Что значит перестановка множителей
Математика. 4 класс
Конспект урока
Математика, 4 класс
Урок № 40. Перестановка и группировка множителей
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:
— что такое перестановка и группировка множителей?
— какие есть способы перестановки и группировки множителей?
Перестановка – изменение, перемещение порядка следования множителей в записи.
Группировка – объединение множителей для удобного способа вычисления произведения.
Основная и дополнительная литература по теме урока:
2. Моро М. И., Волкова С. И. Математика. Рабочая тетрадь 4 класс. Часть 2. М.; Просвещение, 2016. – с.16
3. Чекин А. Л. Математика. 3 класс. Ч.1. М.: Академкнига/Учебник, 2014. – с.88
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Итак, мы знаем, что от перестановки множителей произведение не изменяется.
Это свойство также справедливо для трёх и более чисел. Рассмотрим на примере. Дано произведение трёх множителей 5 • 4 • 2. Вычислим произведение: пять умножим на 4, получится 20, 20 умножим на 2, получится 40.
5 • 4 • 2 = 20 • 2 = 40
Переставим местами в этой записи множители 5 • 2 • 4 и найдем значение этого выражения: 5 умножим на 2, получится 10, 10 умножим на 4, получится 40. Результат не изменился.
Значит, множители в произведении можно переставлять как угодно, результат от этого не изменится.
5 • 2 • 4 = 10 • 4 = 40
При умножении числа на произведение можно сначала число умножить на первый множитель, а полученный результат умножить на второй множитель.
Поменяем местами левую и правую части равенства, а также уберем необязательные скобки в левой части, то второе свойство умножения можно сформулировать по другому. Два соседних множителя можно заменить их произведением.
Это означает, что при вычислении произведения нескольких чисел можно сгруппировать соседние множители и вычислить их произведение с начала.
Посмотрим, как можно использовать эти свойства умножения при вычислении значений выражений. Например, надо узнать произведение трёх чисел 25, 7 и 4. Если выполнять вычисления по порядку, то сначала нам нужно будет 25 • 7. В результате получится трехзначное число. И потом это трехзначное число умножить на 4, что делать гораздо сложнее.
Обрати внимание, что если 25 • 4, то получится 100. Это число, умножать на которое легко и быстро. Поэтому внесем изменения, чтобы произведение чисел 25 • 4 вычислялось первым. Согласно первому свойству умножения, мы можем переставить местами множители 25 и 7. От перестановки множителей произведение не изменится, а затем сгруппировать множители 25 и 4 и вычислить их произведение. Найти произведение чисел 7 и 100 не составит особого труда. Мы легко получаем результат 700.
25 • 7 • 4 = 7 • (25 • 4) = 7 • 100 = 700
Теперь посмотрим, каким образом можно найти произведение четырех чисел 50, 9, 2 и 8, используя знакомые нам свойства умножения.
Используя первое свойство умножения, поменяем местами множители 9 и 2.
Используя второе свойство умножения, сгруппируем соседние множители 50 и 2, а также 9 и 8. Вычислим соответствующие произведения. Теперь мы легко найдем результат, умножив 72 на 100. Получим 7200.
50 • 9 • 2 • 8 = 50 • 2 • 9 • 8 = 100 • 72 = 7200
Задания тренировочного модуля:
1. Вставьте пропущенные числа в решение выражения:
4 • 500 • 6 • 2 = 4 •___ • ___• 2.
Правильный ответ: 500; 2.
2. Распределите математические записи по группам. Перенесите их в соответствующие столбики.
Урок математики во 2 классе по теме «Перестановка множителей.»
Онлайн-конференция
«Современная профориентация педагогов
и родителей, перспективы рынка труда
и особенности личности подростка»
Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику
Выбранный для просмотра документ Технологическая карта урока математики по теме «Перестановка множителей».docx
Демонстрационный урок математики во 2-а классе
Технологическая карта урока математики
во 2 классе по теме «Перестановка множителей»
Тема урока : Перестановка множителей.
Цель: создание условий для достижения учащимися образовательных результатов:
— личностных: 1) положительно относиться к школе, учению; проявлять познавательные потребности и учебные мотивы; соблюдать организованность, дисциплинированность на уроке.
2) проявлять к собеседнику внимание и терпение, умение выполнять самооценку своей деятельности.
Познавательные УУД: добывать новые знания, находить необходимую информацию, перерабатывать информацию (анализ, сравнение,)представленную в разных формах.
— предметных: понимать, что такое «переместительное свойство умножения», уметь его применять, закрепить смысл действия умножения, формировать вычислительные навыки устного счета.
знакомство учащихся с переместительным свойством умножения на конкретных примерах;
формировать умение применять его на практике; закрепить смысл умножения;
развитие математической речи на основе использования изучаемой закономерности; развивать вычислительные навыки, мыслительные операции сравнения, классификации;
Методы и формы обучения : Объяснительно-иллюстративный; индивидуальная, фронтальная, парная.
Приемы организации учебной деятельности учащихся: поиск нового знания посредством собеседования и парной работы; самостоятельная работа с педагогическим сопровождением тех учеников, которые в этом нуждаются
Приём: высказывание добрых пожеланий учащимся
-Нас звонок собрал всех в класс,
Урок математики у нас.
Будем думать, рассуждать.
Нам пора урок начать.
Хотите новое узнать? (Да)
Будьте все, внимательны активны и старательны.
— Откройте тетради и запишите число и классная работа.
Высказывают добрые пожелания друг другу.
Записывают дату, вид работы.
Уметь совместно договариваться о правилах поведения общения в школе и следовать им.
-Посмотрите на числовые выражения
-Найдите лишнее выражение.
-Почему вы выбрали именно третье выражение?
-Что общего во всех выражениях?
-Каким действием можно заменить сумму одинаковых слагаемых?
— представьте суммы виде произведения и найдите значения.
— Проверка со слайда (слайд)
-Из чего состоит произведение?
-Что получается в результате действия умножения?
Перестановка и группировка множителей
Урок 34. Математика 4 класс ФГОС
В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам
Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобрев в каталоге.
Получите невероятные возможности
Конспект урока «Перестановка и группировка множителей»
А вы знаете, ребята, оказывается, в числовых выражениях, состоящих из нескольких множителей, числа могут прыгать, меняться местами, становиться парами. В общем, делают то, что им удобно.
И я сейчас расскажу вам о том, как можно выполнять перестановку и группировку множителей в числовых выражениях для того, чтобы удобно было находить их значения.
Но сначала давайте вспомним свойства умножения.
35 · 9 · 2 = 35 · 2 · 9
Вы догадались, какое это свойство? Конечно, переместительное! Для удобства вычисления множители переставили, поменяли местами.
А вот сейчас какое свойство применяется?
26 · 8 · 5 = 26 · (8 · 5)
Я думаю, что вы помните – это сочетательное свойство. Для удобства вычисления два соседних множителя заменили их произведением. То есть, как бы сгруппировали эти множители.
А сейчас я хочу показать вам вот такое числовое выражение:
Видите, в этом выражении только перестановки или только группировки множителей недостаточно для того, чтобы выполнить вычисление легко, без затруднений. Здесь нужно применить оба эти свойства умножения.
Так-так, надо подумать. Двадцать пять на четырнадцать умножать совсем неудобно. Если двадцать пять умножать на пять – тоже не очень удобное для дальнейшей работы число получится – сто двадцать пять.
А вот если двадцать пять умножить на четыре, получится сто. А любое число умножить на сто очень просто. И при умножении четырнадцати на пять тоже получится круглое число – семьдесят. Поэтому, переставив числа вот в таком порядке и сгруппировав их, мы получим числовое выражение, значение которого легко найти, выполнив вычисления в уме.
25 · 14 · 5 · 4 = (25 · 4) · (14 · 5) = 100 · 70 = 700
Правда, ведь так вычислять гораздо удобнее?
А теперь посмотрим вот на такое числовое выражение:
Я надеюсь, вы уже поняли: для того, чтобы умножение выполнить без особых затруднений, надо переставить и сгруппировать множители так, чтобы результаты в скобках были круглыми числами. Или хотя бы один из результатов.
Чтобы круглым получилось произведение с числом девятнадцать, вторым множителем может быть только число десять. И при умножении пятнадцати на четыре тоже получится круглое число. Это нам и надо.
10 · 15 · 4 · 19 = (10 · 19) · (15 · 4) = 190 · 60 = 11 400
Выполняем перестановку и группировку. Первое произведение равно ста девяноста, второе – шестидесяти. Перемножаем эти числа. Произведение равно одиннадцати тысячам четырёмстам.
А теперь попробуйте сами найти значение вот этих числовых выражений удобным способом.
Ну что, справились с заданием? Не всё получилось? Давайте проверять.
В первом выражении можно переставить и сгруппировать множители вот так:
9 · 6 · 5 · 3 = (9 · 3) · (6 · 5) = 27 · 30 = 810
При этом во второй скобке получается круглое число, и мы без особого труда умножим двадцать семь на тридцать.
Во втором выражении удобнее переставить и сгруппировать множители вот так:
2 · 10 · 35 · 8 = (2 · 35) · (10 · 8)
2 · 10 · 35 · 8 = (10 · 8) · (2 · 35)
На результат в данных выражениях это не влияет. Выполняем вычисления.
2 · 10 · 35 · 8 = (10 · 8) · (2 · 35) = 80 · 70 = 5 600
И в первой, и во второй скобках получились круглые числа, которые легко перемножить.
45 · 8 · 2 · 4 = (45 · 2) · (8 · 4) = 90 · 32 = 2 880
А вот последнее, четвёртое выражение… Как ни старайся, при решении этого выражения ни перестановка, ни группировка множителей нам не поможет, так как в нём нет ни одной пары множителей, при умножении которых получится круглое число. Так что это выражение надо будет решать, записывая вычисления столбиком.
Ну вот и всё, о чём я сегодня с вами хотела поговорить.
Не забывайте, ребята:
Если числовое выражение состоит из нескольких множителей, можно выполнить перестановку и группировку этих множителей так, чтобы вычисление было удобно выполнять. Такой способ целесообразно применять в том случае, если при умножении хотя бы одной пары множителей получится круглое число.
Ну а теперь я прощаюсь с вами, ребята! Удачной работы!
Законы математики
Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).
Переместительный закон сложения
Начнем изучать основные законы математики со сложения натуральных чисел.
Переместительный закон сложения
От перестановки мест слагаемых сумма не меняется. С помощью переменных его можно записать так:
m + n = n + m
Переместительный закон сложения работает для любых чисел.
Если прибавить шестерку к двойке — получим восьмерку. И наоборот, прибавим двойку к шестерке — снова получим восьмерку. Это доказывает справедливость переместительного закона сложения.
Приведем пример с весами, которые используют продавцы в магазинах.
Если мы положим на одну чашу весов 3 килограмма конфет, а на другую — такие же 3 килограмма конфет, то стрелка весов будет на нейтральной позиции. Это говорит нам о том, что чаши действительно весят одинаково.
При этом неважно, как будут лежать конфеты, в каком порядке. Если перемешать конфеты в пакете, как шары в лотерейном мешке — их вес не изменится и будет по-прежнему 3 килограмма. От перестановки мест конфет их сумма, то есть вес, не меняется.
Поэтому, между выражениями 8 + 2 и 2 + 8 можно поставить знак равенства. Это значит, что их сумма равна:
Формула переместительного закона для обыкновенных дробей:
Чтобы сложить две дроби нужно сложить числители, а знаменатель оставить прежним. Вот так:
Сочетательный закон сложения
Сочетательный закон сложения помогает группировать слагаемые для удобства их вычислений.
Сочетательный закон сложения: два способа
Чтобы лучше запомнить суть этого закона, просто выбирайте формулировку, которая вам больше нравится.
Рассмотрим сумму из трех слагаемых:
Чтобы вычислить это выражение, можно сначала сложить числа 1 и 3 и к полученному результату прибавить 4. Чтобы было удобнее, можно сумму 1 и 3 взять в скобки — так мы поймем, что ими нужно заняться в первую очередь:
Или по-другому: сложим числа 3 и 4 и к результату прибавим 1:
В обоих случаях получается один и тот же результат — что и требовалось доказать.
Между выражениями (1 + 3) + 4 и 1 + (3 + 4) можно поставить знак равенства, так как они равны одному и тому же значению:
Отразим сочетательный закон сложения с помощью переменных:
(a + b) + c = a + (b + c)
Формула сочетательного закона для обыкновенных дробей:
Например, если к сумме одной седьмой и трёх седьмых прибавить четыре седьмых, то в результате получим восемь седьмых.
Переставим скобки — к одной седьмой прибавим сумму трёх седьмых и четырех седьмых. И снова ответ будет восемь седьмых.
Значит, сочетательный закон справедлив и для обыкновенных дробей.
Переместительный закон умножения
С каждым новым правилом решать задачки по математике все интереснее.
Переместительный закон умножения
От перемены мест множителей произведение не меняется. То есть, если множимое и множитель поменять местами — их произведение никак не изменится.
Проверим, действительно ли это так. Умножим пятерку на двойку, а потом наоборот:
В обоих случаях получили один ответ — значит между выражениями 5 * 2 и 2 * 5 можно поставить знак равенства.
Переместительный закон умножения с помощью переменных выглядит так:
a * b = b * a
Сочетательный закон умножения
Рассмотрим еще один полезный закон в математике.
Сочетательный закон умножения
Если выражение состоит из нескольких сомножителей, то их произведение не зависит от порядка действий.
Другими словами, умножайте числа в любом порядке — как вам больше нравится.
Это выражение можно вычислить в любом порядке. Давайте сначала перемножим числа 2 и 3, а полученный результат умножим на 4:
А теперь по-другому: перемножим числа 3 и 4, а результат умножим на 2:
Тот же ответ! Значит между выражениями (2 * 3) * 4 и 2 * (3 * 4) можно поставить знак равенства, так как они равны одному значению.
Для любых натуральных чисел a, b и c верно равенство:
a * b * с = (a * b) * с = a * (b * с)
Пример
Вычислить: 5 * 6 * 7 * 8.
Это выражение можно вычислять в любом порядке. Вычислим слева направо:
Распределительный закон умножения
Для умножения есть еще один закон — распределительный. На математике в 6 классе он звучит так:
Распределительный закон умножения
То есть при помощи распределительного закона умножения можно умножить сумму на число и число на сумму. Проверим на примере:
Сначала выполним действие в скобках:
В главном выражении (3 + 5) * 2 заменим выражение в скобках на восьмерку:
Получили ответ 16. Этот же пример можно решить с помощью распределительного закона умножения. Для этого каждое слагаемое в скобках, нужно умножить на 2, а потом сложить полученные результаты:
Отразим распределительный закон умножения с помощью переменных:
(a + b) * c = a * c + b * c
Выражение в скобках (a + b) — это множимое. Тогда переменная с — множитель, так как они соединены знаком умножения.
Из переместительного закона умножения мы знаем, что от перемены мест множимого и множителя произведение не изменится.
Если множимое (a + b) и множитель c поменять местами, то получим выражение c * (a + b). Тогда получится, что мы умножаем переменную c на сумму (a + b). Для такого умножения можно применять распределительный закон умножения. Переменную c можно умножить на каждое слагаемое в скобках:
c * (a + b) = c * a + c * b
Пример 1
Умножим пятерку на каждое слагаемое в скобках и сложим полученные результаты:
5 * (3 + 2) = 5 * 3 + 5 * 2 = 15 + 10 = 25
Пример 2
Найти значение выражения 2 * (5 + 2).
Умножим двойку на каждое слагаемое в скобках и сложим полученные результаты:
2 * (5 + 2) = 2 * 5 + 2 * 2 = 10 + 4 = 14
Если в скобках не сумма, а разность, то сначала нужно умножить множимое на каждое число, которое в скобках. А после из полученного первого числа вычесть второе число.
Пример 3
Умножим четверку на каждое число в скобках. Из полученного первого числа вычтем второе число:
4 * (6 − 2) = 4 * 6 − 4 * 2 = 24 − 8 = 16
Распределительный закон умножения для суммы обыкновенных дробей:
Распределительный закон умножения для разности обыкновенных дробей:
Проверим справедливость этого закона:
Посчитаем, чему равна левая часть равенства.
Теперь посчитаем, чему равна правая часть равенства.
Так мы доказали справедливость распределительного закона.
Задания для самопроверки
Давайте потренируемся! Решите примеры и сравните с ответами — только чур, не подглядывать 🙂
Задание 1. Найти значение выражения: 8 * (1 + 6).
Задание 2. Применить распределительный закон умножения: 2 * (9 + 5).
Задание 3. Решить в порядке выполнения действий: 3 * (6 + 4) + 7 * (8 + 2).
Задание 4. Решить выражение: 4 * (5 + 4) + 9 * (3 + 2).
Задание 5. Применить распределительный закон умножения: 13 * (3 + 8) + 5 * (4 + 2)
Задание 6. Какое из действий (умножение, деление, сложение или вычитание) нужно выполнить последним ((20 − 1) * 12 + 30) : 3?
Задание 7. В смартфоне 32 гб памяти. Какое количество приложений можно установить, если одно занимает 1,2 гб?
Задание 8. Верно ли равенство: 8 * 5 = 49?
Математика. 2 класс
Конспект урока
Математика, 2 класс
Урок № 52. Переместительное свойство умножения
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:
Компоненты умножения: первый множитель, второй множитель.
Результат умножения – произведение.
Переместительное свойство умножения – от перестановки мест множителей произведение не изменяется. В общем виде переместительное свойство умножения записывают так: a • b = b • a.
Обязательная литература и дополнительная литература:
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Рассмотрите выражения. Выполните вычисления устно, используя таблицу умножения.
Проверьте, 3 • 2= 6, 6 • 4 = 24, 3 • 5 = 15
А теперь в каждом произведении поменяйте множители местами и найдите значение получившихся произведений, заменив их суммой одинаковых слагаемых.
4 • 6 = 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 24
Множители поменяли местами. Произведения не изменились, они равны в каждой паре равенств.
Это переместительное свойство умножения. Если множители поменять местами, произведение не изменится. Оно записывается так: a + b = b + a.
Составим равенства по рисунку и найдем их значение.
6 • 3 = 18. Так как в каждом ряду 6 яблок одного цвета и таких рядов 3.
3 • 6 = 18. Так как 3 столбца яблок разного цвета и таких столбцов 6.
Получили равные произведения, хотя множители поменяли местами.
Составим равенства к следующему рисунку и найдем значение выражений.
5 • 2 = 10. Так как 2 ряда по 5 треугольников.
2 • 5 = 10. Так как 5 столбцов по 2 треугольника в каждом. Множители поменяли местами. Сравним произведения. Они одинаковые.
Составим равенства к этому рисунку.
На рисунке 2 ряда вазочек, по 3 вазочки в каждом. Получаем равенство.
А можем рассуждать по-другому. 3 столбца вазочек, по 2 вазочки в столбце. Составляем равенство. 2 • 3 = 6. Множители поменяли местами. Произведения не изменились.
Решим задачу. В школьном саду 3 ряда кустов малины, по 6 кустов в каждом ряду. Сколько всего кустов малины в школьном саду?
Для решения выбираем действие умножение, так как неизвестно общее число кустов.
Сравним с решением другой задачи.
В школьной столовой 6 рядов столов, по 3 стола в каждом ряду. Сколько всего столов в школьной столовой?
Для решения задач выбрали действие умножение. Множители поменяли местами. Произведения одинаковые.
Но в первой задаче большее число умножали на меньшее. А во второй задаче, наоборот, меньшее на большее. В математике удобнее большее число умножать на меньшее. Для этого используют переместительное свойство умножения.
Переместительное свойство умножения – полезное правило, не сложное для запоминания. Свойство позволяет выбирать более удобный способ умножения чисел.
Ответим на вопрос, поставленный в начале урока.
От перестановки множителей произведение не меняется. Это переместительное свойство умножения. В общем виде оно записывается так:
Переместительное свойство умножения используется для удобства вычислений.
Выполним несколько тренировочных заданий.
1. Используя переместительное свойство умножения, найдите значение второго выражения в каждой паре, зная значение первого.
В каждой паре значения выражений будут одинаковыми, так как множители поменяли местами.