Что значит что фигуры равносоставленные

Равновеликие и равносоставленные фигуры

Равновели́кие и равносоставленные фигуры

Равновеликие фигуры — плоские (пространственные) фигуры одинаковой площади (объёма); равносоставленные фигуры — фигуры, которые можно разрезать на одинаковое число соответственно конгруэнтных (равных) частей. Обычно понятие равносоставленности применяется только к многоугольникам и многогранникам. Равносоставленные фигуры являются равновеликими. Венгерский математик Я. Больяй (1832) и немецкий математик П. Гервин (1833) доказали, что равновеликие многоугольники являются равносоставленными (теорема Больяй — Гервина). Поэтому разрезанием на части и перекладыванием их можно любой многоугольник превратить в равновеликий ему квадрат. Понятие равносоставленности лежит в основе «метода разбиения», применяемого для вычисления площадей многоугольников: параллелограмм «разрезанием и перекладыванием» сводят к прямоугольнику, треугольник — к параллелограмму, трапецию — к треугольнику. Эквивалентным понятию равносоставленности является понятие равнодополняемости, которое лежит в основе «метода дополнения», т. е. дополнения двух фигур равными частями так, чтобы получившиеся после такого дополнения фигуры были равны.

Равновеликие многогранники не всегда являются равносоставленными. (Поэтому при выводах формулы объёма треугольной пирамиды используют Исчерпывания метод или иное завуалированное интегрирование, например Кавальери принцип. См. также Объём.) Так, например, куб и равновеликий ему правильный тетраэдр не являются равносоставленными — т. н. теорема Дена, доказанная немецким математиком М. Деном (1901) и составившая отрицательное решение третьей проблемы Гильберта. Для доказательства Ден построил некоторую систему аддитивных инвариантов, равенство которых необходимо для равносоставленности многогранников, и убедился, что среди его инвариантов есть такие, которые принимают разные значения для куба и равновеликого ему правильного тетраэдра. Эти работы были продолжены швейцарским математиком Х. Хадвигером и его учениками; в частности, Ж. П. Зидлер установил, что совпадение инвариантов Дена двух многогранников не только необходимо, но и достаточно для их равносоставленности.

Лит.: Проблемы Гильберта. Сб., М., 1969; Болтянский В. Г., Равновеликие и равносоставленные фигуры, М., 1956; Энциклопедия элементарной математики, книга 5, М., 1966.

Источник

РАВНОВЕЛИКИЕ И РАВНОСОСТАВЛЕННЫЕ ФИГУРЫ

Для , равновеликость означает равенство объемов; равносоставленность многогранников определяется аналогично с . Эти понятия обобщаются также на неевклидовы геометрии.

Площадь (многоугольника) есть функция s(M), удовлетворяющая следующим аксиомам:

(a) для любого многоугольника М;

(d) площадь квадрата, стороной которого является единица длины, равна 1.

С помощью этих аксиом определяется площадь прямоугольника.

Теорема. Если два многоугольника равносостав-лены, то они равновелики.

На этой теореме основан метод разбиения, известный еще Евклиду: для вычисления площади многоугольника пытаются разбить его на конечное число частей, из к-рых можно составить фигуру известной площади. Напр., параллелограмм равносоставлен с прямоугольником, имеющим то же основание и ту же высоту (см. рис. 1); треугольник равносоставлен с параллелограммом, имеющим то же основание и вдвое меньшую высоту (см. рис. 2).

Таким образом, вся теория площадей многоугольников может быть построена на основе теоремы о площади прямоугольника.

Существует и другой способ вычисления площадей, основанный на аксиомах (b) и (g),- метод дополнения. Два многоугольника наз. равнодополняемыми, если их можно дополнить соответственно конгруэнтными частями так, чтобы получились конгруэнтные многоугольники.

Напр., параллелограмм и прямоугольник с одинаковыми основаниями и одинаковыми высотами равнодополняемы (см. рис. 3) и потому равновелики.

В евклидовой плоскости два многоугольника в том и только в том случае равновелики, если они равносоставлены (а также если они равнодополняемы). Аналогичная теорема справедлива в плоскости Лобачевского и в эллиптической плоскости. Напротив, в неархимедовой геометрии эквивалентны лишь равновеликость и равнодополняемость; равновеликость же им не эквивалентна.

Два равновеликих многогранника в том и только в том случае Г-равносоставлены, если для каждого флангового инварианта Н ф его значения на этих многогранниках одинаковы.

Многогранник в том и только в том случае, если Н ф ( М п )=0 для всех флаговых инвариантов H Ф порядков, меньших k.

Пусть при гомотетии с коэффициентом l>0 объем n-мерного многогранника увеличивается в l n раз. Если принять это утверждение как аксиому, то объем любого многогранника может быть найден методом разбиения.

Лит.:[1] Проблемы Гильберта, М., 1969; [2] Болтянский В. Г., Равновеликие и равносоставленные фигуры, М., 1956; [3] его же, Третья проблема Гильберта, М., 1977; [4] Xадвигер Г., Лекции об объеме, площади поверхности и изопериметрии, пер. с нем., 1966; [5] Iessen В., Тhorup A., «Math. Scand.», 1978, v. 43, fasc. 2, p. 211-40.

Источник

Что значит что фигуры равносоставленные

Письмо с инструкцией по восстановлению пароля
будет отправлено на вашу почту

В этом уроке познакомимся с равносоставленными и равновеликими фигурами.

Возьмем два одинаковых прямоугольных треугольника.

Какие фигуры можно из них составить?

Можно составить прямоугольник, треугольник.

Для составления прямоугольника и треугольника использовали одинаковый набор фигур, поэтому полученные фигуры называют равносоставленными.

Равносоставленные фигуры – это те, которые можно составить (способом приложения) из одного и того же набора плоских фигур, при этом все фигуры набора должны участвовать в составлении. Из одного набора плоских фигур можно составить несколько новых фигур, и все они будут равносоставленными, если при составлении мы использовали все фигуры набора.

Так как равносоставленные фигуры состоят из одних и тех же фигур, можно заключить, что они имеют одинаковую площадь.

Начертим прямоугольник со сторонами 3 и 5 см.

Площадь данного прямоугольника равна произведению 3 и 5.

3 умножить на 5, равно 15 см2.

Проведем в нем диагональ и разрежем по ней прямоугольник на два одинаковых треугольника.

Сложим из полученных фигур новую фигуру – треугольник.

Полученный треугольник и прямоугольник – равносоставленные фигуры, так как состоят из одного и того же набора плоских фигур.

Изначально у нас был прямоугольник, площадь которого не изменилась после того как мы разрезали его на два треугольника, из которых потом составили треугольник.

Т.е. можно сделать вывод, что данный прямоугольник и треугольник, составленный из частей прямоугольника, имеют одинаковую площадь.

Фигуры, имеющие одинаковую площадь, называются равновеликими.

Все равносоставленные фигуры являются равновеликими.

Выполним практическое задание.

Даны две фигуры: четырехугольник и прямоугольник.

Докажите, что они равновеликие.

Разделим четырехугольник на части, из которых можно сложить данный прямоугольник: 2 треугольника и квадрат.

Переложим один треугольник так, чтобы получился прямоугольник.

Новый прямоугольник и данный прямоугольник при наложении совпадают.

Прямоугольник и четырехугольник состоят из одного и того же набора фигур, следовательно, четырехугольник и прямоугольник являются фигурами равносоставленными, а значит, равновеликими.

Найдем площадь квадрата со стороной 4 см и прямоугольника со сторонами 8 и 2 см.

Площадь квадрата равна произведению 4 и 4, равно 16 см2, площадь прямоугольника равна произведению 8 и 2, равно 16 см2.

Данные квадрат и прямоугольник – равновеликие фигуры, так как площади их равны.

Заметим, что не все равновеликие фигуры обязательно должны быть равносоставленными.

Выполним практическое задание на нахождение площади.

Возьмем квадрат со стороной 6 см. Разделим его на 4 одинаковых треугольника.

Чему равна площадь каждого треугольника?

Найдем сначала площадь квадрата: 6 ∙ 6 = 36 см2.

Квадрат составлен из 4 одинаковых треугольников.

Значит, площадь одного треугольника в 4 раза меньше площади квадрата.

Получили, что площадь каждого треугольника равна 9 см2.

В этом уроке вы познакомились с равносоставленными и равновеликими фигурами, а также решили несколько заданий по теме урока.

Источник

Что значит что фигуры равносоставленные

РАВНОСОСТАВЛЕННОСТЬ И ЗАДАЧИ НА РАЗРЕЗАНИЕ

Две фигуры называются равносоставленными, если они могут быть разложены на одинаковое число попарно равных фигур.
Из свойств площади следует, что равносоставленные фигуры равновелики. В частности, равносоставленные многоугольники равновелики. Например, изображенные на рисунке 1 правильный шестиугольник и параллелограмм – равносоставленные фигуры, так как оба они составлены из шести равных равносторонних треугольников.

Естественно поставить обратный вопрос: «Всякие ли два равновеликих многоугольника равносоставлены?» Утвердительный ответ был получен в XIX веке.
Теорема. Любые два равновеликих многоугольника равносоставлены.
Доказательство этой теоремы будет получено как результат применения нескольких теорем.
Теорема 1. Две фигуры, равносоставленые с одной и той же фигурой, равносоставлены.
Доказательство. Действительно, пусть фигуры Ф’ и Ф» равносоставлены с фигурой Ф. Рассмотрим линии, разбивающие фигуру Ф на части, из которых можно составить фигуру Ф’ и кроме того линии, разбивающие фигуру Ф на части, из которых можно составить фигуру Ф» (рис. 2). Те и другие линии разбивают фигуру Ф на более мелкие части, из которых можно составить как фигуру Ф’, так и Ф». Таким образом, фигуры Ф’ и Ф» равносоставлены.
Теорема 2. Любые два равновеликих параллелограмма равносоставлены.
Доказательство. Рассмотрим сначала два параллелограмма с равными основаниями (рис. 3). По условию они равновелики, значит, имеют равные высоты. Проведем внутри каждого параллелограмма отрезки, параллельные сторонам другого параллелограмма. Тогда оба параллелограмма разобьются на одинаковое число попарно равных фигур, т.е. они равносоставлены.

Задачи
1. Разрежьте фигуру, изображенную на рисунке 8, на четыре равные части.
1. Греческий крест (рис. 9) разрежьте на несколько частей и составьте из них квадрат.

3. Греческий крест разрежьте двумя разрезами и из образовавшихся частей сложите квадрат.

8. Докажите, что никакой выпуклый 13-угольник нельзя разрезать на параллелограммы.

Источник

Какие фигуры называются равными

Содержание статьи

Геометрические фигуры могут рассматриваться не изолированно, а в том или ином соотношении друг с другом – их взаимное расположение, соприкосновение и прилегание, положение «между», «внутри», соотношение, выраженное в понятиях «больше», «меньше», «равно».

Геометрия изучает инвариантные свойства фигур, т.е. те, которые остаются неизменными при тех или иных геометрических преобразованиях. Такое преобразование пространства, при котором остается неизменным расстояние между точками, составляющими ту или иную фигуру, называется движением.

Движение может выступать в разных вариантах: параллельный перенос, тождественное преобразование, поворот вокруг оси, симметрия относительно прямой или плоскости, центральная, поворотная, переносная симметрия.

Движение и равные фигуры

Если возможно такое движение, которое приведет к совмещению одной фигуры с другой, такие фигуры называют равными (конгруэнтными). Две фигуры, равные третьей, равны и между собою – такое утверждение было сформулировано еще Евклидом, основоположником геометрии.

Понятие конгруэнтных фигур может быть объяснено и более простым языком: равными называются такие фигуры, которые полностью совпадут при наложении их друг на друга.

Это достаточно легко определить, если фигуры даны в виде неких предметов, которыми можно манипулировать – например, вырезаны из бумаги, поэтому в школе на уроках нередко прибегают к такому способу объяснения данного понятия. Но две фигуры, начерченные на плоскости, нельзя физически наложить друг на друга. В данном случае доказательством равенства фигур выступает доказательство равенства всех элементов, составляющих эти фигуры: длина отрезков, размер углов, диаметр и радиус, если речь идет об окружности.

Равновеликие и равносоставленные фигуры

С равными фигурами не следует смешивать равновеликие и равносоставленные фигуры – при всей близости данных понятий.
Равновеликими называются такие фигуры, которые имеют равную площадь, если это фигуры на плоскости, или равный объем, если речь идет о трехмерны телах. Совпадение всех элементов, составляющих данные фигуры, не является обязательным. Равные фигуры будут равновеликими всегда, но не всякие равновеликие фигуры можно назвать равными.

Понятие равносоставленности чаще всего применяют к многоугольникам. Оно подразумевает, что многоугольники можно разбить на одинаковое количество соответственно равных фигур. Равносоставленные многоугольники всегда являются равновеликими.

Источник