соображаем (из теории, т.е. основ), что корень квадратный извлекается только из положительных чисел и нуля. А вот из отрицательных — ни в какую!
Вот и обезопасим себя вот такой записью:
Таким образом, данный хитрое выражение имеет смысл лишь при иксах, больших (или равных) двойке. Число, скажем, 3, вполне себе прокатит, а вот ноль — никак нет: он меньше двойки. ОДЗ — штука жёсткая!
Уловили принцип? Внимательно смотрим на выражение с переменными, ищем опасные места и смотрим, при каких переменных получается запретная операция. И исключаем эти значения из ОДЗ.
А потом внимательно читаем задание. Чего хотят-то? Внимательное чтение никто не отменял, да… Если в задании спрашивают, при каких значениях переменной выражение имеет смысл, то ответом будут служить все значения, кроме запретных.
Или наоборот: при каких значениях переменных выражение не имеет смысла? Тогда найденные запретные значения и будут служить ответом к заданию. Почувствуйте разницу, что называется.)
А теперь вопрос к размышлению. А зачем нам смысл выражения? Есть он, нет его… Какая разница? Дело всё в том, что это понятие становится крайне важным в старших классах! Да и в ВУЗе тоже. Без этого важного понятия вы не сможете проделывать такие простые операции, как нахождение области определения функции, ОДЗ уравнений, неравенств. Что неизбежно будет приводить к полному провалу и непониманию всех этих серьёзных тем. Увы.)
Итак, самое главное из сегодняшнего урока:
1. Числовое выражение — это выражение с числами (т.е. без букв).
2. Если, помимо чисел, в выражении есть буквы, то оно называется алгебраическим выражением.
3. Как числовое, так и алгебраическое выражение, может иметь смысл, а может и не иметь. При встрече с алгебраическим выражением первым делом ищем его ОДЗ.
4. Все допустимые значения переменной (переменных), не приводящих к запретному действию, составляют Область Допустимых Значений (ОДЗ) алгебраического выражения. При необходимости ищем её!
Ну а в различных видах преобразований выражений мы с вами подробненько разберёмся и плотно поработаем в следующих уроках этого раздела.)
Числовые и буквенные выражения
Числовые выражения
В этом разделе мы узнаем, что называют числовым выражением и значением выражения, научимся читать выражения.
Значение выражения — это результат выполненных действий.
Чтение числовых выражений
Решение числовых выражений
45 – (30 + 2) = …
Сначала выполняем действие, записанное в скобках. К 30 прибавляем 2.
30 + 2 = 32
Теперь нужно из 45 вычесть 38.
45 – 32 = 13
45 – (30 + 2) = 13
Сравнение значений числовых выражений
Сравнить числовое выражение – найти значение каждого из выражений и их сравнить.
Для этого найдем значения каждого из них:
Буквенные выражения
Буквенным называется математическое выражение, в котором используются цифры, знаки действий и буквы. Например, (47 + d) – 11.
Для записи буквенных выражений необходимо знать некоторые буквы латинского алфавита. Мы приводим его полностью, чтобы ты знал, с какими буквами можешь встретиться при составлении, решении или чтении буквенных выражений.
Чаще всего используются буквы:
a, b, c, d, x, y, k, m, n
Алгоритм решения буквенного выражения
1. Прочитать буквенное выражение
2. Записать буквенное выражение
3. Подставить значение неизвестного в выражении
4. Вычислить результат
Читаем выражение: Из 28 вычесть с или Найти разность числа 28 и с
Подставим вместо неизвестного «с» число 4.
У нас получается выражение: 28 – 4
Переменные
Буквы, которые содержатся в буквенных выражениях называются переменными. Например, в выражении с + x + 2 переменными являются буквы c и x. Если вместо этих переменных подставить любые числа, то буквенное выражение с + x + 2 обратится в числовое выражение, значение которого можно будет найти.
Числа, которые подставляют вместо переменных называют значениями переменных. Например, изменим значения переменных c и x. Для изменения значений используется знак равенства
Мы изменили значения переменных c и x. Переменной c присвоили значение 2, переменной x присвоили значение 3, тогда выражение с + х + 2 будет выглядеть так:
Теперь мы можем найти значение этого выражения:
с + х + 2 = 2 + 3 + 2 = 5 + 2 = 7
Поделись с друзьями в социальных сетях:
Числовые и буквенные выражения
Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат (в правом нижнем углу экрана).
Числовые выражения: что это
Числовое выражение — это запись, которая состоит из чисел и знаков арифметического действия между ними.
Именно числовые выражения окружают нас повсюду — не только на уроках математики, но и в магазине, на кухне или когда мы считаем время. Простые примеры, в которых нужно вычислить разность, сумму, получить результат умножения или деления — это все числовые выражения.
Например:
Это простые числовые выражения.
Чтобы получить сложное числовое выражение, нужно к простому выражению присоединить знаком арифметического действия еще одно простое числовое выражение. Вот так:
Это сложные числовые выражения.
Знать, где простое выражение, а где сложное — нужно, но называть оба типа выражений следует просто «числовое выражение».
Число, которое мы получаем после выполнения всех арифметических действий в числовом выражении, называют значением этого выражения.
Вспомним, какие виды арифметических действий есть.
+ — знак сложения, найти сумму.
— — знак вычитания, найти разность.
* — знак умножения, найти произведение.
: — знак деления, найти частное.
11 — значение числового выражения.
6 * 8 = 48
48 — значение числового выражения.
При вычислении сложных числовых выражений нужно строго соблюдать очередность выполнения арифметических действий:
Пример 2. Найдите значение числового выражения: (6 + 7) * (13 + 2)
Часто бывает нужно сравнить два числовых выражения.
Сравнить числовые выражения — значит найти значения каждого выражения и сравнить их.
Пример 1. Сравните два числовых выражения: 6 + 8 и 2 * 2
14 больше 4
14 > 4
6 + 8 > 2 * 2
Буквенные выражения
Кажется, с числовыми выражениями все достаточно просто. Буквенные выражения немногим сложнее.
В буквенном выражение есть цифры, знаки арифметических действия и буквы.
Получается, что буквенное выражение — это числовое выражение, в котором есть не только числа, но и буквы.
Это буквенные выражения. Для записи буквенных выражений используют буквы латинского алфавита.
У буквенных выражений, как и у числовых, есть определенный алгоритм вычисления:
Пример 1. Найдите значение выражения: 5 + x.
Пример 2. Найдите значение выражения: (4 + a) * (2 + x).
Выражения с переменными
Переменная — это значение буквы в буквенном выражении.
Числа, которые подставляют вместо переменных — это значения переменных. В нашем примере это числа 5 и 10.
Число и переменная записаны без знака арифметического действия. Так коротко записывается умножение.
5x — это произведение числа 5 и переменной x
4a — это произведение числа 4 и переменной a
Числа 4 и 5 называют коэффициентами.
Коэффициент показывает, во сколько раз будет увеличена переменная.
Теперь вы вооружены всеми необходимыми теоретическими знаниями о числовых и буквенных выражениях. Давайте немного поупражняемся в решении задачек и примеров, чтобы научиться применять полученные знания на практике.
Задание раз.
Задание два.
Составьте буквенное выражение:
Сумма разности b и 345 и суммы 180 и x.
Ответ: роллы “Калифорния” и “Филадельфия” вместе стоят 1 000 рублей.
Задание пять.
Составьте выражение для решения задачи и найдите его значение.
Маша посмотрела за день 150 видео в ТикТок, а Лена — на 13 видео больше. Сколько всего видео было просмотрено обеими девочками?
150 + (150 + 13)
Выполняем сначала действие в скобках: 150 + 13 = 163.
150 + 163 = 313.
Ответ: Маша и Лена посмотрели всего 313 видео.