Что значит показатель степени

Степень числа

Степень числа — это выражение, обозначающее краткую запись произведения одинаковых сомножителей.

Рассмотрим умножение одинаковых чисел, например:

Произведение 5 · 5 · 5 можно записать так: 5 3 (пять в третьей степени). Выражение 5 3 — это степень. Следовательно,

Основание степени — это повторяющийся множитель. Показатель степени — это число, указывающее количество повторений, то есть показатель степени показывает сколько одинаковых множителей содержится в произведении.

Читаются степени так:

Пример. Записать в виде степени:

б) 10 · 10 · 10 · 10 = 10 4 ;

Возведение в степень

Результат возведения в степень называется степенью (также как и само выражение, значение которого вычисляется). В выражении:

2 — это основание степени, 3 — показатель степени, 8 — степень.

a) 11 2 = 11 · 11 = 121;

б) 2 5 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 32;

в) 10 4 = 10 · 10 · 10 · 10 = 10000.

Выражения со степенями. Порядок действий

Если выражение не содержит скобки и содержит степени, то сначала выполняется возведение в степень в порядке следования степеней (слева направо), а затем все остальные арифметические действия. Если выражение содержит скобки, то сначала выполняются действия в скобках, с учётом всех правил порядка выполнения действий.

Рассмотрим два выражения:

В соответствии с порядком выполнения действий в первом случае сначала выполняется возведение в степень, а затем вычисляется сумма. Во втором случае сначала вычисляется сумма, а затем результат возводится в квадрат.

5 2 + 2 2 = 25 + 4 = 29,

Пример 1. Найти значение выражения:

Решение: Сначала выполняется действие, заключённое в скобки:

Затем, по правилам порядка действий, выполняется возведение в степень:

И последним действием вычисляется произведение:

Пример 2. Вычислить:

Калькулятор возведения в степень

Источник

Показатель степени

Число a b называется степенью с основанием a и показателем b.

Содержание

Натуральная степень

Число с называется n-ной степенью числа а, если .

Существует алгоритм быстрого возведения в степень, выполняющий возведение в степень за меньшее, чем в определении, число умножений.

Целая степень

не определён

Рациональная степень

По определению,

Действительная степень

Пусть .

Другой подход основан на теории рядов и логарифмов. (см. определение комплексной степени)

Потенцирование

Потенцирование — это нахождение числа по известному значению его логарифма, то есть решение уравнения:

Комплексная степень

Определим некоторые функции:

теперь для вычисления a z можно использовать свойства степеней и логарифмов:

Степень как функция

Поскольку в выражении x y принимает участие две переменных, то его можно рассматривать как:

См. также

Ссылки

Полезное

Смотреть что такое «Показатель степени» в других словарях:

Показатель степени — по техн. правилам набора должен набираться шрифтом, кегль которого в два раза меньше кегля шрифта символов и цифр, но без ущерба для удобочитаемости: Кегль символа или цифры Показатель степени 1 го порядка 2 го порядка 12 6 4 или 6 10 5 или 6 4… … Издательский словарь-справочник

показатель степени — — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] Тематики информационные технологии в целом EN power exponentsuperscript … Справочник технического переводчика

показатель степени — laipsnio rodiklis statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. potenz vok. Exponent, m; Potenz, f rus. показатель степени, m pranc. exposant, m … Fizikos terminų žodynas

показатель степени — Syn: степень … Тезаурус русской деловой лексики

показатель степени сосредоточенности источников информации в сети — — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] Тематики информационные технологии в целом EN locality … Справочник технического переводчика

показатель степени числа — порядок числа — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] Тематики информационные технологии в целом Синонимы порядок числа EN number exponent … Справочник технического переводчика

показатель степени опасности компонента отхода — 3.1.9 показатель степени опасности компонента отхода: Интегральный показатель, характеризующий степень опасности компонента отхода при воздействии его на окружающую природную среду; Источник: СТО Газпром 12 2005: Каталог отходов производства и… … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

ПОКАЗАТЕЛЬ СТЕПЕНИ СЖАТИЯ ГРУНТА — величина, характеризующая уменьшение объема породы по отношению к начальному объему осадки. Определяется по формуле где еf коэффициент пористости грунта при верхнем пределе пластичности; е коэффициент пористости при естественной влажности и… … Словарь по гидрогеологии и инженерной геологии

ЭКСПОНЕНТА, ПОКАЗАТЕЛЬ СТЕПЕНИ — (exponent) Одно из названий показателя степени; если у = хn, n является экспонентой. Экспонента не обязательно должна быть целым числом; если z – натуральный логарифм х, т. е., х = еz, мы получаем у = хn = (еz)n = ezn, значение которого может… … Экономический словарь

дробный показатель степени — — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] Тематики информационные технологии в целом EN fractional exponent … Справочник технического переводчика

Источник

Свойства степеней. Действия со степенями

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Что такое степень числа

В учебниках по математике можно встретить такое определение:

«Степенью n числа а является произведение множителей величиной а n раз подряд»

a — основание степени;

n — показатель степени.

Читается такое выражение, как a в степени n

Если говорить проще то, степень, а точнее показатель степени (n), говорит нам о том, сколько раз следует умножить это число (основание степени) само на себя.

А значит, если у нас есть задачка, где спрашивают, как возвести число в степень, например, число 2 в третью степень, то она решается довольно просто:

2 — основание степени;

3 — показатель степени.

Если вам нужно быстро возвести число в степень, можно использовать наш онлайн-калькулятор. Но чтобы не упасть в грязь лицом на контрольной по математике, придется все-таки разобраться с теорией.

Рассмотрим пример из жизни, чтобы было понятно, для чего можно использовать возведение чисел в степень на практике.

Задачка про миллион: представьте, что у вас есть миллион рублей. В начале каждого года вы зарабатываете на нем еще два. Получается, что миллион каждый год утраивается. Был один, а стало три — и так каждый год. Здорово, правда? А теперь посчитаем, какая сумма у вас будет через 4 года.

Как решаем: один миллион умножаем на три (1·3), затем результат умножаем на три, потом еще на три. Наверное, вам уже стало стало скучно, потому что вы поняли, что три нужно умножить само на себя четыре раза. Так и сделаем:

Математики заскучали и решили все упростить:

Ответ: через четыре года у вас будет 81 миллион.

Таблица степеней

Здесь мы приведем результаты возведения в степень натуральных чисел от 1 до 10 в квадрат (показатель степени два) и куб (показатель степени 3).

Источник

Степени и их свойства

Данная тема очень легкая, если выучить все свойства степеней. Они, кстати, достаточно просты для запоминания.

Перед тем, как перейти в свойствам степеней, разберемся, что такое степень.

Показатель степени показывает (масло масляное) сколько раз мы умножаем основание на себя. Это очень хорошо проглядывается на следующих примерах:

Вроде бы ничего сложного нет, правда?

Что ж, время перейти к свойствам.

Свойства степеней.

1. Любое число в первой степени равно самому себе: a 1 = a.

Сразу рассмотрим примеры.

2. Любое число в нулевой степени равно 1: а 0 = 1.

3. Единица в любой степени равна 1: 1 n = 1.

Это свойство легко доказать на числовом примере.

Конечно, так никто не расписывает, а сразу пользуется готовой формулой. Вот еще несколько примеров:

3 4 · 3 9 · 3 15 = 3 4 + 9 + 15 = 3 2 8 ;

Еще парочка примеров:

(2 2 ) 3 = 2 2 · 3 = 2 6 ;

8. Чтобы возвести дробь в степень надо и числитель, и знаменатель возвести в эту степень:.

9. Степень с дробным показателем можно представить в виде корня некоторой степени по формуле (а > 0, n ≥ 2).

10. Чтобы возвести число, отличное от нуля, в степень с отрицательным показателем надо взять число, обратное данному, и возвести его в ту же степень, только без минуса: (a ≠ 0).

Это же правило работает и для дробей: (a ≠ 0, b ≠ 0).

Все эти свойства срабатывают как в одну сторону, так и в другую. Соберем их в аккуратную табличку.

Нам нужно сократить такую дробь:

Преобразуем знаменатель дроби, дважды использовав формулу по номером 5 из второго столбика таблицы.

Получившиеся частные в знаменателе запишем в виде дробей.

Получилась трехярусная дробь (можно произведение дробей в знаменателе переписать под одну черту). Нижний ярус этой дроби перейдет в верхний. Это не магия вне Хогвартса, но описывать эти преобразования текстом очень грустно. Если коротенько, то при делении на дробь мы ее переворачиваем и получается, что знаменатель заползает наверх 🙂

Переходим к финалу. Преобразуем знаменатель по свойству 7 из второго столбика таблицы (снова) и, наконец-таки, сокращаем дробь!

Источник

Числа. Степень числа.

То есть вместо умножения шести одинаковых множителей 5х5х5х5х5х5 пишут 5 6 и говорят «пять в шестой степени».

Действия, с помощью которых произведение равных множителей сворачивают в степень, называют возведением в степень.

В общем виде степень с основанием «a» и показателем «n» записывается так

Возвести число a в степень n – значит найти произведение n множителей, каждый из которых равен а

Если основание степени «а» равно 1, то значение степени при любом натуральном n будет равно 1. Например, 1 5 =1, 1 256 =1

Если возвести число «а» возвести в первую степень, то получим само число a: a 1 = a

Особыми считают вторую и третью степень числа. Для них придумали названия: вторую степень называют квадратом числа, третью – кубом этого числа.

-при нахождении степени положительного числа получается положительное число.

-при вычислениях нуля в натуральной степени получаем ноль.

— при вычислении степени отрицательного числа в результате может получиться как положительное число, так и отрицательное число. Это зависит от того чётным или нечётным числом был показатель степени.

Если решить несколько примеров на вычисление степени отрицательных чисел, то получится, что если мы вычисляем нечётную степень отрицательного числа, то в результате будет число со знаком минус. Так как при умножении нечётного количество отрицательных сомножителей получаем отрицательное значение.

Если же мы рассчитываем четную степень для отрицательного числа, то в результате будет положительное число. Так как при умножении чётного количества отрицательных сомножителей получаем положительное значение.

Свойства степени с натуральным показателем.

Чтобы умножить степени с одинаковыми основаниями мы основания не меняем, а показатели степеней складываем:

Чтобы разделить степени с одинаковыми основаниями основание не меняем, а показатели степеней вычитаем:

При расчетах возведения степени в степень основание не меняем, а показатели степеней умножаем друг на друга.

например: (2 3 ) 2 = 2 3·2 = 2 6

Если необходимо рассчитать возведение в степень произведения, то в эту степень возводится каждый множитель

При выполнении расчетов по возведению в степень дроби мы в данную степень возводим числитель и знаменатель дроби

Последовательность выполнения расчетов при работе с выражениями содержащими степень.

При выполнении расчетов выражений без скобок, но содержащих степени, в первую очередь производят возведение в степень, потом действия умножение и деление, и лишь потом операции сложения и вычитания.

Если необходимо вычислить выражение содержащие скобки, то сначала в указанном выше порядке делаем вычисления в скобках, а потом оставшиеся действия в том же порядке слева направо.

Очень широко в практических вычислениях для упрощения расчетов используют готовые таблицы степеней.

Источник