Что значит разложить на два множителя

Что такое множитель и разложение на простые множители

Дадим определение понятию «множитель» и разберемся что такое множитель. Какие множители бывают и почему некоторые из множителей — простые.

Определение множителя

В младших классах вы учили, что множители — это числа, которые мы умножаем, называя результат их умножения произведением.

Определения множителя как компонента умножения

Сейчас немного расширим понятие множителя.

Давайте рассмотрим определение множителя на примерах. Давайте определим где в представлении числа или выражения прячется множитель?

Пример 1

Пусть нам дано число 15. Это число можно представить в виде произведения . Значит, согласно определению 5 — это множитель, 3 — это тоже множитель.

Пример 2

Рассмотрим теперь выражение: . Это выражение можно представить в виде произведения . Получаем два множителя — первый множитель (2x-3) и второй множитель (2x+3).

Самое простое произведение имеет два множителя, но может быть и больше множителей.

Простые множители

Пример 1

Разложите число 65 на простые множители.

Решение: число 65 будем делить на простые числа, пока оно нацело не разделится. Так мы видим, что число 65 не делится на 2, 3 и 4, так как не соответствует признакам делимости на эти числа. Зато делится на 5, так как оканчивается на 5. При делении мы получаем 13. Число 13 — простое, так как делится только на себя и на единицу. Таким образом, число . И мы выполнили разложение числа на простые множители. Теперь вы знаете, как разложить число на простые множители.

Пример 2

Разложите число 270 на простые множители.

Решение: Разделим сначала число 270 на 2 (сначала берем самое маленькое простое число), получим 135. Посмотрим, делится ли это число на 3. Для этого сложим все числа, стоящие в разрядах данного числа — . Девять делится на 3, значит, и число 135 разделится на 3: . Получившееся число опять делится на 3: . И снова число 15 делится на 3: . Получили простое число 5. Делим .

Итак, запишем разложение числа 270 на простые множители в виде столбца, где справа от черты мы пишем на какое простое число мы делим, а слева — что получаем:

Разложение числа на простые множители в столбик.

Разложение числа на простые множители в строчку записывается так: .

Про разложение многочлена на множители поговорим в отдельной теме.

Источник

Разложение многочлена способом группировки

Основные понятия

Мы знаем, что слово «множитель» происходит от слова «умножать».

Возьмем, например, число 12. Чтобы разложить его на множители, нужно написать его по-другому, а именно в виде «произведения» множителей.

Число 12 можно получить, если умножить 2 на 6. А 6 можно представить, как произведение 2 и 3. Вот так:

Так выглядит пошаговое разложение на множители. Числа, которые подчеркнуты на картинке — это множители, которые дальше разложить уже нельзя.

Разложение многочлена на множители — это преобразование многочлена в произведение, которое равно данному многочлену.

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

5 способов разложения многочлена на множители

Способ группировки множителей

Разложение на множители методом группировки возможно, когда многочлены не имеют общего множителя для всех членов многочлена.

Этот способ применяется в тех случаях, когда многочлен удается представить в виде пар слагаемых таким образом, чтобы из каждой пары можно было выделить один и тот же множитель. Этот общий множитель можно вынести за скобку. И тогда исходный многочлен будет представлен в виде произведения, что значительно облегчает задачу.

Разложить на множители методом группировки можно в три этапа:

Объединить члены многочлена в группы можно по-разному. И ее всегда группировка может быть удачной для последующего разложения на множители. В таком случае нужно продолжить эксперимент и попробовать объединить в группы другие члены многочлена.

Чтобы понять эти сложные выражения, применим правило группировки множителей при решении примеров. Рассмотрим два способа.

Заметим, что в первой группе повторяется p, а во второй — d.

Вынесем в первой группе общий множитель p, а во второй общий множитель d.

Вынесем его за скобки:

Группировка множителей выполнена.

Заметим, что в первой группе повторяется u, а во второй — b.

Вынесем в первой группе общий множитель u, а во второй общий множитель b.

Заметим, что общий множитель (p + d).

Вынесем его за скобки:

Группировка множителей выполнена.

От перестановки мест слагаемых сумма не меняется, поэтому оба ответа верны:

Вот так работает алгоритм разложения многочлена на множители способом группировки. Продолжим практиковаться на примерах.

Иногда для вынесения общего многочлена нужно заменить все знаки одночленов в скобках на противоположные. Для этого за скобки выносится знак минус, а в скобках у всех одночленов меняем знаки на противоположные.

Проверим как это на следующем примере.

Курсы ОГЭ по математике от Skysmart придадут уверенности в себе и помогут освежить знания перед экзаменом.

Источник

Разложение на множители что значит и как раскладывать на простые множители число, корни, трехчлен, квадратное уравнение, примеры и решения, правило и алгоритм

При решении математических уравнений часто приходится преобразовывать равенства для упрощения выражений. Делается это с помощью разложения на множители. Приводить к простому виду можно как многочлены, так и одночлены, при этом необязательно знать даже формулы. Для решения сложных заданий можно воспользоваться онлайн-калькулятором. Пользоваться им несложно, главное, иметь чёткое условие задачи и доступ к интернету.

Термины и понятия

Под разложением в математике понимается операция, которую выполняют для превращения сложного неудобного для вычисления примера в простой. В учебниках и литературе такое преобразование выражений называется тождественным, то есть без изменения сути задания.

Из слова «множители» можно понять, что в превращении используется умножение. Зная, как разложить полином на простые числа, можно быстро решать задачи на действия с корнями и сложными дробями. Например, выражение (3*h*y + 9*y — 8*h — 24) * (3*h — 8) после упрощения примет вид: h + 3 — и быстро решается в уме.

В математике все алгебраические выражения могут быть:

Числа часто записывают в так называемом стандартном виде. Например, 296,8 = 2,968 * 102. То есть используется формула приведения: a * 10r, где 1≤а Простое разложение

На уроках математики ученикам предлагают разложить на простые множители числа с помощью столбика (двух колонок). Делается это по следующему алгоритму. Исходное число проверяют на возможность деления без остатка на два. Если делится, то рисуют две колонки, в правую вписывают двойку, а в левую число, получившееся после деления на него исходного. В обратном случае вместо двойки используют цифру три. Далее действия повторяют для числа, находящегося уже в правой колонке. Выполняют деление до тех пор, пока в левой колонке не останется единица. Например, число 1176 можно разложить следующим образом:

1176 | 2 (1176 / 2 = 588).

588 | 2 (588 / 2 = 294).

294 | 2 (294 / 2 = 147).

1176 = 2 * 2 * 2 * 3 * 7 * 7 = 23 * 3 * 72.

Для того чтобы понять алгоритм, лучше рассмотреть ещё несколько интересных примеров:

Используя метод, можно представить любое число как произведение простых множителей, но с условием, что изначально оно будет кратным двум или трём. В ином же случае простые множители подобрать не получится, как, например, для числа 247, которое можно заменить произведением чисел 13 и 19.

Вынесение коэффициента

Это довольно простой способ разложения многочлена. Выполняют его с помощью перестановки общего множителя за скобку, в которой остаётся сумма выражения. То есть для этого метода необходимо представить искомое в виде произведения нескольких полиномов.

Чтобы выделить общий множитель, следует выполнить:

Например, пусть дано выражение: 3у2 — 3y + 6 r*y. Согласно правилу, необходимо найти число, на которое без остатка можно разделить каждый из трёх коэффициентов многочлена. Для рассматриваемого примера это будет цифра 3.

Затем определить буквенный множитель, имеющийся в каждом члене выражения. Найденную цифру и повторяющееся неизвестное с наименьшей степенью записать за скобкой. Теперь нужно каждый одночлен разделить на вынесенное значение, а полученный результат записать в скобках: 3y * (y — 1 + 2r). Для проверки правильности действий нужно просто раскрыть скобки путём умножения каждого члена на вынесенный множитель.

Формулы умножения

Довольно часто для упрощения расчётов используют формулы сокращённого умножения. Всего существует семь выражений, которые необходимо выучить. Найти их можно в таблицах любого учебника по алгебре за седьмой класс. Смысл этих теорем в следующем:

Все эти формулы умножения можно использовать также в обратную сторону, то есть собирать многочлен. Например, для решения примеров типа: «квадратный трёхчлен разложен на множители, найдите а». Если понять смысл этих формул, то запомнить их наизусть будет довольно легко.

Метод группировки

Пожалуй, самый распространённый способ разложения на множители. Его удобно применять для упрощения квадратных уравнений без поиска корней. Разложение этим методом выполняют в следующей последовательности действий:

Выполнять группировку можно по-разному, но в итоге обязательно должен остаться общий многочлен. Например, выражение 48 * h * e 2 + 32 * h * q — 15 * e 2 — 10 * q2 возможно решить двумя способами.

Для того чтобы вынести многочлен за скобку, может понадобиться инвертировать все знаки. Следует помнить, что при выносе минуса у всех одночленов, оставшихся под скобкой, знак изменится на противоположный.

Выделение квадрата

По сути, выделение общего квадрата соответствует преобразованию, при котором трёхчлен представляют в виде (k + e)2 или (k — e)2. Метод используется для решения биквадратных уравнений. Для выделения полного квадрата при разложении многочлена на множители применяют две формулы:

Например, нужно упростить дробь: (k4 + 4 * e4) / (k4 + 2 * e2 + 2 * k * e). Необходимо разложить числитель, используя формулы для полного квадрата: (k4 + 4 * e4) = (k4 + 4 * e2 * k2 + 4 * e 4). Значит, если отнять от многочлена 4 * k2 * e2, то получится уравнение: (k2 + 2 * e2) * 2 − 4 * k2 * e2. Используя формулу умножения квадратов, верно будет записать: (k2 + 2 e 2 − 2 * k * e) * (k2 + 2 e 2 + 2 * k * e).

Заменив полученным выражением числитель, можно будет его часть взаимно сократить со знаменателем. В итоге получится простое выражение: h2 + 2 * e2 − 2 * h * e.

Неприводимые множители

Решая различные задачи, можно столкнуться со сложными выражениями, которые, как кажется, разложить нельзя. Например, (2 * p2 — 5 * p — 3)/(3 * p — 9). В числителе дроби находится квадратный трёхчлен, который на самом деле можно разложить. Для того чтобы его можно было упростить, используется формула: ar2 + br + p = a (r — r1) * (r — r2), где r1 и r2 корни выражения.

Чтобы найти решения для линейного уравнения, необходимо определить дискриминант. То есть нужно из задачи отделить числитель, найти его решения и подставить найденные значения в формулу разложения.

Теперь вместо числителя нужно подставить полученное разложение: (2*p2 — 5*p — 3)/(3*p — 9) = 2*(p — 3) * (p + ½)/3 * (p — 3) = (2 *p + 1)/3.

Использование онлайн-калькуляторов

Порой, для решения сложных заданий нужно затратить много времени. При этом всегда существует риск допустить ошибку при расчётах. Чтобы этого избежать или проверить свой ответ, можно воспользоваться сайтами, предлагающие онлайн-калькуляторы. Использовать их сможет даже пользователь, совершенно не понимающий методов, используемых для упрощения выражений.

Расчёт обычно занимает менее 30 секунд. Приложений для упрощений уравнений достаточно много. Написаны они на Паскале или javascript. Появление ошибки при вычислении невозможно. Нередко на этих сайтах ещё и содержится информация о способах упрощения полиномов.

Для того чтобы получить ответ, необходимо будет с помощью браузера зайти на сайт онлайн-калькулятора и заполнить предлагаемые им поля. После того как упрощаемое выражение будет вписано, следует нажать кнопку «Рассчитать» или «Упростить выражение» и получить ответ с пошаговым решением.

Источник

5 способов разложения многочлена на множители

Для чего нужно раскладывать многочлен на множители?

Чтобы облегчить себе жизнь! После того как ты это сделаешь, выражение станет намного проще и ты легко сможешь с ним «разобраться»!

Ты как бы делишь одну большую и сложную проблему, на несколько маленьких и простых и потом разбираешься с каждой маленькой проблемой по отдельности.

Как этому научиться?

Прочитай эту статью. Сначала мы разберем что означают все «сложные» слова.

Потом объясним все пять способов разложения многочлена на множители.

И затем разберем на примерах как это делать.

Let’s dive \right in… (Поехали!) 🙂

Существует 5 основных способов разложения многочлена на множители:

Основные определения (разбираемся со «сложными» словами)

Одночлены

Одночленами могут быть числа, переменные, произведения чисел и переменных, а так же переменные в степени (если забыл, что такое степень, посмотри тему «Степень и ее свойства»)

Все это – одночлены. Видишь у них нет знаков «+» или «-«, как бы нет других членов.

Многочлены

Многочлен – это выражение, состоящее из суммы (или разности) нескольких одночленов различного вида:

Множители

Так, ну давай по порядку. Как нетрудно догадаться, слово «множитель» происходит от слова «умножать».

Возьмем, например, число \( 12\), разложить его на множители означает расписать его в виде «умножения» или, как принято говорить в математике «произведения» множителей.

Так \( 12\) мы можем получить, умножив \( 2\) на \( 6\).

А \( 6\), в свою очередь, можно представить как произведение \( 2\) и \( 3\).

Чтоб было более наглядно, обратимся к картинке:

На картинке мы видим пошаговое разложение на множители, те которые подчеркнуты – это множители, которые дальше разложить уже нельзя.

То есть их нельзя уже представить в виде произведения (можно конечно представить каждое из них как единица, умноженная на само число, но это нам ничего не дает).

Я обещал, что картинка все разъяснит, ну разве из нее не понятно, что, \( 12=2\cdot 6\), а \( 6=2\cdot 3\)?

Вот и я говорю, что элементарно!

Иными словами, \( 2\cdot 2\cdot 3=12\).

Тут \( 2\), еще раз \( 2\) и \( 3\) – это и есть множители, на которые мы раскладываем.

Зачем нужно раскладывать многочлен на множители?

Это самый главный вопрос. Я уже говорил – чтобы облегчить тебе жизнь.

Раскладывая многочлен на множители, ты упрощаешь выражение! Ты как бы делишь одну большую и сложную проблему, на несколько маленьких и простых и потом разбираешься с каждой маленькой проблемой по отдельности.

А теперь «официальное» определение.

Разложение многочлена на множители – тождественное преобразование, превращающее сумму в произведение нескольких множителей. При этом каждый множитель может быть как многочленом, так и одночленом.

Для чего нужно знать все пять способов?

Потому что нет универсального способа, подходящего для всех многочленов.

Давай посмотрим на каждый из них…

5 способов разложения многочлена на множители

1. Вынесение общего множителя за скобки

2. Формулы сокращенного умножения

3. Метод группировки

Применяется если преобразование не очевидно. Здесь, например, можно переставить второй член на другое место:

Группируем члены парами, получаем:

4. Выделение полного квадрата

Можно преобразовать многочлен и привести к виду разности квадратов, например и применить формулу сокращенного умножения

5. Разложение квадратного трехчлена на множители

Квадратный трехчлен – многочлен вида

Теорема. Если квадратное уравнение \( a<^<2>>+bx+c=0\) имеет корни \( <_<1>>,\text< ><_<2>>\), то его можно записать в виде:

Подробнее о каждом из 5-ти способов разложения на множители

1. Вынесение общего множителя за скобки

Это один из самых элементарных способов упростить выражение. Для применения этого метода давай вспомним распределительный закон умножения относительно сложения (не пугайся этих слов, ты обязательно знаешь этот закон, просто мог забыть его название).

Чтобы сумму двух чисел умножить на третье число, нужно каждое слагаемое умножить на это число и полученные результаты сложить.

Иначе говоря, \( a\left( b\text< >+\text< >c \right)\text< >=\text< >ab\text< >+\text< >ac\).

Так же можно проделать и обратную операцию, \( ab\text< >+\text< >ac\text< >=\text< >a\left( b\text< >+\text< >c \right)\).

Вот именно эта обратная операция нас и интересует. Как видно из образца, общий множитель а, можно вынести за скобку.

Подобную операцию можно проделывать как с переменными, такими как \( x\) и \( y\), например, так и с числами: \( 6\text< >+\text< >8\text< >=\text< >2\left( 3\text< >+\text< >4 \right)\).

Да, это слишком элементарный пример, так же, как и приведенный ранее пример, с разложением числа \( 12\), ведь все знают, что числа \( 6\), \( 8\) и \( 12\) делятся на \( 2\).

А как быть, если вам досталось выражение посложнее:

Как узнать на что, например, делится число \( 123\).

Нееет! С калькулятором-то любой сможет, а без него слабо?

А для этого существуют признаки делимости, эти признаки действительно стоит знать, они помогут быстро понять, можно ли вынести за скобку общий множитель.

Признаки делимости

Запомнить их не так сложно, скорее всего, большинство из них и так тебе были знакомы, а что-то будет новым полезным открытием, подробнее в таблице:

Что ж, вернемся к выражению \( 3xy+123y\), может вынести за скобку \( y\) да и хватит с него?

Нет, у математиков принято упрощать, так по полной, выносить ВСЕ, что выносится!

И так, с игреком все понятно, а что с числовой частью выражения? Оба числа нечетные, так что на \( 2\) разделить не удастся.

Можно воспользоваться признаком делимости на \( 3\), сумма цифр \( 1\), \( 2\) и \( 3\), из которых состоит число \( 123\), равна \( 6\), а \( 6\) делится на \( 3\), значит и \( 123\) делится на \( 3\).

Зная это, можно смело делить в столбик, в результате деления \( 123\) на \( 3\) получаем \( 41\) (признаки делимости пригодились!).

Таким образом, число \( 3\) мы можем вынести за скобку, так же, как y и в результате имеем:

\( 3xy\text< >+\text< >123y\text< >=\text< >3y\cdot \left( x\text< >+\text< >41 \right)\).

Чтобы удостовериться, что разложили все верно, можно проверить разложение, умножением!

Также общий множитель можно выносить и в степенных выражениях.

Вот тут, например, \( 2<^<3>>-16<^<2>>+4x\), видишь общий множитель?

У всех членов этого выражения есть иксы – выносим, все делятся на \( 2\) – снова выносим, смотрим что получилось: \( 2<^<3>>-16<^<2>>+4x=2x(<^<2>>-8x+2)\).

2. Формулы сокращенного умножения

Формулы сокращенного умножения уже упоминались в теории, если ты с трудом помнишь что это, то тебе стоит освежить их в памяти «Формулы сокращенного умножения».

А вот здесь можно решить вместе с нашим репетитором Алексеем Шевчуком 119 задач на формулы сокращенного умножения!

А вот здесь наше видео о том, какой навык, относящийся к формулам сокращенного умножения является самым сложным и самым важным — выделение полного кавдрата!

Справка.

Эти видео — часть нашего курса подготовки к ЕГЭ по математике. Можно провести бесплатный «тест-драйв» этого курса. Например, посетить наши пробные вебинары.

В чем суть разложения на множители с помощью формул сокращенного умножения?

Суть этого разложения в том, что бы заметить в имеющемся перед тобой выражении какую-то определенную формулу, применить ее и получить, таким образом, произведение чего-то и чего-то, вот и все разложение.

Формулы сокращенного умножения (таблица)

А теперь попробуй, разложи на множители следующие выражения, используя приведенные выше формулы:

Вот что должно было получиться:

Читать далее…

Чтобы пользоваться учебником ЮКлэва без ограничений, зарегистрируйтесь один раз:

3. Метод группировки

А вот тебе еще примерчик:

Ну и что с ним делать будешь? Вроде бы и на \( \displaystyle 3\) что-то делится и на \( \displaystyle 5\), а что-то на \( \displaystyle x\) и на \( \displaystyle y\)

Но все вместе на что-то одно не разделишь, ну нет тут общего множителя, как не ищи, что, так и оставить, не раскладывая на множители?

Тут надо смекалку проявить, а имя этой смекалке – группировка!

Применяется она как раз, когда общие делители есть не у всех членов. Для группировки необходимо найти группки слагаемых, имеющих общие делители и переставить их так, чтобы из каждой группы можно было получить один и тот же множитель.

Переставлять местами конечно не обязательно, но это дает наглядность, для наглядности же можно взять отдельные части выражения в скобки, их ставить не запрещается сколько угодно, главное со знаками не напутать.

Не очень понятно все это? Объясню на примере:

В многочлене \( \displaystyle <^<3>>-3xy-5<^<2>>y+15<^<2>>\)­­ ставим член – \( \displaystyle 3xy\) после члена – \( \displaystyle 5x2y\) получаем:

Группируем первые два члена вместе в отдельной скобке и так же группируем третий и четвертый члены, вынеся за скобку знак «минус», получаем:

А теперь смотрим по отдельности на каждую из двух «кучек», на которые мы разбили выражение скобками.

Хитрость в том, чтоб разбить на такие кучки, из которых можно будет вынести максимально большой множитель, либо, как в этом примере, постараться сгруппировать члены так, чтобы после вынесения из кучек множителей за скобку у нас внутри скобок оставались одинаковые выражения.

Из обеих скобок выносим за скобки общие множители членов, из первой скобки \( \displaystyle <^<2>>\), а из второй \( \displaystyle 3y\), получаем:

Но это же не разложение!

После разложения должно остаться только умножение, а пока у нас многочлен просто поделен на две части…

НО! Этот многочлен имеет общий множитель. Это \( \displaystyle (x-5y)\)

\( \displaystyle (x-5y)\)за скобку и получаем финальное произведение \( \displaystyle (<^<2>>-3y)(x-5y)\)

Бинго! Как видишь, тут уже произведение и вне скобок нет ни сложения, ни вычитания, разложение завершено, т.к. вынести за скобки нам больше нечего.

Может показаться чудом, что после вынесения множителей за скобки у нас в скобках остались одинаковые выражения \( \displaystyle (x-5y)\), которые опять же мы и вынесли за скобку.

И вовсе это не чудо, дело в том, что примеры в учебниках и в ЕГЭ специально сделаны так, что большинство выражений в заданиях на упрощение или разложение на множители при правильном к ним подходе легко упрощаются и резко схлопываются как зонтик при нажатии на кнопку, вот и ищи в каждом выражении ту самую кнопку.

Что-то я отвлекся, что у нас там с упрощением? Замысловатый многочлен принял более простой вид: \( \displaystyle <^<3>>-3xy-5<^<2>>y+15<^<2>>=(<^<2>>-3y)(x-5y)\).

Согласись, уже не такой громоздкий, как был?

4. Выделение полного квадрата

Иногда для применения формул сокращенного умножения (повтори тему «Формулы сокращенного умножения») необходимо преобразовать имеющийся многочлен, представив одно из его слагаемых в виде суммы или разности двух членов.

В каком случае приходится это делать, узнаешь из примера:

Многочлен \( \displaystyle <^<2>>-4x+2\) в таком виде не может быть разложен при помощи формул сокращенного умножения, поэтому его необходимо преобразовать.

Возможно, поначалу тебе будет не очевидно какой член на какие разбивать, но со временем ты научишься сразу видеть формулы сокращенного умножения, даже если они не присутствуют не целиком, и будешь довольно быстро определять, чего здесь не хватает до полной формулы, а пока – учись, студент, точнее школьник.

Для полной формулы квадрата разности здесь нужно \( \displaystyle 4\) вместо \( \displaystyle 2\).

Представим третий член \( \displaystyle 2\) как разность \( \displaystyle 4-2\), получим: \( \displaystyle <^<2>>-4x+4-2=(<^<2>>-4x+4)-2\)

К выражению в скобках можно применить формулу квадрата разности (не путать с разностью квадратов. ), имеем: \( \displaystyle <<\left( x-2 \right)>^<2>>-2\), к данному выражению можно применить формулу разности квадратов (не путать с квадратом разности. ), представив \( \displaystyle 2\), как \( \displaystyle \sqrt<2>\), получим: \( \displaystyle (x-2-\sqrt<2>)(x-2+\sqrt<2>)\).

Не всегда разложенное на множители выражение выглядит проще и меньше, чем было до разложения, но в таком виде оно становится более подвижным, в том плане, что можно не париться про смену знаков и прочую математическую ерунду.

Ну а вот тебе для самостоятельного решения, следующие выражения нужно разложить на множители.

Примеры:

Решения:

Читать далее…

Чтобы пользоваться учебником ЮКлэва без ограничений, зарегистрируйтесь один раз:

5. Разложение квадратного трехчлена на множители

О разложении квадратного трехчлена на множители смотри далее в примерах разложения.

Примеры 5 способов разложения многочлена на множители

1. Вынесение общего множителя за скобки. Примеры

Помнишь, что такое распределительный закон? Это такое правило: \( \displaystyle ac+bc=c\left( a+b \right)\)

Пример 1:

Разложить многочлен на множители \( \displaystyle 10<^<4>>-15<^<3>>\).

Пример 2:

Разложи на множители \( \displaystyle 12<^<3>>-2y\).

Решения двух примеров:

Читать далее…

Чтобы пользоваться учебником ЮКлэва без ограничений, зарегистрируйтесь один раз:

2. Формулы сокращенного умножения. Примеры

Чаще всего используем формулы разность квадратов, разность кубов и сумма кубов. Помнишь эти формулы? Если нет, срочно повтори тему «Формулы сокращенного умножения»!

Пример 1:

Разложите на множители выражение \( \displaystyle <^<3>>-8<^<6>>\).

Пример 2:

Разложите на множители многочлен \( \displaystyle <^<4>>-1\).

Решение примеров 1 и 2:

Читать далее…

Чтобы пользоваться учебником ЮКлэва без ограничений, зарегистрируйтесь один раз:

3. Метод группировки. Примеры

Иногда можно поменять слагаемые местами таким образом, чтобы из каждой пары соседних слагаемых можно было выделить один и тот же множитель. Этот общий множитель можно вынести за скобку и исходный многочлен превратится в произведение.

Пример:

Разложите на множители многочлен \( \displaystyle 2<^<3>>+<^<2>>y-6xy-3<^<2>>\).

Решение:

Читать далее…

Чтобы пользоваться учебником ЮКлэва без ограничений, зарегистрируйтесь один раз:

4. Метод выделения полного квадрата. Примеры

Если многочлен удастся представить в виде разности квадратов двух выражений, останется только применить формулу сокращенного умножения (разность квадратов).

Пример:

Разложите на множители многочлен \( \displaystyle <^<2>>+6-7\).

Решение:

Пример:

Разложите на множители многочлен \( \displaystyle <^<4>>-4<^<2>>-1\).

Решение:

5. Разложение квадратного трехчлена на множители. Пример

Квадратный трехчлен – многочлен вида \( \displaystyle a<^<2>>+bx+c=0\), где \( \displaystyle x\) – неизвестное, \( \displaystyle a\), \( \displaystyle b\), \( \displaystyle c\) – некоторые числа, причем \( \displaystyle a\ne 0\).

Значения переменной \( \displaystyle x\), которые обращают квадратный трехчлен в ноль, называются корнями трехчлена. Следовательно, корни трехчлена – это корни квадратного уравнения \( \displaystyle a<^<2>>+bx+c=0\).

Если не помнишь, как находить эти корни, читай тему «Квадратные уравнения».

Теорема.

Если квадратное уравнение \( \displaystyle a<^<2>>+bx+c=0\) имеет корни \( \displaystyle <_<1>>,\text< ><_<2>>\), то его можно записать в виде: \( \displaystyle a<^<2>>+bx+c=a\left( x-<_<1>> \right)\left( x-<_<2>> \right)\).

Пример:

Разложим на множители квадратный трехчлен: \( \displaystyle 2<^<2>>+5x-3\).

Сначала решим квадратное уравнение: Теперь можно записать разложение данного квадратного трехчлена на множители:

\( \displaystyle 2<^<2>>+5x-3=2\left( x-\frac<1> <2>\right)\left( x+3 \right)\).

Наши курсы по подготовке к ЕГЭ по математике, информатике и физике

Курсы для тех, кому нужно получить 90+ и поступить в топовый ВУЗ страны.

А теперь мы хотим услышать тебя…

Мы расписали подробно, как и для чего раскладывать многочлен на множители.

Мы привели массу примеров, как это делать на практике, указали на подводные камни, дали решения…

Как тебе эта статья? Ты пользуешься этими приемами? Понимаешь их суть?

Пиши в комментариях и… готовься к экзамену!

Пока что он самый важный в твоей жизни.

Добавить комментарий Отменить ответ

13 комментариев

Все замечательно. Но не могу разложить такое 15а^2 +14ab — 8b^2.

Ответ Алексея Шевчука:

Прекрасное изложение, спасибо! Успехов и продвижения вам!

Спасибо, Марьяна. Очень приятно слышать. И вам успехов и удачи!

1 из 100 сайтов нормальных

Спасибо, Захар. Заходите )

t^2*(t+12)^3-t*(t+12)^12*(t-6)^2 подскажите, пожалуйста, как разложить на множители

Здравствуйте, Татьяна!
Сначала давайте вынесем (t+12)^3, получим:
(t+12)^3(t^2 — t(t+12)^9(t-6)^2)
Смотрим на вторую скобку. Там у обеих частей есть t, вынесем:
t(t+12)^3(t — (t+12)^9(t-6)^2)
Я думаю, вторую скобку разложить больше не получится.

Ирина, спасибо за отзыв. Я перешлю Алексею Шевчуку ваш вопрос, но он может не ответить. Сейчас очень загружены ((

Как круто! Куб в знаменателе я тоже увидел конечно, а вот что делать с числителем не догадался ) Спасибо, Саша!

Некоторые комментарии прошлых лет к этой статье:

Гостинец
25 февраля 2018
Вау, я всю тему поняла! Поздравьте меня, подарите подарочки.

Александр (админ)
25 февраля 2018
Ну ты, крута! :)) От нас лучики счастья тебе! Хочешь понять еще лучше? Объясни кому-нибудь, кто не понимает.

Александр (Адин)
25 февраля 2018
Кстати, Гостинец, понять мало! Нужно обязательно набить руку. Нужно порешать примеры на эту тему. Причем чем быстрее ты это сделаешь, тем лучше закрепиться навык и на экзамене рука не дрогнет )) Возьми учебник и решай. Обязательно! Или можешь у нас на 100gia.ru Там все есть для подготовки к экзамену.

Геннадий
13 декабря 2018
Какой же Вы умница (без иронии!). Просто восхищаюсь. Самое ценное — с разъяснениями зачем нужно, что дает соответствующее знание.

(Админ)
28 января 2019
Спасибо, Геннадий. Поздно отвечаю, потому что поздно заметил. Но… доброе слово и кошке приятно! ) Еще раз спасибо!

Евгений
05 апреля 2019
а если сложные штуки попадутся и ни один метод не поможет.. (сложно просто догадаться будет). к примеру, y*y-x*y+4*x-7*y+12=0.. как бы не очевидно, вообще не очевидно. Сложный подход.

Александр (админ)
14 апреля 2019
Евгений, так, конечно, может быть. Но чем лучше ты подготовлен, чем больше задач решил, чем сложнее были задачи, которые ты сам решил, тем выше вероятность, что ты сможешь решить самые сложные задачи.
Когда ты находишь решение задач, ты приобретаешь навык не просто решать знакомые задачи, а находить решение сложных задач, которые ты никогда раньше не видел. И вполне возможно на экзамене именно так и случится: ты быстро решишь стандартные задачи и найдешь способ решить нестандартные в оставшееся время.

Любава
01 марта 2018
(x 2 −1 2 )(x 2 +1)мне непонятно это во 2 методе в последнем решении

Алексей Шевчук
03 марта 2018
Любава, это формула сокращённого умножения разность квадратов. Подробнее здесь: https://youclever.org/book/formuly-sokrashhennogo-umnozheniya-1#raznost-kvadratov

Рина
09 сентября 2018
4а^4+5а^2+1 Помогите пожалуйста

Александр (админ)
01 февраля 2019
Рина, это почти квадратное уравнение. Если бы уравнение было на самом деле квадратным, вот таким: 4а^2+5а+1 ты бы знала что с ним делать? А как его сделать таким? Подсказка: назови а^2 другой буквой, например b запиши новое уравнение и найди чему равно b…. Не забудь потом посчитать чему равно a.

Рина
09 сентября 2018
И спасибо!

Александр (админ)
11 февраля 2019
.

двоечник
11 февраля 2019
Что-то легко..

Александр (админ)
11 февраля 2019
Легко? В этом и цель. Спасибо.

Михаил
11 февраля 2019
Учась в школе, прорешал все задачи из задачника Сканави… Сейчас, спустя 17 лет, пытаюсь вспомнить основы 🙁

Александр (админ)
11 февраля 2019
Получается? )

Михаил
11 февраля 2019
Зачем все это нужно?

Александр (админ)
11 февраля 2019
Что «все это»? Математика?

Артем
11 февраля 2019
Завтра пробный экзамен по матану, пытаюсь вспомнить разложение на множители и формулы сокращенного умножения)

Александр (админ)
11 февраля 2019
Я так понимаю первый или второй курс университета? Да, Артем? Удачи!

Максим
11 февраля 2019
Почему в «Разложение на множители. Примеры методов разложения: 3. Метод группировки. Примеры.» после оборачивания в скобки у 3y^2 поменялся знак?

Алексей Шевчук
11 февраля 2019
Максим, за скобками знак «минус» — это значит, что мы вынесли множитель (-1). Легко проверить, правильный ли там знак: если раскроешь скобки обратно, должно получиться то, что было в начале.

Генадий
11 февраля 2019
Какой же Вы умница (без иронии!). Просто восхищаюсь. Самое ценное — с разъяснениями зачем нужно, что дает соответствующее знание.

Александр (админ)
11 февраля 2019
Спасибо, Генадий. Поздно отвечаю, потому что поздно заметил. Но… доброе слово и кошке приятно! ) Еще раз спасибо!

Ариадна
24 февраля 2019
Спасибо за материал. Действительно, ваш сайт очень помогает. Дальнейшего развития вам.

Александр (админ)
24 февраля 2019
Спасибо, Ариадна! И вам удачи во всех начинаниях!

Никита
27 февраля 2019
Здравствуйте, подскажите пожалуйста порядок решения 4 примера из примеров к подтеме «Формулы сокращенного умножения», никак не могу одолеть аналогичные уравнения.

Алексей Шевчук
27 февраля 2019
Никита, спасибо, в ответе были перепутаны знаки. На всякий случай, поясню как решать. Числитель у нас и так уже разложен на множители, осталось разложить знаменатель. Название подтемы — главная подсказка здесь: необходимо распознать и применить формулу сокращённого умножения, в данном случае это квадрат разности (4a-2b)^2. Дальше одну скобку сокращаем, затем выносим 2 за скобки в оставшихся числителе и знаменателе и сокращаем эту двойку.

Никита
28 февраля 2019
Благодарю

Алексей
09 мая 2019
a4 −12a3 +48a2 −64a это пример не на выделение полного квадрата, а на применение формулы куба разности. Поэтому этот пример лучше поместить в другой подраздел. Кроме того, хорошо бы добавить ещё одну полезную формулу сокращённого умножения: (x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab.

Алексей Шевчук
23 мая 2019
Алексей, спасибо за замечание, теперь пример в нужном разделе. Формула (x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab полезна, согласен, но это уже следующий уровень:) Пока что лучше эту формулу не запоминать, а использовать теорему Виета и формулу разложения квадратного трёхчлена на множители.

Сергей
09 июля 2019
Проверьте пожалуйста формулировку: Разложение многочлена на множители – тождественное преобразование, превращающее сумму в произведение нескольких множителей. Превращающее сумму… Чего? А если многочлен — разность? Может я чего-то не понял?

Алексей Шевчук
13 июля 2019
Сергей, разность всегда можно представить как сумму с отрицательным слагаемым, например: 5-3 = 5+(-3). Поэтому выражения со знаками + или — называют общим словом «сумма».

Ксения
01 октября 2019
Великолепная статья! Спасибо огромное. Все стало на свои места. Все стало понятно!

Алексей Шевчук
15 октября 2019
Спасибо за отзыв, Ксения, очень рад, что учебник вам помогает

Ксенья
06 октября 2019
как можно разложить на множители 4^179+1. Помогите пожалуйста.

Лисенок
09 октября 2019
Спасибо огромное за статью. Все понятно, и ровно столько сколько нужно, без лишней воды. Благодаря Вам я поняла наконец-то эту тему 🙂

Александр (админ)
09 октября 2019
Лисенок, как приятно слышать! И тебе спасибо! Удачи на всех экзаменах!

Алексей Шевчук
15 октября 2019
Очень рад, что статья помогла. Спасибо за отзыв!

ниважна
01 декабря 2019
ВАУ! Спасибо огромное ))просто в моем учебнике почему то не очень понятно)))а мама занята все время))))

Александр (админ)
01 декабря 2019
Мама может оставаться занятой. YouClever решает! (с) 🙂 Если серьезно, то очень приятно читать такие комментарии, Ниважна. Для того этот учебник и писали, чтобы было понятно. Удачи тебе!

Аня
03 февраля 2020
Есть у вас что нибудь на тему ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ (неравенств,функций)?))) Кстати спасибо за прошлую тему.)))

Александр (админ)
04 февраля 2020
Аня, конечно есть. Вот здесь оглавление, всего, что есть. Там и линейные уравнения и неравенства и функции. https://youclever.org/book/ А что за прошлая тема? )))

brff
20 мая 2020
а как быть с примером 25a-ab^2? По статье ничего не понял..

Александр (админ)
11 июня 2020
Спасибо, Фаридун

Фаридун
11 июня 2020
Разложите на множители : a^3+b^3+c^3-3abc

Алексей Шевчук
11 июня 2020
Фаридун, классная задача! Рассмотрите (a+b+c)^3. Если раскрыть скобки, мы там увидим a^3+b^3+c^3+…+6abc (вместо троеточия ещё куча слагаемых). Вычтем и прибавим 3abc, тогда получим: (a+b+c)^3 = a^3+b^3+c^3+…+9abc — 3abc. Это значит, что можно выразить искомое выражение (обозначим его за X): X = (a+b+c)^3 — … — 9abc. В получившемся выражении можно 9abc разбить на 3 слагаемых 3abc, и тогда получится разлжить на множители группировкой. Напишите, что получилось?

Ангелина
23 июня 2020
Здравствуйте! Пожалуйста, помогите с разложением выражения на множители. 4+0,25х^2-2х. Я решила как (2-0,5х)^2, но гдз говорит (0,5х-2)^2. Не понимаю, это одно и тоже, или я что-то не понимаю… Спасибо большое заранее

Алексей Шевчук
23 июня 2020
Ангелина, это одно и то же, всё правильно.

Источник