В данной статье рассмотрим принцип решения таких уравнений как линейные уравнения. Запишем определение этих уравнений, зададим общий вид. Разберем все условия нахождения решений линейных уравнений, используя, в том числе, практические примеры.
Обратим внимание, что материал ниже содержит информацию по линейным уравнениям с одной переменной. Линейные уравнения с двумя переменными рассматриваются в отдельной статье.
Что такое линейное уравнение
Такая формулировка использована в учебнике алгебры ( 7 класс) Ю.Н.Макарычева.
Примерами линейных уравнений будут:
3 · x = 11 (уравнение с одной переменной x при а = 5 и b = 10 );
В различных учебных материалах могут встречаться разные определения. К примеру, Виленкин Н.Я. к линейным относит также те уравнения, которые возможно преобразовать в вид a · x = b при помощи переноса слагаемых из одной части в другую со сменой знака и приведения подобных слагаемых. Если следовать такой трактовке, уравнение 5 · x = 2 · x + 6 – также линейное.
А вот учебник алгебры ( 7 класс) Мордковича А.Г. задает такое описание:
Примером линейных уравнений подобного вида могут быть:
Принцип решения линейных уравнений
Рассмотрим, как определить, будет ли заданное линейное уравнение иметь корни и, если да, то сколько и как их определить.
Дадим пояснение. Нам известно, что в процессе решения уравнения возможно осуществлять преобразование заданного уравнения в равносильное ему, а значит имеющее те же корни, что исходное уравнение, или также не имеющее корней. Мы можем производить следующие равносильные преобразования:
Все приведенные рассуждения дают нам возможность записать алгоритм, дающий возможность найти решение любого линейного уравнения:
Собственно, описанная последовательность действий и есть ответ на вопрос, как находить решение линейного уравнения.
Статья находится на проверке у методистов Skysmart. Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат (в правом нижнем углу экрана).
Понятие уравнения
Понятие уравнения обычно проходят в самом начале школьного курса алгебры. Его определяют, как равенство с неизвестным числом, которое нужно найти.
В школьной программе за 7 класс впервые появляется понятие переменных. Их принято обозначать латинскими буквами, которые принимают разные значения. Исходя из этого можно дать более полное определение уравнению.
Уравнение — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Значение неизвестных нужно найти так, чтобы при их подстановке в пример получилось верное числовое равенство.
Например, возьмем выражение 2 + 4 = 6. При вычислении левой части получается верное числовое равенство, то есть 6 = 6.
Уравнением можно назвать выражение 2 + x = 6, с неизвестной переменной x, значение которой нужно найти. Результат должен быть таким, чтобы знак равенства был оправдан, и левая часть равнялась правой.
Корень уравнения — то самое число, которое при подстановке на место неизвестной уравнивает выражения справа и слева.
Равносильные уравнения — это те, в которых совпадают множества решений. Другими словами, у них одни и те же корни.
Решить уравнение значит найти все возможные корни или убедиться, что их нет.
Решить уравнение с двумя, тремя и более переменными — это два, три и более значения переменных, которые обращают данное выражение в верное числовое равенство.
Какие бывают виды уравнений
Уравнения могут быть разными, самые часто встречающиеся — линейные и квадратные.
Особенность преобразований алгебраических уравнений в том, что в левой части должен остаться многочлен от неизвестных, а в правой — нуль.
Линейное уравнение выглядит так
ах + b = 0, где a и b — действительные числа.
Что поможет в решении:
Система уравнений — это несколько уравнений, для которых нужно найти значения неизвестных. Она имеет вид ax + by + c = 0 и называется линейным уравнением с двумя переменными x и y, где a, b, c — числа.
Решением этого уравнения называют любую пару чисел (x; y), которая соответствует этому выражению и является верным числовым равенством.
Числовой коэффициент — число, которое стоит при неизвестной переменной.
Кроме линейных и квадратных есть и другие виды уравнений, с которыми мы познакомимся в следующий раз:
Онлайн-курсы по математике за 7 класс помогут закрепить новые знания на практике с талантливым преподавателем.
Как решать простые уравнения
Чтобы научиться решать простые линейные уравнения, нужно запомнить формулу и два основных правила.
1. Правило переноса. При переносе из одной части в другую, член уравнения меняет свой знак на противоположный.
Для примера рассмотрим простейшее уравнение: x+3=5
Начнем с того, что в каждом уравнении есть левая и правая часть.
Перенесем 3 из левой части в правую и меняем знак на противоположный.
Можно проверить: 2 + 3 = 5. Все верно. Корень равен 2.
Решим еще один пример: 6x = 5x + 10.
Перенесем 5x из правой части в левую. Знак меняем на противоположный, то есть на минус.
Приведем подобные и завершим решение.
2. Правило деления. В любом уравнении можно разделить левую и правую часть на одно и то же число. Это может ускорить процесс решения. Главное — быть внимательным, чтобы не допустить глупых ошибок.
Применим правило при решении примера: 4x=8.
При неизвестной х стоит числовой коэффициент — 4. Их объединяет действие — умножение.
Чтобы решить уравнение, нужно сделать так, чтобы при неизвестной x стояла единица.
Разделим каждую часть на 4. Как это выглядит:
Теперь сократим дроби, которые у нас получились и завершим решение линейного уравнения:
Рассмотрим пример, когда неизвестная переменная стоит со знаком минус: −4x = 12
Если знак минус стоит перед скобками, и по ходу вычислений его убрали — важно не забыть поменять знаки внутри скобок на противоположные. Этот простой факт позволит не допустить обидные ошибки, особенно в старших классах.
Напомним, что не у каждого линейного уравнения есть решение — иногда корней просто нет. Изредка среди корней может оказаться ноль — ничего страшного, это не значит, что ход решения оказался неправильным. Ноль — такое же число, как и остальные.
Способов решения линейных уравнений немного, нужно запомнить только один алгоритм, который будет эффективен для любой задачки.
Чтобы быстрее запомнить ход решения и формулу линейного уравнения, скачайте или распечатайте схему-подсказку — храните ее в телефоне, учебники или на рабочем столе.
А вот и видео «Простейшие линейные уравнения» для тех, кто учиться в 5, 6 и 7 классе.
Примеры линейных уравнений
Теперь мы знаем, как решать линейные уравнения. Осталось попрактиковаться на задачках, чтобы чувствовать себя увереннее на контрольных. Давайте решать вместе!
Пример 1. Как правильно решить уравнение: 6х + 1 = 19.
Пример 2. Как решить уравнение: 5(х — 3) + 2 = 3 (х — 4) + 2х — 1.
5х — 15 + 2 = 3х — 2 + 2х — 1
Ответ: х — любое число.
Пример 3. Решить: 4х = 1/8.
Пример 4. Решить: 4(х + 2) = 6 — 7х.
Пример 5. Решить:
Пример 6. Как решить линейное уравнение: х + 7 = х + 4.
Для изучения темы линейного уравнения вспомним, что уравнением называют равенство, в составе которого есть неизвестное число. Это неизвестное число-переменную нам и нужно найти.
Чаще всего уравнения используют, чтобы решить задачу.
Приведем пример
Таким образом, записав по условию задачи уравнение, мы смоделировали алгебраическую модель ситуации.
Когда от нас требуется решить уравнение, мы должны найти все его корни либо показать, что их нет.
Корень уравнения – это значение неизвестной переменной, превращающее уравнение в верное равенство.
Рассмотрим пример
Корней может быть несколько, один или не быть совсем. В последнем случае говорят обычно, что уравнение не имеет решения или не имеет корней.
Что такое линейное уравнение
Подобные уравнения и называются линейными.
Иногда в составе уравнения есть несколько переменных, это тоже не наш случай: такие уравнения будут изучаться позже.
Коэффициенты и решение линейных уравнений
Посмотрим, когда линейное уравнение никак не может иметь корней (или верного решения).
Таким образом, при решении линейных уравнений мы пришли к трем общим ситуациям:
Свойства линейных уравнений
До того, как начать решать уравнение, над ним необходимо произвести все доступные арифметические действия, например, сложение/вычитание, раскрытие скобок, умножение/деление отдельно для свободных коэффициентов и отдельно для членов уравнения с неизвестной переменной.
Для упрощения дальнейшего решения с уравнениями можно произвести те же действия, что применяются к другим математическим выражениям.
Свойства линейных уравнений:
В процессе решения надо так преобразовать уравнение, чтобы все известные члены оказались с одной стороны равенства, а неизвестные – с другой.
Согласитесь, такое уравнение решить намного легче. При этом после подобных преобразований равенство не нарушается, и мы получаем равносильные уравнения.
Линейное уравнение с одной переменной — общие сведения
С темой уравнений можно познакомиться на первых уроках алгебры. В школьном курсе предложено такое объяснение: уравнение является равенством с неизвестным, которое необходимо вычислить. Неизвестное, или переменную, принято обозначать с помощью латинских букв.
Уравнение является математическим равенством с одной или несколькими неизвестными величинами.
Значение неизвестных определяется так, чтобы при подстановке в уравнение оно обращало его в верное числовое равенство.
Рассмотрим следующее выражение:
Если посчитать значение левой части, уравнение станет верным числовым равенством, то есть:
Еще одно выражение:
Здесь имеется некая переменная х, которую нужно вычислить. Уравнение в этом случае станет справедливым равенством, если найденное значение х оправдает знак равенства. Тогда левая часть выражения станет равна правой части.
Специфика преобразований при работе с алгебраическими уравнениями состоит в том, чтобы оставить слева в выражении многочлен от неизвестных, а правую часть обратить в ноль.
Линейное уравнение — это уравнение, записанное в виде:
где а и b являются действительными числами.
Корень уравнения, сколько их всего
Корень уравнения является таким числом, которое при подстановке на место неизвестной уравнивает правую и левую части выражения.
Решить уравнение — определить все из возможных его корней, либо доказать их отсутствие.
Принципы поиска корней уравнения ах + b = 0:
Как решать, описание алгоритма
Правило переноса: если требуется перенести член из одной части уравнения в другую, то нужно изменить знак этого члена на противоположный.
Рассмотрим действие данного правила на примере:
Заметим, что в уравнении имеется пара частей:
Переместим число 3 вправо, изменив его знак на противоположный:
В итоге получилось верное числовое равенство. Это значит, что корень определен правильно.
Разберем еще одно уравнение:
Переместим член 5х влево с заменой знака на противоположный:
После приведения подобных вычислим х:
Правило деления: обе части любого уравнения допускается делить на одно и то же число.
Рассмотрим применение этого правила на практике:
Здесь при неизвестном записан числовой коэффициент в виде числа 4. Преобразуем уравнение так, чтобы числовой коэффициент при х стал равным единице. Для этого нужно поделить обе части уравнения на число 4:
Далее выполним сокращение дробей и найдем корень уравнения:
Разберем вариант, когда перед неизвестной переменной стоит знак минуса:
Когда перед скобками стоит знак минуса, который необходимо исключить, следует изменить знаки внутри скобок на противоположные. В результате при вычислениях не будет допущена ошибка, что особенно важно при решении заданий на системы уравнений, примеров с разным количеством неизвестных.
Стандартный алгоритм решения линейных уравнений:
Упростить решение задач на линейные уравнения можно методом использования следующей схемы:
Примеры задач для 7 класса с объяснением
Найти корни уравнения:
Перенесем единицу вправо, изменив знак на отрицательный:
Далее разделим уравнение на число 6, которое является общим множителем:
Требуется решить уравнение:
5 ( х − 3 ) + 2 = 3 ( х − 4 ) + 2 х − 1
В первую очередь избавимся от скобок:
5 х − 15 + 2 = 3 х − 12 + 2 х − 1
Далее сгруппируем члены уравнения, руководствуясь стандартным алгоритмом решения линейных уравнений:
5 х − 3 х − 2 х = 0 − 12 − 1 + 15 − 2
Затем следует привести подобные:
Ответ: х является любым числом.
Нужно вычислить неизвестную х :
Выполним вычисления по правилу деления:
Найти решение уравнения:
Выполним вычисления, руководствуясь стандартным алгоритмом решения линейных уравнений:
Вычислить корни уравнения:
Выполним вычисления, руководствуясь стандартным алгоритмом решения линейных уравнений:
Решить линейное уравнение:
В первую очередь избавимся от скобок:
5 х − 15 + 2 = 3 х − 2 + 2 х − 1
Затем выполним группировку членов с неизвестными, а справа оставим свободные члены:
Ответ: данное уравнение не имеет решений.
Решить линейное уравнение:
Выполним вычисления, согласно стандартному алгоритму решения линейных уравнений:
Тема урока: § 5. Линейное уравнение с одной переменной. Навык решения линейных уравнений проверяется на экзаменах ОГЭ и ЕГЭ и необходим для решения текстовых задач.
Определение: Корень уравнения с одной переменной — это число, обращающее данное уравнение в верное равенство.
Решить уравнение — значит найти множество всех его корней.
Линейное уравнение
Определение: Каждое алгебраическое уравнение с одним неизвестным, степень которого равна единице называется линейным уравнением.
В общем виде линейное уравнение имеет вид:
Примеры линейных уравнений
Приведём несколько примеров линейных уравнений:
Заметим, что каждое из данных равенств имеет общую форму:
$$kx+b=0 \Leftrightarrow kx=-b$$
Следующие уравнения не будут являться линейными, так как они не имеют вышеописанный вид.
Свойства линейных уравнений
Линейные уравнения обладают рядом специфических свойств, рассмотрим их:
Любое слагаемое можно переносить в противоположную сторону равенства, но при этом слагаемое меняет знак. Покажем на примере равенства:
Смена знака связана с тем, что мы вправе прибавлять к обоим частям уравнения одно и то же число (смысл уравнения от этого не меняется).
$$x+0=0-2 \Rightarrow x=-2$$
Каждую часть равенства можно умножать, делить на одно и то же число отличное от нуля (смысл уравнения от этого не меняется). Покажем на примере того же равенства, домножив обе части на число четыре:
$$x+2=0 \Rightarrow (x+2)\cdot 4=0\cdot 4$$
Равносильные уравнения
Рассмотрим три уравнения:
Каждое решение уравнения (3) является решением уравнения (1) и каждое решение уравнения (1) является решением уравнения (3). Такие уравнения называются равносильными.
Важно! У равносильных уравнений множества их решений совпадают.
В дальнейшем мы будем часто использовать такую символику.
Свойства равенств
Приведем еще два свойства равенств, которые нам понадобятся дальше:
Примеры решения уравнений
Свойства равенств используются при решении уравнений. Покажем это на примере.
Из свойства 5. следует, что последние два уравнения равносильны:
$$6x=42 \Leftrightarrow x=7$$
Рассмотренный пример показывает, что перенос членов уравнения из одной его части в другую с противоположным знаком и умножение (или деление) обеих частей уравнения на неравное нулю число приводят к уравнению, равносильному данному.
Приведем все слагаемые левой части уравнения к общему знаменателю:
Общий вид решений линейного уравнения
Шаг 1.
$$k=0, b\neq 0 \Rightarrow 0\cdot x=-b$$
Шаг 2.
Коэффициент при неизвестной и свободный член отличны от нуля:
В данном случае решение можно записать несколькими способами, например с помощью двойного неравенства:
Задача №1.
Раскроем скобки и приведем подобные.
Перенесем слагаемые содержащие неизвестную в одну часть, а остальные в другую.
Задача №2.
Раскроем скобки в обеих частях равенства.
Перенесем переменные вправо, а остальные слагаемые влево.
Задача №3.
Для решения уравнения нужно воспользоваться свойством произведения. Произведение равно нулю, тогда и только тогда, когда один из множителей равен нулю, а значит одно из выражений в скобках должно равнятся нулю. Рассмотрим первый случай:
Теперь рассмотрим второй случай:
Задача №4.
Найдите корень уравнения:
$$(3m+5)\cdot 3=(5m+1)\cdot 4$$
$$3m\cdot 3+5\cdot 3=5m\cdot 4+1\cdot 4$$
Задача №5.
Обратим внимание на правую часть равенства и воспользуемся свойством:
Если перед скобками стоит знак минус, то при их раскрытии все знаки стоящие в скобках меняются на противоположные.
