Что значит хорошее множество
Что значит хорошее множество
Множество чисел назовём хорошим, если его можно разбить на два подмножества с одинаковым произведением чисел.
в) Сколько хороших четырёхэлементных подмножеств у множества <1; 3; 4; 5; 6; 7; 9; 11; 12>?
а) Число 199 простое, поэтому разбить исходное множество на два подмножества с одинаковым произведением чисел невозможно: одно из произведений будет делиться на 199, другое нет.
в) Простые числа 5, 7 и 11 не могут входит в хорошие подмножества (аналогично п. а)). Поэтому хорошие четырёхэлементные множества можно составлять только из чисел 1; 3; 4; 6; 9; 12. Осуществим перебор. Непосредственной проверкой убеждаемся, что к числу 1 в пару можно взять только число 12; находим множество <1; 12; 3; 4>. Из оставшихся чисел 3; 4; 6; 9; 12 к числу 3 в пару также можно взять только число 12; находим множество <3; 12; 4; 9>. Остаются числа 4; 6; 9; 12, они не образуют хорошее множество. Других вариантов нет.
Ответ: а) нет; б) да; в) 2.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты. | 4 |
| Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 3 |
| Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 2 |
| Верно получен один из следующих результатов: — обоснованное решение п. а; — обоснованное решение п. б; — в п. в доказано, что множество содержит не более восьми хороших чертырёхэлементных подмножеств; — в п. в построены примеры восьми хороших четырёхэлементных подмножеств. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
Аналоги к заданию № 513611: 513630 516515 Все
Что значит хорошее множество
Множество чисел назовём хорошим, если его можно разбить на два подмножества с одинаковой суммой чисел.
в) Сколько хороших четырёхэлементных подмножеств у множества <3; 4; 5; 6; 8; 10; 12>?
Сумма чисел в этих двух подмножествах одинакова, поэтому исходное множество является хорошим. (Возможны и другие примеры.)
б) Заметим, сумма чисел в подмножестве, которое будет содержать число 
будет больше суммы чисел в другом подмножестве, поскольку 
больше суммы всех остальных чисел:
Одно из двух подмножеств, на которое мы хотим разбить исходное множество, будет содержать число 2. Тогда сумма чисел в этом подмножестве будет кратна 2, но не кратна 4, а сумма чисел во втором подмножестве будет кратна 4. Тем самым, суммы чисел в подмножествах не равны, и исходное множество не является хорошим.
Полусумма всех чисел исходного множества нечетна, а все элементы четны, поэтому на два множества с нечетной суммой исходное множество не разбить.
в) Заметим, что четырёхэлементное множество является хорошим в двух случаях: либо одно число является суммой трёх других, либо множество содержит две пары чисел с равными суммами.
Единственное подмножество множества <3; 4; 5; 6; 8; 10; 12>, удовлетворяющее первому случаю, — это <3; 4; 5; 12>. Других вариантов нет, поскольку сумма трёх чисел, отличных от 3, 4 и 5, будет больше 12.
Рассмотрим второй случай и заметим, что если множество содержит две пары чисел с равными суммами, то сумма всех чисел чётна. Следовательно, нечетные числа 3 и 5 либо одновременно входят в хорошее четырёхэлементное подмножество, либо одновременно не входят в него.
Если 3 и 5 входят в подмножество, то либо сумма двух других чисел равна 8 (что невозможно), либо разность двух других чисел равна 2. Получаем хорошие подмножества:
Если 3 и 5 не входят в подмножество, то хорошее подмножество лежит во множестве <4; 6; 8; 10; 12>. Получаем хорошие подмножества:
Всего найдено 8 хороших подмножеств. Других вариантов нет.
Ответ: а) да; б) нет; в) 8.
будет больше суммы чисел в другом подмножестве, поскольку 
больше суммы всех остальных чисел: