Что значит найти геометрическое место точек
Геометрическое место точек
Геометрическое место точек (ГМТ) — это фигура, состоящая из всех точек плоскости, удовлетворяющих определённому условию.
Чтобы выяснить, что собой представляет некоторая фигура F — геометрическое место точек, удовлетворяющих заданному условию P, нужно доказать:
1) если определённая точка принадлежит фигуре F, то она удовлетворяет заданному условию P;
2) если определённая точка удовлетворяет заданному условию P, то она принадлежит фигуре F.
(то есть требуется доказать прямую теорему — свойство P точек, принадлежащих фигуре F, и обратную теорему — признак фигуры F: если точка удовлетворяет условию P, то она принадлежит F).
Геометрическое место точек, равноудалённых от данной точки — окружность.
Это следует непосредственно из определения окружности.
Некоторые теоремы о ГМТ
1) Геометрическим местом точек, равноудалённых от двух данных точек, является серединный перпендикуляр к отрезку, соединяющему эти точки.
2) Геометрическим местом точек, равноудалённых от сторон неразвёрнутого угла, является биссектриса этого угла.
3) Геометрическим местом точек, удалённых от данной прямой на расстояние h, состоит из двух прямых, параллельных данной прямой и отстоящих от неё на h.
4) Геометрическим местом точек, равноудалённых от двух параллельных прямых, является прямая, параллельная этим прямым и проходящая через середину их общего перпендикуляра.
Понятие ГМТ часто используют при решении задач на построение.
Геометрические места точек
Определение.
Геометрическим местом точек (в дальнейшем ГМТ), называется фигура плоскости, состоящая из точек обладающих некоторым свойством, и не содержащая ни одной точки, не обладающей этим свойством.
Мы будем рассматривать только те ГМТ, которые можно построить с помощью циркуля и линейки.
Рассмотрим ГМТ на плоскости, обладающие простейшими и наиболее часто выражающимися свойствами:
1) ГМТ, отстоящих на данном расстоянии r от данной точки О, есть окружность с центром в точке О радиуса r.
2) ГМТ равноудаленных от двух данных точек А и В, есть прямая, перпендикулярная к отрезку АВ и проходящая через его середину.
3) ГМТ равноудаленных от двух данных пересекающихся прямых, есть пара взаимно перпендикулярных прямых, проходящих через точку пересечения и делящих углы между данными прямыми пополам.
4) ГМТ, отстоящих на одинаковом расстоянии h от прямой, есть две прямые, параллельные этой прямой и находящиеся по разные стороны от нее на данном расстоянии h.
5) Геометрическое место центров окружностей, касающихся данной прямой m в данной на ней точке М, есть перпендикуляр к АВ в точке М (кроме точки М).
6) Геометрическое место центров окружностей, касающихся данной окружности в данной на ней очке М, есть прямая, проходящая через точку М и центр данной окружности (кроме точек М и О).
7) ГМТ, из которых данный отрезок виден под данным углом, составляет две дуги окружностей, описанных на данном отрезке и вмещающих данный угол.
8) ГМТ, расстояния от которых до двух данных точек А и В находятся в отношении m : n, есть окружность (называемая окружностью Аполлония).
9) Геометрическое место середин хорд, проведенных из одной точки окружности, есть окружность, построенная на отрезке, соединяющем данную точку с центром данной окружности, как на диаметре.
10) Геометрическое место вершин треугольников равновеликих данному и имеющих общее основание, составляет две прямые, параллельные основанию и проходящие через вершину данного треугольника и ему симметричного относительно прямой, содержащей основание.
Приведем примеры отыскания ГМТ.
ПРИМЕР 2. Найти ГМТ, являющихся серединами хорд, проведенных из одной точки данной окружности (ГМТ № 9).
Часто метод координат позволяет находить ГМТ.
ПРИМЕР 3. Найти ГМТ, расстояние от которых до двух данных точек А и В находятся в данном отношении m : n (m ≠ n).
(*)
Преобразуем наше равенство. Имеем
После раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых, получаем
Разделим левую и правую части последнего неравенства на 
(это можно сделать, так как по условию 
), затем выделим полный квадрат относительно х. Получаем
или
(**)
Но последнее уравнение задает окружность с центром в точке 
и радиусом 
Таким образом, если точка удовлетворяет условиям задачи, то она принадлежит (**).
Обратно, пусть координаты точки С(x,y) удовлетворяют уравнению (**). Проделывая все выкладки в обратную сторону, приходим к равенству (*), что и доказывает принадлежность точки С нашему ГМТ.
Геометрические места точек
Описание презентации по отдельным слайдам:
Описание слайда:
Геометрические места точек
Геометрическим местом точек (ГМТ) называется фигура, состоящая из всех точек, удовлетворяющих заданному свойству или нескольким заданным свойствам.
Примерами геометрических мест точек являются:
окружность – ГМТ, удаленных от данной точки на данное расстояние;
круг – ГМТ, удаленных от данной точки на расстояние, не превосходящее данное.
Описание слайда:
Упражнение 1
Отметьте точки, расположенные в узлах сетки и удаленные от точки O на расстояние, равное 2. (Стороны клеток равны 1).
Ответ:
Описание слайда:
Упражнение 2
Отметьте точки, расположенные в узлах сетки и удаленные от точки O на расстояние, меньшее 2. (Стороны клеток равны 1).
Ответ:
Описание слайда:
Упражнение 3
Отметьте точки, расположенные в узлах сетки и удаленные от точки O на расстояние, большее 2 и меньшее 3. (Стороны клеток равны 1).
Ответ:
Описание слайда:
Упражнение 4
Отметьте точки, расположенные в узлах сетки, расстояния от которых до точек A и B меньше трех. (Стороны клеток равны 1).
Ответ:
Описание слайда:
Упражнение 5
Отметьте точки, расположенные в узлах сетки, расстояния от которых до точек A и B меньше или равны двум. (Стороны клеток равны 1).
Ответ:
Описание слайда:
Упражнение 6
Отметьте точки, расположенные в узлах сетки, расстояние от которых до точки A меньше трех, а расстояние до точки B меньше двух. (Стороны клеток равны 1).
Ответ:
Описание слайда:
Упражнение 7
Отметьте точки, расположенные в узлах сетки, расстояние от которых до точки A больше двух, а расстояние до точки B меньше двух. (Стороны клеток равны 1).
Ответ:
Описание слайда:
Упражнение 8
Отметьте точки, расположенные в узлах сетки, расстояние от которых до точки A меньше, чем расстояние до точки B, и расстояние до точки B меньше, чем расстояние до точки C.
Ответ:
Описание слайда:
Упражнение 9
Отметьте точки, расположенные в узлах сетки, расстояние от которых до точки A больше, чем расстояние до точки B, и расстояние до точки B меньше, чем расстояние до точки C.
Ответ:
Описание слайда:
Упражнение 10
Отметьте точки, расположенные в узлах сетки, из которых отрезок AB виден под углом 90о.
Ответ:
Описание слайда:
Упражнение 11
Отметьте точки, расположенные в узлах сетки, из которых отрезок AB виден под углом 90о.
Ответ:
Описание слайда:
Упражнение 12
Отметьте точки, расположенные в узлах сетки, из которых отрезок AB виден под углом 90о.
Ответ:
Описание слайда:
Упражнение 13
Отметьте точки, расположенные в узлах сетки, из которых отрезок AB виден под углом 45о.
Ответ:
Описание слайда:
Упражнение 14
Отметьте точки, расположенные в узлах сетки, из которых отрезок AB виден под углом 45о.
Ответ:
Описание слайда:
Упражнение 15
Отметьте точки, расположенные в узлах сетки, из которых отрезок AB виден под углом 135о.
Ответ:
Описание слайда:
Серединный перпендикуляр
Теорема. Серединный перпендикуляр к отрезку является ГМТ, одинаково удаленных от концов этого отрезка.
Серединным перпендикуляром к отрезку называется прямая, перпендикулярная этому отрезку и проходящая через его середину.
Доказательство. Пусть дан отрезок АВ и точка О – его середина. Очевидно, точка О одинаково удалена от точек А, В и принадлежит серединному перпендикуляру.
Обратно, пусть точка С принадлежит серединному перпендикуляру и не совпадает с О, тогда прямоугольные треугольники АОС и ВОС равны (по катетам). Следовательно, АС=ВС.
Пусть точка С одинаково удалена от точек А и В и не совпадает с точкой О. Тогда треугольник АВС равнобедренный и СО – медиана. По свойству равнобедренного треугольника медиана является также и высотой. Значит, точка С принадлежит серединному перпендикуляру.
Описание слайда:
Упражнение 1
Изобразите ГМТ, равноудаленных от точек A и B.
Ответ:
Описание слайда:
Упражнение 2
На прямой c изобразите точку C, равноудаленную от точек A и B.
Ответ:
Описание слайда:
Упражнение 3
Изобразите ГМТ, равноудаленных от точек A и B.
Ответ:
Описание слайда:
Упражнение 4
На прямой c изобразите точку C, равноудаленную от точек A и B.
Ответ:
Описание слайда:
Упражнение 5
Изобразите ГМТ, равноудаленных от точек A и B.
Ответ:
Описание слайда:
Упражнение 6
На прямой c изобразите точку C, равноудаленную от точек A и B.
Ответ:
Описание слайда:
Упражнение 7
Отметьте точку, равноудаленную от точек A, B и C.
Ответ:
Описание слайда:
Упражнение 8
Отметьте точку, равноудаленную от точек A, B и C.
Ответ:
Описание слайда:
Упражнение 9
Отметьте точку, равноудаленную от точек A, B и C.
Ответ:
Описание слайда:
Упражнение 10
Изобразите геометрическое место центров окружностей, проходящих через две данные точки.
Ответ: Серединный перпендикуляр к отрезку, соединяющему две данные точки.
Описание слайда:
Упражнение 11
Изобразите геометрическое место вершин С равнобедренных треугольников с заданным основанием AB.
Ответ: Серединный перпендикуляр к отрезку AB без середины этого отрезка.
Описание слайда:
Описание слайда:
Описание слайда:
Биссектриса угла
Теорема. Биссектриса угла является ГМТ, лежащих внутри этого угла и одинаково удаленных от его сторон.
Если CA = CB, то прямоугольные треугольники АOС и ВOС равны (по гипотенузе и катету). Следовательно, углы AOC и BOC равны. Значит, точка C принадлежит биссектрисе угла. Обратно, если точка C принадлежит биссектрисе угла, то прямоугольные треугольники AOC и BOC равны (по гипотенузе и острому углу). Следовательно, AC = BC. Значит, точка С одинаково удалена от сторон данного угла.
Доказательство. Рассмотрим угол c вершиной в точке О и сторонами а, b. Пусть точка С лежит внутри данного угла. Опустим из нее перпендикуляры СА и CB на стороны а и b.
Описание слайда:
Упражнение 1
Изобразите геометрическое место внутренних точек угла AOB, равноудаленных от его сторон.
Ответ:
Описание слайда:
Упражнение 2
На прямой c отметьте точку C, равноудаленную от сторон угла AOB.
Ответ:
Описание слайда:
Упражнение 3
Изобразите геометрическое место внутренних точек угла AOB, равноудаленных от его сторон.
Ответ:
Описание слайда:
Упражнение 4
На прямой c отметьте точку C, равноудаленную от сторон угла AOB.
Ответ:
Описание слайда:
Упражнение 5
Изобразите геометрическое место внутренних точек угла AOB, равноудаленных от его сторон.
Ответ:
Описание слайда:
Упражнение 6
На прямой c отметьте точку C, равноудаленную от сторон угла AOB.
Ответ:
Описание слайда:
Упражнение 7
Что является геометрическим местом центров окружностей касающихся двух данных пересекающихся прямых?
Ответ: Биссектрисы углов, образующихся при пересечении данных прямых, без точки пересечения этих прямых.
Описание слайда:
Описание слайда:
Упражнение 9
На прямой c, пересекающей стороны угла, найдите точку C, одинаково удаленную от этих сторон.
Ответ: Точка пересечения данной прямой с биссектрисой данного угла.
Описание слайда:
Упражнение 10
Дан угол АOB и точки M, N на его сторонах. Внутри угла найдите точку, одинаково удаленную от точек M и N и находящуюся на одинаковом расстоянии от сторон угла.
Ответ: Точка пересечения серединного перпендикуляра к MN с биссектрисой угла.
Описание слайда:
Пересечение фигур
Пусть Ф1 и Ф2 – фигуры на плоскости. Фигура Ф, состоящая из всех точек, принадлежащих фигуре Ф1 и фигуре Ф2, называется пересечением фигур Ф1 и Ф2 и обозначается Ф1 Ф2.
Описание слайда:
Упражнение 1
Ответ: Искомое ГМТ является пересечением двух кругов с центрами в точках O1, O2 и радиусами R1, R2.
Даны две точки O1 и O2. Найдите ГМТ X, для которых XO1 R1 и XO2 R2. Пересечением каких фигур является искомое ГМТ.
Описание слайда:
Упражнение 2
Даны две точки A и B. Найдите ГМТ C, для которых CA CB AB. Пересечением каких фигур является искомое ГМТ.
Ответ: Искомое ГМТ является пересечением круга и полуплоскости.
Описание слайда:
Упражнение 3
Даны три точки A, B, C. Найдите ГМТ X, для которых AX BX и BX CX. Пересечением каких фигур является искомое ГМТ.
Ответ: Искомое ГМТ является пересечением двух полупространств, определяемых серединными перпендикулярами к отрезкам AB и BC.
Описание слайда:
Объединение фигур
Пусть Ф1 и Ф2 – фигуры на плоскости. Фигура Ф, состоящая из всех точек, принадлежащих фигуре Ф1 или фигуре Ф2, называется объединением фигур Ф1 и Ф2 и обозначается Ф1 Ф2.
Описание слайда:
Упражнение 1
Даны две точки O1 и O2. Найдите ГМТ X, для которых XO1 R1 или XO2 R2. Объединением каких фигур является искомое ГМТ.
Ответ: Искомое ГМТ является объединением двух кругов с центрами в точках O1, O2 и радиусами R1, R2.
Описание слайда:
Упражнение 2
Даны три точки A, B, C. Найдите ГМТ X, для которых AX BX или BX CX. Объединением каких фигур является искомое ГМТ.
Ответ: Искомое ГМТ является объединением двух полупространств, определяемых серединными перпендикулярами к отрезкам AB и BC.
Описание слайда:
Разность фигур
Пусть Ф1 и Ф2 – фигуры на плоскости. Фигура Ф, состоящая из всех точек, принадлежащих фигуре Ф1 и не принадлежащих фигуре Ф2, называется разностью фигур Ф1 и Ф2 и обозначается Ф1 \ Ф2.
Описание слайда:
Упражнение 1
Ответ: Искомое ГМТ является разностью двух кругов с центрами в точках O1, O2 и радиусами R1, R2.
Даны две точки O1 и O2. Найдите ГМТ X, для которых XO1 R1 и XO2 R2. Разностью каких фигур является искомое ГМТ.
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Курс повышения квалификации
Охрана труда
Курс профессиональной переподготовки
Библиотечно-библиографические и информационные знания в педагогическом процессе
Курс профессиональной переподготовки
Охрана труда
Ищем педагогов в команду «Инфоурок»
Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:
также Вы можете выбрать тип материала:
Общая информация
Похожие материалы
Популярно о криптографии Основные понятия
Образец выполнения домашнего задания
ГОРОД-ГЕРОЙ ВОЛГОГРАД
Кредитные продукты
Оптическое просветление биологических тканей – перспективы применения в медицинской диагностике и фототерапии
Внешнеэкономическая деятельность российских предприятий Начальник управления инновационной деятельности ЮФУ – Кучинский Ле
Инсталляция и конфигурирование программы в локальной сети
Не нашли то что искали?
Воспользуйтесь поиском по нашей базе из
5360620 материалов.
Вам будут интересны эти курсы:
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.
Петербургский Политех создал отдельное меню для вегетарианцев в своих столовых
Время чтения: 1 минута
ОНФ проверит качество охраны в российских школах
Время чтения: 2 минуты
Путин поручил не считать выплаты за классное руководство в средней зарплате
Время чтения: 1 минута
В России предложили учредить День семейного волонтерства
Время чтения: 2 минуты
В России планируют создавать пространства для подростков
Время чтения: 2 минуты
Учителям предлагают 1,5 миллиона рублей за переезд в Златоуст
Время чтения: 1 минута
Подарочные сертификаты
Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.
Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.
Метод геометрических мест точек
Одним из методов решения задач на построение является метод геометрических мест. Понятие геометрического места является одним из важнейших в геометрии. Термин «геометрическое место точек» был введен еще древнегреческим ученым и философом Аристотелем (384-222 гг. до новой эры), который представлял себе линию, как некоторое «место», где могут быть размещены точки. Понятие линии как следа движущей точки или совокупность точек, возникли значительно позже.
Геометрическим местом точек (сокращенно ГМТ), обладающих определенным свойством, называется множество всех точек, которые обладают этим свойством.
При решении задач этим методом надо знать основные геометрические места точек на плоскости:
1. ГМТ, равноудаленных от двух данных точек.
2. ГМТ, находящихся на данном расстоянии oт данной точки.
3. ГМТ, удаленных на расстояние d oт данной прямой.
4. ГМТ, равноудаленных от двух данных параллельных прямых.
5. ГМТ, равноудаленных от сторон угла.
6. ГМТ, из которых данный отрезок виден под данным углом.
Некоторые геометрические места точек, часто используемые
Рассмотрим построение основных ГМТ, перечисленных в предыдущем пункте.
1. Геометрическим местом точек, равноудаленных от двух данных
точек, является серединный перпендикуляр к отрезку с концами в этих
2. Геометрическим местом точек, находящихся на данном расстоянии
oт данной точки, является окружность с центром в данной точке и радиусом, равном данному отрезку.
3. Геометрическим местом точек, удаленных на расстояние d oт
данной прямой в выбранной полуплоскости, является прямая
параллельная данной и находящаяся на расстоянии d от нее.
А выбираем произвольно.
4. Геометрическим местом точек, равноудаленных от двух данных
параллельных прямых, является прямая, находящаяся на одинаковом
расстоянии от данных прямых (ось симметрии этих прямых).
5. Геометрическим местом точек, равноудаленных от сторон угла,
является биссектриса этого угла. (См. построение 4).
6. Геометрическим местом точек, из которых данный отрезок виден под
данным углом, является дуга окружности, опирающейся на этот отрезок.
I случай:
— данный угол,
АВ – данный отрезок.
Действительно, ∟АМВ, как угол, вписанный в окружность, измеряется
половиной малой дуги АВ, так как центральный угол ∟АОВ = 2α, то
При этом заметим, что центр окружности О и вершина М угла лежат по
одну сторону от данного отрезка
II случай: 
Полуокружность 
(Любой угол, опирающийся на диаметр –
прямой).
III случай: 
