Что означает сократить дробь

Как сокращать дроби: простые примеры с подробными решениями

Содержание:

В этой статье коротко предоставим информацию о том, как сокращать дроби. Сначала приведем немного теоретической части, а затем подкрепим ее решением практических задач.

Что означает сократить дробь

Как сокращаются дроби

Как привести дробь к несократимому виду

Обычно алгебраическое решение любой задачи по сокращению дробей сводится к получению равной дроби, но в несокращаемом виде. Чтобы получить несократимую дробь, ее делят на определенное число, которое называется наибольший общий делитель (сокращенно НОД):

Практически рассмотрим, используя дробь \frac < 6 > < 12 >. Ее можно сократить на НОД, который равняется 6. Тогда 6 : 6 = 1 и 12 : 6 = 2. Следовательно:

Последняя дробь является несократимой.

Следует обратить внимание, что в большинстве случаев если требуется выполнить сокращение дробей, то это значит выполнить до получения несократимой дроби.

Как сократить большую дробь

В качестве нового примера возьмем дробь 144192. Сначала найдем наибольший общий делитель для чисел 144 и 192. Для этого можно применить метод разложения на простые множители:

144 : 2 = 72 192 : 2 = 96

72 : 2 = 36 96 : 2 = 48

36 : 2 = 18 48 : 2 = 24

18 : 2 = 9 24 : 2 = 12

Тогда наибольшим общим множителем для данных чисел будет число 48 = 3 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2.

Разделив исходную дробь на 48 получим несократимую дробь:

Разберем еще один способ, который позволяет сокращать числитель и знаменатель дроби последовательно на делитель, который без труда определяется по простейшим математическим признакам. Если требуется сократить дробь типа 40008 800, то можно сразу же определить, что здесь присутствует общий множитель 100, который можно вынести за скобку:

Далее невооруженным глазом заметно, что оба числа делятся на 2, а результат опять на 2 и т. д. В конечном итоге получаем несократимую дробь \frac < 5 > < 11 >= \frac < 4000 > < 8800 >. Теперь можно сказать, что наибольшим общим делителем для данной дроби было число 800.

В заключении заметим, что если знаменатель дроби представляет собой числитель, возведенный в квадрат, то такая дробь в несокращаемом виде всегда будет представлять собой: 1 – в числителе + число, значившееся числителем до сокращения, в знаменателе:

Источник

Сокращение дробей. Что значит сократить дробь?

Сокращение дробей нужно для того, чтобы привести дробь к более простому виду, например, в ответе полученном в результате решения выражения.

Сокращение дробей, определение и формула.

Что такое сокращение дробей? Что значит сократить дробь?

Определение:
Сокращение дробей – это разделение у дроби числитель и знаменатель на одно и то же положительное число не равное нулю и единице. В итоге сокращения получается дробь с меньшим числителем и знаменателем, равная предыдущей дроби согласно основному свойству рациональных чисел.

Формула сокращения дробей основного свойства рациональных чисел.

Рассмотрим пример:
Сократите дробь \(\frac<9><15>\)

Решение:
Мы можем разложить дробь на простые множители и сократить общие множители.

Ответ: после сокращения получили дробь \(\frac<3><5>\). По основному свойству рациональных чисел первоначальная и получившееся дробь равны.

Как сокращать дроби? Сокращение дроби до несократимого вида.

Чтобы нам получить в результате несократимую дробь, нужно найти наибольший общий делитель (НОД) для числителя и знаменателя дроби.

Есть несколько способов найти НОД мы воспользуемся в примере разложением чисел на простые множители.

Получите несократимую дробь \(\frac<48><136>\).

Решение:
Найдем НОД(48, 136). Распишем числа 48 и 136 на простые множители.
48=2⋅2⋅2⋅2⋅3
136=2⋅2⋅2⋅17
НОД(48, 136)= 2⋅2⋅2=6

Правило сокращения дроби до несократимого вида.

Пример:
Сократите дробь \(\frac<152><168>\).

Решение:
Найдем НОД(152, 168). Распишем числа 152 и 168 на простые множители.
152=2⋅2⋅2⋅19
168=2⋅2⋅2⋅3⋅7
НОД(152, 168)= 2⋅2⋅2=6

Ответ: \(\frac<19><21>\) несократимая дробь.

Сокращение неправильной дроби.

Как сократить неправильную дробь?
Правила сокращения дробей для правильных и неправильных дробей одинаковы.

Рассмотрим пример:
Сократите неправильную дробь \(\frac<44><32>\).

Решение:
Распишем на простые множители числитель и знаменатель. А потом общие множители сократим.

Сокращение смешанных дробей.

Смешанные дроби по тем же правилам что и обыкновенные дроби. Разница лишь в том, что мы можем целую часть не трогать, а дробную часть сократить или смешанную дробь перевести в неправильную дробь, сократить и перевести обратно в правильную дробь.

Рассмотрим пример:
Сократите смешанную дробь \(2\frac<30><45>\).

Решение:
Решим двумя способами:
Первый способ:
Распишем дробную часть на простые множители, а целую часть не будем трогать.

Второй способ:
Переведем сначала в неправильную дробь, а потом распишем на простые множители и сократим. Полученную неправильную дробь переведем в правильную.

Вопросы по теме:
Можно ли сокращать дроби при сложении или вычитании?
Ответ: нет, нужно сначала сложить или вычесть дроби по правилам, а только потом сокращать. Рассмотрим пример:

Решение:
Часто допускают ошибку сокращая одинаковые числа в числителе и знаменателе в нашем случаем число 20, но их сокращать нельзя пока не выполните сложение и вычитание.

На какие числа можно сокращать дробь?
Ответ: можно сокращать дробь на наибольший общий делитель или обычный делитель числителя и знаменателя. Например, дробь \(\frac<100><150>\).

Распишем на простые множители числа 100 и 150.
100=2⋅2⋅5⋅5
150=2⋅5⋅5⋅3
Наибольшим общим делителем будет число НОД(100, 150)= 2⋅5⋅5=50

Получили несократимую дробь \(\frac<2><3>\).

Но необязательно всегда делить на НОД не всегда нужна несократимая дробь, можно сократить дробь на простой делитель числителя и знаменателя. Например, у числа 100 и 150 общий делитель 2. Сократим дробь \(\frac<100><150>\) на 2.

Получили сократимую дробь \(\frac<50><75>\).

Какие дроби можно сокращать?
Ответ: сокращать можно дроби у которых числитель и знаменатель имеют общий делитель. Например, дробь \(\frac<4><8>\). У числа 4 и 8 есть число, на которое они оба делятся это число 2. Поэтому такую дробь можно сократить на число 2.

Пример:
Сравните две дроби \(\frac<2><3>\) и \(\frac<8><12>\).

Эти две дроби равны. Рассмотрим подробно дробь \(\frac<8><12>\):

Две дроби равны тогда и только тогда, когда одна из них получена путем сокращения другой дроби на общий множитель числителя и знаменателя.

Пример:
Сократите если возможно следующие дроби: а) \(\frac<90><65>\) б) \(\frac<27><63>\) в) \(\frac<17><100>\) г) \(\frac<100><250>\)

Источник

Сокращение дробей: правила и примеры

Разберемся в том, что такое сокращение дробей, зачем и как сокращать дроби, приведем правило сокращения дробей и примеры его использования.

Что такое «сокращение дробей»

В результате такого действия получится дробь с новым числителем и знаменателем, равная исходной дроби.

Приведение дробей к несократимому виду

Это можно сделать, если сократить числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель (НОД). Тогда, по свойству наибольшего общего делителя, в числителе и в знаменателе будут взаимно простые числа, и дробь окажется несократимой.

Приведение дроби к несократимому виду

Чтобы привести дробь к несократимому виду нужно ее числитель и знаменатель разделить на их НОД.

6 24 = 6 ÷ 6 24 ÷ 6 = 1 4

Сокращение дробей удобно применять, чтобы не работать с большими цифрами. Вообще, в математике существует негласное правило: если можно упростить какое-либо выражение, то нужно это делать. Под сокращением дроби чаще всего подразумевают ее приведение к несократимому виду, а не просто сокращение на общий делитель числителя и знаменателя.

Правило сокращения дробей

Чтобы сокращать дроби достаточно запомнить правило, которое состоит из двух шагов.

Правило сокращения дробей

Чтобы сократить дробь нужно:

Рассмотрим практические примеры.

Пример 1. Сократим дробь.

Найдем НОД числителя и знаменателя. Для этого в данном случае удобнее всего воспользоваться алгоритмом Евклида.

182 195 = 182 ÷ 13 195 ÷ 13 = 14 15

Готово. Мы получили несократимую дробь, которая равна исходной дроби.

Как еще можно сокращать дроби? В некоторых случаях удобно разложить числитель и знаменатель на простые множители, а потом из верхней и нижней частей дроби убрать все общие множители.

Пример 2. Сократим дробь

Для этого представим исходную дробь в виде:

360 2940 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 2 · 2 · 3 · 5 · 7 · 7

Избавимся от общих множителей в числителе и знаменателе, в результате чего получим:

360 2940 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 2 · 2 · 3 · 5 · 7 · 7 = 2 · 3 7 · 7 = 6 49

Наконец, рассмотрим еще один способ сокращения дробей. Это так называемое последовательное сокращение. С использованием этого способа сокращение производится в несколько этапов, на каждом из которых дробь сокращается на какой-то очевидный общий делитель.

Пример 3. Сократим дробь

2000 4400 = 2000 ÷ 100 4400 ÷ 100 = 20 44

20 44 = 20 ÷ 2 44 ÷ 2 = 10 22

Получившийся результат снова сокращаем на 2 и получаем уже несократимую дробь:

Источник

Основные сведения о сокращении дробей — правила и свойства сокращения

Что такое «сокращение дробей»

Сокращение дроби — деление ее числителя и знаменателя на какой-то общий делитель.

Условия для общего делителя:

Итогом сокращения является некая новая дробь, которая равна начальной дроби.

Основное свойство дроби

Ключевое свойство дроби: при умножении или делении числителя и знаменателя дроби на одинаковое натуральное число в результате получается дробь, которая равна начальной дроби.

Правило сокращения дробей

Сокращение дробей состоит в том, чтобы в результате получить в числителе и знаменателе минимальные из возможных чисел.

Смысл сокращения заключается в получении несократимой дроби. Для этого требуется разделить числитель и знаменатель на наибольший общий делитель ( Н О Д ). В итоге дробь будет преобразована в несократимую дробь.

a ÷ Н О Д ( a ; b ) b ÷ Н О Д ( a ; b )

Данная дробь является несократимой. Этот вывод сделан на основании свойства Н О Д :

Алгоритм сокращения

Сокращение любой обыкновенной дроби следует выполнять в соответствии со стандартным алгоритмом:

Секретом быстрого сокращения дроби является умение определять Н О Д для числителя и знаменателя. Хорошими помощниками в этом случае станут таблица умножения и навыки разложения чисел на простейшие множители.

При умножении всех общих множителей получается:

Н О Д для 36 и 84 равен 12.

Допускается последовательное сокращение числителя и знаменателя на общий делитель. Данная методика позволяет упростить сокращение дробей, на месте числителя и знаменателя в которых присутствуют крупные числа, а определенный ранее НОД вызывает сомнения.

Характерные примеры

Дана дробь, которую требуется сократить:

Заметим, что в условии задания записана обыкновенная дробь. Воспользуемся стандартным алгоритмом сокращения, то есть выполним деление числителя и знаменателя на общий делитель 3. Получим:

3 15 = 3 ÷ 3 15 ÷ 3 = 1 5

Нужно выполнить сокращение обыкновенной дроби:

Сократить дробь получится, если найти частное от деления числителя и общего делителя, знаменателя и общего делителя. Общим делителем является число 2. Получим:

4 16 = 4 ÷ 2 16 ÷ 2 = 2 8

Далее можно еще раз сократить дробь, то есть разделить числитель и знаменатель на число 2:

Нужно сократить дробь:

В первую очередь следует выполнить разложение чисел, которые записаны в числителе и знаменателе:

Можно исключить общие множители и найти произведение оставшихся:

135 180 = 3 2 × 2 = 3 4

Дана обыкновенная дробь, которую нужно сократить:

18 81 = 18 ÷ 9 81 ÷ 9 = 2 9

Требуется сократить дробь:

150 225 = 50 75 = 10 15 = 2 3

Дана дробь, которую требуется сократить:

Определим Н О Д путем разложения числителя и знаменателя, чтобы получить простые множители:

168 = 2 × 2 × 2 × 3 × 7

240 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 5

Найдем произведение всех общих множителей:

Таким образом, Н О Д 168 и 240 составляет 24.

Далее следует разделить числитель и знаменатель дроби на Н О Д :

168 240 = 168 ÷ 24 240 ÷ 24 = 7 10

Нужно выполнить сокращение дроби:

Определим Н О Д путем разложения числителя и знаменателя на простые множители:

360 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5

540 = 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 5

Перемножим все общие множители, получим:

2 × 2 × 3 × 3 × 5 = 180

В результате, Н О Д для 360 и 540 составит 180.

Далее необходимо разделить числитель и знаменатель дроби на Н О Д :

360 540 = 360 ÷ 180 540 ÷ 180 = 2 3

Привести дробь к несократимому виду:

420 = 2 × 2 × 3 × 5 × 7

2520 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5 × 7

Произведение общих множителей равно:

2 × 2 × 3 × 5 × 7 = 420

В результате Н О Д для 420 и 2520 равен 420.

420 2520 = 420 ÷ 420 2520 ÷ 420 = 1 6

Привести дробь к несократимому виду:

1575 = 3 × 3 × 5 × 5 × 7

3450 = 2 × 3 × 5 × 5 × 23

Найдем произведение общих множителей:

Н О Д для 1575 и 3450 составляет 72.

Сократим дробь с помощью деления числителя и знаменателя дроби на НОД:

Источник

Как сокращать алгебраические дроби?

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Определение

Алгебраическая дробь — это дробь, в числителе и/или знаменателе которой стоят алгебраические выражения (буквенные множители). Вот так:

Алгебраическая дробь содержит буквенные множители и степени.

Необыкновенной алгебраическую дробь делают буквы. Если заменить их на цифры, то карета превратится в тыкву — алгебраическая дробь тут же станет обыкновенной.

Если вы засомневались, что должно быть сверху — числитель или знаменатель — переходите по ссылке и освежите знания по теме обыкновенных дробей.

Сокращение алгебраических дробей

Сократить алгебраическую дробь — значит разделить ее числитель и знаменатель на общий множитель. Общий множитель числителя и знаменателя в алгебраической дроби — многочлен и одночлен.

Если в 7 классе только и разговоров, что об обыкновенных дробях, то 8 класс сокращает исключительно алгебраические дроби.

Сокращение дробей с буквами и степенями проходит в три этапа:

Для сокращения степеней в дробях применяем правило деления степеней с одинаковыми основаниями:

Пример сокращения дроби со степенями и буквами:

Получаем сокращенную дробь.

Запоминаем: сокращать можно только одинаковые буквенные множители. Иными словами, сокращать можно только дроби с одинаковыми буквами.

❌ Так нельзя	✅ Так можно

Примеры сокращения алгебраических дробей с одночленами:

Пример сокращения №1.

Получаем сокращенную алгебраическую дробь.

Пример сокращения №2.

Получаем сокращенную дробь.

Сокращение алгебраических дробей с многочленами

Чтобы верно сократить алгебраическую дробь с многочленами, придерживайтесь двух главных правил:

Запомните: многочлены в алгебраической дроби находятся в скобках. Между этими скобками вклиниться может только знак умножения. Всем остальным знакам там делать нечего.

Примеры сокращения алгебраических дробей с многочленами:

Последовательно сокращаем: сначала x, затем (x+c), далее сокращаем дробь на 6 (общий множитель).

Сокращаем многочлены a+b (в дроби их 3). Многочлен в числителе стоит в квадрате, поэтому мысленно оставляем его при сокращении.

Вынесение общего множителя при сокращении дробей

При сокращении алгебраических дробей иногда не хватает одинаковых многочленов. Для того, чтобы они появились, вынесите общий множитель за скобки.

Чтобы легко и непринужденно выносить множитель за скобки, пошагово выполняйте 4 правила:

Алгебра не терпит неточность. Всегда проверяйте, верно ли вынесен множитель за скобки — сделать это можно по правилу умножения многочлена на одночлен.

Пример 1.

Пример 2.

Как решаем: выносим общий множитель a за скобки и сокращаем оставшиеся в скобках многочлены.

Сокращение дробей. Формулы сокращенного умножения

Перед формулами сокращенного умножения не устоит ни одна дробь — даже алгебраическая.

Чтобы легко ориентироваться в формулах сокращенного умножения, сохраняйте и заучивайте таблицу. Формулы подскажут вам, как решать алгебраические дроби.

Примеры сокращения дробей с помощью формул сокращенного умножения:

Чтобы раскрыть тему сокращения алгебраических дробей и полностью погрузиться в мир числителей и знаменателей, решите следующие примеры для самопроверки.

Примеры сокращения дробей за 7 и 8 классы

Тема сокращения алгебраических дробей достаточно обширна, и требует к себе особого внимания. Чтобы знания задержалась в голове хотя бы до ЕГЭ, сохраните себе памятку по сокращению дробей. Этот алгоритм поможет не растеряться при встрече с алгебраическими дробями лицом к лицу.

Источник