Что значит простые числа 6 класс

Что такое Простые числа

Простые числа — это натуральные числа, больше единицы, которые делятся без остатка только на 1 и на само себя. Например: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23. Единица не является ни простым числом, ни составным.

Последовательность простых чисел начинается с 2 и является бесконечной; наименьшее простое число — это 2 (делится на 1 и на самого себя).

Составные числа — это натуральные числа, у которых есть больше двух делителей (1, оно само и например, 2 и/или 3); это противоположность простым числам. Например: 4, 6, 9, 12 (все делятся на 2, на 3, на 1 и на само себя).

Все натуральные числа считаются либо простыми, либо составными (кроме 1).

Натуральные числа — это те числа, которые возникли натуральным образом при счёте предметов; например: 1, 2, 3, 4. (нет ни дробей, ни 0, ни чисел ниже 0).

Зачастую множество простых чисел в математике обозначается буквой P.

Простые числа до 1000

Как определить, является ли число простым?

Очень простой способ понять, является ли число простым — нужно его разделить на простые числа и посмотреть, получится ли целое число. Сначала нужно попробовать его разделить на 2 и/или на 3. Если получилось целое число, то оно не является простым.

Если после первого деления не получилось целого числа, значит нужно попробовать разделить его на другие простые числа: 5, 7, 11 и т. д. (на 9 делить не нужно, т. к. это не простое число и оно делится на 3, а на него вы уже делили).

Более структурированный метод — это решето Эратосфена.

Решето Эратосфена

Это алгоритм поиска простых чисел. Для этого нужно:

Те числа, которые не будут вычеркнуты в конце этого процесса, являются простыми.

Взаимно простые числа

Это натуральные числа, у которых 1 — это единственный общий делитель. Например:

Число Мерсенна

Простое число Мерсенна — это простое число вида:

До 1536 г. многие считали, что числа такого вида были все простыми, пока математик Ульрих Ригер не доказал, что 2 (^11) – 1 = 2047 было составным (23 x 89). Затем появились и другие составные числа (p = 23, 29, 31, 37 и др.).

Например, для p = 23 это 2 (^23) – 1 = 8 388 607; И 47 x 178481 = 8 388 607, значит оно составное.

Почему 1 не является простым числом?

Российские математики Боревич и Шафаревич в своей знаменитой работе «Теория чисел» (1964 г.) определяют простое число как p (элемент кольца D), не равен ни 0, ни 1. И p можно называть простым числом, если его невозможно разложить на множители ab (т.е. p = ab), притом ни один из них не является единицей в D. Так как 1 невозможно представить ни в одном, ни в другом виде, 1 не считается ни простым числом, ни составным.

Почему 4 не является простым числом?

Простое число — это натуральное число, больше единицы, которое делится без остатка на 1 и на само себя. Т. к. 4 можно разделить на 1, на 2 и на 4, из-за деления на 2 оно не является простым.

Самое большое простое число

21 декабря 2018 года Great Internet Mersenne Prime Search (проект, целью которого является открытие новых простых чисел Мерсенна) обнаружил новое самое большое известное простое число:

Новое простое число также именуется M82589933 и в нём более чем на полтора миллиона цифр больше, чем в предыдущем (найденном годом ранее).

Источник

Урок 4 Бесплатно Простые и составные числа

На этом уроке мы познакомимся с двумя видами чисел. Они будут различаться количеством делителей.

Также узнаем, как можно разложить составное число на простые числа, изучим основную теорему арифметики и увидим решето Эратосфена.

Простые и составные числа

Если мы попытаемся разделить число 11 на какие-нибудь числа без остатка, то у нас получится это сделать, только если мы будем делить на 1 или на 11.

Получается, что число 11 имеет только два делителя: 1 и 11.

Если мы поступим так же с числами 9 и 18, то узнаем, что у числа 9 три делителя: 1, 3 и 9, а число 18 имеет шесть делителей: 1, 2, 3, 6, 9 и 18

Натуральное число простое, если оно имеет делителями только единицу и само себя.

Если натуральное число имеет больше двух делителей, то оно называется составным.

Таким образом, числа, которые мы используем при счете, в итоге можно разделить на три разные группы по количеству делителей:

Пример 1

Даны числа: 1, 7, 10, 12, 13, 24. Найдите все делители для каждого из чисел. Выпишите числа, имеющие:

В) больше двух делителей

Решение:

Число 1 имеет один делитель: 1

Число 7 имеет два делителя: 1, 7

Число 10 имеет четыре делителя: 1, 2, 5, 10

Число 12 имеет шесть делителей: 1, 2, 3, 4, 6, 12

Число 13 имеет два делителя: 1, 13

Число 24 имеет восемь делителей: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24

Ответ:

А) один делитель- 1

Б) два делителя- 7, 13

В) больше двух делителей- 10, 12, 24

Таким образом, числа 7 и 13 являются простыми, потому что имеют по два делителя.

Числа 10, 12, 24 являются составными, потому что имеют больше двух делителей.

Пример 2

Даны числа: 2, 4, 17, 21, 28, 30, 42, 55, 127. Какие из них простые, а какие составные?

Найдите все делители для составных чисел.

Решение:

Простые: 2, 17, 127

Составные: 4, 21, 28, 30, 42, 55

Число 4 имеет три делителя: 1, 2, 4

Число 21 имеет четыре делителя: 1, 3, 7, 21

Число 28 имеет шесть делителей: 1, 2, 4, 7, 14, 28

Число 30 имеет восемь делителей: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30

Число 42 имеет восемь делителей: 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42

Число 55 имеет четыре делителя: 1, 5, 11, 55

У меня есть дополнительная информация к этой части урока!

Простые и составные числа с древнейших времён интересовали разных учёных. Например, древнегреческий учёный Эратосфен (276- 194 гг. до н.э.) занимался вопросом таких чисел.

Он был главой Александрийской библиотеки и в его работах появились первые факты математической географии, вычисления величины земного шара с достаточно для того времени хорошей точностью.

Для своих вычислений он создал довольно простой способ, который использовался для исследования простых чисел и дошел до нашего времени без изменений. Этот способ назвали «Решето Эратосфена».

Пусть перед нами стоит задача нахождения простых чисел от 1 до 100 включительно.

Распишем все эти числа в квадрате 10 на 10.

После этого начинаем зачеркивать те, которые делятся на 2, потом на 3, потом на 5 (на 4 не берем, ведь они уже будут зачёркнуты, когда мы будем зачеркивать делящиеся на 2), потом на 7 и… всё!

Больше зачеркивать ничего не нужно, так как дальше работает доказанное правило: оставшиеся числа в таблице будут простыми.

Почему вдруг такую таблицу назвали решетом?

Получается вот что: мы убираем числа, потом повторяем с оставшимися числами, и то, что будет не зачёркнуто, как бы напоминает то, что ОСТАЕТСЯ В РЕШЕТЕ.

Если внимательно посмотреть на табличку, то можно увидеть что все вычеркнутые стоят на прямых линиях. А, кто видел решето, тот знает, что оно состоит из нитей, натянутых в виде прямых. Значит, можно построить такое решето, просто проводя прямую в тех местах, где число нужно вычеркнуть – вот и все. Поэтому мы и получаем подобие решета.

Решето Эратосфена работает по подобию простой вычислительной машины. И значит, еще очень давно, была изобретена СЧЕТНАЯ МАШИНА.

На сегодняшний день не существует формулы получения любого простого числа, зато еще с древности известно решето Эратосфена. Всё гениальное просто, как говорится в известном афоризме.

На числовой прямой простые числа не имеют никакой закономерности, стоят в хаотичном порядке. Но если мы соберем числовую прямую в решето Эратосфена большого размера, мы их все просеем через него и соберем без исключения и потерь.

Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации

Источник

Простые числа: история и факты

Свойства простых чисел впервые начали изучать математики Древней Греции. Математики пифагорейской школы (500 — 300 до н.э.) в первую очередь интересовались мистическими и нумерологическими свойствами простых чисел. Они первыми пришли к идеям о совершенных и дружественных числах.

У совершенного числа сумма его собственных делителей равна ему самому. Например, собственные делители числа 6: 1, 2 и 3. 1 + 2 + 3 = 6. У числа 28 делители — это 1, 2, 4, 7 и 14. При этом, 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28.

Числа называются дружественными, если сумма собственных делителей одного числа равна другому, и наоборот – например, 220 и 284. Можно сказать, что совершенное число является дружественным для самого себя.

Ко времени появления работы Евклида «Начала» в 300 году до н.э. уже было доказано несколько важных фактов касательно простых чисел. В книге IX «Начал» Эвклид доказал, что простых чисел бесконечное количество. Это, кстати, один из первых примеров использования доказательства от противного. Также он доказывает Основную теорему арифметики – каждое целое число можно представить единственным образом в виде произведения простых чисел.

А затем случился большой перерыв в истории исследования простых чисел, связанный со Средними веками.

Следующие открытия были сделаны уже в начале 17-го века математиком Ферма. Он доказал гипотезу Альбера Жирара, что любое простое число вида 4n+1 можно записать уникальным образом в виде суммы двух квадратов, и также сформулировал теорему о том, что любое число можно представить в виде суммы четырёх квадратов.

Он разработал новый метод факторизации больших чисел, и продемонстрировал его на числе 2027651281 = 44021 × 46061. Также он доказал Малую теорему Ферма: если p – простое число, то для любого целого a будет верно a p = a modulo p.

Малая теорема Ферма послужила основой множества других результатов в теории чисел и методов проверки чисел на принадлежность к простым – многие из которых используются и по сей день.

Ферма много переписывался со своими современниками, в особенности с монахом по имени Марен Мерсенн. В одном из писем он высказал гипотезу о том, что числа вида 2 n +1 всегда будут простыми, если n является степенью двойки. Он проверил это для n = 1, 2, 4, 8 и 16, и был уверен, что в случае, когда n не является степенью двойки, число не обязательно получалось простым. Эти числа называются числами Ферма, и лишь через 100 лет Эйлер показал, что следующее число, 2 32 + 1 = 4294967297 делится на 641, и следовательно, не является простым.

Числа вида 2 n — 1 также служили предметом исследований, поскольку легко показать, что если n – составное, то и само число тоже составное. Эти числа называют числами Мерсенна, поскольку он активно их изучал.

Но не все числа вида 2 n — 1, где n – простое, являются простыми. К примеру, 2 11 — 1 = 2047 = 23 * 89. Впервые это обнаружили в 1536 году.

Многие годы числа такого вида давали математикам наибольшие известные простые числа. Что число M₁₉, было доказано Катальди в 1588 году, и в течение 200 лет было наибольшим известным простым числом, пока Эйлер не доказал, что M₃₁ также простое. Этот рекорд продержался ещё сто лет, а затем Люкас показал, что M₁₂₇ — простое (а это уже число из 39 цифр), и после него исследования продолжились уже с появлением компьютеров.

В 1952 была доказана простота чисел M₅₂₁, M₆₀₇, M₁₂₇₉, M₂₂₀₃ и M₂₂₈₁.

К 2005 году найдено 42 простых чисел Мерсенна. Наибольшее из них, M_25964951, состоит из 7816230 цифр.

Работа Эйлера оказала огромное влияние на теорию чисел, в том числе и простых. Он расширил Малую теорему Ферма и ввёл φ-функцию. Факторизовал 5-е число Ферма 2 32 +1, нашёл 60 пар дружественных чисел, и сформулировал (но не смог доказать) квадратичный закон взаимности.

Он первым ввёл методы математического анализа и разработал аналитическую теорию чисел. Он доказал, что не только гармонический ряд ∑ (1/n), но и ряд вида

1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 +…

получаемый суммой величин, обратных к простым числам, также расходится. Сумма n членов гармонического ряда растёт примерно как log(n), а второй ряд расходится медленнее, как log[ log(n) ]. Это значит, что, например, сумма обратных величин ко всем найденным на сегодняшний день простым числам даст всего 4, хотя ряд всё равно расходится.

На первый взгляд кажется, что простые числа распределены среди целых довольно случайно. К примеру, среди 100 чисел, идущих прямо перед 10000000, встречается 9 простых, а среди 100 чисел, идущих сразу после этого значения – всего 2. Но на больших отрезках простые числа распределены достаточно равномерно. Лежандр и Гаусс занимались вопросами их распределения. Гаусс как-то рассказывал другу, что в любые свободные 15 минут он всегда подсчитывает количество простых в очередной 1000 чисел. К концу жизни он сосчитал все простые числа в промежутке до 3 миллионов. Лежандр и Гаусс одинаково вычислили, что для больших n плотность простых чисел составляет 1/log(n). Лежандр оценил количество простых чисел в промежутке от 1 до n, как

А Гаусс – как логарифмический интеграл

с промежутком интегрирования от 2 до n.

Утверждение о плотности простых чисел 1/log(n) известно как Теорема о распределении простых чисел. Её пытались доказать в течение всего 19 века, а прогресса достигли Чебышёв и Риман. Они связали её с гипотезой Римана – по сию пору не доказанной гипотезой о распределении нулей дзета-функции Римана. Плотность простых чисел была одновременно доказана Адамаром и Валле-Пуссеном в 1896 году.

В теории простых чисел есть ещё множество нерешённых вопросов, некоторым из которых уже многие сотни лет:

Текущие рекорды среди простых чисел

Самое большое простое число, вычисленное проектом GIMPS [Great Internet Mersenne Prime Search], можно посмотреть в таблице на официальной странице проекта.
www.mersenne.org/primes

Самые большие близнецы среди простых чисел – это 2003663613 × 2 195000 ± 1. Они состоят из 58711 цифр, и были найдены в 2007 году.

Самое большое факториальное простое число (вида n! ± 1) – это 147855! — 1. Оно состоит из 142891 цифр и было найдено в 2002.

Наибольшее праймориальное простое число (число вида n# ± 1) – это 1098133# + 1.

Источник

Простые и составные числа. Таблица простых чисел

Единица не является ни простым ни составным числом.

Основная теорема арифметики : любое натуральное число не равное единице может быть представлено в виде произведения простых множителей с точностью до порядка их расположения в записи разложения.

Например,

Таблица простых чисел в промежутке от 1 до 1000

Простых чисел бесконечно много и не существует формулы для их вычисления. Получить таблицу простых числа можно используя метод Эратосфена, путем последовательного вычеркивания составных чисел из натурального ряда. Удаляются все чисела, кратные каждому из чисел по порядк. Сначала удаляются числа, кратные 2, затем кратные 3, затем 5, затем 7 и так далее. Если нужно получить все простые числа не превосходящие заданной границы (числа n), то последовательное вычеркивание должно быть выполнено до числа

Коментарий репетитора по математике: обоснование того, что вычеркивание выполняется до , к сожалению, в 6 классе дать нельзя. Строгую логику дети переваривают огромным трудом и к тому же еще не пройдены ни иррациональные числа, ни свойства числовых неравенств. Поэтому репетитор по математике в 6 классе может продемонстрировать только технику получения таблицы до текущего числа.

Колпаков А.Н. Репетитор по математике. Москва, Строгино.

Помогите, пожалуйста! Какая закономерность есть в расположении простых чисел? Мы с дочкой ни какой закономерности, как ни старались так и не увидели. Спасибо!

А ее и нет, за исключением последовательного расположения чисел от меньшего к большему.

В составлении таблицы простых чисел нет никакого смысла, так как можно взять таблицу простых чисел (например учебник Виленкина за 6 класс). Все остальные числа, не входящие в эту таблицу, кроме 1, являются составными.

А как можно самим сделать таблицу простых чисел используя электронную таблицу Эксэль

К сожалению, с Экселем не завел тесной дружбы. Если речь идет о математической формуле, позволяющей вычислять простые числа по формуле n-ного члена (то есть по номеру), то вынужден вас разочаровать — такой формулы не существует.

Спасибо за ответ, Александр. Я думаю, что все-таки должна быть какая-то компьютерная программа, а иначе как можно составить таблицу простых чисел, например от 1 до 10000. Может этот вопрос не к вам, а информатикам.

Найти все простые числа до любого заданного предела N=10000 в принципе несложно. Выписываем натуральный ряд чисел от 2 до N (правда в вашем случае он получится довольно длинный), а затем вычеркиваем из него последовательно все числа, кратные 2 (кроме самой двойки), затем кратные 3 (кроме самой тройки), затем 5 (кроме 5), далее 7, 11, 13 и т.д до порога «квадратный корень из 10000» (дальше уже нечего будет вычеркивать). Оставшиеся часть ряда будет составлять полный список простых чисел до N. Наверное несложно написать отдельную программу, выполняющую всю эту рутину, но это уже не ко мне.

Источник

Простые и составные числа.

Число 1 имеет только один делитель — единицу. Любое другое натуральное число а имеет по крайней мере два делителя — единицу и само число а. Действительно, а:1 = а, а :а = 1.

Число 5 имеет только два делителя — числа 1 и 5. Только два делителя имеют также, в частности, числа 2, 7, 11, 13. Такие числа именуются простыми.

Натуральное число называют простым, если оно имеет только два натуральных делителя: единицу и само это число.

Простых чисел бесчисленное множество. Максимального простого числа не бывает.

У чисел 6, 15, 49, 1000 есть больше двух делителей.

Натуральное число принято называть составным, если у него бывает больше двух натуральных делителей.

Поскольку единица имеет только один делитель, то ее не относят ни к простым, ни к составным числам.

Составное число 105 можно различными методами отобразить в виде произведения его делителей.

105 = 15 • 7 = 35 • 3 = 5 • 21 = 3 • 5 • 7.

Отличительной чертой конечного произведения выступает то, что все его множители — простые числа. Указывают, что число 105 разложено на простые множители. Любое составное число можно представить в виде произведения простых чисел, то есть разложить на простые множители.

Заметим, что любые два разложения числа на простые множители состоят из одних и тех же множителей и могут отличаться только их последовательностью. Как правило, произведение одинаковых множителей в разложении числа на простые множители заменяют степенью.

При разложении числа на простые множители целесообразно использовать схему, которую продемонстрируем на примере разложения числа 2940:

1) 2940 поделится на 2, 2940 : 2 = 1470;

2) 1470 поделится на 2, 1470 : 2 = 735;

3) 735 не поделится на 2, но поделится на 3, 735 : 3 = 245;

4) 245 не поделится на 3, но поделится на 5, 245 : 5 = 49;

5) 49 не поделится на 5, но поделится на 7, 49 : 7 = 7;

6) 7 поделится на 7, 7 : 7 = 1.

Если простые числа записать в порядке их возрастания, то образуется последовательность простых чисел: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17…….

Последовательность простых чисел имеет много интересных свойств и тайн. Например, ученые Древней Эллады отметили, что среди простых чисел много таких разность которых равна двум, например: 3 и 5; 5 и 7; 11 и 13; 17 и 19 и т.д. Подобные пары чисел именуют простыми числами близнецами. Уже более 25 веков ученные стараются найти существуют ли максимальное число близнец, но до сих пор ответ на этот вопрос не найден.

Источник

• визитки установка дверей шаблоны →