Что значит перевести многочлен к стандартному виду

Многочлен, его стандартный вид, степень и коэффициенты членов

После изучения одночленов переходим к многочленам. Данная статья расскажет о всех необходимых сведениях, необходимых для выполнения действий над ними. Мы определим многочлен с сопутствующими определениями члена многочлена, то есть свободный и подобный, рассмотрим многочлен стандартного вида, введем степень и научимся ее находить, поработаем с его коэффициентами.

Многочлен и его члены – определения и примеры

Определение многочлена было дано еще в 7 классе после изучения одночленов. Рассмотрим его полное определение.

Многочленом считается сумма одночленов, причем сам одночлен – это частный случай многочлена.

Рассмотрим еще определения.

Членами многочлена называются его составляющие одночлены.

Отсюда следует, что выражение вида x + y – является двучленом, а выражение 2 · x 3 · q − q · x · x + 7 · b – трехчленом.

Подобные члены многочлена – это подобные слагаемые, находящиеся в многочлене.

Многочлен стандартного вида

У всех одночленов и многочленов имеются свои определенные названия.

Многочленом стандартного вида называют многочлен, у которого каждый входящий в него член имеет одночлен стандартного вида и не содержит подобных членов.

Если того требуют обстоятельства, иногда многочлен приводится к стандартному виду. Многочленом стандартного вида считается и понятие свободного члена многочлена.

Свободным членом многочлена является многочлен стандартного вида, не имеющий буквенной части.

Степень многочлена – как ее найти?

Определение самой степени многочлена базируется на определении многочлена стандартного вида и на степенях одночленов, которые являются его составляющими.

Степенью многочлена стандартного вида называют наибольшую из степеней, входящих в его запись.

Следует выяснить, каким образом находится сама степень.

Когда многочлен записан не в стандартном виде, но нужно найти его степень, необходимо приведение к стандартному, после чего находить искомую степень.

Для начала представим многочлен в стандартном виде. Получим выражение вида:

3 · a 12 − 2 · a · b · c · a · c · b + y 2 · z 2 − 2 · a 12 − a 12 = = ( 3 · a 12 − 2 · a 12 − a 12 ) − 2 · ( a · a ) · ( b · b ) · ( c · c ) + y 2 · z 2 = = − 2 · a 2 · b 2 · c 2 + y 2 · z 2

Коэффициенты членов многочлена

Когда все члены многочлена являются одночленами стандартного вида, то в таком случаем они имеют название коэффициентов членов многочлена. Иначе говоря, их можно называть коэффициентами многочлена.

Источник

Учимся приводить многочлены к стандартному виду

В изучении темы о многочленах отдельно стоит упомянуть о том, что многочлены встречаются как стандартного, так и не стандартного вида. При этом многочлен нестандартного вида можно привести к стандартному виду. Собственно, этот вопрос и будем разбирать в данной статье. Закрепим разъяснения примерами с подробным пошаговым описанием.

Смысл приведения многочлена к стандартному виду

Немного углубимся в само понятие, действие – «приведение многочлена к стандартному виду».

Многочлены, подобно любым другим выражениям, возможно тождественно преобразовывать. Как итог, мы получаем в таком случае выражения, которые тождественно равны исходному выражению.

Привести многочлен к стандартному виду – означает замену исходного многочлена на равный ему многочлен стандартного вида, полученный из исходного многочлена при помощи тождественных преобразований.

Способ приведения многочлена к стандартному виду

Порассуждаем на тему того, какие именно тождественные преобразования приведут многочлен к стандартному виду.

Согласно определению, каждый многочлен стандартного вида состоит из одночленов стандартного вида и не имеет в своем составе подобных членов. Многочлен же нестандартного вида может включать в себя одночлены нестандартного вида и подобные члены. Из сказанного закономерно выводится правило, говорящее о том, как привести многочлен к стандартному виду:

Примеры и решения

Разберем подробно примеры, в которых приведем многочлен к стандартному виду. Следовать будем правилу, выведенному выше.

Отметим, что иногда члены многочлена в исходном состоянии уже имеют стандартный вид, и остается только привести подобные члены. Случается, что после первого шага действий не оказывается подобных членов, тогда второй шаг пропускаем. В общих случаях необходимо совершать оба действия из правила выше.

5 · x 2 · y + 2 · y 3 − x · y + 1 ,

Необходимо привести их к стандартному виду.

Решение

рассмотрим сначала многочлен 5 · x 2 · y + 2 · y 3 − x · y + 1 : его члены имеют стандартный вид, подобные члены отсутствуют, значит многочлен задан в стандартном виде, и никаких дополнительных действий не требуется.

В полученном многочлене все члены – стандартные, подобных членов не имеется, значит наши действия по приведению многочлена к стандартному виду завершены.

Приведем его члены к стандартному виду и получим:

Мы видим, что в составе многочлена имеются подобные члены, произведем приведение подобных членов:

Ответ:

Во многих задачах действие приведения многочлена к стандартному виду – промежуточное при поиске ответа на заданный вопрос. Рассмотрим и такой пример.

Решение

Приведем члены заданного многочлена к стандартному виду:

Следующим шагом приведем подобные члены:

Остается только расположить члены по убывающим степеням переменных. С этой целью мы просто переставим местами члены в полученном многочлене стандартного вида с учетом требования. Таким образом, получим:

Ответ:

Источник

Многочлен стандартного вида

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат (в правом нижнем углу экрана).

Определение многочлена

Многочлен — это сумма одночленов. Получается, что многочлен — не что иное, как несколько одночленов, собранных «под одной крышей».

Одночлен — это частный случай многочлена.

Рассмотрим примеры многочленов:

Если многочлен состоит из двух одночленов, его называют двучленом:

Многочлен — это сумма одночленов, поэтому знак «минус» относится к числовому коэффициенту одночлена. Именно поэтому мы записываем – 3×2, а не просто 3×2.

Этот же многочлен можно записать вот так:

Это значит, что каждый одночлен важно рассматривать вместе со знаком, который перед ним стоит.

Многочлен вида 10x – 3×2 + 7 называется трехчленом.

Линейный двучлен — это многочлен первой степени: ax + b. a и b здесь — некоторые числа, x — переменная.

Если разделить многочлен с переменной x на линейный двучлен x – b (где b — некоторое положительное или отрицательное число) — остаток будет только многочленом нулевой степени. То есть некоторым числом N, которое можно определить без поиска частного.

Если многочлен содержит обычное число — это число является свободным членом многочлена.

Свободный член многочлена не имеет буквенной части. Кроме того, любое числовое выражение — это многочлен. Например, вот такие числовые выражения — тоже многочлены:

Такие выражения состоят из свободных членов.

Многочлен стандартного вида

Недостаточно просто знать, что такое многочлен и что такое одночлен. Это целая алгебраическая экосистема, где у всего есть названия, определения и особенности.

Давайте разберемся, что такое многочлен стандартного вида. Многочленом стандартного вида называют многочлен, каждый член которого имеет одночлен стандартного вида и не содержит подобных членов.

Получается, что всякий многочлен можно привести к стандартному виду. Таким образом можно получить многочлен, работать с которым гораздо проще и приятнее.

К стандартному виду многочлен приводится очень просто. Нужно лишь привести в нем подобные слагаемые.

Подобные слагаемые — это подобные члены многочлена. Приведение подобных слагаемых в многочлене — приведение его подобных членов. Тут же возникает резонный вопрос: Что такое подобные члены многочлена? Это члены с одинаковой буквенной частью.

Давайте разберем на примере, как «нестандартный» многочлен приводится к стандартному виду.

Дан красавец многочлен: 3x + 5xy2 + x – xy2

Приведем подобные слагаемые. Для этого найдем все члены с одинаковыми буквенными составляющими:

Как видите, в получившемся многочлене нет подобных членов. Такой многочлен — это многочлен стандартного вида.

Степень многочлена

Многочлен может иметь степень — имеет на это полное право.

Степень многочлена стандартного вида — это наибольшая из степеней, входящих в него одночленов.

Из определения можно сделать вывод, что степень многочлена возможно определить только после приведения его к стандартному виду.

Рассмотрим на примере:

Дан многочлен 6x + 4xy2 + x + xy2

Сначала приводим многочлен к стандартному виду — для этого приводим подобные слагаемые:

Получаем многочлен стандартного вида 6x + 4xy2 + x + xy2 = 7x + 5xy2.

Отсюда делаем вывод, что многочлен 7x + 5xy2 — многочлен второй степени.

Кроме того, можно сделать вывод, что и исходный многочлен 6x + 4xy2 + x + xy2 — многочлен второй степени, поскольку оба многочлена равны друг другу.

В некоторых случаях необходимо сначала привести к стандартному виду одночлены многочлена, а затем уже и сам многочлен.

Пример:

Получившийся многочлен без труда приводим к стандартному виду. Приводим подобные слагаемые:

Коэффициенты многочлена

Коэффициенты членов многочлена — это числа, которые указаны перед переменными множителями. Если перед переменной нет числа, то коэффициент этого члена = 1.

Иными словами — коэффициенты членов многочлена — это члены многочлена, представленные в виде стандартных одночленов.

Например:

Все одночлены имеют стандартный вид. 2, 5 и 18 — коэффициенты членов данного многочлена.

Кажется, со стандартным видом многочлена все понятно. Чтобы без труда приводить любой многочлен к стандартному виду, нужно потренироваться, ведь в 7 классе только и разговоров, что о многочленах. Давайте разберем несколько примеров. Попробуйте решить их самостоятельно, сверяясь с ответами.

Задание раз. Приведите многочлен к стандартному виду и определите его степень: 4x + 6xy2 + x – xy2.

Как решаем: приведем подобные слагаемые. Для этого найдем все члены с одинаковыми буквенными составляющими:

Получаем многочлен стандартного вида: 4x + 6xy2 + x – xy2 = 5x + 5xy2.

Ответ: стандартный вид многочлена 5x + 5xy2. Данный многочлен — многочлен второй степени.

Многочлен приведен к стандартному виду.

Как решаем: приведем подобные слагаемые. Для этого найдем все члены с одинаковыми буквенными составляющими:

Разобраться в многочленах не так-то просто. В этой теме немало нюансов и подводных камней. Чтобы не запутаться в множестве похожих одно на другое определений, побольше практикуйтесь. Чтобы перейти на следующую ступень и начать выполнение арифметических действий с многочленами, важно научиться приводить многочлен к стандартному виду.

Источник

Учимся приводить многочлены к стандартному виду.

Изучая начальные сведения о многочленах, мы сказали, что имеют место как многочлены стандартного вида, так и не стандартного. Там же мы отметили, что можно любой многочлен привести к стандартному виду. В этой статье мы для начала выясним, какой смысл несет в себе эта фраза. Дальше перечислим шаги, позволяющие преобразовать любой многочлен в стандартный вид. Наконец, рассмотрим решения характерных примеров. Решения будем описывать очень подробно, чтобы разобраться со всеми нюансами, возникающими при приведении многочленов к стандартному виду.

Навигация по странице.

Что значит привести многочлен к стандартному виду?

Сначала нужно четко понимать, что понимают под приведением многочлена к стандартному виду. Разберемся с этим.

Многочлены, как и любые другие выражения, можно подвергать тождественным преобразованиям. В результате выполнения таких преобразований, получаются выражения, тождественно равные исходному выражению. Так выполнение определенных преобразований с многочленами не стандартного вида позволяют перейти к тождественно равным им многочленам, но записанным уже в стандартном виде. Такой переход и называют приведением многочлена к стандартному виду.

Итак, привести многочлен к стандартному виду – это значит заменить исходный многочлен тождественно равным ему многочленом стандартного вида, полученным из исходного путем проведения тождественных преобразований.

Как привести многочлен к стандартному виду?

Давайте поразмыслим, какие преобразования нам помогут привести многочлен к стандартному виду. Будем отталкиваться от определения многочлена стандартного вида.

По определению каждый член многочлена стандартного вида является одночленом стандартного вида, и многочлен стандартного вида не содержит подобных членов. В свою очередь многочлены, записанные в виде, отличном от стандартного, могут состоять из одночленов в не стандартном виде и могут содержать подобные члены. Отсюда логически вытекает следующее правило, объясняющее как привести многочлен к стандартному виду:

В итоге будет получен многочлен стандартного вида, так как все его члены будут записаны в стандартном виде, и он не будет содержать подобных членов.

Примеры, решения

Рассмотрим примеры приведения многочленов к стандартному виду. При решении будем выполнять шаги, продиктованные правилом из предыдущего пункта.

Здесь заметим, что иногда все члены многочлена сразу записаны в стандартном виде, в этом случае достаточно лишь привести подобные члены. Иногда после приведения членов многочлена к стандартному виду не оказывается подобных членов, следовательно, этап приведения подобных членов в этом случае опускается. В общем случае приходится делать и то и другое.

Все члены многочлена 5·x 2 ·y+2·y 3 −x·y+1 записаны в стандартном виде, подобных членов он не имеет, следовательно, этот многочлен уже представлен в стандартном виде.

Осталось представить в стандартном виде последний из заданных многочленов . После приведения всех его членов к стандартному виду он запишется как . В нем есть подобные члены, поэтому нужно провести приведение подобных членов:

Зачастую приведение многочлена к стандартному виду является лишь промежуточным этапом при ответе на поставленный вопрос задачи. Например, нахождение степени многочлена предполагает его предварительное представление в стандартном виде.

Приведите многочлен к стандартному виду, укажите его степень и расположите члены по убывающим степеням переменной.

Сначала приводим все члены многочлена к стандартному виду: .

Теперь приводим подобные члены:

Так мы привели исходный многочлен к стандартному виду, это нам позволяет определить степень многочлена, которая равна наибольшей степени входящих в него одночленов. Очевидно, она равна 5.

Источник

Основные сведения о многочленах в алгебре

Определение многочлена

Тему многочленов начинают изучать на уроках математики в седьмом классе средней школы.

Многочлен в алгебре является суммой одночленов.

Пример, как может выглядеть многочлен:

2 x + 4 x y 2 + x + 2 x y 2

Многочлен состоит из какого-то количества одночленов, объединенных знаком сложения или вычитания.

В последнем примере также записан многочлен, состоящий из суммы одночленов.

Выражение можно править таким образом:

3 x + ( − 5 y ) + ( − 2 x )

Если скобки раскрыть, то получим многочлен:

3 x + ( − 5 y ) + ( − 2 x ) = 3 x − 5 y − 2 x

Когда рассматривают отдельно каждый из одночленов, учитывают его знак. В многочлене 3x − 5y − 2x знак минуса, который расположен перед 5y, относится к коэффициенту 5. Минус перед 2х имеет отношение к коэффициенту 2. Если требуется избавиться от противоречия с понятием многочлена, его можно записать в виде суммы, заменяя вычитание сложением:

3 x − 5 y − 2 x = 3 x + ( − 5 y ) + ( − 2 x )

Свободный член многочлена — обычное число в составе многочлена.

Виды многочленов

Существуют разные виды многочленов:

Одночлен является многочленом, который состоит из одного члена.

Двучленом называют многочлен, в состав которого включено два члена.

Трехчлен — многочлен с тремя членами.

Русским словом одночлен обозначают следующие простые выражения:

13 p 2 t − 3 p t 2 + 3 t 3

Коэффициенты членов многочлена

Коэффициенты членов многочлена являются числами, которые записаны перед переменными множителями.

В том случае, когда число перед переменной отсутствует, коэффициент такого члена равен единице.

Здесь каждый из одночленов представлен в стандартном виде. Числа 2, 5, 18 являются коэффициентами членов этого многочлена.

Многочлен стандартного вида

Как и одночлен, многочлен можно записать в стандартном виде. Итогом преобразований является упрощенный многочлен, что существенно облегчает решение задач. В процессе требуется привести подобные слагаемые.

Подобные члены многочлена — подобные слагаемые в этом многочлене, обладающие идентичной буквенной частью.

Привести подобные члены многочлена — значит, привести подобные слагаемые в этом многочлене.

В качестве примера можно рассмотреть многочлен и привести его к стандартному виду:

2 x + 4 x y 2 + x − x y 2

2 x + 4 x y 2 + x − x y 2 = 3 x + 3 x y 2

Результатом действий является многочлен стандартного вида, то есть такой, в котором отсутствуют подобные члены.

Как и в случае с одночленом, многочлен характеризуется определенной степенью. Для того чтобы ее вычислить, нужно записать многочлен в стандартном виде. Далее требуется определить тот одночлен, который обладает максимальной степенью.

Применительно к предыдущему примеру, многочлен 2 x + 4 x y 2 + x − x y 2 был приведен к стандартному виду, то есть:

Степень многочлена стандартного вида — наибольшая из всех степеней одночленов, которые входят в состав многочлена.

В некоторых задачах перед тем, как определить степень многочлена, необходимо привести к стандартному виду одночлены, входящие в его состав. Затем можно записать непосредственно сам многочлен в стандартном виде.

3 x x 4 + 3 x x 3 − 5 x 2 x 3 − 5 x 2 x

Заметим, что в состав данного многочлена входят одночлены, не приведенные к стандартному виду. На первом шаге следует привести эти одночлены:

3 x x 4 + 3 x x 3 − 5 x 2 2 x 3 − 5 x 2 x = 3 x 5 + 3 x 4 − 5 x 5 − 5 x 3

Далее многочлен, который получился в результате, можно привести к стандартному виду путем приведения его подобных членов. Заметим, что 3 x 5 и − 5 x 5 являются подобными членами. Другие подобные члены отсутствуют. Таким образом:

Разберем другой пример:

3 a b + 4 c c + a b + 3 c 2

Попробуем записать этот многочлен в стандартном виде. В первую очередь можно привести к стандартному виду одночлен 4cc. В результате:

3 a b + 4 c 2 + a b + 3 c 2

Заметим, что после преобразований появились подобные члены, которые можно привести:

Примеры решения задач

Дан многочлен, который необходимо привести к формуле стандартного вида:

4 x 2 − 4 y − x 2 + 17 y – y

Заметим, что многочлен обладает следующими подобными членами:

Приведем подобные члены:

4 x 2 − 4 y − x 2 + 17 y – y = 3 x 2 + 12 y

В процессе приведения подобных членов удобно использовать скобки. Подобные члены следует выделить скобками, а далее совместить выражения в скобках, используя знак сложения.

4 x 2 − 4 y − x 2 + 17 y – y = ( 4 x 2 − x 2 ) + ( − 4 y + 17 y − y )

Остается привести подобные члены, которые заключены в скобках:

4 x 2 − 4 y − x 2 + 17 y – y = ( 4 x 2 − x 2 ) + ( − 4 y + 17 y − y ) = ( 3 x 2 ) + ( 12 y )

Затем можно раскрыть скобки:

4 x 2 − 4 y − x 2 + 17 y – y = ( 4 x 2 − x 2 ) + ( − 4 y + 17 y − y ) = ( 3 x 2 ) + ( 12 y ) = 3 x 2 + 12 y

Необходимо записать многочлен в стандартном виде:

12 x 2 − 9 y − 9 x 2 + 6 y + y

Подобные слагаемые целесообразно заключить в скобки. Затем их можно объединить, используя знак плюса:

12 x 2 − 9 y − 9 x 2 + 6 y + y = ( 12 x 2 − 9 x 2 ) + ( − 9 y + 6 y + y )

Выполним вычисления простого типа:

12 x 2 − 9 y − 9 x 2 + 6 y + y = ( 12 x 2 − 9 x 2 ) + ( − 9 y + 6 y + y ) = ( 3 x 2 ) + ( − 2 y )

Раскроем скобки и получим:

12 x 2 − 9 y − 9 x 2 + 6 y + y = ( 12 x 2 − 9 x 2 ) + ( − 9 y + 6 y + y ) = ( 3 x 2 ) + ( − 2 y ) = 3 x 2 − 2 y

Имеется некий многочлен, который необходимо привести к стандартному виду и определить его степень.

4 x + 6 x y 2 + x – x y 2

В первую очередь следует привести подобные слагаемые путем определения всех членов, обладающих одинаковой буквенной частью:

В результате получим:

4 x + 6 x y 2 + x – x y 2 = 5 x + 5 x y 2

Требуется привести многочлен к стандартному виду:

Приведем каждый одночлен к стандартному виду:

Ответ: x 4 + x 2 y 3

Нужно привести многочлен к стандартному виду, а также определить его степень:

Обнаружив все члены, которые обладают идентичной буквенной частью, приведем подобные слагаемые:

Источник