Что значит при каких значениях х определено выражение
Область допустимых значений функции
Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат (в правом нижнем углу экрана).
Допустимые и недопустимые значения переменных
В 7 классе заканчивается математика и начинается ее-величество-алгебра. Первым делом школьники изучают выражения с переменными.
Мы уже знаем, что математика состоит из выражений — буквенных и числовых. Каждому выражению, в котором есть переменная, соответствует область допустимых значений (ОДЗ). Если игнорировать ОДЗ, то в результате решения можно получить неверный ответ. Получается, чтобы быстро получить верный ответ, нужно всегда учитывать область допустимых значений.
Чтобы дать верное определение области допустимых значений, разберемся, что такое допустимые и недопустимые значения переменной.
Рассмотрим все необходимые определения, связанные с допустимыми и недопустимыми значениями переменной.
Выражение с переменными — это буквенное выражение, в котором буквы обозначают величины, принимающие различные значения.
Значение числового выражения — это число, которое получается после выполнения всех действий в числовом выражении.
Выражение с переменными имеет смысл при данных значениях переменных, если при этих значениях переменных можно вычислить его значение.
Выражение с переменными не имеет смысла при данных значениях переменных, если при этих значениях переменных нельзя вычислить его значение.
Теперь, опираясь на данные определения, мы можем сформулировать, что такое допустимые и недопустимые значения переменной.
Допустимые значения переменных — это значения переменных, при которых выражение имеет смысл.
Если при переменных выражение не имеет смысла, то значения таких переменных называют недопустимыми.
В выражении может быть больше одной переменной, поэтому допустимых и недопустимых значений может быть больше одного.
Пример 1
Рассмотрим выражение 
В выражении три переменные (a, b, c).
Запишем значения переменных в виде: a = 1, b = 1, c = 2.
Такие значения переменных являются допустимыми, поскольку при подстановке этих значений в выражение, мы легко можем найти ответ: 
Таким же образом можем выяснить, какие значения переменных — недопустимые.
Подставим значения переменных в выражение 
На ноль делить нельзя.
Что такое ОДЗ
ОДЗ — это невидимый инструмент при решении любого выражении с переменной. Чаще всего, ОДЗ не отображают графически, но всегда «держат в уме».
Область допустимых значений (ОДЗ) — это множество всех допустимых значений переменных для данного выражения.
Пример 2
Рассмотрим выражение 
Пример 3
Рассмотрим выражение 
ОДЗ такого выражения будет выглядеть вот так: b ≠ c; a — любое число.
Такая запись означает, что область допустимых значений переменных b, c и a = это все значения переменных, при которых соблюдаются условия b ≠ c; a — любое число.
Для тех, кто хочет связать свою жизнь с точными науками, Skysmart предлагает курс подготовки к ЕГЭ по математике (профиль).
Как найти ОДЗ: примеры решения
Найти ОДЗ — это значит, что нужно указать все допустимые значения переменных для выражения. Часто, чтобы найти ОДЗ, нужно выполнить преобразование выражения.
Чтобы быстро и верно определять ОДЗ, запомните условия, при которых значение выражения не может быть найдено.
Мы не можем вычислить значение выражения, если:
Теперь, приступая к поиску ОДЗ, вы можете сверять выражение по всем этим пунктам.
Давайте потренируемся находить ОДЗ.
Пример 4
Найдем область допустимых значений переменной выражения a 3 + 4 * a * b − 6.
В куб возводится любое число. Ограничений при вычитании и сложении нет. Это значит, что мы можем вычислить значение выражения a 3 + 4 * a * b − 6 при любых значениях переменной.
ОДЗ переменных a и b — это множество таких пар допустимых значений (a, b), где a — любое число и b — любое число.
Ответ: (a и b), где a — любое число и b — любое число.
Пример 5
Найдем область допустимых значений (ОДЗ) переменной выражения 
Здесь нужно обратить внимание на наличие нуля в знаменатели дроби. Одним из условий, при котором вычисление значения выражения невозможно явлется наличие деления на ноль.
Это значит, что мы может сказать, что ОДЗ переменной a в выражении — пустое множество.
Пустое множество изображается в виде вот такого символа Ø.
Пример 6
Найдем область допустимых значений (ОДЗ) переменных в выражении 
Если есть квадратный корень, то нам нужно следить за тем, чтобы под знаком корня не было отрицательного числа. Это значит, что при подстановке значений a и b должны быть условия, при которых a + 3 * b + 5 ≥ 0.
Ответ: ОДЗ переменных a и b — это множество всех пар, при которых a + 3 * b + 5 ≥ 0.
Пример 7
Найдем ОДЗ переменной a в выражении 
Прежде всего, нам нужно подобрать такое условие, при котором в знаменателе дроби не будет ноля — 
Мы знаем, что выражение под знаком корня должно быть положительным. Это дает нам второе условие: a + 1 ≥ 0.
Мы не можем вычислить логарифм отрицательного выражения. Получаем третье условие: a 2 + 2 > 0.
Выражении в основании логарифма не должно быть отрицательным и не должно равняться единице. Получаем условие 4: a + 6 > 0.
Как видите, записывая ОДЗ, мы ставим квадратные и круглые скобки.
Запомните
Например, если х > 6, но х
Зачем учитывать ОДЗ при преобразовании выражения
Иногда выражение просто невозможно решить, если не выполнить ряд тождественных преобразований. К ним относятся: перестановки, раскрытие скобок, группировка, вынесение общего множителя за скобки, приведение подобных слагаемых.
Кроме того, что видов таких преобразований довольно много: нужно понимать, в каких случаях какое преобразование возможно. В этом может помочь определение ОДЗ.
Тождественное преобразование может:
Рассмотрим каждый случай в отдельности.
Пример 8
Поскольку мы должны следить за тем, чтобы в выражении не возникало деление ноль, определяем условие a ≠ 0.
Это условие отвечает множеству (−∞ ; 0) ∪ (0 ; +∞).
В выражении есть подобные слагаемые, если привести подобные слагаемые, то мы получаем выражение вида a.
ОДЗ для a — это R — множество всех вещественных чисел.
Преобразование расширило ОДЗ — добавился ноль.
Пример 9
Рассмотрим выражение a 2 + a + 4 * a
ОДЗ a для этого выражения — множество R.
В выражении есть подобные слагаемые, выполним тождественное преобразование.
После приведения подобных слагаемых выражение приняло вид a 2 + 5 * a
ОДЗ переменной a для этого выражения — множество R.
Это значит, что тождественное преобразование никак не повлияло на ОДЗ.
Пример 10
Рассмотрим выражение 
Решить такое неравенство можно методом интервалов, что дает нам ОДЗ (−∞; 1] ∪ [4 ; +∞).
Затем выполним преобразование исходного выражения по свойству корней: корень произведения = произведению корней.
Приведем выражение к виду 
Решив систему линейных неравенств, получаем множество [4; + ∞).
Отсюда видно, что тождественные преобразования сузили ОДЗ.
От (−∞; 1] ∪ [4 ; +∞) до [4; + ∞).
Решив преобразовать выражение, внимательно следите за тем, чтобы не допустить сужение ОДЗ.
Запомните, что выполняя преобразование, следует выбирать такие, которые не изменят ОДЗ.
Область допустимых значений (ОДЗ): теория, примеры, решения
Любое выражение с переменной имеет свою область допустимых значений, где оно существует. ОДЗ необходимо всегда учитывать при решении. При его отсутствии можно получить неверный результат.
В данной статье будет показано, как правильно находить ОДЗ, использовать на примерах. Также будет рассмотрена важность указания ОДЗ при решении.
Допустимые и недопустимые значения переменных
Данное определение связано с допустимыми значениями переменной. При введении определения посмотрим, к какому результату приведет.
Начиная с 7 класса, мы начинаем работать с числами и числовыми выражениями. Начальные определения с переменными переходят к значению выражений с выбранными переменными.
Если имеется выражение с переменными, то оно имеет смысл только тогда, когда при их подстановке значение может быть вычислено.
Если имеется выражение с переменными, то оно не имеет смысл, когда при их подстановке значение не может быть вычислено.
То есть отсюда следует полное определение
Существующими допустимыми переменными называют такие значения, при которых выражение имеет смысл. А если смысла не имеет, значит они считаются недопустимыми.
Для уточнения вышесказанного: если переменных более одной, тогда может быть и пара подходящих значений.
Что такое ОДЗ?
Область допустимых значений – важный элемент при вычислении алгебраических выражений. Поэтому стоит обратить на это внимание при расчетах.
Область ОДЗ – это множество значений, допустимых для данного выражения.
Рассмотрим на примере выражения.
Как найти ОДЗ? Примеры, решения
Найти ОДЗ означает найти все допустимые значения, подходящие для заданной функции или неравенства. При невыполнении этих условий можно получить неверный результат. Для нахождения ОДЗ зачастую необходимо пройти через преобразования в заданном выражении.
Существуют выражения, где их вычисление невозможно:
Все это говорит о том, как важно наличие ОДЗ.
Найти ОДЗ выражения x 3 + 2 · x · y − 4 .
Решение
В куб можно возводить любое число. Данное выражение не имеет дроби, поэтому значения x и у могут быть любыми. То есть ОДЗ – это любое число.
Ответ: x и y – любые значения.
Решение
Видно, что имеется одна дробь, где в знаменателе ноль. Это говорит о том, что при любом значении х мы получим деление на ноль. Значит, можно сделать вывод о том, что это выражение считается неопределенным, то есть не имеет ОДЗ.
Решение
Решение
Почему важно учитывать ОДЗ при проведении преобразований?
При тождественных преобразованиях важно находить ОДЗ. Бывают случаи, когда существование ОДЗ не имеет место. Чтобы понять, имеет ли решение заданное выражение, нужно сравнить ОДЗ переменных исходного выражения и ОДЗ полученного.
Рассмотрим на примере.
Рассмотрим пример с наличием подкоренного выражения.
Нужно избегать преобразований, которые сужают ОДЗ.
Следует придерживаться тождественных преобразований, которые ОДЗ не изменят.
Если имеются примеры, которые его расширяют, тогда его нужно добавлять в ОДЗ.
При наличии логарифмов дело обстоит немного иначе.
При решении всегда необходимо обращать внимание на структуру и вид данного по условию выражения. При правильном нахождении области определения результат будет положительным.