Что значит неполное частное при делении
Как найти первое неполное делимое и количество цифр в частном?
В самом начале обучения навыку деления чисел дети часто допускают ошибки. Одними из самых распространенных, помимо ошибок непосредственно в совершении промежуточных вычислений, являются появление «лишних» цифр и потеря нулей в частном. Их возникновение зачастую связано с такими причинами:
Этой статьей я хочу помочь школьникам восполнить пробелы в вышеупомянутых базовых знаниях, чтобы в дальнейшем они смогли избегать ошибок при совершении действия деления в столбик.
Как найти первое неполное делимое?
Рассмотрим подробно по шагам на таком примере \( <\color
1. Смотрим, сколько разрядов в делимом и какая цифра стоит на позиции самого старшего разряда этого числа.
1. 1. Проверяем, можно ли это количество единиц этого разряда разделить на делитель так, чтобы получилось натуральное число?
1. 2. Если разделить нельзя, смотрим на количество единиц следующего разряда и проверяем, можем ли мы их разделить на делитель?
В числе 75184 всего 75 единиц разряда тысяч. 75 тысяч можно разделить на 12 – получится 6 полных тысяч, и 3 тысячи неразделенные.
2. Если можно разделить количество единиц разряда на делитель, то это количество единиц и будет первым неполным делимым.
В нашем примере это 75 тысяч.
Каждая оставшаяся цифра делимого будет участвовать в формировании остальных неполных частных, о чем подробно рассказано в уроке Деление натуральных чисел.
Как найти количество цифр в частном?
Так как первое неполное делимое в данном примере – это 75 тысяч, то есть, мы делим единицы тысяч, тогда самый старший разряд частного также будет тысячи. Значит, помимо цифры самого большого разряда, будут ещё три цифры: в сотнях, десятках и простых единицах.
Итак, чтобы узнать количество цифр в частном, нужно:
1. Найти первое неполное делимое.
2. Посчитать, сколько в делимом остальных цифр.
3. Прибавить к этому количеству единицу (цифра частного, полученная после деления первого неполного делимого).
4. Результат и будет количеством цифр в частном.
Поделим, и убедимся:
В конце хочу сказать, что определение количества цифр в частном помогают развить и укрепить очень необходимый для младших школьников навык – самоконтроль.
Насколько публикация полезна?
Нажмите на звезду, чтобы оценить!
Средняя оценка 3 / 5. Количество оценок: 17
Мерзляк 5 класс — § 19. Деление с остатком
Вопросы к параграфу
1. Каким свойством обладает неполное частное при делении с остатком?
Неполное частное — это наибольшее число, произведение которого на делитель меньше делимого.
2. Сравните остаток и делитель.
Остаток всегда меньше делителя.
3. Сформулируйте правило нахождения делимого при делении с остатком.
Чтобы найти делимое, надо делитель умножить на неполное частное и прибавить остаток.
4. Как записывают в буквенном виде правило нахождения делимого?
a = bq + r
5. В каких случаях говорят, что одно натуральное число делится нацело на другое?
Одно натуральное число делится нацело на другое, если остаток при делении равен нулю.
Решаем устно
1. Найдите числа, которых не хватает в цепочке вычислений:
2. В числе 72 560 000 зачеркнули три последних нуля. Как изменилось, увеличилось или уменьшилось, это число и во сколько раз?
72 560 000 = 72 560 — при зачёркивании трёх последних нулей число 72 560 000 уменьшилось в 1 000 раз.
3. Один насос за 1 мин перекачивает 120 л воды, а второй — 180 л. За какое время они вместе могут наполнить водой цистерну, ёмкость которой равна 6 000 л?
1) 120 + 180 = 300 (л) — перекачают два насоса вместе за 1 минуту.
2) 6 000 : 300 = 20 (минут) — потребуется двум насосам, чтобы наполнить цистерну.
4. Уменьшаемое на 129 больше вычитаемого. Чему равна разность?
Разность равна 129.
5. Делитель в 48 раз меньше делимого. Чему равно частное?
6. В первый день турист был в дороге 7 ч, а во второй — 4 ч, двигаясь с такой же скоростью, как и в первый день. Во второй день турист прошёл на 12 км меньше, чем в первый. С какой скоростью двигался турист?
1) 7 — 4 = 3 (часа) — меньше двигался турист в второй день.
2) 12 : 3 = 4 (км/ч) — скорость туриста.
Упражнения
521. Выполните деление с остатком:
522. Выполните деление с остатком:
523. 1) Найдите остаток при делении на 10 числа: 31; 47; 53; 148; 1 596; 67 389; 240 750.
2) Найдите остаток при делении на 5 числа: 14; 61; 86; 235; 2 658; 54 769; 687 903.
524. Найдите остаток при делении на 100 числа: 106; 202; 421; 836; 2 764; 100 098; 672 305; 1 306 579; 562 400.
525. Запишите остатки, которые можно получить при делении на:
526. Запишите остатки, которые можно получить при делении на:
527. Блокнот стоит 130 р. Сколько блокнотов можно купить на 700 р.?
Значит на 700 рублей можно купить 5 блокнотов и получить сдачу 50 рублей.
528. На один грузовик можно нагрузить 5 т песка. Какое наименьшее количество требуется таких грузовиков, чтобы перевезти 42 т песка?
Значит, что для того, чтобы перевести 42 тонны песка потребуется 8 + 1 = 9 грузовиков (в 8 грузовиков поместится только 40 кг песка).
Ответ: 9 грузовиков.
529. В один ящик помещается 20 кг яблок. Какое наименьшее количество надо таких ящиков, чтобы разложить в них 176 кг яблок?
Значит, для того, чтобы разложить в ящики 176 кг яблок потребуется 8 + 1 = 9 ящиков (в 8 ящиков поместиться только 160 кг яблок).
530. Заполните таблицу.
531. Найдите делимое, если делитель равен 12, неполное частное — 7, а остаток — 9.
12 • 7 + 9 = 84 + 9 = 93
532. Найдите делимое, если делитель равен 18, неполное частное — 4, а остаток — 11.
18 • 4 + 11 = 72 + 11 = 83
533. Выразите делимое через неполное частное, делитель и остаток в виде равенства а = bq + r, где а — делимое, b — делитель, q — неполное частное, r — остаток, если а = 82, b = 8.
Можно также найти значение q и r:
Равенство будет записано так:
534. Выразите делимое через неполное частное, делитель и остаток в виде равенства a = bq + r, где а — делимое, b — делитель, q — неполное частное, г — остаток, если а = 45, b= 7.
Можно также найти значение q и r:
Равенство будет записано так:
535. При каком наименьшем натуральном а значение выражения:
1) 48 + а делится нацело на 6: при а = 6, так как 46 + 6 = 54 = 6 • 9 + 0, то есть деление даёт остаток 0.
2) 65 — а делится нацело на 8 : при а = 1, так как 65 — 1 = 64 = 8 • 8 + 0, то есть деление даёт остаток 0.
3) 96 — а при делении на 9 даёт остаток 4 : при а = 2, так как 96 — 2 = 94 = 9 • 10 + 4, то есть деление даёт остаток 4.
536. При каком наименьшем натуральном а значение выражения:
1) 53 + а делится нацело на 7 : при а = 3, так как 53 + 3 = 56 = 7 • 8 + 0, то есть деление даёт остаток 0.
2) а + 24 при делении на 5 даёт остаток 2 : при а = 3, так как 3 + 24 = 27 = 5 • 5 + 2, то есть деление даёт остаток 2.
537. Катя разделила число 211 на некоторое число и получила в остатке 26. На какое число делила Катя?
Мы знаем, что правило нахождения делимого можно записать a = bq + r.
В нашем примере делимое а = 211, а остаток r = 26. Можем найти bq:
bq = а — r = 211 — 26 = 185.
Мы знаем, что остаток всегда меньше делителя, то есть r
Подберём два множителя, один из которых больше 26, а произведение которых равно 185:
Ответ: Катя делила на число 37.
538. Миша разделил число 111 на некоторое число и получил в остатке 7. На какое число делил Миша?
Мы знаем, что правило нахождения делимого можно записать a = bq + r.
В нашем примере делимое а = 111, а остаток r = 7. Можем найти bq:
bq = а — r = 111 — 7 = 104.
Мы знаем, что остаток всегда меньше делителя, то есть r
Подберём два множителя, один из которых больше 7, а произведение которых равно 104:
Ответ: Миша мог делить число 111 на числа: 8, 13, 26, 52 и 104.
539. Павел разделил число 70 на некоторое число и получил в остатке 4. На какое число делил Павел?
Мы знаем, что правило нахождения делимого можно записать a = bq + r.
В нашем примере делимое а = 70, а остаток r = 4. Можем найти bq:
bq = а — r = 70 — 4 = 66.
Мы знаем, что остаток всегда меньше делителя, то есть r
Подберём два множителя, один из которых больше 4, а произведение которых равно 66:
Ответ: Павел мог делить число 70 на числа: 6, 11, 22, 33 и 66.
540. Какое наибольшее количество понедельников может быть в году?
Невисокосный год включает в себя 365 дней, а високосный — 366 дней. Посчитаем сколько это недель:
Это значит, что если год невисокосный, то наибольшее количество понедельников может быть 53, но только при условии, что этот год начинается с понедельника.
Если год високосный, то наибольшее количество понедельников также 53, но год может начинаться либо с понедельника, либо со вторника.
Ответ: 53 понедельника.
541. В одном осеннем месяце суббот и понедельников оказалось больше, чем пятниц. Каким днём недели было девятнадцатое число этого месяца? Какой это был месяц?
Осенние месяцы: сентябрь, октябрь и ноябрь. В сентябре и ноябре по 30 дней, а в октябре — 31 день. Посчитаем сколько недель может быть в этих месяцах:
То есть в сентябре и ноябре 4 недели и 2 дня, а в октябре 4 недели и 3 дня.
По условию, суббот и понедельников в этом месяце больше, чем пятниц. Значит, это должен быть октябрь и начинаться он должен в субботу. В этом случае пятниц будет 4 штуки, а суббот и понедельников по 5 штук.
Выясним, каким днём недели будет 19-е число:
Мы выяснили, что месяц должен начинаться в субботу, значит 19-у число — это пятый день от субботы включительно. Значит 19-е число будет в среду.
Ответ: Девятнадцатое число — это суббота, а месяц — октябрь.
542. Известно, что число а — делимое, число b — делитель, причём а Правило нахождения делимого: a = bq + r.
По условию делимое а меньше делителя b. Это возможно только в том случае, если делимое равно нулю, а остаток равен самому делимому а:
Ответ: неполное частное равно 0, а остаток равен а.
543. Докажите, что последняя цифра числа а равна остатку при делении этого числа на 10.
Для того, чтобы разделить число оканчивающееся нулём на 10, надо отбросить ноль, находящийся в разряде единиц, и записать получившееся число. Например:
Мы знаем, что правило нахождения делимого: a = bq + r и при делении нацело остаток r = 0. Это значит, что правило нахождения делимого при делении на 10 числа, оканчивающегося на ноль будет записываться так:
Если же мы будет делить на 10 число не оканчивающееся нулём, то можем представить его как сумму числа, оканчивающуюся нулём и остаток:
Мы видим, что последняя цифра всегда равна остатку при делении этого числа на 10.
544. Придумайте буквенное выражение, при подстановке в которое вместо буквы любого натурального числа получится числовое выражение, значение которого:
1) при делении на 3 даёт в остатке 1
2) при делении на 8 даёт в остатке 3
3) при делении на 11 даёт в остатке 7
Упражнения для повторения
545. Упростите выражение и найдите его значение:
1) 14а • 6b, если а = 2, b = 3
84аb = 84 • 2 • 3 = 84 • 6 = 504
2) 25m • 3n, если m = 8, n = 1
75mn = 75 • 8 • 1 = 75 • 8 = 600
3) 5х + 8х — 3х, если x = 17
5х + 8х — 3х = 13x — 3x = 10x
4) 16y — y + 5у, если у = 23
16y — y + 5у = 15y + 5y = 20y
546. Периметр прямоугольника равен 54 см, а его ширина на 3 см меньше длины. Найдите стороны прямоугольника.
Пусть ширина прямоугольника равна х см, тогда длина прямоугольника — (х + 3) см. По условию, периметр прямоугольника 54 см. Сумма длины и ширины прямоугольника равна половине его периметра.
х + (х + 3) = 54 : 2
х + х + 3 = 27
2х + 3 = 27
2х = 27 — 3
2х = 24
х = 24 : 2
х = 12 (см) — ширина прямоугольника.
х + 3 = 12 + 3 = 15 (см) — длина прямоугольника.
Ответ: длина прямоугольника 15 см, а ширина — 12 см.
Задача от мудрой совы
547. Известно, что верёвка сгорает за 4 мин и горит при этом неравномерно. Как с помощью:
1) одной верёвки отмерить 2 мин
Можно поджечь эту верёвку одновременно с друх сторон. Тогда эта верёвка сгорит ровно за половину отведённого времени 4 : 2 = 2 (минуты).
2) двух таких верёвок отмерить 3 мин?
Можно поджечь одновременно первую веревку с двух сторон, а вторую с одной стороны.
Когда же первая верёвка догорит (через 2 минуты) вторую верёвку надо поджечь с другой стороны.
Скорость сгорания её остатка уменьшится в 2 раза и она догорит через 2 : 2 = 1 (минуту).
В результате вторая верёвка догорит через 3 минуты от начала эксперимента.
Урок 20 Бесплатно Деление с остатком
На этом уроке продолжим разговор о делении натуральных чисел.
Вспомним название компонентов арифметической операции деления и установим, по каким правилам находится каждое из них.
Познакомимся с делением натуральных чисел с остатком, выясним алгоритм выполнения такой математической операции.
Определим компоненты арифметической операции деления с остатком.
Подробно рассмотрим взаимосвязь между компонентами деления с остатком и закрепим полученные знания, решая текстовые задачи по теме.
Деление натуральных чисел
О математической операции деления вы уже имеете общее представление.
Уроком ранее выяснили, что деление- это арифметическая операция, с помощью которой по произведению и одному из множителей находят другой множитель.
Другими словами, деление- это математическая операция, противоположная умножению.
Разделить число а на число b— это значит найти такое число с, при умножении которого на число b, получается число а.
а ÷ b = с
а = с ∙ b
Рассмотрим данное утверждение на примере.
На детский праздник приготовили пирожные.
Всего на празднике присутствовало 6 детей, каждому ребенку досталось по 2 пирожных.
Определим сколько пирожных для детей приготовили на праздник.
Ответ: 12 пирожных.
На детский праздник приготовили 12 пирожных.
Всего на празднике присутствовало 6 детей, каждого ребенка угостили одинаковым количеством пирожных.
Выясним сколько пирожных досталось каждому ребенку.
Ответ: каждому ребенку досталось по 2 пирожных.
Делимое- это число, которое делят.
Делитель- это число, на которое делят делимое.
Частное (от слова «часть»)- результат арифметической операции деления (число, которое получается в результате деления одного числа на другое).
Для записи деления используют математический знак в виде двух точек, как двоеточие «:».
У меня есть дополнительная информация к этой части урока!
Существуют и другие равносильные обозначения знака деления.
Например, символ обелюс «÷», по виду представляет собой сочетание двух знаков: знака минус и двоеточия (горизонтальная черта как будто делит двоеточие пополам).
Считают, что данный знак был введен древнегреческим философом, библиотекарем Зенодотом Эфесским.
Ставили этот знак на полях рукописей напротив тех частей текста, которые вызывали какие-либо сомнения или не соответствовали действительности.
Впервые в математике для обозначения операции деления символ обелюс применил в своих научных трудах немецкий математик Йохан Ран в 1659 г.
Долгое время в разных странах обелюсу присваивались иные значения.
Например, в одних странах этот символ применяли в качестве знака разности, в других странах использовали его для обозначения числовых диапазонов, числовых промежутков.
Возможно вы встречали в записях математических выражений знак в виде косой черты «/» или горизонтальной черты « — », эти символы тоже используют в качестве знака деления.
Впервые косую черту в качестве знака деления применил в 1631 г. английский математик Уильям Отред.
По сегодняшний день часто используют символ «/» для записи формул.
Запись операции деления с помощью данного символа выглядит так:
а / b— значит «число а разделить на b».
Нередко в математических выражениях используют горизонтальную черту, изображая знак деления.
Имея такое символьное разнообразие, знак деления не носит специального названия
Знак деления располагается между делимым и делителем.
Делимое всегда находится слева от знака делить, а делитель- справа.
В общем виде операция деления выглядит так:
Часто, решая различного рода задачи, приходится сталкиваться с ситуацией, когда один из компонентов операции деления неизвестен и его необходимо найти.
Определим, по каким правилам можно найти каждый компонент операции деления.
1. Так как частное- это результат, полученный при выполнении деления, то очевидно, что частное находят с помощью данной арифметической операции.
Зная делимое и делитель, можно найти частное.
Дима купил 12 разноцветных воздушных шариков.
Каждому своему другу он подарил по 2 шарика.
Сколько друзей получили шарики?
12 шариков (общее количество шариков)- делимое.
2 шарика (число шариков, которое достанется каждому другу)- делитель.
Ответ: 6 друзей получили воздушные шарики.
2. Делимое- это общее количество чего-либо, число, которое делят на части.
Если неизвестно делимое число, то необходимо перемножить два известных компонента деления: делимое и частное.
Правило: чтобы найти неизвестное делимое, нужно частное умножить на делитель или делитель умножить на частное.
Вова должен решить некоторое количество задач по математике за 3 дня.
Он собирался решать по 5 задач в день.
Сколько всего задач ему необходимо решить за три дня?
5 задач (число задач, которые необходимо решать каждый день)- делитель.
3 дня (число промежутков времени, за которое необходимо решить все задачи)- частное
Ответ: 15 задач нужно решить Вове.
3. Делитель- это число, на которое делят делимое.
Если исходное делимое число разделить на равные части, то в итоге получится некоторое количество таких частей.
Правило: чтобы найти делитель, нужно делимое разделить на частное.
Восемь кусочков пиццы разделили на четверых человек.
Каждому досталось одинаковое количество кусочков пиццы.
По сколько кусочков пиццы получил каждый?
8 кусков пиццы (общее количество кусочков, которые необходимо разделить)- делимое.
4 человека (число человек, на которых делят пиццу)- частное.
Ответ: по 2 кусочка пиццы получит каждый человек.
Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации
Деление с остатком
Математическая операция деление связано с разделением чего-либо на части.
Делить натуральное число на равные части вы уже умеете, данная математическая операция не вызовет у вас большого затруднения.
Однако, не всегда удается разделить натуральное число на равные части.
Разложим поровну на 4 тарелки 13 абрикосов.
Сначала в каждую тарелку положим по одному абрикосу, далее по второму, затем по третьему.
В результате у нас останется 1 абрикос, но тарелок 4.
Таким образом, в каждую тарелку удалось положить по 3 абрикоса и еще 1 остался.
Так мы разделили число 13 на равные части, и у нас остался остаток.
Продемонстрируем рассмотренный пример на координатном луче.
Изобразим координатный луч, направленный вправо, с началом отсчета в точке О и единичным отрезком 1 деление = 1 единица.
На координатном луче отметим точку А(13)- эта точка показывает общее количество абрикосов, которые нужно поделить.
Отрезок ОА разобьем на 4 отрезка по 3 деления (так как абрикосы раскладывали на четыре тарелки по три абрикоса).
Заметим следующее: по три деления мы отложили четыре раза и одно деление еще осталось (это деление нам указывает на остаток абрикосов- 1 шт).
При делении с остатком результат деления записывают двумя числами: первое число называют неполным частным, так как число делится не полностью, второе число называют остатком.
Запись деления с остатком соответствует следующей схеме:
Неполное частное- это наибольшее число, которое может быть получено при умножении его на делитель, и не превосходящее делимое.
В буквенном виде деление с остатком можно записать так:
Для разобранного выше примера про абрикосы получаем следующее:
13 ÷ 3 = 4 (ост. 1)
Число 13— это делимое
Число 3— это делитель
Число 4— это неполное частное
Число 1— это остаток от деления
Важно знать и помнить, что остаток всегда должен быть меньше делителя.
Если при делении одного натурального числа на другое остаток равен нулю, то говорят: «Число делится нацело», т.е. первое число делится на второе без остатка.
Рассмотрим алгоритм деления с остатком.
1. Найти наибольшее число, которое будет удовлетворять одновременно следующим требованиям:
2. Подобранное число разделить на делитель.
Таким образом находится значение неполного частного.
3. Вычесть из делимого наибольшее число (найденное в пункте 1 нашего алгоритма), полученный результат- это остаток.
4. Проверяем остаток сравнением, он должен быть меньше делителя.
Записывать деление с остатком можно в строчку а ÷ b = с (ост. r) или в столбик- «деление уголком».
Найдем значение выражения 19 ÷ 6.
Наибольшее число, которое меньше 19 и делится на 6— это 18.
18 разделим на делитель 6, получим 3-это неполное частное.
Вычтем из делимого числа 19 найденное наибольшее число 18, получим число 1— это остаток от деления.
Соберем все известные и полученные данные в равенство: 19 ÷ 6 = 3 (ост 1).
19— делимое.
6— делитель.
3— неполное частное.
1-остаток от деления.
Деление с остатком «уголком» выполняется по той же схеме, как и без остатка.
Разделим 45 на 13.
1. Выделим в делимом наибольшее неполное делимое, которое делится на 13.
В нашем случае это само число 45, следовательно, в неполном частном будет только одна цифра.
2. Разделим неполное делимое на делитель.
Предположим, что результатом такого деления будет число 4, тогда, умножив 13 на 4, получим число 52, но это число противоречит действительности, так как делимое 45 меньше числа 52, полученного при умножении 13 и 4.
Число 4 в качестве неполного частного нам не подходит.
Тогда возьмем число, которое предшествует 4, это число 3.
Делитель 13 умножим на 3.
3. Умножим делитель на найденное число.
13 ∙ 3 = 39 (полученное число 39 показывает, сколько единиц разделили из 45)
Число 39 меньше делимого 45, значит подобранная пробная цифра 3 подходит, записываем ее в частное
Произведение 13 и 3 запишем под делимым 45.
Важно помнить, что деление чисел в столбик происходит и записывается по разрядам, а начинается с высшего разряда.
4. Найдем остаток от деления вычитанием.
Из 45 вычтем 39, получаем остаток, он равен 45 – 39 = 6.
5. Сравним остаток от деления с делителем.
По правилу остаток всегда меньше делителя, иначе можно было бы продолжать деление.
Сравним: 13 > 6 (остаток 6 меньше делителя 13)
В делимом разрядов больше нет, выделить следующее неполное делимое не удается, следовательно, на этом деление можно считать законченным.
6. Однако, если есть следующее неполное делимое, то необходимо далее следовать данному алгоритму, начиная с пункта 2.
У меня есть дополнительная информация к этой части урока!
Найти результат деления с остатком, т.е. определить неполное частное и остаток от деления, можно методом последовательного вычитания делителя из делимого.
Идея этого метода заключается в следующем: вычитается делитель из делимого до тех пор, пока возможно выполнять такое действие.
В результате количество вычитаний будет значением неполного частного, а итоговый остаток (должен быть всегда меньше делителя)- это остаток от деления.
Разложим 15 сувениров в подарочные пакеты по 4 сувенира в каждый, по сути необходимо найти значение выражения 15 ÷ 4.
Из общего количества сувениров необходимо взять 4 штуки и положить их в подарочный пакет, данное действие опишем следующим равенством 15 – 4 = 11.
Таким образом остается 11 сувениров для дальнейшей расфасовки.
Из них опять берем 4 сувенира и укладываем в новый подарочный пакет, в результате останется 11 – 4 = 7 сувениров.
Из оставшихся 7 мы можем взять еще 4 и сформировать третий подарочный пакет, после этого у нас останется 7 – 4 = 3 сувенира.
Имея в остатке три сувенира, нам не удастся сформировать еще один (четвертый) подарочный пакет, так как по условию сувениров должно быть по 4 штуки в каждом пакете, а у нас в наличии только 3.
В результате получаем 3 подарочных пакета с необходимым количеством сувениров и 3 сувенира в остатке.
Полученный результат запишем следующим образом: 15 ÷ 4 = 3 (ост 3)
Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации