Что значит найти соотношение

10.04.202210.04.2022 admin 0 Comments

Отношения

Нам известно, что для ответа на вопрос во сколько раз одно число больше другого (или меньше), или какую часть одно из них составляет от другого надо найти частное данных чисел.

Частное двух чисел и , отличных от нуля, называют отношением чисел и , или отношением числа к числу .

Где и — члены отношения; число — предыдущий член отношения; — последующий член отношения.

— отношение числа к числу ;

Отношение двух чисел показывает, во сколько раз одно число больше другого, или какую часть одно число составляет от другого. То есть отношение чисел и показывает, во сколько раз число больше числа или какую часть число составляет от числа .

Мы помним, что деление можно заменить чертой дроби, значит, отношение чисел и можно записать двумя способами: : и .

Основное свойство отношения:

Отношение не изменится, если его члены умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю.

Запишем отношение числа 3 к числу 10 и найдем его значение:

То есть отношение двух чисел можно выразить в процентах.

Процентное отношение показывает, сколько процентов одно число составляет от другого.

Чтобы найти процентное отношение двух чисел, надо их отношение умножить на 100 и к результату дописать знак процента.

Пример:

Сколько процентов составляет число 5 от числа 10?

Ответ: 50% составляет число 5 от числа 10.

Если значение двух величин выражены одной и той же единицей измерения, то их отношение называют также отношением этих величин. При этом если значения величин выражены разными единицами измерения, то для нахождения отношения этих величин надо сначала перейти к одной единице измерения.

Например:

Дан прямоугольник, длина которого равна 12 см, а ширина 1 м. Найдем отношение длин сторон прямоугольника.

Отношение длины прямоугольника к его ширине равно 12 : 100 = .

Отношение ширины прямоугольника к его длине равно 100 : 12 = .

Дроби и взаимно обратны, поэтому и отношения 12 к 100 и 100 к 12 называют взаимно обратными.

На практике отношение величин используется, например, при составлении планов и географических карт. В этом случае участки земли на бумаге изображают в уменьшенном виде, при этом на карте или плане указывают отношение, которое показывает, во сколько раз длина отрезка на рисунке меньше длины длины соответствующего отрезка на местности.

Отношение длины отрезка на карте к длине соответствующего отрезка на местности называют масштабом карты (плана).

Пусть на карте задан масштаб , то есть карта сделана в масштабе одна десятитысячная.

Найдем, какой длине на местности соответствует отрезок 5 см на карте.

Для решения обозначим через длину отрезка на местности (в сантиметрах). Тогда отношение длины отрезка на карте к длине отрезка на местности: 5 : , данное отношение равно масштабу карты, поэтому получаем уравнение:

5 : = 1 : 10 000;

Решаем данное уравнение:

= 510 000;

= 50 000;

50 000 см = 500 м = 0,5 км.

Ответ: отрезок 5 см на карте соответствует 0,5 км на местности.

Найдем, какой длине на карте соответствует отрезок 9,5 км на карте.

Для решения обозначим через длину отрезка на карте (в километрах). Тогда отношение длины отрезка на карте к длине отрезка на местности: : 9,5, данное отношение равно масштабу карты, поэтому получаем уравнение:

: 9,5 = 1 : 10 000;

Решаем данное уравнение:

= 9,5 : 10 000;

= 0,00095;

0,00095 км = 0,95 м = 95 см.

Ответ: отрезок 9,5 км на карте соответствует 95 см на карте.

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Источник

Соотношение и пропорция

Основой математических исследований является возможность получить знание об определённых величинах, сравнивая их с другими величинами, которые либо равны, либо больше или меньше, чем те которые являются предметом исследования. Это обычно производится с помощью ряда уравнений и пропорций. Когда мы используем уравнения, то мы определяем искомую величину, находя её равенство с какой-то другой уже знакомой величиной или величинами.

Однако, часто бывает, что мы сравниваем неизвестную величину с другими, которые не равны ей, а больше или меньше её. Здесь нужен другой подход к обработке данных. Нам может понадобиться узнать, например, на сколько одна величина больше чем другая, или сколько раз одна содержит другую. Для нахождения ответа на эти вопросы мы узнаем что такое соотношение двух величин. Одно соотношение называется арифметическим, а другое геометрическим. Хоть и стоит заметить, что оба эти термина не были приняты случайно или только в целях отличия. Как арифметическое, так и геометрическое соотношения применимы как к арифметике, так и к геометрии.

Являясь компонентом обширного и важного предмета, пропорция зависит от соотношений, поэтому необходимо чёткое и полное понимание этих понятий.

344. Если из этих трёх значений: антецедента, консеквента и соотношения даны любые два, то третье можно найти.

Соотв. 1. Если у двух пар антецеденты и консеквенты равны, то их соотношения тоже равны.

Соотв. 2. Если у двух пар соотношения и антеценденты равны, то и консеквенты равны и если соотношения и консеквенты равны, то и антецеденты равны.

345. Если две сравниваемые величины равны, то их соотношение равно единице или соотношению равенства. Соотношение 3*6:18 равно единице, так как частное любой величины разделённой на саму себя равно 1.

Если антецедент пары больше, чем консеквент, то соотношение больше единицы. Так как делимое больше, чем делитель, то частное больше единицы. Так соотношение 18:6 равно 3. Это называется соотношение большего неравенства.

С другой стороны, если антецедент меньше, чем консеквент, то соотношение меньше единциы и это называется соотношением меньшего неравенства. Так соотношение 2:3 меньше единицы, потому что делимое меньше делителя.

Отсюда обратное соотношение выражается путём инвертирования дроби, которая отображает прямое соотношение, либо, когда запись ведётся с помощью точек, инвертируя порядок записи членов.
Таким образом a относится к b обратно тому, как b к a.

347. Сложное соотношение это соотношение произведений соответствующих членов с двумя и более простыми соотношениями.
Так соотношение 6:3, равно 2
И соотношение 12:4, равно 3
Составленное из них соотношение 72:12 = 6.

Таким же образом все величины, которые являются и антецедентами и консеквентами исчезнут, когда произведение дробей будет упрощено до своих младших членов и в остатке сложное соотношение будет выражаться первым антецедентом и последним консеквентом.

349. Особый класс сложных соотношений получается при умножении простого соотношения на самого себя или на другое равное соотношение. Эти соотношения называются двойными, тройными, четверными, и так далее, в соответствии с количеством операций умножения.

Соотношение, составленное из двух равных соотношений, то есть, квадрата простого соотношения, называют двойным соотношением.

Составленное из трёх, то есть, куб простого соотношения, называют тройным, и так далее.

350. Для того, чтобы величины можно соотнести друг с другом, они должны быть одинакового рода, так, чтобы можно было с уверенностью утверждать равны ли они между собой, или одна из них больше или меньше. Фут относится к дюйму, как 12 к 1: он в 12 раз больше, чем дюйм. Но нельзя, например, сказать, что час длиннее или короче, чем палка, или акр больше или меньше, чем градус. Однако, если эти величины выражены в числах, то может существовать соотношение между этими числами. То есть может существовать соотношение между количеством минут в часе и количеством шагов в миле.

Соотв. При известном консеквенте, чем больше антецедент, тем больше соотношение, и, наоборот, чем больше соотношение, тем больше антецедент.

Соотв. При данном антецеденте, чем больше консеквент, тем меньше соотношение. И наоборот, чем больше соотношение, тем меньше консеквент.

354. Из двух последних статей следует, что умножение антецедента пары на любую величину окажет такой же эффект на соотношение, как деление консеквента на эту величину, а деление антецедента, окажет такой же эффект, как умножение консеквента.
Поэтому соотношение 8:4, равно 2
Умножая антецедент на 2, соотношение 16:4 равно 4
Разделив антецедент на 2, соотношение 8:2 равно 4.

Соотв. Любой множитель или делитель может быть перенесён от антецедента пары к консеквенту или от консеквента к антецеденту без изменения соотношения.

355. Как очевидно из Статей. 352 и 353, если антецедент и консеквент оба умножить или разделить на одну и ту же величину, то соотношение не меняется.

Соотв. 1. Соотношение двух дробей, у которых есть общий знаменатель, такое же как отношение их числителей.
Таким образом соотношение a/n:b/n, то же самое, что и a:b.

Соотв. 2. Прямое соотношение двух дробей, у которых есть общий числитель, равно обратному соотношению их знаменателей.

Доказательство.

Соотношение разницы антецедентов к разнице консеквентов также одинаковое.

358. Если в нескольких парах соотношения равны, то сумма всех антецедентоа относится к сумме всех консеквентов, как любой антецедент к своему консеквенту.
Таким образом соотношение
|12:6 = 2
|10:5 = 2
|8:4 = 2
|6:3 = 2
Таким образом соотношение (12 + 10 + 8 + 6):(6 + 5 + 4 + 3) = 2.

Так как последний числитель больше, чем другой, то соотношение больше.
Если вместо добавления ту же самую величину отнять от двух членов, то очевидно, что эффект на соотношение будет обратным.

Примеры.

1. Что больше: соотношение 11:9, или соотношение 44:35?

3. Если антецедент пары равен 65, а соотношение равно 13, то какой консеквент?

4. Если консеквент пары равен 7, и соотношение равно 18, то какой антецедент?

5. Как выглядит сложное соотношение составленное из 8:7, и 2a:5b, а также (7x+1):(3y-2)?

9. Каково соотношение сложенное из 7:5, и удвоенного соотношения 4:9, и утроенного соотношения 3:2?
Отв. 14:15.

Источник

Урок 21 Бесплатно Отношения

В этом уроке мы узнаем, что такое отношения. Также поймем, что нам показывает отношение двух чисел. И в завершение узнаем, как определить часть одного числа от другого.