Что значит найти рациональным способом значение выражения

10.04.202210.04.2022 admin 0 Comments

Рациональные приёмы вычислений на уроках математики

Разделы: Математика

Класс: 4

Ключевые слова: математика

«Мозг хорошо устроенный ценится больше,
чем мозг хорошо наполненный.»

Умения рационально производить вычисления характеризуют довольно высокий уровень математического развития. Знакомство и применение рациональных способов вычислений развивает вариативность мышления, показывает ценность знаний, которые при этом используются. Эти умения чрезвычайно сложны, формируются они медленно и за время обучения в начальной школе далеко не у всех детей могут быть достаточно сформированы.

Говорят, если хотите научиться плавать, вы должны войти в воду, а если хотите уметь решать задачи, то должны начать их решать. Но для начала надо освоить азы арифметики. Научиться считать быстро. Считать в уме можно только при большом желании и систематической тренировки. И тогда перед вами откроется совсем другая математика: живая, полезная, понятная.

Скажите, пожалуйста, как рациональнее сложить 1+ 7, 4 * 8? Какие законы применили?

27 + 46+13? 27 – 19 – 7? Какие свойства, законы? Т.е основы рациональных приёмов вычислений основаны на чём?

Методика преподавания математики в начальных классах раскрывает основы рациональных приёмов вычислений, связанных с выполнением разных математических действий с натуральными числами.

Рациональные приёмы сложения основываются

1. Коммуникативный закон сложения а +в =в +а

2. Ассоциативный закон сложения а+в+с = а+ (в+с)

на коммуникативном и ассоциативном приёмах сложения, а так же свойствах изменения суммы. Рассмотрим некоторые из них.

Свойства сложения.

а+в+с =У, то (а – к) +с+в = У –к

а+в+с=У, то (а+ к) +в +с = У+к

38 + 24+15 = 77, то 40+ 24 + 15 =?

Какие ещё рациональные приёмы сложения можно применить на уроке математики?

Округление одного из слагаемых; поразрядного сложения; приём группировки вокруг одного и того же «корневого» числа.

Рассмотрим эти приёмы:

13 + 49 + 76 + 61 = (поразрядное сложение)

38 + 59 = 38 + (…округление слагаемого)

26 + 24 + 23 +25 + 24 = (группировка вокруг одного и того же «корневого» числа

Все приёмы рациональных вычислений, связанных с вычитанием, основываются на законах вычитания.

Если уменьшаемое увеличить или уменьшить на число, то соответственно разность увеличится или уменьшится на это же самое число

74 – 28 = 46, то 77 – 28 = 49

74 – 28 = 46, то 71 – 28 = 43

Если вычитаемое увеличить или уменьшить на несколько единиц, то разность измениться в противоположную сторону.

Если уменьшаемое и вычитаемое уменьшить или увеличить на одно и тоже число, то разность не измениться.

Найди верные равенства.

229 – 36 = (229 – 9 ) – ( 36 – 6)

174 – 58 = (174 – 4) – ( 58 – 4)

358 – 39 = ( 358 – 8 ) – (39 – 8)

617 – 48 = ( 617 – 7 ) – (48 – 8)

Для рациональных вычислений используют частичные приёмы умножения и деления.

Приём замены множителя или делителя на произведение.

75 * 8 = 75 * 2*2*2=

960 : 15 = 960 : 3 : 5 =

Приём умножения на 9, 99,999, 11 …

87 * 99 = 87 * 100- 87 = 8700 – 87 = 8613

87 * 11 = 87 *10 + 87 = 870+ 87 = 957

Успешное применение различных приёмов зависит от умения подмечать особенности чисел и их сочетаний. Например, познакомив детей в первом классе с натуральным рядом чисел и имея его перед глазами, легко закрепить состав числа.

0 1 2 3 4 5 6 7

Отработав, таким образом, состав чисел в пределах 10 и познакомившись с переместительным законом сложения, дети легко справляются с заданием найти сумму чисел в пределах 10, а в дальнейшем, используя переместительное и сочетательное свойство сложения, легко можно найти сумму других чисел. Например:

Существуют приёмы на знаниях некоторых свойств чисел или результатов действий. Легко находить сумму последовательных нечётных чисел, начиная с 1.

Она равна произведению количества слагаемых на самого себя. (проверить)

Рационализация может осуществляться за счет возможности выполнять некоторые арифметические действия. Для этого очень важно научить детей внимательно рассматривать условия задания, суметь подметить все его особенности. Такие задания, как поставь нужный знак действия16 … 17 = 33 ( рассуждать), далее подобные задания усложняются. 8…6…33 = 15

Сравни, не вычисляя

51 : 3 … 30 : 3 + 21 :5

636 :6 … 600 : 6+ 30 : 6+ 6 :6

Используй рациональные приёмы вычисления, разгадай слово

Какие приёмы использовали?

Важно показать ученикам красоту и изящество устных вычислений, используя разнообразные вычислительные приёмы, помогающие значительно облегчить процесс вычисления.

СЧЁТ НА ПАЛЬЦАХ: способ быстрого умножения чисел первого десятка на 9. Допустим нам надо умножить 7 на 9. Повернём ладошки к себе, загнём седьмой палец, число пальцев слева от загнутого пальца – это число десятков, а число – справа, количество единиц.

Все задания, которые рассматривались, воспитывают интерес к математике, развивают их математические способности. Такую работу можно продолжать на математическом кружке.

Источник

Нахождение значения выражения: правила, примеры, решения

В данной статье рассмотрено, как находить значения математических выражений. Начнем с простых числовых выражений и далее будем рассматривать случаи по мере возрастания их сложности. В конце приведем выражение, содержащее буквенные обозначения, скобки, корни, специальные математические знаки, степени, функции и т.д. Всю теорию, по традиции, снабдим обильными и подробными примерами.

Как найти значение числового выражения?

Числовые выражения, помимо прочего, помогают описывать условие задачи математическим языком. Вообще математические выражения могут быть как очень простыми, состоящими из пары чисел и арифметических знаков, так и очень сложными, содержащими функции, степени, корни, скобки и т.д. В рамках задачи часто необходимо найти значение того или иного выражения. О том, как это делать, и пойдет речь ниже.

Простейшие случаи

Это случаи, когда выражение не содержит ничего, кроме чисел и арифметических действий. Для успешного нахождения значений таких выражений понадобятся знания порядка выполнения арифметических действий без скобок, а также умение выполнять действия с различными числами.

Пример 1. Значение числового выражения

Выполним сначала умножение и деление. Получаем:

Теперь проводим вычитание и получаем окончательный результат:

Сначала выполняем преобразование дробей, деление и умножение:

Теперь займемся сложением и вычитанием. Сгруппируем дроби и приведем их к общему знаменателю:

Искомое значение найдено.

Выражения со скобками

Если выражение содержит скобки, то они определяют порядок действий в этом выражении. Сначала выполняются действия в скобках, а потом уже все остальные. Покажем это на примере.

Пример 3. Значение числового выражения

Значение выражений, содержащих скобки в скобках, находится по такому же принципу.

Пример 4. Значение числового выражения

Выполнять действия будем начиная с самых внутренних скобок, переходя к внешним.

Выражения с корнями

Математические выражения, значения которых нам нужно найти, могут содержать знаки корня. Причем, само выражение может быть под знаком корня. Как быть в таком случае? Сначала нужно найти значение выражения под корнем, а затем извлечь корень из числа, полученного в результате. По возможности от корней в числовых выражениях нужно лучше избавляться, заменяя из на числовые значения.

Пример 5. Значение числового выражения

Сначала вычисляем подкоренные выражения.

Теперь можно вычислить значение всего выражения.

Часто найти значение выражения с корнями часто нужно сначала провести преобразование исходного выражения. Поясним это на еще одном примере.

Пример 6. Значение числового выражения

Как видим, у нас нет возможности заменить корень точным значением, что усложняет процесс счета. Однако, в данном случае можно применить формулу сокращенного умножения.

Выражения со степенями

Если в выражении имеются степени, их значения нужно вычислить прежде, чем приступать ко всем остальным действиям. Бывает так, что сам показатель или основание степени являются выражениями. В таком случае, сначала вычисляют значение этих выражений, а затем уже значение степени.

Пример 7. Значение числового выражения

Начинаем вычислять по порядку.

Осталось только провести операцию сложение и узнать значение выражения:

Также часто целесообразно бывает провести упрощение выражения с использованием свойств степени.

Пример 8. Значение числового выражения

Показатели степеней опять таковы, что их точные числовые значения получить не удастся. Упростим исходное выражение, чтобы найти его значение.

Выражения с дробями

Если выражение содержит дроби, то при вычислении такого выражения все дроби в нем нужно представить в виде обыкновенных дробей и вычислить их значения.

Если в числителе и знаменателе дроби присутствуют выражения, то сначала вычисляются значения этих выражений, и записывается финальное значение самой дроби. Арифметические действия выполняются в стандартном порядке. Рассмотрим решение примера.

Пример 9. Значение числового выражения

Как видим, в исходном выражении есть три дроби. Вычислим сначала их значения.

Перепишем наше выражение и вычислим его значение:

Часто при нахождении значений выражений удобно бывает проводить сокращение дробей. Существует негласное правило: любое выражение перед нахождением его значения лучше всего упростить по максимуму, сводя все вычисления к простейшим случаям.

Пример 10. Значение числового выражения

Мы не можем нацело извлечь корень из пяти, однако можем упростить исходное выражение путем преобразований.

Исходное выражение принимает вид:

Вычислим значение этого выражения:

Выражения с логарифмами

Если же вычислить точное значение логарифма невозможно, упрощение выражения помогает найти его значение.

Пример 11. Значение числового выражения

По свойству логарифмов:

Вновь применяя свойства логарифмов, для последней дроби в выражении получим:

Теперь можно переходить к вычислению значения исходного выражения.

Выражения с тригонометрическими функциями

Бывает, что в выражении есть тригонометрические функции синуса, косинуса, тангенса и котангенса, а также функции, обратные им. Из значения вычисляются перед выполнением всех остальных арифметических действий. В противном случае, выражение упрощается.

Пример 12. Значение числового выражения

Сначала вычисляем значения тригонометрических функций, входящих в выражение.

Подставляем значения в выражение и вычисляем его значение:

Значение выражения найдено.

Часто для того, чтобы найти значение выражения с тригонометрическими функциями, его предварительно нужно преобразовать. Поясним на примере.

Пример 13. Значение числового выражения

Для преобразования будем использовать тригонометрические формулы косинуса двойного угла и косинуса суммы.

Общий случай числового выражения

В общем случае тригонометрическое выражение может содержать все вышеописанные элементы: скобки, степени, корни, логарифмы, функции. Сформулируем общее правило нахождения значений таких выражений.

Как найти значение выражения

Пример 14. Значение числового выражения

Выражение довольно сложное и громоздкое. Мы не случайно выбрали именно такой пример, постаравшись уместить в него все описанные выше случаи. Как найти значение такого выражения?

Известно, что при вычислении значения сложного дробного вида, сначала отдельно находятся значения числителя и знаменателя дроби соответственно. Будем последовательно преобразовывать и упрощать данное выражение.

π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 = π 6 + 2 · 2 π + 3 π 5 = π 6 + 2 · 5 π 5 = π 6 + 2 π

Теперь можно узнать значение синуса:

Вычисляем значение подкоренного выражения:

2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 = 2 · 1 2 + 3 = 4

Со знаменателем дроби все проще:

Теперь мы можем записать значение всей дроби:

С учетом этого, запишем все выражение:

В данном случае мы смогли вычислить точные значения корней, логарифмов, синусов и т.д. Если такой возможности нет, можно попробовать избавиться от них путем математических преобразований.

Вычисление значений выражений рациональными способами

Нахождение значений выражений с переменными

Значение буквенного выражения и выражения с переменными находится для конкретных заданных значений букв и переменных.

Нахождение значений выражений с переменными

Чтобы найти значение буквенного выражения и выражения с переменными, нужно в исходное выражение подставить заданные значения букв и переменных, после чего вычислить значение полученного числового выражения.

Подставляем значения переменных в выражение и вычисляем:

Иногда можно так преобразовать выражение, чтобы получить его значение независимо от значений входящих в него букв и переменных. Для этого от букв и переменных в выражении нужно по возможности избавиться, используя тождественные преобразования, свойства арифметических действий и все возможные другие способы.

Еще один пример. Значение выражения x x равно единице для всех положительных иксов.

Источник

Рациональность – что это такое

Здравствуйте, уважаемые читатели блога KtoNaNovenkogo.ru. Мы часто говорим, что кто-то поступил рационально, что задача решена рациональным способом и т.д.

Сегодня разберем в деталях, что же обозначает данная характеристика.

Рационально — это как?

Смысл слова становится понятным сразу, если знать, что оно произошло от латинского «рацио» (ratio), что в переводе обозначает «разум».

Следовательно, рациональный – значит, разумный. Говоря: «Рациональное решение», мы подразумеваем что оно является разумным, оптимальным.

Ученые-философы трактуют понятие рациональности с точки зрения объективности и субъективности логики и знаний. В этой статье я попробую не влезать в дебри философских умозаключений, а рассказать простыми словами.

Рассмотрим совсем простой пример. Допустим, вам нужно перенести кучу кирпичей из точки А в точку Б. Логично было бы взять по кирпичу в каждую руку и бодрым шагом проделать этот путь столько раз, пока вся куча не будет перенесена.

Логично, но не рационально. А вот взять садовую тачку, сложить туда весь объем стройматериала и за один рейс перевезти кирпичики на новое место – «самое оно».

Таким образом, можно сделать важный вывод: логичное решение не всегда рационально, но рациональное – всегда логично.

Теперь проанализируем применение данной характеристики по отношению к человеческому мышлению.

Рациональное мышление

Рациональное мышление – это умение мыслить, следуя принципам логики, оптимальности и здравомыслия. Присуще многим представителям человечества, при этом не обязательно имеющим склонность и способность к точным наукам.

Как определить, что у человека рациональный склад мышления? Это можно сделать, проанализировав его поведение в обыденной жизни и умение решать поставленные задачи (в том числе – бытовые). Такой индивидуум:

На картинке – схематичное изображение иррационального (слева) и рационального мышления:

Рационально мыслящий человек все свои действия просчитывает заранее, а затем следует разработанному алгоритму. Иррациональный тип подвержен чрезмерному воздействию эмоций, совершает поступки под воздействием импульса, сиюминутного настроения.

Очевидно, что такая четкая поляризация мышления на рациональное и иррациональное встречается довольно редко. Как правило, мыслительный процесс обычного человека основан на коктейле из логики и эмоций в той или иной пропорции. Чем больше рациональной составляющей, тем более адекватное мышление присуще конкретному индивидууму.

Алгоритм мыслительного процесса, основанного на принципе рационализма:

Рациональные выводы можно сделать только при полном абстрагировании от эмоций.

Об этом стоит помнить не только при решении математической задачки (хотя там эмоций в принципе нет, кроме «опять не получается!»). Особенно важно подобное абстрагирование при разрешении какой-либо жизненной проблемы. В подобной ситуации откинуть субъективное очень сложно, но без этого верного ответа не найти.

К примеру, вам нужно принять решение о целесообразности смены места работы. Откиньте эмоции, проанализируйте сложившуюся ситуацию. Выпишите на листок в два столбца все «за» и «против», не забудьте про мелочи вроде времени, затрачиваемого на дорогу, и т.д.

По итогу определите, какой столбец получился длиннее. Скорее всего, верный выбор после такого анализа вы сделаете быстро. Вот также и наш мозг использует принцип рационального мышления при решении поставленной задачи: откинув эмоции, детально проанализировав ситуацию.

Кому-то, чтобы мыслить рационально, необходимо прикладывать немалые усилия, а кому-то это дано от природы. Психологи установили, что данное умение можно развить, применяя специальные техники.

Например, используя метод, описанный в предыдущем абзаце: ставите цель, формулируете доводы «за» и «против», выполняете оценку.

Еще несколько методик:

Это не полный перечень практик, помогающих научить мозг мыслить рационально. Найти те, которые более всего подходят для вас, можно в интернете по запросу «психологические практики для развития рационального мышления».

Пробуйте, и у вас все обязательно получится.

Автор статьи: Елена Копейкина

Удачи вам! До скорых встреч на страницах блога KtoNaNovenkogo.ru

Эта статья относится к рубрикам:

Комментарии и отзывы (2)

На мой взгляд, рациональность — очень ценное качество, если подходить ко всему рационально, то бишь разумно, успех не заставит себя долго ждать.

То что вы описываете с кирпичами это не рациональность, а эффективность — соотношение результата к потраченным ресурсам. Используйте другие термины в корне отличающиеся — оптимально, разумно, трезво. Их не раскрываете а отождествляете все к одному.

Рациональность — это соотношение самих действий к причинам этого процесса (действия). Поэтому она пластична. Она меняется и зависит от причин процесса

Источник

Целые рациональные выражения

Содержание:

Целые рациональные выражения

Целые рациональные выражения — это рациональные выражения, не содержащие деления на переменные. Целые рациональные выражения состоят из чисел и переменных, соедененных знаками арифметических действий или возведения в целую степень. При этом в знаменателе нет выражений с переменными.

Одночлены и операции над ними

Одночленом называют такое выражение, которое содержит числа, натуральные степени переменных и их произведения. Например, — одночлены, тогда как выражения — не являются одночленами.

Любой одночлен можно привести к стандартному виду, т. е. представить в виде произведения числового множителя, стоящего на первом месте, и степеней различных переменных. Числовой множитель одночлена, записанного в стандартном виде, называют коэффициентом одночлена. Сумму показателей степеней всех переменных называют степенью одночлена.

Если между двумя одночленами поставить знак умножения, то получится одночлен, называемый произведением исходных одночленов. При возведении одночлена в натуральную степень также получается одночлен. Результат обычно приводят к стандартному виду.

Приведение одночлена к стандартному виду, умножение одночленов — тождественные преобразования.

Пример 1.

Привести к стандартному виду одночлен

Решение:

Пример 2.

Выполнить умножение одночленов

Решение:

Пример 3.

Возвести одночлен в четвертую степень.

Решение:

Одночлены, приведенные к стандартному виду, называют подобными, если они отличаются только коэффициентом или совсем не отличаются. Подобные одночлены можно складывать и вычитать, в результате чего снова получается одночлен, подобный исходным (иногда получается 0). Сложение и вычитание подобных одночленов называют приведением подобных членов.

Пример 4.

Выполнить сложение одночленов

Решение:

Многочлены. Приведение многочленов к стандартному виду

Многочленом называют сумму одночленов. Если все члены многочлена записать в стандартном виде (см. п. 51) и выполнить приведение подобных членов, то получится многочлен стандартного вида.

Всякое целое выражение можно преобразовать в многочлен стандартного вида — в этом состоит цель преобразований (упрощений) целых выражений.