Что значит с точностью до 1 знака
Презентация на тему: Что означают слова «с точностью до …»
Что означают слова «с точностью до …» МОУ ООШ дер. Старое Мелково Учитель: Костик Инна Станиславовна
Что означают слова «с точностью до … Цель : ввести запись a ± h; способствовать усвоению терминологии; развивать навыки определения по записи промежутка, которому принадлежит точное значение величины
Что означают слова «с точностью до … Устная работа: Округлить до целых, десятых, сотых: 335,0894 ≈ 335,0894 ≈ 335,0894 ≈ 335,8594 ≈ 335,8594 ≈ 335,8594 ≈
Что означают слова «с точностью до …Устная работа: Округлить до целых, десятых, сотых: 335,0894 ≈ 335 335,0894 ≈ 335,1 335,0894 ≈ 335,09 335,8594 ≈ 336 335,8594 ≈ 335,9 335,8594 ≈ 335,86
Что означают слова «с точностью до …Сообщение диктора « 79% избирателей собираются на выборах отдать свои голоса за кандидата А. Погрешность этого результата не превосходит 5%» Что это означает? В действительности процент избирателей может отличаться от 79% в ту или иную сторону не более, чем на 5%, т.е. он содержится в промежутке 74% ≤ х ≤ 84% х = 79% ± 5%
Что означают слова «с точностью до …Значения величин в справочной и технической литературе указываются таким образом, что по записи можно судить о точности приближения. Например: Плотность меди ρ равна 8,96 г/см³ т.е. ρ =8,96 ± 0,01 г/см³ Масса Земли равна 5,976 · 10²⁴ кг, т.е.
Относительная точностьВажная характеристика приближённого значения величины – относительная точность. Она позволяет судить о качестве приближения. Например: Толщина
Относительная точностьКакое измерение точнее? 0,01/0,15 ≈ 0,067 – это 6,7% 500/384000 ≈ 0,001 – это 0,1% Первое приближение получено с относительной точностью до 6,7%, а второе – с относительной точностью до 0,1%
Закрепление изученного материала № 147, 148, 150
Самостоятельная работа Вариант 1 Вариант 2 Замените равенство двойным неравенством а) х = 26±0,6; а) у = 34±0,4; б) а = 2,6±0,6; б)
Проверка Вариант 1 Вариант 2 Замените равенство двойным неравенством а) 25,4 ≤ х ≤ 26,6; а) 33,6 ≤ у ≤ 34,4; б) 2 ≤ а ≤ 3,2; б) 3,3 ≤
Домашнее задание § 1.6 № 152(б), № 153(а – в), № 157
Итог урока Что означает запись a ± h? Как от записи с помощью знака «±» перейти к двойному неравенству? Как от двойного неравенства перейти к записи с помощью знака «±»? Что называется относительной точностью?
Чтобы скачать материал, введите свой email, укажите, кто Вы, и нажмите кнопку
Нажимая кнопку, Вы соглашаетесь получать от нас email-рассылку
Если скачивание материала не началось, нажмите еще раз «Скачать материал».
Округление числа до требуемой точности (заданного количества значащих цифр)
Общий порядок округления и терминология
Варианты округления 0,5 к ближайшему целому
Отдельного описания требуют правила округления для специального случая, когда (N+1)-й знак = 5, а последующие знаки равны нулю. Если во всех остальных случаях округление до ближайшего целого обеспечивает меньшую погрешность округления, то данный частный случай характерен тем, что для однократного округления формально безразлично, производить его «вверх» или «вниз» — в обоих случаях вносится погрешность ровно в 1/2 младшего разряда. Существуют следующие варианты правила округления до ближайшего целого для данного случая:
Во всех вариантах в случае, когда (N+1)-й знак не равен 5 или последующие знаки не равны нулю, округление происходит по обычным правилам: 2,49 → 2; 2,51 → 3.
Математическое округление просто формально соответствует общему правилу округления (см. выше). Его недостатком является то, что при округлении большого числа значений, которые далее будут обрабатываться совместно, может происходить накопление ошибки округления. Типичный пример: округление до целых рублей денежных сумм, выражаемых в рублях и копейках. В реестре из 10 000 строк (если считать копеечную часть каждой суммы случайным числом с равномерным распределением, что обычно вполне допустимо) окажется в среднем около 100 строк с суммами, содержащими в части копеек значение 50. При округлении всех таких строк по правилам математического округления «вверх» сумма «итого» по округлённому реестру окажется на 50 рублей больше точной.
Три остальных варианта как раз и придуманы для того, чтобы уменьшить общую погрешность суммы при округлении большого количества значений. Округление «до ближайшего чётного» исходит из предположения, что при большом числе округляемых значений, имеющих 0,5 в округляемом остатке, в среднем половина из них окажется слева, а половина — справа от ближайшего чётного, таким образом, ошибки округления взаимно погасятся. Строго говоря, предположение это верно лишь тогда, когда набор округляемых чисел обладает свойствами случайного ряда, что обычно верно в бухгалтерских приложениях, где речь идёт о ценах, суммах на счетах и так далее. Если же предположение будет нарушено, то и округление «до чётного» может приводить к систематическим ошибкам. Для таких случаев лучше работают два следующих метода.
Два последних варианта округления гарантируют, что примерно половина специальных значений будет округлена в одну сторону, половина — в другую. Но реализация таких методов на практике требует дополнительных усилий по организации вычислительного процесса.
Эмпирические правила арифметики с округлениями[править | править код]
В тех случаях, когда нет необходимости в точном учёте вычислительных погрешностей, а требуется лишь приблизительно оценить количество точных цифр в результате расчёта по формуле, можно пользоваться набором простых правил округлённых вычислений:
Несмотря на нестрогость, приведённые правила достаточно хорошо работают на практике, в частности, из-за достаточно высокой вероятности взаимопогашения ошибок, которая при точном учёте погрешностей обычно не учитывается.
Как округлить до трех значащих цифр
имеет три значащие цифры;
имеет две значащие цифры;
имеет три значащие цифры;
имеет три значащие цифры;
имеет две значащие цифры.
1.2. Когда необходимо указать, что число является точным, после числа должно быть указано слово «точно» или же последняя значащая цифра печатается жирным шрифтом
Пример. В печатном тексте:
1 кВт·ч = 3 600 000 Дж (точно), или = 3600000 Дж
1.3. Следует различать записи приближенных чисел по количеству значащих цифр.
1. Следует различать числа 2,4 и 2,40. Запись 2,4 означает, что верны только цифры целых и десятых; истинное значение числа может быть например 2,43 и 2,38. Запись 2,40 означает, что верны и сотые доли числа; истинное число может быть 2,403 и 2,398, но не 2,421 и не 2,382.
Утвержден Постоянной Комиссией по стандартизации
Улан-Батор, июнь 1977 г.
1.4. Число, для которого указывается допускаемое отклонение, должно иметь последнюю значащую цифру того же разряда как и последняя значащая цифра отклонения.
1.5. Числовые значения величины и ее погрешности (отклонения) целесообразно записывать с указанием одной и той же единицы физических величин.
Пример. 80,555±0,002 кг
1.6. Интервалы между числовыми значениями величин следует записывать:
От 60 до 100 или от 60 до 100
Свыше 100 до 120 или свыше 100 до 120
Свыше 120 до 150 или свыше 120 до 150.
1.7. Числовые значения величин должны указываться в стандартах с одинаковым числом разрядов, которое необходимо для обеспечения требуемых эксплуатационных свойств и качества продукции. Запись числовых значений величин до первого, второго, третьего и т. д. десятичного знака для различных типоразмеров, видов марок продукции одного названия, как правило, должна быть одинаковой. Например, если градация толщины стальной горячекатаной ленты 0,25 мм, то весь ряд толщин ленты должен быть указан с точностью до второго десятичного знака.
В зависимости от технической характеристики и назначения продукции количество десятичных знаков числовых значений величин одного и того же параметра, размера, показателя или нормы может иметь несколько ступеней (групп) и должно быть одинаковым только внутри этой ступени (группы).
2.1. Округление числа представляет собой отбрасывание значащих цифр справа до определенного разряда с возможным изменением цифры этого разряда.
Пример. Округление числа 132,48 до четырех значащих цифр будет 132,5.
2.2. В случае, если первая из отбрасываемых цифр (считая слева направо) меньше 5, то последняя сохраняемая цифра не меняется.
Пример. Округление числа 12,23 до трех значащих цифр дает 12,2.
2.3. В случае, если первая из отбрасываемых цифр (считая слева направо) равна 5, то последняя сохраняемая цифра увеличивается на единицу.
Пример. Округление числа 0,145 до двух значащих цифр дает 0,15.
Примечание. В тех случаях, когда следует учитывать результаты предыдущих округлений, следует поступать следующим образом:
1) если отбрасываемая цифра получилась в результате предыдущего округления в большую сторону, то последняя сохраняемая цифра сохраняется;
Пример. Округление до одной значащей цифры числа 0,15 (полученного после округления числа 0,149) дает 0,1.
2) если отбрасываемая цифра получилась в результате предыдущего округления в меньшую сторону, то последняя оставшаяся цифра увеличивается на единицу (с переходом при необходимости в следующие разряды).
Пример. Округление числа 0,25 (полученного в результате предыдущего округления числа 0,252) дает 0,3.
2.4. В случае, если первая из отбрасываемых цифр (считая слева направо) больше 5, то последняя сохраняемая цифра увеличивается на единицу.
Пример. Округление числа 0,156 до двух значащих цифр дает 0,16.
2.5. Округление следует выполнять сразу до желаемого количества значащих цифр, а не по этапам.
Пример. Округление числа 565,46 до трех значащих цифр производится непосредственно на 565. Округление по этапам привело бы к:
565,46 в I этапе – к 565,5,
а во II этапе – 566 (ошибочно).
2.6. Целые числа округляют по тем же правилам, как и дробные.
1. Автор – делегация ВНР в Постоянной Комиссии по стандартизации.
3. Стандарт СЭВ утвержден на 41-м заседании ПКС.
4. Сроки начала применения стандарта СЭВ:
Срок начала применения стандарта СЭВ в договорно-правовых отношениях по экономическому и научно-техническому сотрудничеству
Срок начала применения стандарта СЭВ в народном хозяйстве
Определение 1.6. Значащими цифрами в записи приближенного числа называются:
– все ненулевые цифры;
– нули, содержащиеся между ненулевыми цифрами;
– нули, являющиеся представителями сохраненных десятичных разрядов при округлении.
В следующих примерах значащие цифры подчеркнуты.
Пример 1.6. 2.305; 0.0357; 0.001123; 0.035299879 = 0.035300.
При округлении числа 0.035299879 до шести знаков после запятой получается число 0.035300, в котором последние два нуля являются значащими. Если отбросить эти нули, то полученное число 0.0353 не является равнозначным с числом 0.035300 приближенным значением числа 0.035299879, так как погрешности указанных приближенных чисел отличаются.
Определение 1.7. Первые n значащих цифр в записи приближенного числа называются верными в узком смысле, если абсолютная погрешность числа не превосходит половины единицы разряда, соответствующего n-й значащей цифре, считая слева направо.
Наряду с данным определением иногда используется другое.
Определение 1.8. Первые n значащих цифр в записи приближенного числа называются верными в широком смысле, если абсолютная погрешность числа не превосходит единицы разряда, соответствующего n-й значащей цифре.
Пример 1.7. Определить верные цифры приближенного значения аp = 2.721 числа е, если известно, что е = = 2.718281828.
б) скорость света в вакууме С = 3.00 • 10 8 м/с;
Замечание. Термин «верные значащие цифры» нельзя понимать буквально. Например, современное опытное значение скорости света в вакууме составляет С = 2.997925 • 10 8 м/с. Очевидно, что ни одна значащая цифра в примере 1.9, б не совпадает с соответствующей точной цифрой, но абсолютная погрешность меньше половины разряда, соответствующего последней значащей цифре в записи 3.00 • 10 8 :
Правило округления чисел
Чтобы округлить число до n значащих цифр, отбрасывают все цифры, стоящие справа от n-й значащей цифры, или, если это нужно для сохранения разрядов, заменяют их нулями. При этом:
1) если первая отброшенная цифра меньше 5, то оставшиеся десятичные знаки сохраняют без изменения;
2) если первая отброшенная цифра больше 5, то к последней оставшейся цифре прибавляют единицу;
3) если первая отброшенная цифра равна 5 и среди остальных отброшенных цифр есть ненулевые, то к последней оставшейся цифре прибавляют единицу;
4) если первая из отброшенных цифр равна 5 и все отброшенные цифры являются нулями, то последняя оставшаяся цифра оставляется неизменной, если она четная, и увеличивается на единицу, если – нечетная (правило четной цифры).
Это правило гарантирует, что сохраненные значащие цифры числа являются верными в узком смысле, т. е. погрешность округления не превосходит половины разряда, соответствующего последней оставленной значащей цифре. Правило четной цифры должно обеспечить компенсацию знаков ошибок.
Пример 1.10. Приведем примеры округления до четырех значащих цифр:
Δp = |3.142 – 3.1415926| 8 = 2.998 • 10 8 ;
Следующая теорема выявляет связь относительной погрешности числа с числом верных десятичных знаков.
Теорема 1.1. Если положительное приближенное число имеет n верных значащих цифр, то его относительная погрешность δ не превосходит величины 10 1- n деленной на первую значащую цифру αn,:
Формула (1.11) позволяет вычислить предельную относительную погрешность
а) Здесь n = 4, αn = 3. Используем формулу (1.12) для оценки относительной погрешности: δ =10 1- n / αn = 0.001/3 ≈ 0.00033.
Для определения абсолютной погрешности применим формулу (1.10):
б) Аналогично вычислим: n = 7, αn = 2, δа = 10 1- n / αn = 0.000001/2 = 0.0000005;
Δa = |ар| δа = 2.997925 10 8 • 0.0000005 ≈ 150.
В некоторых финансовых отчетах данные показателей представлены с точностью округления до определенных значащих цифр. Что значит значащая цифра? Дело в том, что при визуальном анализе презентаций отчетов с миллионами не нужно засорять точными числовыми значениями отображая каждую цифру в числе (единицы, десятки, сотни и тысячи), чтобы не ухудшить читабельность данных.
Как округлить до трех значащих цифр в Excel
В Excel все решает пользователь. Программа округлит дробные или даже целые числа в зависимости какое число значащих цифр удовлетворит потребность пользователя. Несомненно, на первый взгляд такое округление может вызывать сомнение в рациональности решения. Однако в презентациях есть место быть как точным показателям, так и относительным. И в других ситуациях это также применимо. Например, в стратегическом планировании более важные относительные показатели, так как сколько не планируй никогда не угадаешь точные результирующие числа. В тактическом планировании более важны точные значения чтобы избежать серьезных просчетов. В стратегическом планировании где показатели достигают миллионов, каждое значение ниже определенного числа значащих цифр – не существенно.
Ниже на рисунке показано, как составить формулу, которая округляет миллионные числовые значения до заданного числа значащих цифр:
Функция ОКРУГЛ используется для округления исходного числового значения до определенного количества разрядов после запятой. Функция содержит 2 аргумента:
Если во втором аргументе функции ОКРУГЛ указать отрицательное число, тогда Excel округлит исходное числовое значение в соответствии цифр по левой стороне запятой. Например, следующая формула возвращает в результате вычисления число 9500:
Такая формула прекрасно работает, но не всегда. Например, что будет если исходные числовые значения будут разных величин числовых радов? Одни будут более миллиона, другие едва превышают сотни тысяч. Если возникнет необходимость округлить все такие исходные значения до одной и той же значащей цифры используя при этом одну и туже формулу (как обычно принято в Excel). Применять для отдельных групп исходных значений функцию ОКГРУГЛ с разными значениями в аргументах – это не правильное, а точнее не наилучшее решение. Хотя теоретически все может сработать.
Для красивого решения данной задачи следует использовать постоянное неизменяемое число значащих цифр в формуле, которая вычислит соответствующие значения.
Как узнать количество значащих цифр в Excel
Данная формула сначала преобразовывает заданное исходное отрицательно число в положительное используя функцию ABS (уберет знак минус спереди при его наличии). Полученный результат далее обрабатывается функцией ЦЕЛОЕ, котаря убирает все разряды после запятой. Далее полученный результат обрабатывается функцией ДЛСТР с целью подсчета количества символов из которых состоит исходное числовое значение без знака минуса и запятой.
Округляем до 3 значащих цифр в Excel
Число 2 указанное в аргументе данной формулы можно заменить на ссылку с ячейкой в которой будет указано желаемое число заданных значащих цифр пользователем. Как на рисунке с примером.
Таким образом можно округлить до 3 или 5 значащих цифр. Просто укажите необходимое значение в ячейке C2.
Правильное округление чисел
Приближенные значения
В обычной жизни мы часто встречаем два вида чисел: точные и приближенные. И если точные до сих пор были понятны, то с приближенными предстоит познакомиться в 5 классе.
У квадрата четыре стороны — число 4 невозможно оспорить, оно точное. У каждого окна есть своя ширина, и его параметры однозначно точные. А вот арбуз весит примерно 5 кг, и никакие весы не покажут абсолютно точный вес. И градусник показывает температуру с небольшой погрешностью. Поэтому вместо точных значений величин иногда можно использовать приближенные значения.
Онлайн-школа Skysmart приглашает детей и подростков на курсы по математике — за интересными задачами, новыми прикладными знаниями и хорошими оценками!
Примерчики
Весы показывают, что арбуз весит 5,160 кг. Можно сказать, что арбуз весит примерно 5 кг. Это приближенное значение с недостатком.
Часы показывают время: два часа дня и пятьдесят пять минут. В разговоре про время можно сказать: «почти три» или «время около трех». Это значение времени с избытком.
Если длина платья 1 м 30 см, то 1 м — это приближенное значение длины с недостатком, а 1,5 м — это приближенное значение длины с избытком.
Приближенное значение — число, которое получилось после округления.
Для записи результата округления используют знак «приблизительно равно» — ≈.
Округлить можно любое число — для всех чисел работают одни и те же правила.
Округлить число значит сократить его значение до нужного разряда, например, до сотых, десятков или тысячных, остальные значения откидываются. Это нужно в случаях, когда полная точность не нужна или невозможна.
Округление натуральных чисел
Натуральные числа — это числа, которые мы используем, чтобы посчитать что-то конкретное, осязаемое. Вот они: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13 и так далее.
Особенности натуральных чисел:
Округление натурального числа — это замена его таким ближайшим по значению числом, у которого одна или несколько последних цифр в его записи заменены нулями.
Чтобы округлить натуральное число, нужно в записи числа выбрать разряд, до которого производится округление.
Правила округления чисел:
Давайте рассмотрим, как округлить число 57 861 до тысяч. Выполним первые два пункта из правил округления.
После подчеркнутой цифры стоит 8, значит к цифре разряда тысяч (в данном случае 7) прибавим 1. На месте цифр, отделенных вертикальной чертой, ставим нули.
Теперь округлим 756 485 до сотен:
Округлим число 123 до десятков: 123 ≈ 120.
Округлим число 3581 до сотен: 3581 ≈ 3580.
Если в разряде, до которого производится округление, стоит цифра 9 и необходимо ее увеличить на единицу — в этом разряде записывается цифра 0, а цифра слева в соседнем старшем разряде увеличивается на 1.
Иногда уместно записать округленный результат с сокращениями «тыс.» (тысяча), «млн.» (миллион) и «млрд.» (миллиард). Вот так:
Округление десятичных дробей
Дробь — одна из форм записи частного чисел a и b, представленная в виде a/b. Есть два формата записи:
В десятичной дроби знаменатель всегда равен 10, 100, 1000, 10 000 и т. д. Выходит, что десятичная дробь — это то, что получается, если разделить числитель на знаменатель. Такую дробь записывают в строчку через запятую, чтобы отделить целую часть от дробной. Вот так:
При округлении десятичных дробей следует быть особенно внимательным, потому что десятичная дробь состоит из целой и дробной части. И у каждой из этих частей есть свои разряды:
Разряды целой части:
Разряды дробной части:
Разряд — это позиция, место расположения цифры в записи натурального числа. У каждого разряда есть свое название. Слева всегда располагаются старшие разряды, а справа — младшие.
Рассмотрим десятичную дробь 7396,1248. Здесь целая часть — 7396, а дробная — 1248. При этом у каждой из них есть свои разряды, которые важно не перепутать:
Чтобы округлить десятичную дробь, нужно в записи числа выбрать разряд, до которого производится округление.
То число, к которому дробь ближе, называют округленным значением числа.
Цифра, которая записана в данном разряде:
Как округлить до десятых. Оставить одну цифру после запятой, остальные отбросить. Согласно правилу выше, если первая отбрасываемая цифра — 0, 1, 2, 3 или 4, то цифра после запятой остается той же. Если мы отбрасываем цифру 5, 6, 7, 8 или 9 — цифра после запятой увеличивается на единицу.
Как округлить до сотых. Оставить две цифры после запятой, остальные отбросить. И снова не забываем про правило: если следующая цифра 0, 1, 2, 4 — цифра в разряде сотых остается неизменной. Если же это 5, 6, 7, 8 или 9, то цифра в разряде сотых увеличится на 1.
Как округлить до целых. Заменить десятичную дробь ближайшим к ней целым числом. Ближайшим будет наименьшее расстояние. При этом если расстояние до приближенного значения числа с недостатком и расстояние до приближенного значения числа с избытком равны, то округляют в большую сторону.
Все цифры, которые стоят справа от данного разряда, заменяются нулями. Если эти нули стоят в дробной части числа, то их можно не писать.
Пример 1
256,43 ≈ 256,4 — округление до десятых;
4,578 ≈ 4,58 — округление до сотых;
17,935 ≈ 18 — округление до целых.
Если в разряде, до которого производится округление, стоит цифра 9 и необходимо ее увеличить на единицу, то в этом разряде записывается цифра 0, а цифра слева в предыдущем разряде увеличивается на 1.
Пример 2
79,7 ≈ 80 — округление до десятков;
0,099 ≈ 0,10 — округление до сотых.
Математическое округление и его правила быстро запомнится, если не лениться решать примеры и задачки из учебников 5 класса.
ДЕСЯТИЧНЫЙ ЗНАК
Смотреть что такое «ДЕСЯТИЧНЫЙ ЗНАК» в других словарях:
десятичный знак — десятичная дробь десятичный — [http://slovarionline.ru/anglo russkiy slovar neftegazovoy promyishlennosti/] Тематики нефтегазовая промышленность Синонимы десятичная дробьдесятичный EN decimal … Справочник технического переводчика
Десятичный разделитель — Десятичный разделитель знак, используемый для разделения целой и дробной частей вещественного числа в форме десятичной дроби в системе десятичного исчисления. Для дробей в иных системах счисления может использоваться термин разделитель… … Википедия
Знак процента — % Знак процента Пунктуация апостроф (’ … Википедия
Знак деления — ÷ Знак деления Пунктуация апостроф (’ ) … Википедия
Знак охраны авторского права — © Знак охраны авторского права Пунктуация апостроф ( … Википедия
Знак правовой охраны товарного знака — ® Знак правовой охраны товарного знака Пунктуация апостроф (’ … Википедия
Знак умножения — × • Знак умножения (×) математический знак операции умножения. Знак умножения изображают как крестик (×), точку … Википедия
Десятичный логарифм — График десятичного логарифма Десятичный логарифм логарифм по основанию 10. Другими словами, десятичный логарифм числа … Википедия
Знак градуса — У этого термина существуют и другие значения, см. Градус. ° Знак градуса Пунктуация апостроф … Википедия
Знак равенства — … Википедия