Что значит разложить вектор по трем некомпланарным векторам
Разложение вектора по трем некомпланарным векторам
Теорема. Любой вектор m может быть представлен, и притом единственным образом, в виде линейной комбинации трех любых некомпланарных векторов а, b и с:
Прежде всего отметим, что никакие два вектора из векторов а, b, с не коллинеарны; в противном случае векторы а, b, с были бы компланарны. Поэтому, если вектор m компланарен с какими-нибудь двумя векторами (например, с а и b), то m = ха + уb и, следовательно,
т. е. в этом случае теорема доказана.
Пусть вектор m не компланарен ни с какими двумя векторами из векторов а, b, с (рис. 30).
Приведем все векторы к общему началу О и проведем через точку М (конец направленного отрезка, изображающего вектор \(\overrightarrow
\(\overrightarrow
По свойству коллинеарных векторов \(\overrightarrow
По теореме о разложении вектора по двум неколлинеарным векторам существуют числа х, у такие, что \(\overrightarrow
\(\overrightarrow
Единственность разложения вектора т по векторам а, b и с: доказывается аналогично тому, как это было сделано в теореме о разложении вектора по двум неколлинеарным векторам.
Базисом пространства называются любые три некомпланарных вектора, взятые в определенном порядке.
Числа х, у и z называются координатами вектора а в данном базисе. В этом случае пишут а = (х; у; z).
Из \(\Delta\)AKL имеем \(\overrightarrow
Задача 2. Пусть векторы \(\overrightarrow
Воспользуемся рис. 29a.
откуда \(\overrightarrow
Инструменты пользователя
Инструменты сайта
Боковая панель
Стереометрия:
Контакты
Векторы в пространстве
Компланарные векторы — векторы, лежащие в одной плоскости или в параллельных плоскостях.
Правило параллелепипеда — правило сложения трёх некомпланарных векторов, состоящее в том, что все три вектора откладывают из одной точки и строят параллелепипед таким образом, чтобы данные векторы были его рёбрами. Тогда вектор, отложенный из той же точки и совпадающий с диагональю параллелепипед, будет суммой трёх данных векторов.
Теорема о разложении вектора по трём некомпланарным векторам. Любой вектор можно разложить по трём данным некомпланарным векторам, причём коэффициенты разложения определяются единственным образом.
Прямоугольная система координат в пространстве — три взаимно перпендикулярные прямые x, y, z, на которых выбраны направление и единица измерения отрезков, которые лежат в трёх разных плоскостях xy, yz, xz и имеют общую точку пересечения O.
Оси координат — прямые x, y, z с выбранными на них направлениями.
Начало координат — точка их пересечения О.
Оси координат в пространстве обозначают Ox, Oy, Oz (соответственно ось абсцисс, ось ординат, ось аппликат).
Координатные векторы — единичные векторы, направление которых совпадает с положительным направлением координатных осей.
Действия с векторам по координатам в пространстве.
Урок «Разложение вектора по трём некомпланарным векторам»
Краткое описание документа:
ТЕКСТОВАЯ РАСШИФРОВКА УРОКА:
Если вектор представлен в виде
Докажем теорему о разложении вектора по трем некомпланарным векторам.
Любой вектор можно разложить по трем данным некомпланарным векторам, причем коэффициенты разложения определяются единственным образом.
Отметим произвольную точку О и отложим от нее векторы. Через точку Р проведем прямую параллельную ОС. Р1 точка пересечения прямой с плоскостью АОВ (если Р принадлежит ОС, то в качестве Р1 возьмем точку О). Через Р1 проведем прямую Р1Р2 параллельную ОВ; Р2 точка пересечения этой прямой с ОА (если Р1 принадлежит ОВ то в качестве Р2 возьмем точку О);
2) По правилу многоугольника
Заметим, что векторы ОР2 и ОА, Р2Р1 и ОВ. Р1Р и ОС коллинеарны. Значит, существуют такие числа x, y и z, что. Получаем, что
Существование разложения доказано.
Докажем единственность коэффициентов разложения. Допустим, что имеется ещё одно разложение вектора р;
Вычитая это равенство из ; получим
Дан параллелепипед АВСDA1B1C1D1.
Разложите вектор BD1 по векторам BA, ВС и ВВ1.
По правилу параллелепипеда вектор ВД1 равен сумме векторов ВА, ВС и ВВ1.
Решим эту же задачу под буквой б. Здесь нужно разложить вектор B1D1 по векторам А1A, А1В и А1D1.
По правилу треугольника из треугольника А1В1D1:
Презентация по геометрии на тему «Компланарные векторы. Разложение вектора по трем некомпланарным векторам»
Онлайн-конференция
«Современная профориентация педагогов
и родителей, перспективы рынка труда
и особенности личности подростка»
Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику
Описание презентации по отдельным слайдам:
Настройся на урок Векторы в пространстве
Компланарные векторы, разложение вектора по трем некомпланарным векторам
Определение компланарных векторов Векторы называются компланарными, если при откладывании их от одной и той же точки они будут лежать в одной плоскости. Любые два вектора компланарны.
Определение компланарных векторов Три вектора, среди которых имеются два коллинеарных, также компланарны. k
А О Е D C В B1 Определение компланарных векторов Являются ли векторы ВВ1, ОD и ОЕ компланарными?
А О Е D C В B1 Определение компланарных векторов Являются ли векторы ОА, ОВ и ОС компланарными?
Определение компланарных векторов A B C A1 B1 C1 D1 D Являются ли векторы AD и D1B компланарными?
Признак компланарных векторов Если вектор можно разложить по векторам a и b, т.е. представить в виде: с=xa+yb, где x и y некоторые числа, то векторы a, b и с компланарны.
Правило параллелепипеда b A В С В1 D a c О a + b + c OD =
Разложение вектора по трем некомпланарным векторам Теорема: Любой вектор можно разложить по трем данным некомпланарным векторам, причём коэффициенты разложения определяются единственным образом.
Решение задач: №356 №358(а-в) №359(б) №368(г-ж)
Домашнее задание: Теория: п.43-45 Практика: №355, 358(г, д), 359(а), 368(а,б,в)
Курс повышения квалификации
Дистанционное обучение как современный формат преподавания
Курс повышения квалификации
Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО
Курс профессиональной переподготовки
Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации
Ищем педагогов в команду «Инфоурок»
Номер материала: ДБ-531491
Не нашли то что искали?
Вам будут интересны эти курсы:
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.
Онлайн-конференция о профориентации и перспективах рынка труда
Время чтения: 3 минуты
В России утвердили новый порядок формирования федерального перечня учебников
Время чтения: 1 минута
Учителям предлагают 1,5 миллиона рублей за переезд в Златоуст
Время чтения: 1 минута
Рособрнадзор объявил сроки и формат ЕГЭ
Время чтения: 1 минута
Путин поручил не считать выплаты за классное руководство в средней зарплате
Время чтения: 1 минута
Школьников Улан-Удэ перевели на удаленку из-за гриппа и ОРВИ
Время чтения: 1 минута
Подарочные сертификаты
Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.
Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.
Геометрия
Лучшие условия по продуктам Тинькофф по этой ссылке
Дарим 500 ₽ на баланс сим-карты и 1000 ₽ при сохранении номера
. 500 руб. на счет при заказе сим-карты по этой ссылке
Лучшие условия по продуктам
ТИНЬКОФФ по данной ссылке
План урока:
Понятие вектора в пространстве
Напомним, что в курсе планиметрии мы уже подробно изучали вектора и действия с ними. При этом предполагалось, что все вектора располагаются в одной плоскости. Однако можно расширить понятие вектора так, чтобы они использовались и в стереометрии. В таком случае вектора уже могут располагаться в различных плоскостях.
Начнем с определения вектора:
Конец вектора обозначают с помощью стрелки. Посмотрим на рисунок:
Здесь показаны сразу три вектора:
У вектора АВ начало находится в точке А, а конец – в точке В. Аналогично у вектора С D точка С – это начало, а D – это конец. В обоих случаях начало и конец – это различные точки, поэтому АВ и CD именуют ненулевыми векторами. Если же начало и конец находятся в одной точке, например в Т, то получается нулевой вектор ТТ. Всякую точку в пространстве можно рассматривать как нулевой вектор:
Длина вектора АВ – это длина соответствующего ему отрезка АВ. Для обозначения длины используют квадратные скобки:
Естественно, что нулевой вектор имеет нулевую длину.
Далее напомним понятие коллинеарных векторов:
Коллинеарные вектора могут быть либо сонаправленными, либо противоположно направленными. Сонаправленные вектора находятся на сонаправленных лучах. Рассмотрим пример с кубом:
Здесь показаны вектора AD и ВС. Они сонаправленные, этот факт записывается так:
Вектора AD и FE располагаются на скрещивающихся прямых, поэтому они не коллинеарны. Их нельзя считать ни сонаправленными, ни противоположно направленными.
Сонаправленные вектора, имеющие одинаковую длину, именуются равными.
Рассмотрим несколько простейших задач.
Задание. В прямоугольном параллелепипеде АВС DA 1 B 1 C 1 D 1 известны три его измерения:
Решение. Для нахождения длин этих векторов достаточно вычислить длину отрезков СВ, DB и DB 1. Проще всего вычислить СВ, ведь отрезки СВ и AD одинаковы как стороны прямоугольника АВ CD :
Вектора АМ и МВ также коллинеарны и имеют одинаковую длину, но они противоположно направлены, а потому равными не являются.
Операции над векторами
Такой метод сложения векторов именуется правилом треугольника. Если нужно сложить больше двух векторов, то используют правило многоугольника. В этом случае необходимо каждый следующий вектор откладывать от конца предыдущего. При этом в стереометрии вектора могут располагаться в различных плоскостях, то есть они на самом деле многоугольник не образуют:
Напомним, что в планиметрии существовали так называемые противоположные вектора. Есть они и в стереометрии:
Главное свойство противоположных векторов заключается в том, что в сумме они дают нулевой вектор:
Заметим, что для получения противоположного вектора достаточно поменять его начало и конец, то есть в записи вектора обозначающие его буквы надо просто записать в обратном порядке:
1) b и a будут коллинеарными векторами;
Если k – положительное число, то вектора a и b будут сонаправленными. Если же k a и b будут направлены противоположно.
Задание. Дан параллелепипед АВС D А1В1С1 D 1. Постройте вектор, который будет являться суммой векторов:
Решение. В каждом случае необходимо заменить один из векторов в сумме на другой равный ему вектор так, чтобы можно было применить правило треугольника.
В задании а) вектор А1 D 1 заменить равным ему вектором ВС. В итоге получится вектор АС.
В задании б) заменяем А D 1 на вектор ВС1. Также можно было бы заменить АВ на D 1 C 1. В обоих случаях сумма окажется равной АС1.
В задании в) удобно DA заменить на C 1В1, тогда искомой суммой будет вектор С1В.
В задании г) производим замену DD 1 на равный ему вектор BB 1. Тогда сумма DB и BB 1– это вектор DB 1.
В задании д) необходимо заменить ВС на В1С1. В итоге получаем вектор DC :
Решение. В случае а) сначала запишем очевидное равенство векторов, вытекающее из правило многоугольника:
Обратите внимание, что здесь у каждого следующего слагаемого начальная точка совпадает с конечной точкой предыдущего слагаемого, поэтому равенство и справедливо:
Однако по условию а) нам надо использовать другие вектора для выражения АВ. Мы можем просто заменить вектора CD и DB на противоположные:
Теперь можно составить и выражение для АВ:
Аналогично решаем и задания б) и в):
Задание. Р – вершина правильной шестиугольной пирамиды. Докажите, что сумма векторов, совпадающих с ребрами этой пирамиды и начинающихся в точке Р, в точности равна сумме векторов, которые совпадают с апофемами пирамиды и при этом также начинаются в точке Р.
Решение. Обозначим вершины буквами А1, А2, … А6, а середины сторон шестиугольника, лежащего в основании, буквами Н1, Н2, … Н6, как это показано на рисунке:
Нам надо показать, что сумма красных векторов равна сумме черных векторов:
Теперь отдельно построим правильный шестиугольник, лежащий, в основании пирамиды:
Ясно, что вектора, образованные сторонами этого шестиугольника, в сумме дают нулевой вектор (по правилу многоугольника):
Так как точки Н1, Н2, … Н6 – середины сторона, то вектора Н6А6, Н5А5,…Н1А1 будут вдвое короче векторов А1А6, А6А5, … А2А1. При этом они находятся на одних прямых, поэтому справедливы равенства:
Таким образом нам удалось из верного равенства (3) доказать (2), из которого в свою очередь следует справедливость и (1), ч. т. д.
Задание. Упростите выражения:
Решение. Здесь надо просто применить законы сложения и умножения векторов, как это делалось и в курсе планиметрии. Сначала раскрываем скобки, а потом приводим подобные слагаемые:
Компланарные векторы
Если мы отложим несколько векторов от одной точки, то они либо будут находиться в одной плос-ти, либо располагаться в различных плос-тях. В первом случае их именуют компланарными векторами, а во втором – некомпланарными.
Любые два вектора будут компланарны, ведь при их откладывании от одной точки мы получаем две пересекающихся прямых, а через них всегда можно провести плос-ть. Однако если векторов более двух, то они могут быть как компланарны, так и некомпланарны.
Рассмотрим для примера параллелепипед:
Здесь вектора АС, АВ и АD компланарны, так как все они принадлежат одной грани (то есть плос-ти) АВСD. А вектора АВ, АD и АА1 некомпланарны, ведь через них нельзя провести одну плос-ть.
Очевидно, что если из трех векторов любые два коллинеарны, то вся тройка векторов компланарна, ведь при откладывании векторов от одной точки коллинеарные вектора окажутся на одной прямой.
Существует признак компланарности векторов:
Напомним, что подразумевается под разложением вектора. Пусть есть вектора а, b и c. Если существуют такие числах и y, при которых выполняется равенство
то говорят, что вектор с разложен по векторам а и b, причем числа xи y называются коэффициентами разложения.
Докажем сформулированный признак. Пусть есть три вектора а, b и c, а также числа xи y, такие, что
Эти вектора находятся в одной плос-ти ОАВ. Теперь от той же точки О отложим вектора ха и уb, концы которых окажутся в точках А1 и В1:
Естественно, что вектора ОА1 и ОВ1 также окажутся в плос-ти ОАВ. Тогда и их сумма будет принадлежать этой плос-ти, а эта сумма как раз и есть вектор с:
В итоге получили, что а, b и с располагаются в одной плос-ти, то есть они компланарны.
Справедливо и обратное утверждение. Если вектора а, b и с компланарны, но а и b неколлинеарны, то вектор с можно разложить на вектора a и b. Это утверждение прямо следует из изученной в 9 классе теоремы о разложении векторов. Важно отметить, что коэффициенты такого разложения определяются однозначно.
Для сложения тройки некомпланарных векторов можно применить так называемое правило параллелепипеда. Если есть три некомпланарных вектора, то можно отложить их от одной точки О и далее построить параллелепипед, в котором эти вектора будут ребрами. Тогда диагональ этого параллелепипеда, выходящая из точки О, и будет суммой этих трех векторов:
Разложение вектора на некомпланарные вектора
Иногда вектор можно разложить не на два, а на три вектора. Выглядит такое разложение так:
Для доказательства рассмотрим три некомпланарных вектора а, bи c, а также произвольный вектор р. Отложим их от одной точки О. Обозначим концы этих векторов большими буквами А, В, С и Р:
Через ОВ и ОА можно провести некоторую плос-ть α. Точка С ей принадлежать не может, ведь ОА, ОВ и ОС – некомпланарные вектора. Проведем через Р прямую, параллельную ОС. Так как ОС пересекает α, то и параллельная ей прямая также пересечет α в некоторой точке Р1. (Примечание. Если Р принадлежит α, то точки Р и Р1 совпадут, то есть вектор Р1Р будет нулевым).
Далее через точку Р1 в плос-ти α проведем прямую, параллельную ОВ, которая пересечет ОА в точке Р2. Заметим, что вектор ОР2 находится на той же прямой, что и вектор ОА, то есть они коллинеарны, поэтому существует такое число х, что
Итак, мы показали, что у произвольного вектора p есть разложение на заранее заданные некомпланарные вектора. Осталось показать, что существует только одно такое разложение. Докажем это методом от противного. Пусть есть второе разложение с другими коэффициентами х1, у1 и z1:
В правой части находятся три вектора, которые в сумме нулевой вектор. По правилу сложения векторов это означает, что эти вектора образуют треугольник, то есть находятся в одной плос-ти:
Значит, они компланарны. Тогда компланарны и вектора a, b и с, что противоречит условию теоремы. Значит, второго разложения р на заданные некомпланарные векторы не существует, ч. т. д.
Задание. АВСD и А1В1С1D1 – параллелограммы, располагающиеся в разных плос-тях. Докажите, что тройка векторов ВВ1, СС1 и DD1 компланарна.
Решение. Сначала построим рисунок по условию задачи:
Для доказательства используем признак компланарности векторов. Для этого надо один из векторов, отмеченных на рисунке красным, разложить на два других вектора.
В результате нам удалось разложить СС1 на вектора BB1 и CC1. Значит, эти три вектора коллинеарны.
Задание. В параллелепипеде АВСDA1B1C1D1 запишите разложение вектора BD1 по векторам ВА, ВС и ВВ1.
Решение. Сначала представим вектор BD1 как сумму трех векторов:
Теперь заметим, что вектора С1D1 и ВА соответствуют ребрам параллелепипеда. Эти ребра одинаковы по длине и параллельны, поэтому и вектора будут равными. Аналогично равны вектора СС1 и ВВ1:
Задание. АВСD – тетраэдр, а точка К делит его ребро ВС пополам. Разложите вектор DK по векторам DA, AB и AC.
Решение. Сначала запишем очевидное выражение для вектора DK:
Задание. В точке М пересекаются медианы треугольника АВС, а О – произвольная точка в пространстве. Разложите вектор ОМ по векторам ОА, ОВ и ОС.
Решение. Медиану, проходящую через точку А, мы обозначим как АА1, то есть А1 – это середина отрезка ВС. Также буквой К обозначим середину ОВ:
Сначала разложим вектор ОА1 на ОВ и ОС. Это можно сделать, ведь они компланарны. КА1 – это средняя линия ∆ОСВ, поэтому КА1||ОС и КА1 вдвое короче ОС. Это значит, что
Так как АА1 – медиана, то точка М делит ее в отношении 2:1. Отсюда вытекает следующее соотношение:
Только что решенная задача может быть использована и при решении другого, более сложного задания.
Задание. Докажите, что в параллелепипеде АВСDА1В1С1D1 плос-ти А1ВD и СB1D1 делят диагональ АС1 на три равных отрезка.
Решение. Обозначим точкой K точку пересечения медиан ∆А1ВD. Тогда по формуле, выведенной в предыдущей задаче, мы получаем, что
Это соотношение означает, что вектора АК и АС1 коллинеарны, поэтому они располагаются на одной прямой (они не могут находиться на параллельных прямых, ведь у них есть общая точка А). Значит, точка K принадлежит диагонали АС1, и отрезок АК втрое короче диагонали.
Аналогично можно показать, что и
Из этого также вытекает, что М принадлежит диагонали АС1, и МС1 втрое короче АС1. Значит, точки М и К делят диагональ на три равных отрезка, ч. т. д.
Сегодня мы расширили понятие векторов и научились их применять не только в планиметрических, но и в стереометрических задачах. При сохраняются все правила, по которым выполняются действия над векторами. Также в стереометрии появляется новое понятие компланарных и некомпланарых векторов.