Что значит представить в виде многочлена стандартного вида выражение

Учимся приводить многочлены к стандартному виду.

Изучая начальные сведения о многочленах, мы сказали, что имеют место как многочлены стандартного вида, так и не стандартного. Там же мы отметили, что можно любой многочлен привести к стандартному виду. В этой статье мы для начала выясним, какой смысл несет в себе эта фраза. Дальше перечислим шаги, позволяющие преобразовать любой многочлен в стандартный вид. Наконец, рассмотрим решения характерных примеров. Решения будем описывать очень подробно, чтобы разобраться со всеми нюансами, возникающими при приведении многочленов к стандартному виду.

Навигация по странице.

Что значит привести многочлен к стандартному виду?

Сначала нужно четко понимать, что понимают под приведением многочлена к стандартному виду. Разберемся с этим.

Многочлены, как и любые другие выражения, можно подвергать тождественным преобразованиям. В результате выполнения таких преобразований, получаются выражения, тождественно равные исходному выражению. Так выполнение определенных преобразований с многочленами не стандартного вида позволяют перейти к тождественно равным им многочленам, но записанным уже в стандартном виде. Такой переход и называют приведением многочлена к стандартному виду.

Итак, привести многочлен к стандартному виду – это значит заменить исходный многочлен тождественно равным ему многочленом стандартного вида, полученным из исходного путем проведения тождественных преобразований.

Как привести многочлен к стандартному виду?

Давайте поразмыслим, какие преобразования нам помогут привести многочлен к стандартному виду. Будем отталкиваться от определения многочлена стандартного вида.

По определению каждый член многочлена стандартного вида является одночленом стандартного вида, и многочлен стандартного вида не содержит подобных членов. В свою очередь многочлены, записанные в виде, отличном от стандартного, могут состоять из одночленов в не стандартном виде и могут содержать подобные члены. Отсюда логически вытекает следующее правило, объясняющее как привести многочлен к стандартному виду:

В итоге будет получен многочлен стандартного вида, так как все его члены будут записаны в стандартном виде, и он не будет содержать подобных членов.

Примеры, решения

Рассмотрим примеры приведения многочленов к стандартному виду. При решении будем выполнять шаги, продиктованные правилом из предыдущего пункта.

Здесь заметим, что иногда все члены многочлена сразу записаны в стандартном виде, в этом случае достаточно лишь привести подобные члены. Иногда после приведения членов многочлена к стандартному виду не оказывается подобных членов, следовательно, этап приведения подобных членов в этом случае опускается. В общем случае приходится делать и то и другое.

Все члены многочлена 5·x 2 ·y+2·y 3 −x·y+1 записаны в стандартном виде, подобных членов он не имеет, следовательно, этот многочлен уже представлен в стандартном виде.

Осталось представить в стандартном виде последний из заданных многочленов . После приведения всех его членов к стандартному виду он запишется как . В нем есть подобные члены, поэтому нужно провести приведение подобных членов:

Зачастую приведение многочлена к стандартному виду является лишь промежуточным этапом при ответе на поставленный вопрос задачи. Например, нахождение степени многочлена предполагает его предварительное представление в стандартном виде.

Приведите многочлен к стандартному виду, укажите его степень и расположите члены по убывающим степеням переменной.

Сначала приводим все члены многочлена к стандартному виду: .

Теперь приводим подобные члены:

Так мы привели исходный многочлен к стандартному виду, это нам позволяет определить степень многочлена, которая равна наибольшей степени входящих в него одночленов. Очевидно, она равна 5.

Источник

Учимся приводить многочлены к стандартному виду

В изучении темы о многочленах отдельно стоит упомянуть о том, что многочлены встречаются как стандартного, так и не стандартного вида. При этом многочлен нестандартного вида можно привести к стандартному виду. Собственно, этот вопрос и будем разбирать в данной статье. Закрепим разъяснения примерами с подробным пошаговым описанием.

Смысл приведения многочлена к стандартному виду

Немного углубимся в само понятие, действие – «приведение многочлена к стандартному виду».

Многочлены, подобно любым другим выражениям, возможно тождественно преобразовывать. Как итог, мы получаем в таком случае выражения, которые тождественно равны исходному выражению.

Привести многочлен к стандартному виду – означает замену исходного многочлена на равный ему многочлен стандартного вида, полученный из исходного многочлена при помощи тождественных преобразований.

Способ приведения многочлена к стандартному виду

Порассуждаем на тему того, какие именно тождественные преобразования приведут многочлен к стандартному виду.

Согласно определению, каждый многочлен стандартного вида состоит из одночленов стандартного вида и не имеет в своем составе подобных членов. Многочлен же нестандартного вида может включать в себя одночлены нестандартного вида и подобные члены. Из сказанного закономерно выводится правило, говорящее о том, как привести многочлен к стандартному виду:

Примеры и решения

Разберем подробно примеры, в которых приведем многочлен к стандартному виду. Следовать будем правилу, выведенному выше.

Отметим, что иногда члены многочлена в исходном состоянии уже имеют стандартный вид, и остается только привести подобные члены. Случается, что после первого шага действий не оказывается подобных членов, тогда второй шаг пропускаем. В общих случаях необходимо совершать оба действия из правила выше.

5 · x 2 · y + 2 · y 3 − x · y + 1 ,

Необходимо привести их к стандартному виду.

Решение

рассмотрим сначала многочлен 5 · x 2 · y + 2 · y 3 − x · y + 1 : его члены имеют стандартный вид, подобные члены отсутствуют, значит многочлен задан в стандартном виде, и никаких дополнительных действий не требуется.

В полученном многочлене все члены – стандартные, подобных членов не имеется, значит наши действия по приведению многочлена к стандартному виду завершены.

Приведем его члены к стандартному виду и получим:

Мы видим, что в составе многочлена имеются подобные члены, произведем приведение подобных членов:

Ответ:

Во многих задачах действие приведения многочлена к стандартному виду – промежуточное при поиске ответа на заданный вопрос. Рассмотрим и такой пример.

Решение

Приведем члены заданного многочлена к стандартному виду:

Следующим шагом приведем подобные члены:

Остается только расположить члены по убывающим степеням переменных. С этой целью мы просто переставим местами члены в полученном многочлене стандартного вида с учетом требования. Таким образом, получим:

Ответ:

Источник

Многочлен, его стандартный вид, степень и коэффициенты членов

После изучения одночленов переходим к многочленам. Данная статья расскажет о всех необходимых сведениях, необходимых для выполнения действий над ними. Мы определим многочлен с сопутствующими определениями члена многочлена, то есть свободный и подобный, рассмотрим многочлен стандартного вида, введем степень и научимся ее находить, поработаем с его коэффициентами.

Многочлен и его члены – определения и примеры

Определение многочлена было дано еще в 7 классе после изучения одночленов. Рассмотрим его полное определение.

Многочленом считается сумма одночленов, причем сам одночлен – это частный случай многочлена.

Рассмотрим еще определения.

Членами многочлена называются его составляющие одночлены.

Отсюда следует, что выражение вида x + y – является двучленом, а выражение 2 · x 3 · q − q · x · x + 7 · b – трехчленом.

Подобные члены многочлена – это подобные слагаемые, находящиеся в многочлене.

Многочлен стандартного вида

У всех одночленов и многочленов имеются свои определенные названия.

Многочленом стандартного вида называют многочлен, у которого каждый входящий в него член имеет одночлен стандартного вида и не содержит подобных членов.

Если того требуют обстоятельства, иногда многочлен приводится к стандартному виду. Многочленом стандартного вида считается и понятие свободного члена многочлена.

Свободным членом многочлена является многочлен стандартного вида, не имеющий буквенной части.

Степень многочлена – как ее найти?

Определение самой степени многочлена базируется на определении многочлена стандартного вида и на степенях одночленов, которые являются его составляющими.

Степенью многочлена стандартного вида называют наибольшую из степеней, входящих в его запись.

Следует выяснить, каким образом находится сама степень.

Когда многочлен записан не в стандартном виде, но нужно найти его степень, необходимо приведение к стандартному, после чего находить искомую степень.

Для начала представим многочлен в стандартном виде. Получим выражение вида:

3 · a 12 − 2 · a · b · c · a · c · b + y 2 · z 2 − 2 · a 12 − a 12 = = ( 3 · a 12 − 2 · a 12 − a 12 ) − 2 · ( a · a ) · ( b · b ) · ( c · c ) + y 2 · z 2 = = − 2 · a 2 · b 2 · c 2 + y 2 · z 2

Коэффициенты членов многочлена

Когда все члены многочлена являются одночленами стандартного вида, то в таком случаем они имеют название коэффициентов членов многочлена. Иначе говоря, их можно называть коэффициентами многочлена.

Источник

Основные сведения о многочленах в алгебре

Определение многочлена

Тему многочленов начинают изучать на уроках математики в седьмом классе средней школы.

Многочлен в алгебре является суммой одночленов.

Пример, как может выглядеть многочлен:

2 x + 4 x y 2 + x + 2 x y 2

Многочлен состоит из какого-то количества одночленов, объединенных знаком сложения или вычитания.

В последнем примере также записан многочлен, состоящий из суммы одночленов.

Выражение можно править таким образом:

3 x + ( − 5 y ) + ( − 2 x )

Если скобки раскрыть, то получим многочлен:

3 x + ( − 5 y ) + ( − 2 x ) = 3 x − 5 y − 2 x

Когда рассматривают отдельно каждый из одночленов, учитывают его знак. В многочлене 3x − 5y − 2x знак минуса, который расположен перед 5y, относится к коэффициенту 5. Минус перед 2х имеет отношение к коэффициенту 2. Если требуется избавиться от противоречия с понятием многочлена, его можно записать в виде суммы, заменяя вычитание сложением:

3 x − 5 y − 2 x = 3 x + ( − 5 y ) + ( − 2 x )

Свободный член многочлена — обычное число в составе многочлена.

Виды многочленов

Существуют разные виды многочленов:

Одночлен является многочленом, который состоит из одного члена.

Двучленом называют многочлен, в состав которого включено два члена.

Трехчлен — многочлен с тремя членами.

Русским словом одночлен обозначают следующие простые выражения:

13 p 2 t − 3 p t 2 + 3 t 3

Коэффициенты членов многочлена

Коэффициенты членов многочлена являются числами, которые записаны перед переменными множителями.

В том случае, когда число перед переменной отсутствует, коэффициент такого члена равен единице.

Здесь каждый из одночленов представлен в стандартном виде. Числа 2, 5, 18 являются коэффициентами членов этого многочлена.

Многочлен стандартного вида

Как и одночлен, многочлен можно записать в стандартном виде. Итогом преобразований является упрощенный многочлен, что существенно облегчает решение задач. В процессе требуется привести подобные слагаемые.

Подобные члены многочлена — подобные слагаемые в этом многочлене, обладающие идентичной буквенной частью.

Привести подобные члены многочлена — значит, привести подобные слагаемые в этом многочлене.

В качестве примера можно рассмотреть многочлен и привести его к стандартному виду:

2 x + 4 x y 2 + x − x y 2

2 x + 4 x y 2 + x − x y 2 = 3 x + 3 x y 2

Результатом действий является многочлен стандартного вида, то есть такой, в котором отсутствуют подобные члены.

Как и в случае с одночленом, многочлен характеризуется определенной степенью. Для того чтобы ее вычислить, нужно записать многочлен в стандартном виде. Далее требуется определить тот одночлен, который обладает максимальной степенью.

Применительно к предыдущему примеру, многочлен 2 x + 4 x y 2 + x − x y 2 был приведен к стандартному виду, то есть:

Степень многочлена стандартного вида — наибольшая из всех степеней одночленов, которые входят в состав многочлена.

В некоторых задачах перед тем, как определить степень многочлена, необходимо привести к стандартному виду одночлены, входящие в его состав. Затем можно записать непосредственно сам многочлен в стандартном виде.

3 x x 4 + 3 x x 3 − 5 x 2 x 3 − 5 x 2 x

Заметим, что в состав данного многочлена входят одночлены, не приведенные к стандартному виду. На первом шаге следует привести эти одночлены:

3 x x 4 + 3 x x 3 − 5 x 2 2 x 3 − 5 x 2 x = 3 x 5 + 3 x 4 − 5 x 5 − 5 x 3

Далее многочлен, который получился в результате, можно привести к стандартному виду путем приведения его подобных членов. Заметим, что 3 x 5 и − 5 x 5 являются подобными членами. Другие подобные члены отсутствуют. Таким образом:

Разберем другой пример:

3 a b + 4 c c + a b + 3 c 2

Попробуем записать этот многочлен в стандартном виде. В первую очередь можно привести к стандартному виду одночлен 4cc. В результате:

3 a b + 4 c 2 + a b + 3 c 2

Заметим, что после преобразований появились подобные члены, которые можно привести:

Примеры решения задач

Дан многочлен, который необходимо привести к формуле стандартного вида:

4 x 2 − 4 y − x 2 + 17 y – y

Заметим, что многочлен обладает следующими подобными членами:

Приведем подобные члены:

4 x 2 − 4 y − x 2 + 17 y – y = 3 x 2 + 12 y

В процессе приведения подобных членов удобно использовать скобки. Подобные члены следует выделить скобками, а далее совместить выражения в скобках, используя знак сложения.

4 x 2 − 4 y − x 2 + 17 y – y = ( 4 x 2 − x 2 ) + ( − 4 y + 17 y − y )

Остается привести подобные члены, которые заключены в скобках:

4 x 2 − 4 y − x 2 + 17 y – y = ( 4 x 2 − x 2 ) + ( − 4 y + 17 y − y ) = ( 3 x 2 ) + ( 12 y )

Затем можно раскрыть скобки:

4 x 2 − 4 y − x 2 + 17 y – y = ( 4 x 2 − x 2 ) + ( − 4 y + 17 y − y ) = ( 3 x 2 ) + ( 12 y ) = 3 x 2 + 12 y

Необходимо записать многочлен в стандартном виде:

12 x 2 − 9 y − 9 x 2 + 6 y + y

Подобные слагаемые целесообразно заключить в скобки. Затем их можно объединить, используя знак плюса:

12 x 2 − 9 y − 9 x 2 + 6 y + y = ( 12 x 2 − 9 x 2 ) + ( − 9 y + 6 y + y )

Выполним вычисления простого типа:

12 x 2 − 9 y − 9 x 2 + 6 y + y = ( 12 x 2 − 9 x 2 ) + ( − 9 y + 6 y + y ) = ( 3 x 2 ) + ( − 2 y )

Раскроем скобки и получим:

12 x 2 − 9 y − 9 x 2 + 6 y + y = ( 12 x 2 − 9 x 2 ) + ( − 9 y + 6 y + y ) = ( 3 x 2 ) + ( − 2 y ) = 3 x 2 − 2 y

Имеется некий многочлен, который необходимо привести к стандартному виду и определить его степень.

4 x + 6 x y 2 + x – x y 2

В первую очередь следует привести подобные слагаемые путем определения всех членов, обладающих одинаковой буквенной частью:

В результате получим:

4 x + 6 x y 2 + x – x y 2 = 5 x + 5 x y 2

Требуется привести многочлен к стандартному виду:

Приведем каждый одночлен к стандартному виду:

Ответ: x 4 + x 2 y 3

Нужно привести многочлен к стандартному виду, а также определить его степень:

Обнаружив все члены, которые обладают идентичной буквенной частью, приведем подобные слагаемые:

Источник

Многочлены. Действия с многочленами.

теория по математике 📈 алгебраические выражения

Многочлен – это сумма одночленов. Одночлены, которые составляют многочлен, называют членами данного многочлена. Если многочлены состоят из двух или трех слагаемых, то их можно называть двучленами или трехчленами соответственно.

Стандартный вид многочлена

Многочлен называется приведенным к стандартному виду, если он не имеет подобных слагаемых, и каждый его член имеет также стандартный вид.

Вспомним, что слагаемые, содержащие одинаковую буквенную часть или не имеющие буквенной части называют подобными. Если такие слагаемые есть, то их нужно сложить или вычесть, это действие называют приведением подобных слагаемых.

13х 2 –6х+ 11х 2

13х 2 –6х+11х 2 =24х 2 –6х

6а 3 с 4 + 32х –9а 3 с 4 + 45х –16

Данный многочлен имеет две группы подобных слагаемых, одна выделена красным цветом, вторая синим цветом, слагаемое –16 не имеет подобных, поэтому его просто перепишем. Приводим подобные слагаемые и получаем многочлен стандартного вида:

6а 3 с 4 + 32х –9а 3 с 4 + 45х –16= –3а 3 с 4 +77х–16

Степень многочлена

Степенью многочлена стандартного вида называют наибольшую из степеней входящих в него одночленов. При этом многочлен должен быть записан в стандартном виде. Рассмотрим на примерах, как определить степени многочленов.

4с 6 +7а 9 –18х

Степень многочлена, записанного в стандартном виде, равна 9, так как одночлен 7а 9 имеет степень равную 9 и она наибольшая по сравнению со степенями одночленов 4с 6 и –18х. Пример №5.

13х 4 у 7 +12х 3 у 6 –13

степень данного многочлена стандартного вида находим по наибольшей степени каждого одночлена: одночлен 13х 4 у 7 имеет 11 степень, так как складываем показатели 4 и 7; одночлен 12х 3 у 6 имеет соответственно 9 степень, а –13 имеет степень равную нулю (не содержит переменных). Таким образом, получается, что наибольшая степень равна 11, значит и степень всего многочлена равна 11.

6а 5 +8ас+2а 5 –11ас

Данный многочлен не является многочленом стандартного вида, поэтому сначала приведем подобные слагаемые, получим 6а 5 +8ас+2а 5 –11ас=8а 5 –3ас. Теперь найдем степень у каждого одночлена: у 8а 5 пятая степень, у 3ас – вторая (каждая переменная имеет первую степень). Значит, у многочлена 6а 5 +8ас+2а 5 –11ас степень равна 5.

Сложение и вычитание многочленов

Многочлены можно как складывать, так и вычитать. То есть сумму или разность многочленов можно представить в виде многочлена стандартного вида. Рассмотрим на примерах сложение и вычитание многочленов.

Пример №7. Выполним сложение многочленов:

6х 2 +8х–11 и –9х 2 +3х+19

Сначала составим их сумму (6х 2 +8х–11) + (–9х 2 +3х+19), теперь раскроем скобки, помня о том, что, если перед скобками стоит знак «плюс», то знаки у слагаемых в скобках не изменяются:

6х 2 +8х–11–9х 2 +3х+19

Теперь приведем подобные слагаемые и получим многочлен стандартного вида:

Пример №8. Выполним вычитание многочленов:

7х 5 +12х 3 –24 и 2х 5 +36х 3 –11

Составим разность многочленов (7х 5 +12х 3 – 24) – (2х 5 +36х 3 –11), раскроем скобки, помня о том, что, если перед скобками стоит «минус», то надо изменить знаки у слагаемых в скобках на противоположные:

7х 5 +12х 3 – 24 – 2х 5 –36х 3 +11

Приведем подобные слагаемые и получим многочлен:

Умножение одночлена на многочлен

Чтобы умножить одночлен на многочлен, нужно умножить этот одночлен на каждый член многочлена.

Пример №9. Умножим одночлен 7х на многочлен 6х 2 +3х–5. Запишем в виде произведения:

выполним умножение 7х на каждое слагаемое в скобках: 7х•6х 2 +7х•3х–7х•(–5) и получим:

Запись данного выражения можно делать короче, выполняя промежуточные действия устно:

7х•(6х 2 +3х–5)= 42х 3 +21х 2 +35х

92с(–2с+10а 6 )= –184с 2 +920са 6

Здесь выполнение умножения одночлена на многочлен выполнено без записи промежуточных действий умножения.

Умножение многочлена на многочлен

Чтобы умножить многочлен на многочлен, нужно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена.

Пример №11. Умножим многочлен (а+с) на многочлен (х+с).

Составим произведение (а+с)(х+с); умножим сначала а на (х+с), затем с на (х+с); получим:

Получили многочлен в стандартном виде. Здесь были даны простые многочлены, не содержащие степеней. Запись выражения выглядит так:

Пример №12. Умножим многочлен 8х 3 –12х на многочлен 3х 5 –10х. Имеем:

(8х 3 –12х)(3х 5 –10х)=8х 3 •3х 5 +8х 3 •(–10х)–12х•3х 5 –12х•(–10х)=24х 8 –80х 4 –36х 6 +120х 2

Здесь были даны многочлены, содержащие степень, поэтому промежуточное решение лучше расписывать, чтобы не допустить ошибок.

Разложение многочлена на множители

Существуют такие способы для разложения многочлена на множители, как вынесение общего множителя за скобки и разложение на множители способом группировки.

Способ №1. Вынесение общего множителя за скобки.

Вынесение общего множителя за скобки – это представление многочлена в виде произведения одночлена и многочлена.

6х 4 – 20х 2 =2х 2 (3х 2 –10)

При вынесении за скобки степеней помним правило, что при делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаем, а основание оставляем прежним.

Пример №14. Разложим на множители многочлен:

12с 5 х 7 –36с 6 х 2 +72асх 3

12с 5 х 7 –36с 6 х 2 +72асх 3 =12сх 2 (с 4 х 5 –3с 5 +6ах)

Сделаем вывод, что вынесение общего множителя за скобки – это выполнение действия деления каждого члена многочлена на его общий делитель.

Способ №2. Способ группировки.

Чтобы выполнить разложение на множители способом группировки необходимо следовать определенному алгоритму (ключевое слово в данном способе – группировка). Группировка слагаемых выполняется таким образом, чтобы в каждой группе можно было выполнить вынесение общего множителя за скобки, а в скобках оставались одинаковые выражения, это обычно определяется устно.

Пример №15. Разложим на множители многочлен:

Сгруппируем, например, слагаемые первое с последним, а второе с третьим (можно было первое с третьим, а второе с последним):

Теперь видим, что в каждой группе есть множитель, который можно вынести за скобки:

В полученном выражении видно, что в обеих скобках есть сумма х и d, вынесем эту сумму снова за скобки:

Таким образом, мы получили произведение двух выражений, то есть разложили данный многочлен на множители.

Пример №16. Разложим на множители многочлен:

Сгруппируем по порядку, чтобы знаки у слагаемых в скобках были одинаковые:

Вынесем общий множитель в каждой группе:

Вынесем за скобки одинаковые выражения:

Пример №17. Разложим на множители многочлен:

Сгруппируем по порядку, обращая внимание на знак перед х 2 :

х 5 –х 3 –х 2 +1 =(х 5 –х 3 )–(х 2 –1)

Если перед первым слагаемым, которое мы заключаем в скобки, стоит знак «минус», то мы ставим его перед скобкой, а знаки у слагаемых в скобках изменяем на противоположные. Тогда у нас в обеих скобках получатся одинаковые знаки.

Выносим за скобки общий множитель. В данном случае он есть только в первых скобках:

х 5 –х 3 –х 2 +1 =(х 5 –х 3 )–(х 2 –1)= х 3 (х 2 –1)–(х 2 –1)

Выносим за скобки одинаковые выражения, обращая внимание на то, что перед второй скобкой не записан общий множитель, значит, он равен 1:

х 5 –х 3 –х 2 +1 =(х 5 –х 3 )–(х 2 –1)= х 3 (х 2 –1)–(х 2 –1)=(х 2 –1)(х 3 –1)

Источник