Что значит симметричный и асимметричный

Что такое симметрия и асимметрия?

Симметрия ассоциируется с гармонией и порядком. И не зря. Потому что на вопрос, что такое симметрия, есть ответ в виде дословного перевода с древнегреческого. И получается, что она означает соразмерность и неизменность. А что может быть упорядоченней, чем строгое определение местоположения? И что можно назвать более гармоничным, чем то, что строго соответствует размерам?

Что означает симметрия в разных науках?

Биология. В ней важной составляющей симметрии является то, что животные и растения имеют закономерно расположенные части. Причем в этой науке не существует строгой симметрии. Всегда наблюдается некоторая асимметрия. Она допускает то, что части целого не совпадают с абсолютной точностью.

Физика. Система тел и изменения в ней описываются с помощью уравнений. В них оказываются симметричные составляющие, что позволяет упростить все решение. Это выполняется благодаря поиску сохраняющихся величин.

Математика. Именно в ней в основном и дается разъяснение, что такое симметрия. Причем большее значение ей уделяется в геометрии. Здесь симметрия — это способность к отображению у фигур и тел. В узком смысле она сводится просто к зеркальному отображению.

Как определяют симметрию разные словари?

На вопрос, что такое симметрия, словарь Ожегова уже говорит об одинаковости в положении частей относительно точки, прямой или плоскости.

В словаре Ушакова упоминается еще и пропорциональность, а также полное соответствие двух частей целого друг другу.

Когда говорят об асимметрии?

Приставка «а» отрицает смысл основного существительного. Поэтому асимметрия означает то, что расположение элементов не поддается определенной закономерности. В ней отсутствует всякая неизменность.

В живой природе асимметрия играет важную роль. Причем она может быть как полезной, так и вредной. К примеру, сердце помещается в левую половину груди. За счет этого левое легкое существенно меньшего размера. Но это необходимо.

О центральной и осевой симметрии

В математике выделяют такие ее виды:

Что такое ось и центр симметрии? Это точка или прямая, относительно которой любой точке тела найдется другая. Причем такая, чтобы расстояние от исходной до получившейся делилось пополам осью или центром симметрии. Во время движения этих точек они описывают одинаковые траектории.

В ситуациях, когда необходимо найти центр симметрии, нужно поступать следующим образом. Если фигур две, то найти у них одинаковые точки и соединить их отрезком. Потом разделить пополам. Когда фигура одна, то помочь может знание ее свойств. Часто этот центр совпадает с точкой пересечения диагоналей или высот.

Какие фигуры являются симметричными?

Геометрические фигуры могут обладать осевой или центральной симметрией. Но это не обязательное условие, существует множество объектов, которые не обладают ею вовсе. К примеру, параллелограмм обладает центральной, но у него нет осевой. А неравнобедренные трапеции и треугольники не имеют симметрии совсем.

Если рассматривается центральная симметрия, фигур, обладающих ею, оказывается довольно много. Это отрезок и круг, параллелограмм и все правильные многоугольники с числом сторон, которое делится на два.

Центром симметрии отрезка (также круга) является его центр, а у параллелограмма он совпадает с пересечением диагоналей. В то время как у правильных многоугольников эта точка тоже совпадает с центром фигуры.

Если в фигуре можно провести прямую, вдоль которой ее можно сложить, и две половинки совпадут, то она (прямая) будет являться осью симметрии. Интересно то, сколько осей симметрии имеют разные фигуры.

К примеру, острый или тупой угол имеет только одну ось, которой является его биссектриса.

Если нужно найти ось в равнобедренном треугольнике, то нужно провести высоту к его основанию. Линия и будет осью симметрии. И всего одной. А в равностороннем их будет сразу три. К тому же, треугольник обладает еще и центральной симметрией относительно точки пересечения высот.

У круга может быть бесконечное число осей симметрии. Любая прямая, которая проходит через его центр, может исполнить эту роль.

Прямоугольник и ромб обладают двумя осями симметрии. У первого они проходят через середины сторон, а у второго совпадают с диагоналями.

Квадрат же объединяет предыдущие две фигуры и имеет сразу 4 оси симметрии. Они у него такие же, как у ромба и прямоугольника.

Источник

Установка асимметричных шин

Асимметричные шины родились на гоночном треке, когда пилотам надоело менять устойчивую к аквапланированию резину на колеса с максимально цепким протектором, удерживающим болид от заноса на повороте. Новая асимметричная автошина совместила в себе оба качества: внешняя кромка протектора отвечала за маневрирование, внутренняя — отводила воду. Для этого на одном колесе нарезали сразу два протектора, получая лишенный какой-либо симметрии рисунок.

Очень быстро подобными преимуществами заинтересовались владельцы спортивных авто, а за ними — все остальные автолюбители, поэтому производителям автомобильной резины пришлось выпустить «гражданскую» асимметричную шину. Но правила обращения с такими колесами отличались от рекомендаций по использованию симметричных автошин. Поэтому владельцам покрышек пришлось объяснять, что значит асимметричный рисунок, и по каким правилам устанавливают подобные колеса. Ведь несоблюдение рекомендаций производителя приводило к курьезным и опасным ситуациям на дороге. И если вам не знакомы правила асимметрии — вы можете восполнить пробел в знаниях, прочитав наш материал.

Разница между асимметричной и симметричной летней или зимней шиной автомобиля

У симметричных шин полностью зеркальный рисунок протектора. То есть внутренняя часть колеса похожа на внешнюю с точностью до миллиметра. Поэтому никакого деления на левые и правые автошины у симметричных моделей нет — их можно ставить на автомобиль в любом порядке. Такое усреднение гарантирует стабильные характеристики, которые устроят любого аккуратного водителя.

Асимметричные зимние и летние шины заметны сразу — внутренняя часть колеса отличается от наружной. С внешней стороны автошины расположены крупные блоки, образующие массивные грунтозацепы, переходящие в большие шашечки. С внутренней стороны асимметричного протектора расположена частая дугообразная нарезка, доходящая до центральной канавки.

Симметричные и асимметричные модели отличаются друг от друга еще и неоднородностью корда. У несимметричных автошин внешняя сторона усилена армирующим плетением высокой плотности. Корд симметричных шин имеет равномерную структуру.

Популярные модели шин

Чем зимняя шина с асимметрией рисунка протектора отличается от летней

Есть ли разница между зимней и летней асимметричной автошиной? Разумеется, есть. Во-первых, зимние варианты делают из более мягкой резины, которая не боится морозов. Летние модели более твердые даже на ощупь. Они рассчитаны на контакт с разогретым до 40-60 C асфальтом.

Во-вторых, у летних моделей не бывает шипов — их ставят только на зимние колеса. Впрочем, в Европе шипов нет даже у автошин для зимы, поэтому при выборе сезонных моделей вам стоит обратить внимание на частоту нарезки. У зимнего варианта уменьшенный шаг нарезки — ламели находятся на минимальном удалении друг от друга. Ведь обилие кромок усиливает сцепление с дорожным полотном.

В третьих, у моделей для зимы более глубокая нарезка. Канавки должны впитывать рыхлый снег, обеспечивая контакт резины с дорожным полотном. Глубина ламелей достигает 6-8 миллиметров.

Достоинства асимметричных автошин

Неравномерный рисунок повышает себестоимость производства. Кроме того, владельцам таких моделей нужно выучить особые правила установки. Поэтому у каждого автолюбителя возникает резонный вопрос: «Зачем мне покупать такие автошины?». Возможные варианты ответа на него можно найти в перечне достоинств зимних и летних моделей с несимметричным рисунком протектора.

Большинство производителей добавляют в преимущества:

Все эти преимущества гарантирует правильная установка шин. При ошибке со стороной или местом установки преимущества протектора оборачиваются во вред водителю и автомобилю. Поэтому перед тем, как устанавливать протектор асимметричного типа, шиномонтажнику или стороннику гаражного ремонта придется изучить маркировку рисунка.

Значение маркировки асимметричных автошин

На симметричных моделях указывается только стандартная маркировка — диаметр, ширина и глубина протектора, допустимые скорости и нагрузки. Направленные модели получают дополнительное обозначение — стрелку, которая должна указать, куда устанавливаем автошину относительно осевой линии капот-багажник.

На бортах асимметричных шин нанесены дополнительные надписи:

На некоторых моделях внутреннюю нарезку обозначают как Inner, а внешнюю — как Outer. Иногда вместо одного слова на борту можно увидеть длинное предложение: «Thissidefacingoutwards, Sidefacingoutwards». Эта маркировка означает то же, что и коротка надпись Outside.

Если перед нами покрышка направленная, с несимметричным рисунком, то на этих маркерах можно и ограничится. Иное дело — направленные асимметричные модели. В этом случае монтаж колеса машины проводят с оглядкой на «левые» и «правые» варианты. То есть на сторону водителя можно ставить только автошины с маркировкой Left, а на сторону пассажира — модели с маркером Right. И пока вы не забыли, какие правила маркировки соответствуют нужной стороне и месту, давайте перейдем к инструкции по установке.

Как правильно установить шину с асимметричным рисунком

«Каждая шина должна знать свое место!», — именно так звучит главное правило установки асимметричных покрышек. Поэтому установка колес начинается с осмотра маркеров, которыми принято обозначать направление вращения, внешнюю и внутреннюю сторону протектора, принадлежность к левому и правому ряду шин. После осмотра и сортировки можно приступать к установке, действуя по следующей схеме:

Перед тем как ставить шины на диски, рассортируйте их по месту установки, и разложите по левому и правому борту кузова. Когда устанавливается сторона водителя — берите покрышки только из левой стопки, когда меняется колесо со стороны пассажира — ставьте резину из правой. Обязательно помните о том, что асимметрично устанавливаются только ненаправленные модели, для которых не важна привязка к направлению вращения.

«Цена от» означает минимальную (ориентировочную) цену на товар, предоставленную дилерами GOODYEAR на территории Таможенного Союза, которые выразили желание размещать данную информацию на настоящем ресурсе. Минимальна цена может отличаться в зависимости от региона и/или дилера. Окончательная цена на товар рассчитывается на сайте соответствующего дилера и может отличаться от заявленной на данном ресурсе. Материалы, представленные на данном сайте, носят исключительно информационный характер и не являются публичной офертой в соответствии со статьей 437 ГК РФ.

*Условия каждой действующей акции уточняйте у соответствующего дилера GOODYEAR. Материалы, представленные на данном сайте, носят исключительно информационный характер и не являются публичной офертой в соответствии со статьей 437 ГК РФ

Источник

Что значит симметричный и асимметричный

Асимметрия внутри симметрии

Асимметрия в природе

Список используемой литературы

Понятие симметрии играет ведущую, хотя и не всегда осоз­нанную, роль в современной науке, искусстве, технике и окру­жающей нас жизни. Она пронизывает буквально все вокруг, захватывая, казалось бы, совершенно неожиданные области и объекты. Дж. Ньюмена особенно удачно подчеркнул всеохватывающие и вездесущие проявления симметрии: «Сим­метрия устанавливает забавное и удивительное сродство между предметами, явлениями и теориями, внешне, казалось бы, ничем не связанными: земным магнетизмом, женской вуалью, поляри­зованным светом, естественным отбором, теорией групп, инва­риантами и преобразованиями, рабочими привычками пчел в улье, строением пространства, рисунками ваз, квантовой физикой, скарабеями, лепестками цветов, интерференционной картиной рентгеновских лучей, делением клеток морских ежей, равновесными конфигурациями кристаллов, романскими собо­рами, снежинками, музыкой, теорией относительности. »

Особое внимание следует заострить на зер­кальной симметрии. Такой подход вполне правомерен. Доста­точно взглянуть на окружающий нас реальный мир, чтобы убе­диться в первостепенном значении именно зеркальной симмет­рии с соответствующим симметричным элементом — плоско­стью симметрии. В самом деле, форма всех объектов, которые двигаются по земной поверхности или возле нее — шагают, плывут, летят, катятся, — обладает, как правило, одной более или менее хорошо выраженной плоскостью симметрии. Все то, что развивается или движется лишь в вертикальном направ­лении, характеризуется симметрией конуса, то есть имеет множество плоскостей симметрии, пересекающихся вдоль вертикальной оси. И то и другое объясняется действием силы земного тяготения, симметрия которого моделируется конусом

Главную роль в теории играет плоскость симметрии. Знаменитый русский кристаллограф Г. В. Вульф (1863—1925) писал (1896) о плоскости симметрии как об «основном элементе симметрии». Комбинируя зеркальные отражения, можно вывести все возможные симметричные опе­рации. Исходя из этих комбинаций, можно полностью вывести все элементы классической симметрии — простые, сложные и винтовые оси, плоскости простого и скользящего отражения, трансляции. Совокупности таких элементов образуют виды симметрии (например, 32 класса для кристаллических многогранников, 230 пространственных групп для кристаллических структур). Как видим, именно плоскость симметрии лежит в основании всего здания симметричной теории

Человек как пример симметричного существа

Абсолютно симметричного человека, скорее всего, не существует. У каждого, разумеется, об­наружится родинка, прядь волос или какая-нибудь другая деталь, нарушающая внешнюю симметрию. Левый глаз никогда не бывает в точности таким, как правый, да и уголки рта нахо­дятся на разной высоте, во всяком случае, у большинства людей

Но это лишь мелкие несоответствия. Никто не усом­нится, что внешне человек построен симметрично: левой руке всегда соответствует правая и обе руки совершенно одинаковы

Но, если бы наши руки и в самом деле были совершенно одинаковы, мы могли бы в любой момент поменять их. Было бы возможно, скажем, путем трансплантации пересадить левую ладонь на правую руку, или, проще, левая перчатка подходила бы тогда к правой руке, но на самом деле это не так

Всем известно, что сходство между нашими руками, ушами, глазами и другими частями тела такое же, как между предметом и его отражением в зеркале. Именно вопросам симметрии и зеркального отражения здесь и уделяется внимание

Многие художники обращали пристальное внимание на сим­метрию и пропорции человеческого тела, во всяком случае, до тех пор, пока ими руководило желание в своих произведениях как можно точнее следовать природе. Известны каноны про­порций, составленные Альбрехтом Дюрером и Леонардо да Винчи. Согласно этим канонам, человеческое тело не только симметрично, но и пропорционально. Леонардо открыл, что тело вписывается в круг и в квадрат. Дюрер занимался поисками еди­ной меры, которая находилась бы в определенном соотношении с длиной туловища или ноги (такой мерой он считал длину руки до локтя)

В современных школах живописи в качестве единой меры чаще всего принимается размер головы по вертикали. С извест­ным допущением можно считать, что длина туловища превос­ходит размер головы в восемь раз. На первый взгляд это кажется странным. Но нельзя забывать, что большинство вы­соких людей отличаются удлиненным черепом и, наоборот, редко можно встретить низкорослого толстяка с головой удлиненной формы

Размеру головы пропорциональна не только длина туло­вища, но и размеры других частей тела. По этому принципу построены все люди, оттого-то мы в общем похожи друг на друга. Однако наши пропорции согласуются лишь прибли­зительно, а потому люди лишь похожи, но не одинаковы. Во всяком случае, все мы симметричны! К тому же некоторые художники в своих произведениях особенно подчеркивают эту симметрию

И в одежде человек тоже, как правило, старается поддержи­вать впечатление симметричности: правый рукав соответствует левому, правая штанина — левой

Пуговицы на куртке и на рубашке сидят ровно посередине, а если и отступают от нее, то на симметричные расстояния

Но на фоне этой общей симметрии в мелких деталях мы умышленно допускаем асимметрию, например, расчесывая воло­сы на косой пробор — слева или справа. Или, скажем, помещая на костюме асимметричный кармашек на груди. Или надев кольцо на безымянный палец только одной руки. Лишь на одной стороне груди носятся ордена и значки (чаще на левой)

Полная безукоризненная симметрия выглядела бы нестер­пимо скучно. Именно небольшие отклонения от нее и придают характерные, индивидуальные черты

И вместе с тем порой человек старается подчеркнуть, усилить различие между левым и правым. В средние века мужчины одно время щеголяли в панталонах со штанинами разных цветов (например, одной красной, а другой черной или белой). В не столь отдалённые дни были популярны джинсы с яркими заплатами или цвет ­ ными разводами. Но подобная мода всегда недолговечна. Лишь тактичные, скромные отклонения от симметрии остаются на долгие времена

Нередко мы говорим, что какие-то два человека похожи друг на друга. Дети обычно похожи на своих родителей (во всяком случае, по мнению их бабушек). Похожи, но не одинаковы!

Попробуем разобраться, что понимается под сходством или подобием в математике. У подобных фигур соответствующие отрезки пропорциональны друг другу. В нашем случае мы можем сформулировать это положение так: подобные носы имеют одинаковую форму, но могут отличаться размером. При этом каждому отдельному участку носа (например, переносице) должны быть пропорциональны все остальные

Этот закон подобия иногда таит в себе подвох. Например, в задаче такого рода:

Казалось бы, для решения достаточно взять в руки циркуль и линейку. Но тут же выяснится, что ответов будет бесконечное множество. Иными словами, на вопрос о значении Х не может быть однозначного ответа

Такого рода задачи, даже если они и не имеют решения, как, например, предложенная выше, касаются какой-либо проблемы, лежащей у пределов нашего знания. Большей частью это те самые пределы, перед котор ы ми пасует знаме­нитый «здравый смысл», и лишь строго математическое логи­ческое мышление вкупе с естественнонаучным познанием спо­собно привести к правильному решению

Обратимся снова к человеку: при сравнении живых существ сходство ощущается явно, если совпадают их пропорции. По­этому могут быть похожи дети и взрослые. Хотя масса и раз­меры любой из частей тела, будь то нос или рот, различны, но пропорции похожих индивидов совпадают

Поразительный пример подобия — глазомерная оценка ра с ­стояния с помощью большого пальца. Таким способом военные и моряки прикидывают расстояние между двумя пунктами на мест ности или в море, сопоставляя их с шириной пальца или кулака. В самом простом случае закрывают один глаз и смотрят откры­тым глазом на палец вытянутой руки, используя его как визир

Если раскрыть прежде закрытый глаз (а второй зажмурить), палец на видимое расстояние переместится в сторону. В градус­ном выражении это расстояние составляет 6°. И притом вели­чина этого «прыжка» (в пределах допустимой ошибки) одинакова у всех людей! Так, правофланговый роты, парень двухметро­вого роста, и самый маленький — левофланговый, ростом всего лишь метр шестьдесят, сравнив эти «прыжки» пальца, получат одну и ту же величину

Причина этого явления, в конечном счете, кроется в подобии людей и, конечно, в законах оптики, которым подчиняется наше зрение

Известно и «правило кулака» — в самом прямом смысле этого слова — для грубой прикидки величины угла. Если мы посмотрим одним глазом на кулак вытянутой руки (на сей раз одним и тем же глазом), то ширина кулака составит 10°, а рас­стояние между двумя косточками фаланг 3°. Кулак и оттопы­ренный в сторону большой палец составят 15°. Комбинируя эти мерки, можно приблизительно измерить все углы на местности

И, наконец, еще одна угловая мера нашего тела, которая может пригодиться при домашних работах. Угол между боль­шим пальцем и мизинцем растопыренной ладони составляет 90°

В начале реферата человек назвался существом симметрич­ным. В дальнейшем же термин «симметрия» больше не употреб­лялся. Однако во всех случаях, когда отрезки прямой, плоские фигуры или пространственные тела были подобными, но без дополнительных действий сов­местить их было нельзя, «практически» нельзя, мы встречались с явлением симметрии. Эти элементы соответствовали друг другу, как картина и ее зеркальное отражение. Как левая и правая рука. Если мы возьмем на себя труд заглянуть в «Современный словарь иностран­ных слов», то обнаружим, что под симметрией понимается «соразмерность, полное соответствие в расположении частей целого относительно средней линии, центра. такое расположе­ние точек относительно точки (центра симметрии), прямой (оси симметрии) или плоскости (плоскости симметрии), при котором каждые две соответствующие точки, лежащие на одной прямой, проходящей через центр симметрии, на одном перпендикуляре к оси или плоскости симметрии, находятся от них на одинаковом расстоянии. »

И это еще не все, как часто бывает с иностранными словами, значений у слова «симметрия» существует множество. В том-то и состоит преимущество подобных выражений, что их можно использовать в случае, когда не хотят дать однозначное опре­деление или просто не знают четкого различия между двумя предметами

Термин «соразмерный» мы применяем по отношению к человеку, картине или какому-либо предмету, когда мелкие не­соответствия не позволяют употребить слово «симметричный»

В математике слово «симметрия» имеет не меньше семи значений (среди них симметричные полиномы, симметрические матрицы). В логике существуют симметричные отношения. Важ­ную роль играет симметрия в кристаллографии. Интересно интерпретируется понятие симметрии в биологии. Там описывается шесть различ­ных видов симметрии. Мы узнаем, например, что гребневики дисимметричны, а цветки львиного зева отличаются билатеральной симметрией. Мы обнаружим, что симметрия существует в музыке и хореографии (в танце). Она зависит здесь от чередования тактов. Оказывается, многие народные песни и танцы построены симметрично

Основной интерес для нас будет представлять зеркальная сим­метрия — симметрия левого и правого. Можно увидеть, что это кажущееся ограничение уведет нас далеко в мир науки и техники и позволит время от времени подвергать испытанию способности нашего мозга (так как именно он запрограммирован на сим­метрию)

Порассуждаем о зеркальной симметрии. Легко установить, что каждая симметричная плоская фигура может быть с помощью зеркала совмещена сама с собой. Достойно удивления, что такие сложные фигуры, как пятиконечная звезда или равносторонний пятиугольник, тоже симметричны. Как это вытекает из числа осей, они отличаются именно высокой сим­метрией. И наоборот: не так просто понять, почему такая, казалось бы, правильная фигура, как косоугольный параллело­грамм, несимметрична. Сначала представляется, что параллель­но одной из его сторон могла бы проходить ось симметрии. Но стоит мысленно попробовать воспользоваться ею, как сразу убеждаешься, что это не так. Несимметрична и спираль

В то время как симметричные фигуры полностью соответ­ствуют своему отражению, несимметричные отличны от него: из спирали, закручивающейся справа налево, в зеркале получится спираль, закручивающаяся слева направо

Если вы поместите буквы перед зеркалом, расположив его параллельно строке, то заметите, что те из них, у которых ось симметрии проходит горизонтально, можно прочесть и в зеркале. А вот те, у которых ось расположена вертикально или отсут­ствует вовсе, становятся «нечитабельными»

Встречаются дети, которые пишут левой рукой, и все буквы получаются у них в зеркальном, отраженном, виде. «Зеркальным шрифтом» написаны дневники Леонардо да Винчи. Вероятно, не существует веского основания, заставляющего нас писать буквы именно так, как это делаем мы. Вряд ли зеркальным шрифтом труднее овладеть, чем обычным

Правописание от этого не стало бы проще, а некоторые слова, как, например, ОТТО, вообще не изменились бы. Сущест­вуют языки, в которых начертание знаков опирается на наличие симметрии. Так, в китайской письменности иероглиф означает именно истинную середину

В архитектуре оси симметрии используются как средства выражения архитектурного замысла. В технике оси симметрии наиболее четко обозначаются там, где требуется оценить откло­нение от нулевого положения, например на руле грузовика или на штурвале корабля

В трехмерном мире пространственных тел, где мы с вами живем, существуют плоскости симметрии. «Зеркало» всегда имеет на одно измерение меньше, чем мир, который оно отражает. При взгляде на круглые тела сразу видно, что они имеют плоскости симметрии, но вот сколько именно — решить не всегда просто

Но если мы возьмем глобус и рассмотрим его симметрию, учитывая нанесенные на нем географические контуры, то мы не отыщем ни одной плоскости симметрии

На плоскости фигурой с бесчисленным множеством осей симметрии был круг. Поэтому нас не должно удивлять, что в. пространстве аналогичные свойства присущи шару. Но если круг является единственным в своем роде, то в трехмерном мире имеется целый ряд тел, обладающих бесконечным множеством плоскостей симметрии: прямой цилиндр с кругом в основании, конус с круговым или полусферическим основанием, шар или сегмент шара. Или возьмем примеры из жизни: сигарета, сигара, стакан, конусообразный фунтик с мороженым, кусочек проволо­ки, труба

Если мы повнимательней присмотримся к этим телам, то заметим, что все они так или иначе состоят из круга, через бесконечное множество осей симметрии которого проходит бес­численное множество плоскостей симметрии. Большинство таких тел (их называют телами вращения) имеют, конечно, и центр симметрии (центр круга), через который проходит по меньшей мере одна ось симметрии

Отчетливо видна, например, ось у конуса фунтика с мороже­ным. Она проходит от середины круга (торчит из мороженого!) до острого конца конуса-фунтика. Совокупность элементов сим­метрии какого-либо тела мы воспринимаем как своего рода меру симметрии. Шар, без сомнения, в отношении симметрии является непревзойденным воплощением совершенства, идеалом. Древние греки воспринимали его как наиболее совершенное тело, а круг, естественно, как наиболее совершенную плоскую фигуру

В целом эти представления вполне приемлемы и по сей день. Далее греческие философы делали вывод о том, что Вселенная, несомненно, должна быть построена по образцу математического идеала. Ясно, что у древних греков еще не было фунтиков с мороженым! Иначе бы такой прозаиче­ский предмет, имеющий бесчисленное множество плоскостей симметрии, мог бы нарушить их стройную систему

Если для сравнения мы рассмотрим куб, то увидим, что он имеет девять плоскостей симметрии. Три из них делят его грани пополам, а шесть проходят через вершины. По сравнению с шаром это, конечно, маловато

Можно было бы придумать 32-гранную сигару, которая имела бы соответствующую симметрию!

Но если мы, тем не менее, воспринимаем куб как более симмет­ричный предмет, чем пресловутый фунтик с мороженым, то это связано со строением поверхности. У шара поверхность всего одна. У куба их шесть — по числу граней, и каждая грань пред­ставлена квадратом. Фунтик с мороженым состоит из двух поверхностей: круга и конусообразной оболочки

Более двух тысячелетий (вероятно, благодаря непосредствен­ному восприятию) традиционно отдается предпочтение «сораз­мерным» геометрическим телам. Греческий философ Платон (427—347 до н. э.) открыл, что из правильных конгруэнтных плоских фигур можно построить только пять объемных тел

Из четырех правильных (равносторонних) треугольников по­лучается тетраэдр (четырехгранник). Из восьми правильных тре­угольников можно построить октаэдр (восьмигранник) и, нако­нец, из двадцати правильных треугольников — икосаэдр. И толь­ко из четырех, восьми или двадцат и одинаковых треугольников можно получить объемное геометрическое тело. Из квадратов можно составить только одну объемную фигуру — гексаэдр (шес­тигранник), а из равносторонних пятиугольников — додекаэдр (двенадцатигранник)

А что в нашем трехмерном мире полностью лишено зеркальной симметрии?

Если на плоскости это была плоская спираль, то в нашем мире таковыми, безусловно, будут винтовая лестница или спи­ральный бур. Кроме того, существуют еще тысячи асимметрич­ных вещей и предметов в окружающей нас жизни и технике. Как правило, винт имеет правую резьбу. Но иногда встречается и левая. Так, для большей безопасности баллоны с пропаном снабжены левой резьбой, чтобы к ним нельзя было привинтить вентиль-редуктор, предназначенный, например, для баллона с другим газом

Между шаром и кубом, с одной стороны, и винтовой лест­ н ицей, с другой, существует еще масса степеней симметрии. От куба можно постепенно отнимать плоскости симметрии, оси и центр, пока мы не придем к состоянию полной асимметрии

Конечно, все мы знаем, как отражает зеркало, но, если только потребуется описать это точно, несомненно, возникнут трудности. Как правило, мы довольны собой, если что-то представляем себе хотя бы «в принципе». А подробности, которые преподаватели физики объясняли нам на доске с помощью мела и линейки, всякий нормальный школьник и сту­дент стараются забыть, и, чем скорее, тем лучше

Каждый ребенок, исполненный удивления перед окружающим миром, непременно заинтересуется, каким образом зеркало отра­жает его. Но взрослые обычно отвечают в подобных случаях: «Не задавай глупых вопросов!» Человек сникает, начинает стеснять­ся, удивление его постепенно затухает, и он старается больше не проявлять его до конца жизни (а жаль!)

Но вспомним о словах Бертольда Бреста: «Глупых вопросов не быва­ет, бывают только глупые ответы»

Конечно, людей можно разделить на дураков и умных, на больших и маленьких, они разнятся по языку, вероисповеданию, мировоззрению. Можно представить себе и такой способ подраз­деления:

1) люди, которые никогда не удивляются;

2) люди, которые удивляются, но не задумываются над удивившим их явлением;

3) люди, которые, удивившись, спрашивают «а почему?»;

4) люди, которые, удивившись, обращаются к числу и мере

В зависимости от условий жизни, традиций, степени образо­ванности встречаются и все возможные «промежуточные» сту­пени. Мыслители античности и средневековья изумлялись миру и думали о его тайнах. Но им лишь изредка выпадал случай измерить какое-либо явление

Теперь, задним числом, этот закон кажется нам чем-то само собой разумеющимся. Но в те времена он имел огромное, можно сказать, мировоззренческое значение, которое будило философ­скую мысль вплоть до XIX века

Закон отражения Снеллиуса объясняет явление зеркального отражения

Каждой точке предмета соответствует её отражение в зеркале, и потому в нём наш правый глаз перемещается на левую сторону. Вследствие этого переноса точек предметы, расположенные дальше, в зеркале тоже кажутся уменьшенными в соответствии с законами перспективы. Технически мы можем реконструировать зеркальное изображение так, словно оно расположено за поверхностью стекла. Но это только кажущееся восприятие. Не случайно животные и маленькие дети часто заглядывают за зеркало; они верят, что изображение таится сзади, словно картина, видимая за окном. Факт перестановки левого и правого правильно осознается только взрослыми

От трельяжа до радара

Должны ли мы считать, что самих себя видим только в «зеркальном отражении» и в лучшем случае лишь на фото и кинопленке можем узнать, как выглядим «на самом деле»?

Конечно, нет: достаточно зеркальное изображение вторично отразить в зеркале, чтобы увидеть свое истинное лицо. Нередко в домах трельяжи. Они имеют одно большое главное зеркало в центре и два меньших зеркала по сторонам. Если такое боковое зеркало поставить под прямым углом к среднему, то можно увидеть себя именно в том виде, в каком вас видят окружающие. Зажмурьте левый глаз, и ваше отражение во вто­ром зеркале повторит ваше движение левым глазом. Перед трельяжем вы можете выбирать, хотите ли вы увидеть себя в зеркальном или в непосредственном изображении

Угловое зеркало с прямым углом между составляющими его зеркалами отличается еще некоторыми интересными свойствами. Если смастерить его из двух маленьких зеркал, то можно убедиться в том, что в таком зеркале с прямоугольным раст­вором (а сейчас речь только о нем) отраженный луч света всегда параллелен падающему лучу. Это очень важное свойство. Но не единственное! При повороте углового зеркала вокруг оси, соединяющей зеркала (в определенных пределах), отраженный луч не изменит своего направления

В технике обычно не составляют зеркала, а используют прямоугольную призму, у которой соответствующие грани обеспечивают зеркальный ход лучей

Прямоугольные призмы, как бы «складывающие» ход луча «гармошкой», сохраняя его необходимую длину, заданную фо­кусным расстоянием линзы, позволяют уменьшать габариты оптических приборов. В призматических биноклях лучи света при помощи таких приборов обращаются на 180°

На старинных картинах можно видеть капитанов и полковод­цев с непомерно длинными подзорными трубами. Благодаря угловым зеркалам старинные подзорные трубы превратились в современные бинокли

Игрокам в бильярд издавна знакомо действие отражения. Их «зеркала» — это борта игрового поля, а роль луча света испол­няют траектории шаров. Ударившись о борт возле угла, шар катится к стороне, расположенной под прямым углом, и, отра­зившись от нее, движется обратно параллельно направлению пер­вого удара

Свойство отраженного луча сохранять направление при пово­роте углового зеркала вокруг оси находит широкое применение в технике. Так, в трехгранном зеркальном уголковом отражателе луч сохраняет постоянное направление, несмотря на весьма сильные качания зеркала. По форме такое зеркало представляет собой кубик с отрезанным уголком. И в этом случае на практике используют не три зеркала, а соответствующую стеклянную призму с зеркальными гранями

Важной областью применения трехгранного зеркала служит уголковый отражатель (кошачий глаз, катофот) на велосипедах, мотоциклах, сигнальных предохранительных щитах, ограничите­лях проезжей части улицы. С какой бы стороны ни упал свет на такой отражатель, световой рефлекс всегда сохраняет направле­ние источника света

Большую роль трехгранные зеркальные уголковые отражате­ли играют в радиолокационной технике. Самолеты и крупные стальные корабли отражают луч радара. Несмотря на значи­тельное рассеяние его, той небольшой доли отраженных радио­волн, которая возвращается к радару, обычно достаточно для распознания объекта

Вернемся еще раз к угловому зеркалу из двух соединенных зеркал. Качнем его ось вправо или влево — наше изображение тоже наклонится в сторону. Мы можем даже положить его, если поместим ось зеркала горизонтально. Но, наклонив зеркало еще дальше, мы заметим, что изображение «выпрямляется»

Угловое зеркало имеет плоскость симметрии, которая делит пополам пространство между обоими зеркалами. При соответст вующей форме оно может иметь еще одну плоскость, перпенди­кулярную зеркалам, но она здесь не рассматривается. Нас интересует только плоскость симметрии, проходящая между зер­калами, в которой, так сказать, взаимно отражаются оба зеркала

Каждая плоскость симметрии меняет, как нам уже известно, правое на левое (и наоборот). Но это несколько упрощенное вос­приятие. Если бы плоскость симметрии умела говорить, она бы заявила: «Я не меняю ни правое на левое, ни верх на низ. Я во­обще не знаю, что это такое. Я лишь точка за точкой отображаю все, что находится по одну или другую сторону от меня. Если че­ловек своей продольной осью встанет параллельно моей оси, я поменяю ему правую и левую стороны, но если тот же человек своей продольной осью расположится перпендикулярно моей оси (ибо я всегда остаюсь неизменной), то я поменяю то, что люди называют верхом и низом». Как видим, все зависит от точки зрения

Но в конечном итоге истинно то, что можно измерить и со­считать. Сегодня мы не видим особого достижения в том, что Снеллиус измерил углы падения и отражения луча. Но мы не должны забывать, что ученые XVI в. подобными открытиями ломали более чем двадцативековую традицию

Среди секретов телевидения известен трюк с уменьшением исполнителя, который на фоне всей окружающей обстановки «в натуральную величину» выглядит маленькой куколкой. Иног­да зритель может видеть актера одновременно в двух масштабах: на переднем плане в обычную величину, а на заднем в умень­шенном

Тому, кто искушен в фотографии, понятно, как достигается подобный эффект. Сначала снимается уменьшенный вариант, а потом актер играет перед экраном, на который проецируется его уменьшенное изображение

Известный «чародей» Иохен Цмек в своей увлекательной книге «Волшебный мир магии» описывает, как подобные чудеса можно делать без фотографии. Когда уменьшенный предмет должен сам собой появиться в пространстве, с помощью вогну­того зеркала его изображение проецируется таким образом, чтобы он казался стоящим на подставке

Иллюзионист Александр Фюрст строил этот трюк следую­щим образом. Зритель видел маленькую сцену с сильно умень­шенными артистами. Чтобы спроецировать их в таком виде на экран, Фюрст использовал в своем сооружении угловое зеркало. Именно перед ним двигались артисты. Но зеркало переворачи­вало их на 180° и ставило тем самым «на голову», и уже это изображение вогнутое зеркало, еще раз перевернув, отбрасывало на маленькую сцену. Непременным условием эффекта была без­упречная чистота всех зеркал

В старину рудокопы были людьми сугубо практическими. Они не забивали себе голову названиями всевозможных горных пород, которые встречали в штольне, а просто делили эти породы и минералы на полезные и бесполезные, ненужные. Нужные они извлекали из недр, из них плавили медь, свинец, серебро и другие металлы, а ненужные сваливали в отвалы

Для полезных (на их взгляд) минералов они подыскивали на­глядные и запоминающиеся имена. Можно никогда не видеть копьевидного колчедана, но без особого труда представить его себе по названию. Не сложнее по названию отличить красный железняк от бурого железняка

Для бесполезных камней (как уже было сказано — на их взгляд) горняки нередко находили названия в преданиях и легендах. Так, например, произошло название руды кобальтовый блеск. Кобальтовые руды похожи на серебряные и при добыче иногда принимались за них. Когда из такой руды не удавалось выплавить серебро, считалось, что она заколдована горными ду­хами — кобольдами

Когда же минералогия превратилась в науку, было открыто великое множество пород и минералов. И при этом все чаще воз­никали трудности с изобретением для них наименований. Новые минералы часто называли по месту находки (ильменит — в Ильменских горах) или в честь знаменитого человека (гетит — в честь Гете) или же давали ему греческое или латинское название

Музеи пополнялись грандиозными коллекциями камней, кото­рые становились уже необозримыми. Не слишком помогали и химические анализы, потому что многие вещества одного и того же состава образуют подчас кристаллы совершенно различного облика. Достаточно вспомнить хотя бы снежинки

В кубе три ребра расположены всегда под углом 90° друг к Другу. Все стороны имеют равную длину. У кирпича углы тоже составляют 90°. Но его стороны различной длины. У снежинок, наоборот, мы не найдем угла 90°, а только 60 или 120°

Браве установил, что существуют 7 комбинаций ячеек с оди­наковыми или разными сторонами (осями) и углами. Для углов он принял только два варианта: равный 90° и не равный 90°. Только один угол во всей его системе в порядке исключения имеет 120°. В самом скверном случае все три оси и все углы ячейки различны по величине, при этом в ней нет углов ни в 90, ни в 120°. Все в ней косо и криво, и, можно подумать, в мире кристаллов таким не должно быть места. Между тем к ним относится, например, сульфат меди (медный купорос), голубые кристаллы которого обычно всем так нравятся

В некоторых из этих 7 пространственных решеток элементар­ные «кирпичики» можно упаковать по-разному. Для нас, знающих сегодня о строении атома, это нетрудно представить и продемон­стрировать с помощью шариков для пинг-понга. Но 125 лет назад гениальная идея Браве была новаторской и открывала новые пути в науке. Весьма вероятно, что и Браве исходил из узоров кафеля или мотивов шахматной доски

Если мы разделим квадратные поля диагоналями, то возни­кает новый рисунок из квадратов, стоящих на углах. В трехмерном пространстве это соответствует кубу, разложенному на шесть пи­рамид. Каждая такая пирамида составляет половину октаэдра

Те, кто когда-нибудь выращивал кристаллы поваренной соли, знают, что соль может кристаллизоваться в кубах, а может — в октаэдрах. Иными словами, экспериментальные наблюдения сов­падают с теоретическими соображениями

Испробовав возможные варианты упаковки для всех семи осе­вых систем, Браве вывел 14 решеток

Рассматривая решетки Браве внимательней и пробуя мыслен­но построить из них кристаллы, мы, вероятно, увидим, как можно провести в них плоскости и оси симметрии. Эти возможности сразу расширятся, если мы в одной из элементарных ячеек образу­ем новые грани. Возьмем куб, поста­вим его на угол и обрежем (все так же мысленно) все углы, тогда у него образуются совершенно новые треугольные грани. А из квад­ратных граней возникнут восьмиугольники: тем самым появятся новые мотивы симметрии

Тетраэдр можно образовать из куба. Осталь­ные платоновы тела также относятся к кубической системе. Древ­ние греки, надо думать, ужасно расстроились бы, знай они, что такой прозаический минерал, как серный колчедан, имеет ту же симметрию, что и их «совершенные» тела

Асимметрия внутри симметрии

Собственно говоря, симметрия и асимметрия должны бы взаимно исключать одна другую — как черное и белое или как день и ночь. Так оно и происходит на самом деле, пока симмет­рия или ее антипод рассматриваются по отношению к одному и тому же телу

Кремний, принадлежащий к той же группе, что и углерод, также четырехвалентен. Химия кремния, подобно химии углеро­да, весьма сложна. Кристаллическая структура кварца пред­ставляет собой трехмерный каркас из длинных цепей, построен­ных в форме винтовых лестниц. Разумеется, винтовые лестницы полностью асимметричны. Однако они бывают лево- и право­сторонними, как изображение и его зеркальное отражение. Связанные между собой асимметричные цепи образуют либо ле­вый, либо правый кристалл. Соответственно они оказывают оптическое влияние на свет

У водорастворимых кристаллов органических соединений зер­кальная симметрия молекул прослеживается как в твердом, так и в растворенном состоянии. Известный пример — винная кислота. Она встречается в виде левых и правых кристаллов. Соответ­ственно ведет себя и ее раствор. Под правым направлением здесь всегда понимается направление по часовой стрелке. Таким обра­зом, левая винная кислота вращает плоскость поляризации про­тив часовой стрелки. Нидерландский физикохимик Якоб Хендрик Вант-Гофф (1852—1911) объяснил такое поведение винной кислоты, исходя из строения ее молекулы. При одном и том же химическом составе можно написать три разные структурные формулы винной кислоты. Каждый из двух центральных атомов углерода в любом случае связан с группой СООН. В органической химии эта группа — отличительный признак кислоты. Проглотив таблетку аспирина или попробовав на язык уксус, вы ощущаете кисловатый вкус, он обусловлен именно присутствием группы СООН. Для нас, однако, важнее правая и левая связи атомов углерода. Они связывают либо атом водорода, либо группу ОН. Именно здесь кроется возможность возникновения двух зеркально-симметричных вариантов их взаимного располо­жения и, помимо того, третьего варианта, который симметричен сам по себе

Вант-Гофф, впрочем, не пользовался такой простой плоскост­ н ой моделью, как мы. Он сразу рисовал ее в объемном изображении, что больше отвечает действительности. Каждый из 4-ёх углеродных атомов винной кислоты расположен в вершине тетраэдра. К этим угловым атомам углерода и привязаны прочие атомы, кислородные и водородные

Вследствие этого из одного совершенного платонова т ела (каким является тетраэдр) возникают две различные, зеркально-симметричные формы. Однако здесь, как и в любой области е стествознания, мы не должны воспринимать такие описания б уквально. Речь идет всего лишь о картинках и моделях, назна чение которых — помочь нам разобраться в тех или иных явле­ н иях. Чтобы легче представить, как из асимметричных молекул вдруг возникает симметричный кристалл, рассмотрим несколько п римеров на плоскости

Раньше под рубриками вроде «В часы досуга» порой встречались задачи, где предлагается разложить одну плоскую фигуру, ска жем шестиугольник и образовать из нее другую плоскую фигуру, например квадрат. В данном случае две высокосимметричные плоские фигуры составляются из одинаковых асимметричных элементов. В свое время ведущим умельцем в такого рода раз­ложениях и сложениях слыл австралиец Гарри Линдгрен. Чтобы еще больше затруднить решение подобных задач, ставится дополнительное условие: обойтись, возможно, меньшим числом составных элементов. Линдгрен и другие любители, увлекавшие­ся разложением фигур, отваживались разлагать даже узоры кафеля. В качестве иллюстрации позаимствуем разложение узора из восьмиугольников с маленькими квадратами в мотив из квад­ратов той же площади, что и восьмиугольники, причем малые квадраты в новом узоре сохраняются, но в несколько смещенном положении

Когда Вант-Гофф опубликовал свою теорию о правых и левых молекулах, она была встречена в штыки. Многие из его современников никак не хотели согласиться с тем, что атомы в молекуле должны располагаться именно так, как их поместил Вант-Гофф. Однако теория нидерландского профессора давала единственно удовлетворительное объяснение вращению поляри­зованного света, поэтому она все же получила признание. Тем временем химики разработали методы прямого определения формы молекул. И мы теперь знаем, что Вант-Гофф был прав

Асимметрия в природе

Природа всегда отбирает среди множества вариантов те, ко­торые проще и надежнее всего обеспечивают жизнь и ее продол­жение. Естественно, ее действия отличны от действий человека, отыскивающего нужное слово в словаре или решение задачи в учебнике. Она просто вслепую воспроизводит все решения, как верные, так и ложные, полагаясь на то, что наилучшее из них пробьет себе дорогу, выживет в процессе эволюции, на протяже­нии сотен тысяч или миллионов лет. Подобно тому, как это происходит и в технике (здесь уж, конечно, не без помощи человека), в живой природе побеждает то, что наиболее просто и надежно

Одна из важнейших предпосылок жизни — наследственность. Потомками лошадей снова и снова должны быть лошади. И в своих основных чертах они должны походить на родителей

Австрийский естествоиспытатель Грегор И. Мендель (1822— 1884) в 1860 г. на основании своих знаменитых опытов по гибри­дизации сортов гороха пришел к выводу, что дети половину наследственных факторов получают от одного из родителей, а половину — от другого. Благодаря успехам современной микро­биологии мы довольно отчетливо представляем себе, как это осу­ществляется с помощью носителей наследственности — генов

Мы вернулись к модели генной спирали, построенной Уотсоном и Криком. При оплодотворении жен­ского яйца наследственность может передаваться только в материальной форме. При этом однозначно должно указываться, какие именно признаки наследуются. Здесь сразу же намечаются два возможных пути осуществления этой задачи

Построив свою модель, Уотсон и Крик получили первое доказательство ее правильности. Размеры отдельных молекул были им известны. Действительности могла соответствовать лишь такая модель, к которой свободно подходили бы все струк­турные элементы. И только двойная спираль удовлетворяла этому требованию. Те, кто ближе знакомые с этим предме­том, знают, что речь все время идет о дезоксирибонуклеиновой кислоте. Ввиду громоздкости этого слова чаще принято обозна­чать ее сокращенно — ДНК. Молекула ДНК, помимо способно­сти к безошибочному обозначению наследуемых свойств, имеет и еще одно преимущество: она одинаково пригодна как для блох, так и для слонов и, конечно, для людей тоже. Комбинацией из четырех букв А, Z, Т, G все свойства обозначаются точно так же, как это делается посредством трех знаков при использова­нии азбуки Морзе. Конечно, «телеграфная лента» в этом случае должна быть достаточно длинной; чтобы на ней могли уместить­ся все команды будущему живому организму. Мы знаем из биологии, что у человека носителями наследственности служат 46 похожих на палочки хромосом. Если растянуть их двойные спирали, то получится лента длиной около метра. А так как ато­мы и молекулы очень малы (на одном сантиметре их помещается 100 млн.), то на протяжении одного метра оказывается возмож­ным записать всю необходимую информацию. Хотя спирали и асимметричны, можно представить себе их зеркальные отраже­ния. Так существует ли вероятность того, что в некой семье появятся двое детей, из которых один ребенок окажется зеркаль­ным отражением другого (будет «закручен в другую сторону»), ибо его генные спирали, пусть одинаковые со спиралями генов второго ребенка, зеркально симметричны по отношению к ним? Нет! Все витки ДНК всегда направлены в одну сторону — впра­во, как у обычного штопора. Поэтому в природе не существует зеркальных отражений с генными спиралями, закрученными в обратную сторону. Благодаря абсолютной асимметрии и недопу­щению зеркального отражения вся заключенная в генах инфор­мация не может быть перепутана

Вирусы — белковые соединения, стоящие на пороге живо­го, — тоже имеют правое направление вращения. Некоторые исключения обнаружены лишь у антибиотиков. Они «закручены» влево; на этом, очевидно, и основано их действие

Вероятно, таков вообще признак жизни — ее стремление образовывать из симметричных молекул асимметричные и затем делать выбор в пользу одного из возможных видов асимметрии. Эта мысль, по-видимому, ведет свое начало от французского химика, биолога и медика Луи Пастера (1822—1895). Уже из одного перечня его профессий видно, что он был человеком поистине универсальных знаний. Человечество обязано ему предохра­нительными прививками против бешенства и других заболеваний. Ему принадлежит открытие, что кипячение убивает микробов. К Пастеру восходят дезинфекция и методы стерилизации. Он первым привел также весьма важное для философии и естество­знания доказательство того, что живое возникает только из живого

В молодости Пастер занимался винной кислотой — той самой, о которой мы уже рассказывали. Ему было известно, что наряду с винной кислотой существует химически тождественная ей виноградная кислота. Но обе эти кислоты различаются по их оптическим свойствам. Раствор винной кислоты оптически акти­вен, он вращает поляризованный свет. Раствор виноградной кислоты, напротив, совсем не отклоняет света. Рассматривая кристаллы обеих кислот под микроскопом, Пастер обнаружил, что у винной кислоты они являются либо правыми, либо левыми, а у оптически нейтральной виноградной кислоты поло­вина кристаллов — левые и половина — правые. Тогда он проде­лал весьма трудоемкую работу по сортировке кристаллов вино­градной кислоты и перевел в раствор отдельно правые и левые кристаллы. Оба раствора, как и ожидалось, оказались оптически активными. Часть виноградной кислоты вращала световой луч влево, а часть — вправо

На первый взгляд, формулировка симметрии пространства довольно проста, однако, в сочетании с современными теориями физики, химии и других естественных наук, а также новыми открытиями (например, нейтрино) в этих областях становится всё более запутанной. Но несомненно одно: мир симметричен. В нём найдены в принципе зеркальное соответствие каждому изображению

Список используемой литературы

Гильде В. Зеркальный мир. — М.: Мир, 1982г

Современный словарь иностранных слов. — М.: Русский язык, 19 93г

Советский энциклопедический словарь — М.: Советская энциклопедия, 1980 г

Урманцев Ю.А. Симметрия природы и природа симметрии — М.: Мысль, 1974г

Источник