Что означает среднее арифметическое

Общие сведения

Понятие среднеарифметической величины впервые предложил древнегреческий ученый — Пифагор. Позднее этот термин стал использоваться в математике. Чтобы понять его смысл, необходимо получить базовые знания о числовых значениях. Они делятся на 2 вида:

Первый тип — натуральные числа, они применяются при устном счете предметов.

Дробные бывают также двух типов:

Десятичные дроби делятся на конечные, периодические и непериодические бесконечные. Первый тип состоит из целой и дробной частей, разделенных между собой запятыми. Как правило, количество разрядов ограничено определенным значением. Если рассматривать бесконечные периодические десятичные дробные выражения, они состоят из множества элементов. Последние повторяются с определенной периодичностью. Например, 5,(321), где величина периода указывается в круглых скобках.

В случае когда дробное тождество является бесконечным непериодическим, очень часто представление осуществляется в форме обыкновенной дроби. Последняя состоит из делимого и делителя, отделенных друг от друга косой чертой «/». Первый элемент именуется числителем, а второй — знаменателем.

Обыкновенные дробные выражения бывают правильными, неправильными, а также могут записываться в форме смешанного числа, т. е. величины, состоящей из целого компонента и обыкновенной правильной дроби.

Перед подсчетом значения среднего арифметического в 5 классе специалисты рекомендуют ознакомиться с алгоритмом работы со смешанными величинами.

Смешанные числа

Смешанные числа являются промежуточными величинами между обыкновенными дробями и целыми. Не каждое дробное тождество можно представить в таком виде. Для этого подойдет только неправильное выражение. Алгоритм преобразования:

Методика обратной конвертации смешанного числа в неправильное дробное выражение является еще одной операцией, о которой нужно знать. Ее реализация:

Специалисты рекомендуют начинающему математику потренироваться, придумывая различные задания на конвертацию числовых выражений.

Далее необходимо перейти непосредственно к определению, позволяющему расшифровать, что значит среднее арифметическое чисел, а также к самой методике расчета искомой величины.

Алгоритм нахождения среднего значения

Среднее арифметическое — математическая характеристика, позволяющая найти оптимальное значение.

Например, на уроках выставляется оценка за месяц. Для ее вычисления необходимо найти среднее значение всех отметок, полученных учеником.

Кроме того, среднее арифметическое используется при вычислении какой-либо характеристики опытным путем.

Например, при расчете заряда электрона производится определенное количество измерений, а затем рассчитывается средняя величина заряда частицы.

Методика определения среднеарифметического значения:

Для реализации алгоритма на практике необходимо записать несколько чисел — 4, 7, 8, 12, 15. Решение выглядит следующим образом:

В некоторых случаях результат необходимо округлять. Однако этого можно не делать при подсчете какой-либо физической величины.

При проведении опытов необходимо брать больше значений, поскольку это существенно влияет на точность получения данных.

Пример решения

Для закрепления теории необходимо разобрать пример и решить его. Например, нужно найти среднее арифметическое четырех смешанных чисел, а именно: 3 2/3, 4 5/7 и 6 3/8.

Решение выполняется по следующему алгоритму:

При получении результата в виде неправильной дроби, его нужно преобразовать в смешанную величину. Это считается «правилом хорошего тона» в математике, поскольку любой ответ должен переводиться в читабельную сокращенную форму.

Кроме того, можно проверить результат выполнения операции, воспользовавшись онлайн-сервисами. Однако пользоваться ими часто не рекомендуется, поскольку нужно уметь искать ошибки самостоятельно.

Таким образом, для вычисления среднеарифметического значения необходимо знать специальную методику, предложенную специалистами в области математики.

Источник

Что такое среднее арифметическое чисел: двух, трех, четырех и тд

В данной публикации мы рассмотрим, что такое среднее арифметическое чисел (двух, трех, четырех и т.д.), приведем формулу, с помощью которой его можно найти, а также разберем примеры задач для лучшего понимания теоретического материала.

Определение и формула

Среднее арифметическое двух и более чисел – это отношение их общей суммы к их количеству. Вычисляется следующим образом:

Частные случаи формулы:

» data-lang=»default» data-override=»<"emptyTable":"","info":"","infoEmpty":"","infoFiltered":"","lengthMenu":"","search":"","zeroRecords":"","exportLabel":"","file":"default">» data-merged=»[]» data-responsive-mode=»2″ data-from-history=»0″>

» data-order=»» style=»min-width:66.4828%; width:66.4828%;»>

» data-order=»«>

» data-order=»«>

Примечание: Для обозначения среднего арифметического обычно используется греческая буква μ (читается как “мю”).

Примеры задач

Задание 1
У Пети было 4 яблока, у Даши – 6, а у Лены – 5. Они решили сложить все фрукты вместе и разделить поровну на каждого. Вычислите, сколько яблок достанется каждому.

Решение
В данном случае у нас три числа, и требуется найти их среднее арифметическое. Для этого воспользуемся представленной выше формулой:

Ответ: каждому полагается 5 яблок.

Задание 2
На преодоление дистанции из точки A в точку B спортсмен потратил 5 часов, при этом его скорость была следующей: первые два часа – 6 км/ч, затем два часа – 9 км/ч, и последние 60 минут – 7 км/ч. Найдите среднюю скорость.

Решение
Итак, нам нужно вычислить среднее арифметическое пяти чисел, которые соответствуют скоростям за каждый час бега:

Ответ: средняя скорость спортсмена – 7,4 км/ч.

Источник

Как находить и вычислять для двух среднее арифметическое значение

Под понятием среднего арифметического чисел подразумевается результат несложной последовательности расчётов средней величины для ряда чисел, определённых заранее. Необходимо отметить, что такое значение в данное время широко применяется специалистами ряда отраслей. Например, известны формулы при проведении расчётов экономистами или работниками статистической отрасли, где требуется иметь значение данного типа. Кроме этого, этот показатель активно используют и в ряде других отраслей, которые являются смежными с вышеуказанными.

Одной из особенностей расчётов данного значения является простота процедуры. Провести расчёты сможет любой желающий. Для этого не надо иметь специальное образование. Часто нет необходимости применять и вычислительную технику.

В качестве ответа на вопрос как найти среднее арифметическое рассмотрим ряд ситуаций.

Подсчёт среднего арифметического пары

Самым простым вариантом расчёта данной величины есть подсчёт её для двух чисел. Процедура проведения расчёта в этом случае является очень простой:

Формула

Таким образом, формула для подсчёта требуемой величины в случае с двумя будет выглядеть следующим образом:

В этой формуле применяется следующее обозначение:

А и В – это заранее выбранные числа, для которых необходимо находить значение.

Нахождение значения для трёх

Проведение расчёта данной величины в ситуации, когда выбраны три числа, не будет сильно отличаться от предыдущего варианта:

Формула

Тем самым формула, необходимая при проведении расчётов арифметического трёх, будет выглядеть так:

В данной формуле принято следующее обозначение:

А, В и С – это числа, к которым необходимо будет находить среднее арифметическое.

Вычисление среднего арифметического четырёх

Как уже видно по аналогии с предыдущими вариантами вычисление данного значения для количества, равного четырём, будет носить следующий порядок:

Формула

Из описанной выше последовательности действий по нахождению среднего арифметического для четырёх, можно получить следующую формулу:

В данной формуле переменные имеют следующее значение:

А, В, С и Е – это те, к которым необходимо найти значение среднего арифметического.

Применяя данную формулу, всегда можно будет вычислять требуемое значение для данного количества чисел.

Подсчёт среднего арифметического пяти

Выполнение данной операции потребует проведения определённого алгоритма действий.

Формула

Тем самым аналогично с ранее рассмотренными вариантами получаем такую формулу для подсчёта среднего арифметического:

В данной формуле переменные имеют такое обозначение:

А, В, С, Е и Р – это числа, для которых необходимо получить среднее арифметическое.

Универсальная формула вычисления

Проводя рассмотрение различных вариантов формул для вычисления среднего арифметического, можно обратить внимание на то, что у них есть общая закономерность.

Поэтому практичнее будет применять общую формулу для нахождения среднего арифметического. Ведь бывают ситуации, когда количество и величина расчётов может быть очень большой. Поэтому разумнее будет использовать универсальную формулу и не выводить каждый раз индивидуальную технологию для расчёта данной величины.

Главным при определении формулы является принцип расчёта среднего арифметического.

Данный принцип как было видно из приведённых примеров, выглядит таким образом:

Таким образом, общая формула для расчёта среднего арифметического ряда подобранных чисел будет выглядеть следующим образом:

(А+В+…+N)/N

Данная формула содержит следующие переменные:

А и В – это числа, которые выбраны заранее для расчёта их среднего арифметического.

N – это количество чисел, которые были взяты с целью проведения расчёта требуемого значения.

Подставляя каждый раз в данную формулу выбранные числа, мы всегда сможем получить требуемое значение среднего арифметического.

Как видно, нахождение среднего арифметического является несложной процедурой. Однако надо внимательно относиться к проводимым вычислениям и проводить проверку полученного результата. Такой подход объясняется тем, что даже в самых простых ситуациях существует вероятность получения ошибки, которая может повлиять потом на дальнейшие расчёты. В связи с этим рекомендуется применять вычислительную технику, которая способна произвести подсчёты любой сложности.

Видео

Из видео вы узнаете, как находить среднее арифметическое.

Источник

Что такое среднее арифметическое чисел

Средне-арифметическое – что это значит?

Не только в различных математических науках, но и в повседневной жизни возникают случаи, когда нужно рассчитать средний показатель чего-либо. Например, среднюю стоимость огурцов на рынке, средний рост ребенка, среднюю стоимость проживания в гостинице и пр.

Всему этому уже давно было придумано научное название – «среднее арифметическое». Данный показатель активно применяется в статистике для обобщения результатов. К примеру, средний возраст для рождения детей, средний возраст смерти среди мужчин и женщин, средняя заработная плата по регионам и по России в целом.

К примеру, при принятии закона о повышении пенсионного возраста, власти как раз исходили из среднего возраста смерти в нашей стране.

Разберемся, что же представляет собой данный показатель.

Среднее арифметическое – это усредненный показатель всех имеющихся значений. Для его расчета необходимо суммировать все участвующие в операции числа, после чего разделить на их общее количество.

К примеру, в 2017 году полное среднее образование получили дети разных возрастов : 16, 17 и 18 лет. Среднее арифметическое будет рассчитано, как сумма всех возрастов, деленная на три. Итого средний возраст ребёнка, окончившего 11 класс, составил 17 лет.

В данном примере показан примитивный расчет на примере трех детей. По факту суммировать нужно все данные, имеющиеся в наличии. То есть если речь будет идти о пяти детях, то мы суммируем их возраст, к примеру, 17+17+18+16+17 и делим полученное на пять.

Аналогично производится расчет любого среднего арифметического для какой-либо операции. То есть, если, например, нужно подсчитать средний возраст матерей, родивших первого ребенка в 2017 году, то сначала нужно будет суммировать все показатели возраста, после чего поделить на общее число родительниц.

То есть в общем виде формулу можно представить так:

Среднее арифметическое = (сумма всех имеющихся значений)/общее число значений, что участвуют в операции.

Таким образом, расчет довольно прост, даже для школьников. Затруднения могут возникнуть лишь по причине большого количества респондентов, участвующих в операции.

Важно понимать, что средний показатель не является просто числом. Он имеет особый физический смысл, который уже долгие годы применяется в реальном мире на практике.

Неправильным было бы использование среднего арифметического лишь на бумаге, в тетради или в компьютерных программах. В противном случае, можно получить множество бессмысленных и просто нереальных значений.

Средних, на самом деле, существует несколько. Однако в каждом случае, только одно из них верное. В каждой из операций, нужно использовать только тот вид среднего, который необходим, иначе будет допущена огромная ошибка.

Какие виды средних используются на практике? Самые распространенные средние – это:

Эти значения наиболее часто используются, как в повседневной жизни, так и в науках. Наиболее часто, конечно же, рассчитывается первый показатель.

Зачастую данный показатель в реальных условиях применяется и рассчитывается неверно. Почему так происходит? Фактически, базой среднего арифметического выступает применение закона о больших числах. Кроме того, применяется и допущение, согласно которому исходная величина является нормально определенной.

Это означает, что вокруг представленного в ряде значений, имеется наиболее частое отклонение в какую-либо сторону. То есть. В большую или меньшую. Например, в ряду чисел 8,8,9,8,9,8,8, отклонение будет в меньшую сторону, так как больше восьмерок. А в ряде: 17,17, 20,20,20,20,20, отклонение, наоборот, будет в большую сторону, так как в этом случае больше все же «двадцаток».

Однако в большинстве случаев, такие отклонения являются небольшими и обычно равными по вероятности. Суть проблемы в том, что в бизнесе, как и в реальной жизни, нормальность распределения на практике можно встретить крайне редко.

То есть, к примеру, время обслуживания одного клиента, время, которое клиенту ожидают этого обслуживания, сумма, на которую они потом заключат контракт, рыночная доля, прирост доходов и прочее, являются теми показателями, что не распределяются равномерно и нормально. Их усреднять в некоторых случаях нежелательно именно при помощи среднего арифметического. Потому что это было бы неправильно.

На практике нормальность распределения часто можно встретить при наличии большого количества значений, начиная с сотен и тысяч. К примеру, количество обращений в техническую поддержку крупной компании может быть распределено нормально, как на бумаге, так и фактически.

Тем не менее, только лишь количества не будет достаточно, ведь в каждой конкретной ситуации нужно следить и за правильностью распределения. Только так можно будет правильно в итоге рассчитать значение среднего арифметического.

Источник

Что такое среднее арифметическое?

Среднее арифметическое набора чисел определяется как их сумма, деленная на их количество. То есть сумма всех чисел набора делится на количество чисел в этом наборе.

Сре́днее арифмети́ческое (в математике и статистике) — одна из наиболее распространенных мер центральной тенденции, представляющая собой сумму всех зафиксированных значений, деленную на их количество.
У этого термина существуют и другие значения, см. среднее значение.
Сре́днее арифмети́ческое (в математике и статистике) — одна из наиболее распространённых мер центральной тенденции, представляющая собой сумму всех зафиксированных значений, делённую на их количество.

Предложена (наряду со средним геометрическим и средним гармоническим) еще пифагорейцами [1].

Частными случаями среднего арифметического являются среднее (генеральной совокупности) и выборочное среднее (выборки).

Содержание [показать]
Введение [править | править вики-текст]
Обозначим множество данных X = (x1, x2, …, xn), тогда выборочное среднее обычно обозначается горизонтальной чертой над переменной (\bar \,, произносится «x с чертой»).

Для обозначения среднего арифметического всей совокупности используется греческая буква μ. Для случайной величины, для которой определено среднее значение, μ есть вероятностное среднее или математическое ожидание случайной величины. Если множество X является совокупностью случайных чисел с вероятностным средним μ, тогда для любой выборки xi из этой совокупности μ = E есть математическое ожидание этой выборки.

На практике разница между μ и \bar \, в том, что μ является типичной переменной, потому что видеть можно скорее выборку, а не всю генеральную совокупность. Поэтому, если выборку представлять случайным образом (в терминах теории вероятностей), тогда \bar \, (но не μ) можно трактовать как случайную переменную, имеющую распределение вероятностей на выборке (вероятностное распределение среднего).

Обе эти величины вычисляются одним и тем же способом:

\bar = \frac<1>\sum_^n x_i = \frac<1> (x_1+\cdots+x_n).
Если X — случайная переменная, тогда математическое ожидание X можно рассматривать как среднее арифметическое значений в повторяющихся измерениях величины X. Это является проявлением закона больших чисел. Поэтому выборочное среднее используется для оценки неизвестного математического ожидания.

В элементарной алгебре доказано, что среднее n + 1 чисел больше среднего n чисел тогда и только тогда, когда новое число больше чем старое среднее, меньше тогда и только тогда, когда новое число меньше среднего, и не меняется тогда и только тогда, когда новое число равно среднему. Чем больше n, тем меньше различие между новым и старым средними значениями.

Заметим, что имеется несколько других «средних» значений, в том числе среднее степенное, среднее Колмогорова, гармоническое среднее, арифметико-геометрическое среднее и различные средне-взвешенные величины.

Примеры [править | править вики-текст]
Для трёх чисел необходимо сложить их и разделить на 3:
\frac<3>.
Для четырёх чисел необходимо сложить их и разделить на 4:
\frac<4>.
Или проще 5+5=10, 10:2. Потому что мы складывали 2 числа, а значит, сколько чисел складываем, на столько и делим.

Непрерывная случайная величина [править | править вики-текст]
Для непрерывно распределённой величины f(x) среднее арифметическое на отрезке [a;b] определяется через определённый интеграл: Некоторые проблемы применения среднего Отсутствие робастности [править Основная статья: Робастность в статистикеХотя среднее арифметическое часто используется в качестве средних значений или центральных тенденций, это понятие не относится к робастной статистике, что означает, что среднее арифметическое подвержено сильному влиянию «больших отклонений». Примечательно, что для распределений с большим коэффициентом асимметрии среднее арифметическ

Источник