Что значит непристрелянный револьвер
Что значит непристрелянный револьвер
Задание 4. Ковбой Джон попадает в муху на стене с вероятностью 0,9, если стреляет из пристрелянного револьвера. Если Джон стреляет из непристрелянного револьвера, то он попадает в муху с вероятностью 0,3. На столе лежит 10 револьверов, из них только 2 пристрелянные. Ковбой Джон видит на стене муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Джон промахнётся.
Джон может промахнуться при двух несовместных событиях:
— событие А: Джон взял пристрелянный револьвер и промахнулся;
— событие В: Джон взял непристрелянный револьвер и промахнулся.
Вероятность события А равна произведению вероятности выбора пристрелянного револьвера 
на вероятность промаха из пристрелянного револьвера 
:
.
Вероятность события В равна произведению вероятности выбора непристрелянного револьвера 
на вероятность промаха из него 
:
.
Таким образом, вероятность того, что Джон промахнется, равна
.
Задание по теории вероятностей в ЕГЭ по математике впервые появилось в 2012 году. С тех пор число и разнообразие прототипов, опубликованных на сайте ФИПИ, значительно возросло. Появились задачи на сумму и произведение событий, на условную вероятность. Но если Вы еще не решали задания, в которых используются только определение вероятности и элементы комбинаторики для подсчёта вариантов, обязательно сделайте это. Иначе решение более сложных заданий окажется бесполезным.
В демонстрационных вариантах ЕГЭ 2022 года они могут встретиться под номером 11 для базового уровня и под номерами 2 и 10 для профильного уровня, а также в ОГЭ по математике в 9-ом классе.
Задачи на правила сложения и умножения вероятностей.
Правило умножения вероятностей: если A и В независимые события, то вероятность одновременного наступления обоих событий А и В, равна произведению их вероятностей.
P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A·B)
Правило умножения вероятностей для зависимых событий: вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого при условии, что первое событие произошло.
P(A·B) = P(A) · P(B/A)
Но в любом случае, правило сложения вероятностей используем там, где перед описанием события в тексте задачи можно вставить союз «или», поэтому называем его ИЛИ-правилом. Правило умножения вероятностей используем там, где перед описанием события в тексте задачи можно вставить союз «и», поэтому называем его И-правилом. Давайте посмотрим, как это работает на примере задачи о ковбое.
Пример 1
Ковбой Джон попадает в муху на стене с вероятностью 0,9, если стреляет из пристрелянного револьвера. Если Джон стреляет из непристрелянного револьвера, то он попадает в муху с вероятностью 0,2. На столе лежит 10 револьверов, из них только 4 пристрелянные. Ковбой Джон видит на стене муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Джон промахнётся.
Запишем, как могло случиться, что «Джон промахнулся».
«Ковбой схватил пристрелянный револьвер И не попал в муху, ИЛИ ковбой схватил непристрелянный револьвер И не попал в муху.»
0,4·0,1 + 0,6·0,8 = 0,04 + 0,48 = 0,52.
Мы получили ответ, а заодно вывели формулу полной вероятности для группы из двух событий. Только последнее для нас не главное, для этого типа задач вообще формулы не главное. Гораздо важнее понять и хорошо сформулировать событие, о котором спрашивается в условии задачи. Математически наше решение выглядит следующим образом.
Решение
Находим вероятности составляющих событий так, как это было описано выше:
P(С1) = 0,4; P(С2) = 0,6; P( B − /С1) = 0,1; P( B − /С2) = 0,8 и подставляем их в формулу.
P(A) = 0,4·0,1 + 0,6·0,8 = 0,04 + 0,48 = 0,52.
Теперь проверьте себя.
Задача 1
На экзамене по геометрии школьнику достаётся один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Вписанная окружность», равна 0,2. Вероятность того, что это вопрос на тему «Параллелограмм», равна 0,15. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.
Задача 2
Если гроссмейстер А. играет белыми, то он выигрывает у гроссмейстера Б. с вероятностью 0,52. Если А. играет черными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,3. Гроссмейстеры А. и Б. играют две партии, причем во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза.
«А. выиграет оба раза» означает, что А. выиграет И первый раз, И второй раз. А поскольку гроссмейстеры меняют цвет фигур, то это событие можно описать и так «А. выиграет И белыми, И черными.» Используем правило умножения в простой форме, потому что события независимы.
P(A·B) = P(A) · P(B)
0,52 · 0,3 = 0,156.
Замечание: Как мы можем судить о независимости событий? Вспоминаем всё, что знаем о самих событиях. В данном случае правила игры в шахматы таковы, что вторая партия начинается заново и её результат не зависит от исхода первой партии.
Задача 3
В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,3. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,12. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.
События A = «кофе закончится в первом автомате» и B = «кофе закончится во втором автомате» не являются несовместимыми, так как кофе может закончиться в обоих автоматах, и не являются независимыми, так как, если в одном из них кофе закончится, то во второй автомат покупатели будут обращаться чаще, и кофе в нем закончится скорее.
По условию задачи P(A) = P(B) = 0,3; P(AB) = 0,12
Способ I.
Событие «кофе останется в обоих автоматах» противоположно событию «кофе закончится хотя бы в одном из автоматов ИЛИ в первом, ИЛИ во втором, ИЛИ в обоих». Найдем вероятность этого (противоположного) события по правилу сложения вероятностей для совместимых событий.
P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A·B) = 0,3 + 0,3 − 0,12 = 0,48
Тогда искомая вероятность равна 1 − 0,48 = 0,52
Способ II.
Рассмотрим следующие события:
Событие С1 = «кофе останется в обоих автоматах»;
Событие С2 = «кофе закончится в обоих автоматах»;
Событие С3 = «кофе закончится в первом автомате И останется во втором»;
Cобытие С4 = «кофе закончится во втором автомате И останется в первом».
Эти четыре события несовместимы и хотя бы одно из них обязательно реализуется, т.е. их сумма достоверное событие, вероятность которого равна 1.
P(С1) + P(С2) + P(С3) + P(С4) = 1.
Следовательно можем найти искомую вероятность из равенства
P(С1) = 1 − P(С2) − P(С3) − P(С4),
в котором P(С2) = P(AB) = 0,12 (по условию задачи) и P(С3) = P(С4) (автоматы одинаковые).
Разберемся с событием С3. Оно является произведением события A и события B − противоположного событию В. Эти события не являются независимыми, поэтому И-правило используем с учетом условной вероятности.
P(АВ) = P(A)·P(B/A). Следовательно вероятность того, что во втором автомате закончится кофе при условии, что оно уже закончилось в первом P(B/A) = P(AB)/P(A) = 0,12/0,3 = 0,4. А вероятность того, что во втором автомате останется кофе при условии, что оно закончилось в первом P( B − /A) = 1 − P(B/A) = 1 − 0,4 = 0,6. Тогда
P(С3) = P(А B − ) = P(A)·P( B — /A) = 0,3·0,6 = 0,18.
Итак P(С1) = 1 − 0,12 − 0,18 − 0,18 = 0,52.
Замечание: Здесь формально, I способ лучше, потому что короче. Реально, кому как больше нравится. Но в любом случае, если вы умеете решать задачу разными способами, то всегда сможете сами себя проверить.
Задача 4
На рисунке изображён лабиринт. Паук заползает в лабиринт в точке «Вход«. Развернуться и ползти назад паук не может, поэтому на каждом разветвлении паук выбирает один из путей, по которому ещё не полз. Считая, что выбор дальнейшего пути чисто случайный, определите, с какой вероятностью паук придёт к выходу D.
Нарисуем путь паука к нужному выходу и возможные ответвления на этом пути.
Замечание: Предлагаю подумать, как для такой задачи Вы могли бы сделать проверку.
Использование правил сложения и умножения вероятностей в форме И/ИЛИ-правил может значительно упростить задачу, но не забывайте быть внимательными к независимости и несовместимости событий. Если при анализе событий упустить эти моменты, то можно сделать существенные ошибки.
Подобные неверные решения задач ЕГЭ по математике встречаются, в том числе, и в сети Интернет. Поэтому
Задача 5
Вероятность того, что новый сканер прослужит больше года, равна 0,98. Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна 0,87. Найдите вероятность того, что сканер прослужит меньше двух лет, но больше года.
Вопрос задачи сформулирован так, что его легче осмыслить через противоположные события. Определим их вероятности.
Пусть событие А = «сканер прослужит меньше года», его вероятность Р(А) = 1 − 0,98 = 0,2;
событие В = «сканер прослужит меньше двух лет», его вероятность Р(В) = 1 − 0,87 = 0,13.
Событие С = «сканер прослужит меньше двух лет, но больше года», о вероятности которого спрашивается в задаче, по существу означает, что сканер сломается на втором году службы. Один и тот же сканер не может сломаться одновременно и в первый, и во второй годы службы. Поэтому события А и С не совместимы, а событие В распадается на два случая: «сканер сломается на первом году службы» ИЛИ «сканер сломается на втором году службы». Таким образом, событие В является суммой двух несосвметимых событий А и C, к которым применима теорема сложения вероятностей (ИЛИ-правило):
В = А + С
P(B) = P(A) + P(C)
0,13 = 0,02 + P(C)
P(C) = 0,13 − 0,02 = 0,11.
Замечание: Конечно, 0,98 − 0,87 = 0,11 тоже правильный ответ, и, если переформулировать вопрос задачи, тоже будет правильным решением. Повторюсь, во всех задачах на вероятность главное разобраться в событиях, применяемые формулы здесь являются следствием рассуждений.
Задача 6
При изготовлении подшипников диаметром 68 мм вероятность того, что диаметр будет отличаться от заданного не больше, чем на 0,01 мм, равна 0,968. Найдите вероятность того, что случайный плдшипник будет иметь диаметр меньше, чем 67,99 мм, или больше, чем 68,01 мм.
Следующую задачу тоже можно решать разными способами, но явно лучше через противоположное событие. Попробуйте.
Задача 7
В уличном фонаре 3 лампы. Вероятность перегорания лампы в течение года равна 0,8. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.
Если известна вероятность какого-либо события А, то вероятность противоположного ему события A – определяется по формуле P( A – ) = 1 − P(A).
Так например, если вероятность перегорания лампы в течение года равна 0,8, то вероятность не перегорания в этот же период равняется 1 − 0,8 = 0,2.
Пусть событие A = «В течение года хотя бы одна лампа не перегорит». Противоположное ему событие A – = «В течение года перегорят все три лампы.»
Вероятность последнего события определяем по правилу умножения вероятностей
P( A – ) = 0,8·0,8·0,8 = 0,512 (перегорит И первая, И вторая, И третья лампы НЕЗАВИСИМО друг от друга).
Следовательно искомая вероятность P(A) = 1 − 0,512 = 0,488.
Рекомендую почитать:
Перейдите по стрелке, чтобы найти ссылки на другие задачи ЕГЭ по математике.
Что значит непристрелянный револьвер
Задание 4. Ковбой Джон попадает в муху на стене с вероятностью 0,9, если стреляет из пристрелянного револьвера. Если Джон стреляет из непристрелянного револьвера, то он попадает в муху с вероятностью 0,4. На столе лежат 10 револьверов, из них только 4 пристрелянные. Ковбой Джон видит на стене муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Джон промахнётся.
Ковбой Джон может наудачу схватить как пристрелляный, так и не пристрелянный револьвер. Так как на столе 10 револьверов и из них только 4 пристрелянные, то вероятность выбора пристрелянного револьвера равна
,
.
Известно, что если он выстреливает из пристрелянного револьвера, то попадает в цель с вероятностью 0,9, значит, вероятность такого события будет равна
,
а вероятность выбора непристрелянного револьвера и попадания из него в цель, равна
.
Если произойдет или первое или второе событие, то Ковбой Джон попадет в цель и вероятность этого события равна
,
тогда вероятность промаха
.
Что значит непристрелянный револьвер
Ковбой Джон попадает в муху на стене с вероятностью 0,9, если стреляет из пристрелянного револьвера. Если Джон стреляет из непристрелянного револьвера, то он попадает в муху с вероятностью 0,2. На столе лежит 10 револьверов, из них только 4 пристрелянные. Ковбой Джон видит на стене муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Джон промахнётся.
Джон промахнется, если схватит пристрелянный револьвер и промахнется из него, или если схватит непристрелянный револьвер и промахнется из него. По формуле условной вероятности, вероятности этих событий равны соответственно 0,4·(1 − 0,9) = 0,04 и 0,6·(1 − 0,2) = 0,48. События схватить пристрелянный или непристрелянный револьвер образуют полную группу (они несовместны и одно из них непременно наступает), поэтому, по формуле полной вероятности, Джон промахнется с вероятностью 0,04 + 0,48 = 0,52.
Приведем другое решение.
Джон попадает в муху, если схватит пристрелянный револьвер и попадет из него, или если схватит непристрелянный револьвер и попадает из него. По формуле условной вероятности, вероятности этих событий равны соответственно 0,4·0,9 = 0,36 и 0,6·0,2 = 0,12. События схватить пристрелянный или непристрелянный револьвер образуют полную группу, поэтому по формуле полной вероятности получаем: 0,36 + 0,12 = 0,48. Событие, состоящее в том, что Джон промахнется, противоположное. Его вероятность равна 1 − 0,48 = 0,52.
Задачи по терии вероятности
Задача
Ковбой Джон попадает в муху на стене с вероятностью 0,9, если стреляет из пристрелянного револьвера. Если Джон стреляет из непристрелянного револьвера, то он попадает в муху с вероятностью 0,2. На столе лежит 10 револьверов, из них только 4 пристрелянные. Ковбой Джон видит на стене муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Джон промахнётся.
0,4·0,1 + 0,6·0,8 = 0,04 + 0,48 = 0,52.
Задача 1
На экзамене по геометрии школьнику достаётся один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Вписанная окружность», равна 0,2. Вероятность того, что это вопрос на тему «Параллелограмм», равна 0,15. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.
Ответ: 0,35
Задача 2
Если гроссмейстер А. играет белыми, то он выигрывает у гроссмейстера Б. с вероятностью 0,52. Если А. играет черными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,3. Гроссмейстеры А. и Б. играют две партии, причем во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза.
«А. выиграет оба раза» означает, что А. выиграет И первый раз, И второй раз. А поскольку гроссмейстеры меняют цвет фигур, то это событие можно описать и так «А. выиграет И белыми, И черными.» Используем правило умножения в простой форме, потому что события независимы. P(A·B) = P(A) · P(B) 0,52 · 0,3 = 0,156.
Ответ: 0,156
В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,3. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,12. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.
События A = «кофе закончится в первом автомате» и B = «кофе закончится во втором автомате» не являются несовместимыми, так как кофе может закончиться в обоих автоматах, и не являются независимыми, так как, если в одном из них кофе закончится, то во второй автомат покупатели будут обращаться чаще, и кофе в нем закончится скорее. По условию задачи P(A) = P(B) = 0,3; P(AB) = 0,12
Способ I.
Событие «кофе останется в обоих автоматах» противоположно событию «кофе закончится хотя бы в одном из автоматов ИЛИ в первом, ИЛИ во втором, ИЛИ в обоих». Найдем вероятность этого (противоположного) события по правилу сложения вероятностей для совместимых событий. P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A·B) = 0,3 + 0,3 − 0,12 = 0,48 Тогда искомая вероятность равна 1 − 0,48 = 0,52
На рисунке изображён лабиринт. Паук заползает в лабиринт в точке «Вход«. Развернуться и ползти назад паук не может, поэтому на каждом разветвлении паук выбирает один из путей, по которому ещё не полз. Считая, что выбор дальнейшего пути чисто случайный, определите, с какой вероятностью паук придёт к выходу D.
Нарисуем путь паука к нужному выходу и возможные ответвления на этом пути.
Источник