Что называют скрещивающимися прямыми

Скрещивающиеся прямые

Скрещивающиеся прямые – прямые, которые невозможно поместить в одну плоскость, то есть они не параллельны и не пересекаются.

Признак скрещивающихся прямых

Расстояние между скрещивающимися прямыми

Через две скрещивающиеся прямые можно провести две параллельные плоскости (единственным образом).

Расстояние между скрещивающимися прямыми – есть расстояние между этими плоскостями.

Общий перпендикуляр к двум скрещивающимся прямым

Общим перпендикуляром к двум скрещивающимся прямым называется отрезок, перпендикулярный каждой из двух скрещивающихся прямых, концы которого лежат на этих прямых.

Длина общего перпендикуляра равна расстоянию между скрещивающимися прямыми.

Угол между скрещивающимися прямыми

Углом между двумя скрещивающимися прямыми называется угол между двумя пересекающимися прямыми, соответственно параллельными данным скрещивающимся прямым.

(Одну из прямых можно вполне и не переносить параллельно самой себе, а ограничиться только параллельным переносом одной из прямых до пересечения со второй).

Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:

Источник

Инструменты пользователя

Инструменты сайта

Боковая панель

Стереометрия:

Контакты

Скрещивающиеся прямые

Скрещивающимися прямыми называются прямые, не лежащие в одной плоскости.

Свойство скрещивающихся прямых. Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит плоскость, параллельная другой прямой, и притом только одна.

Угол между скрещивающимися прямыми – угол между прямыми, параллельными скрещивающимся и проходящими через произвольную точку пространства.

Признак скрещивающихся прямых:

Если одна из двух данных прямых лежит в плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не принадлежащей первой прямой, то данные прямые являются скрещивающимися. См.Рис.1.

Расстояние между скрещивающимися прямыми:

Расстоянием между скрещивающимися прямыми называется расстояние между параллельными плоскостями, содержащими данные скрещивающиеся прямые. См.Рис.2.

Для того чтобы найти расстояние между скрещивающимися прямыми, надо:

Теорема об общем перпендикуляре двух скрещивающихся прямых. Для любых двух скрещивающихся прямых существует единственный общий перпендикуляр. См.Рис.3.

Длина общего перпендикуляра d равна расстоянию между скрещивающимися прямыми.

Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между пересекающимися прямыми, параллельными данным скрещивающимися прямым.

Источник

Скрещивающиеся прямые

Урок 7. Геометрия 10 класс ФГОС

В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам

Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобрев в каталоге.

Получите невероятные возможности

Конспект урока «Скрещивающиеся прямые»

· дадим определение скрещивающихся прямых;

· рассмотрим возможные случаи взаимного расположения двух прямых в пространстве;

· докажем теорему, которая выражает признак скрещивающихся прямых

· докажем теорему о том, что через каждую из скрещивающихся прямых можно провести плоскость, параллельную другой прямой.

Для начала давайте вспомним определение параллельных прямых в пространстве. Итак, две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Давайте рассмотрим все тот же наш любимый куб ABCDA₁B₁C₁D₁.

Понятно, что прямые, на которых лежат его ребра AB и DC параллельны, ведь они лежат в одной плоскости, например, ABC и не пересекаются.

Проведем диагонали AB₁A₁B грани AA₁B₁B. Видно, что прямые на которых лежат указанные диагонали расположены в одной плоскости AA₁B₁ и пересекаются.

Теперь давайте проведем диагональ куба B₁D. И попытаемся разобраться о взаимном расположении прямых, на которых лежат диагональ B₁D и ребро AA₁. Обратите внимание, что нет такой плоскости, которая проходила бы через обе эти прямые. Значит, параллельными они быть не могут, по определению параллельности прямых в пространстве. Пересекаться также не могут, так как не лежат в одной плоскости.

Для такого случая расположения прямых также есть название. Такие прямые называют скрещивающимися.

Определение. Две прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости.

На экране изображены скрещивающиеся прямые а и b. Их обозначают следующим образом .

Итак, возможны три случая взаимного расположения двух прямых в пространстве:

1. прямые пересекаются, т.е. имеют одну только общую точку.

2. прямые параллельны, т.е. лежат в одной плоскости и не пересекаются.

3. прямые скрещивающиеся, т.е. не лежат в одной плоскости, не параллельны и не пересекаются.

Наглядным примером о скрещивающихся прямых дают две дороги, одна из которых проходит по эстакаде, а другая – под эстакадой.

Линии электропередач и река. Они также дают нам представление о скрещивающихся прямых.

Докажем теорему, которая позволяет выяснить, являются ли две прямые скрещивающимися. Эту теорему называют признаком скрещивающихся прямых.

Теорема. Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся.

Доказательство. Пусть прямая а лежит в плоскости α, а прямая b пересекает эту плоскость в точке М, не лежащей на прямой а. Докажем, что прямые а и b скрещиваются, т.е. не существует плоскость, в которой они обе лежат.

Предположим, что прямые а и b лежат в некоторой плоскости β. Тогда плоскость β проходит через прямую а и точку М, а следовательно, совпадает с плоскостью α (так как через прямую и не лежащую на ней точку проходит единственная плоскость).

Получили, что прямая b лежит в плоскости α, а это противоречит условию теоремы.

Таким образом, наше предположение неверно, а значит, прямые а и b – скрещивающиеся.

Рассмотрим пример. Пусть ABCA₁B₁C₁ – прямая треугольная призма.

Тогда прямые AB₁ и BC – скрещивающиеся, так как прямая AB₁ пересекает плоскость ABC в точке А, не лежащей на прямой BC.

Задача. Точки и лежат на ребре , а точки и на ребре тетраэдра . Докажите, что прямые и – скрещивающиеся.

Доказательство. Прямая ТК пересекает плоскость ABC в точке C, не лежащей на прямой ОЕ, следовательно, прямые ТК и ОЕ скрещивающиеся. Значит, точки Т, К, Е и О не лежат в одной плоскости. Обратите внимание, прямая ТО лежит в плоскости ТОC. КЕ пересекает плоскость ТОC в точке К. Точка К не принадлежит прямой ТО. Отсюда следует, что прямые ТО и КЕ не лежат в одной плоскости, т.е. по признаку скрещивающихся прямых они являются скрещивающимися. Что и требовалось доказать.

Докажем еще одну теорему о скрещивающихся прямых.

Теорема. Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит плоскость, параллельная другой прямой, и притом только одна.

Доказательство. Пусть а и b скрещивающиеся прямые. Докажем, что через прямую b проходит плоскость, параллельная прямой а. Через какую-либо точку М прямой b проведем прямую c, параллельную прямой а.

Пусть α– плоскость, проходящая через прямые b и c. Так как прямая а не лежит в плоскости α и параллельна прямой c, лежащей в этой плоскости, то прямая а параллельна плоскости α.

Понятно, что плоскость α – единственная плоскость, проходящая через прямую b и параллельная прямой а. Действительно, любая другая плоскость, проходящая через прямую b, пересекается с прямой c, а следовательно, пересекается и с параллельной ей прямой а. Теорема доказана.

Наглядным примером этой теоремы служат две дороги, одна из которых проходит по эстакаде, а другая – под эстакадой. Нижняя дорога лежит в плоскости земли, параллельной дороге на эстакаде. Ясно, что и через дорогу на эстакаде проходит плоскость, параллельная плоскости земли, а значит, параллельная нижней дороге.

Задача. Точки и – центры граней куба. Докажите, что прямые и скрещиваются

Что и требовалось доказать.

Подведем итоги урока. На этом уроке мы дали определение скрещивающихся прямых. Две прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости. Рассмотрели три возможных случая взаимного расположения двух прямых в пространстве. Доказали теорему, которая выражает признак скрещивающихся прямых. А также доказали теорему о том, что через каждую из скрещивающихся прямых можно провести плоскость, параллельную другой прямой.

Источник

Скоро вебинар
«ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ»
(Аналитическая геометрия). Жми подробнее.

Скрещивающиеся прямые. Расположение прямых в пространстве.

Если две прямые в пространстве параллельны или пересекаются, то они лежат в одной плоскости.
Возможен еще один случай взаимного расположения в пространстве, когда прямые не лежат в одной плоскости.

Определение. Две прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости.

Признак скрещивающихся прямых.

Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся.

Теорема о скрещивающихся прямых.

Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит плоскость, параллельная другой прямой, и притом только одна.

Автор: Аникина Марина

Комментарии к этой заметке:

Добавить Ваш комментарий

Хотите внести свою лепту в его развитие!? Тогда Вам сюда!

Источник

Что называют скрещивающимися прямыми

Прямые линии в пространстве могут быть параллельными , пересекающимися и скрещивающимися . Рассмотрим подробнее каждый случай.

1. Параллельные прямые линии.

Параллельными называются две прямые, которые лежат в одной плоскости и не имеют общих точек.

Рисунок 33. Параллельные прямые

Особый случай представляют собой прямые, параллельные одной из плоскостей проекций. Например, фронтальные и горизонтальные проекции профильных прямых параллельны, но для оценки их взаимного положения необходимо сделать проекцию на профильную плоскость проекций (рис. 3 4 ). В рассмотренном случае проекции отрезков на плоскость П ₃ пересекаются, следовательно, они не параллельны.

Решение этого вопроса можно получить сравнением двух соотношений если:

Рисунок 34. Прямые параллельные профильной плоскости проекций

2. Пересекающиеся прямые.

Пересекающимися называются две прямые лежащие в одной плоскости и имеющие одну общую точку.

Если прямые пересекаются, то точки пересечения их одноименных проекций находится на одной линии связи (рис. 3 5 ).

Рисунок 35. Пересекающиеся прямые

В общем случае справедливо и обратное утверждение, но есть два частных случая:

1. Если одна из прямых параллельна какой-либо из плоскостей проекций, например, профильной (рис.3 6 ), то по двум проекциям невозможно судить об их взаимном расположении. Так горизонтальная и фронтальная проекции отрезков АВ и СД пересекаются, причем точка пересечения проекций лежит на одной линии связи, однако сами отрезки не пересекаются, потому что точка пересечения профильных проекций этих отрезков не лежит на одной линии связи с точками пересечения их горизонтальной и фронтальной проекций.

2. Пересекающие прямые расположены в общей для них проецирующей плоскости, например перпендикулярной фронтальной плоскости проекций (рис. 3 7 ).

О взаимном расположении прямых, лежащих в этой плоскости, можно судить по одной горизонтальной проекции ( А ₁В₁ ∩ С ₁D₁ Þ АВ ∩ СD ).

3. Скрещивающиеся прямые

Скрещивающимися называются две прямые не лежащие в одной плоскости.

Если прямые не пересекаются и не параллельны между собой, то точка пересечения их одноименных проекций не лежит на одной линии связи.

Источник