Что называют секущей плоскостью многогранника
Что называют секущей плоскостью многогранника
Секущей плоскостью многогранника называется любая плоскость, по обе стороны от которой имеются точки данного многогранника. Секущая плоскость пересекает грани многогранника по отрезкам. Многоугольник, сторонами которого являются эти отрезки, называется сечением многогранника.
Тетраэдр имеет четыре грани, поэтому его сечениями могут быть только треугольники и четырехугольники (рис. 1). Параллелепипед имеет шесть граней. Его сечениями могут быть треугольники, четырехугольники, пятиугольники и шестиугольники (рис. 2).
Теоремы, используемые при построении сечений
Теорема 1. Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны. Поэтому секущая плоскость пересекает плоскости параллельных граней по параллельным прямым.
Теорема 2. Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой.
Теорема 3. Если прямая l параллельна какой либо прямой m, проведённой в плоскости 
то она параллельна и самой плоскости 
Теорема 4. Если прямая, лежащая в плоскости сечения, не параллельна плоскости некоторой грани, то она пересекается со своей проекцией на эту грань.
Алгоритм построения сечений
Для построения сечений рекомендуем пользоваться следующим алгоритмом.
1. Если две точки секущей плоскости лежат в плоскости одной грани, то проводим через них прямую. Часть прямой, лежащая в плоскости грани — сторона сечения.
2. Если прямая a является общей прямой секущей плоскости и плоскости какой-либо грани, то находим точки пересечения прямой a с прямыми, содержащими ребра этой грани. Полученные точки — новые точки секущей плоскости, лежащие в плоскостях граней.
3. Если никакие две из данных точек не лежат в плоскости одной грани, то строим вспомогательное сечение, содержащее любые две данные точки, а затем выполняем шаги 1, 2.
Для контроля правильности построенного сечения, проверяйте, что:
– все вершины сечения лежат на рёбрах многогранника;
– все стороны сечения лежат в гранях многогранника;
– в каждой грани многогранника лежит не более одной стороны сечения.
Методы построения сечений многогранников
Разделы: Математика
Метод сечений многогранников в стереометрии используется в задачах на построение. В его основе лежит умение строить сечение многогранника и определять вид сечения.
построение плоскости сечения проходит в зависимости от задания этой плоскости. Поэтому все способы построения сечений многогранников можно разделить на методы.
Первые два метода являются разновидностями Аксиоматического метода построения сечений.
Рассмотрим подробнее учебники Л.С, Атанасяна и Погорелова А.В.
В учебнике Л.С. Атанасяна на тему “Построение сечений многогранников” выделено два часа. В 10 классе в теме “Параллельность прямых и плоскостей” после изучения тетраэдра и параллелепипеда отводится один час на изложение параграфа “Задачи на построение сечений”. Рассматриваются сечения тетраэдра и параллелепипеда. И тема “Параллельность прямых и плоскостей” завершается решением задач на одном или двух часах (всего задач на построение сечений в учебнике восемь).
В учебнике Погорелова А.В. на построение сечений отводится около трех часов в главе “Многогранники”: один – на изучение темы “Изображение призмы и построение ее сечений”, второй – на изучение темы “Построение пирамиды и ее плоских сечений” и третий – на решение задач. В списке задач, приведенных после темы, задач на сечение насчитывается всего около десяти.
Мы предлагаем систему уроков по теме “Построение сечений многогранников” для учебника Погорелова А.В.
СТЕРЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ НА ПОСТРОЕНИЕ СЕЧЕНИЙ МНОГОГРАННИКОВ И МЕТОДИКА ИХ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ НА УРОКАХ В 10-11 КЛАССАХ.
(система уроков и факультативных занятий по теме “Построение сечений многогранников”)
Тема урока: “Построение сечений многогранников”.
Цель урока: ознакомление с методами построений сечений многогранников.
Первый урок на построение сечений многогранников
Цели урока: рассмотреть решение задач на построение сечений, если две точки сечения принадлежат одной грани.
Изучение новых понятий
Определение 1. Секущая плоскость многогранника — любая плоскость, по обе стороны от которой имеются точки данного многогранника.
Определение 2. Сечение многогранника — это многоугольник, сторонами которого являются отрезки, по которым секущая плоскость пересекает грани многогранника.
Задание. Назовите отрезки, по которым секущая плоскость пересекает грани параллелепипеда (рис. 1). Назовите сечение параллелепипеда.
Основные действия при построении сечений
Решение задач
Задача 1. Какой из четырехугольников, EFKM или EFKL, может быть сечением данного многогранника (рис. 2)? Почему?
Задача 2. Ученик изобразил сечение тетраэдра (рис. 3). Возможно ли такое сечение?
Решение. Нужно доказать, что N, M и H, L лежат в одной плоскости. Пусть точки N и M принадлежат задней грани, H и L — нижней грани, то есть точка пересечения NM и HL должна лежать на прямой, принадлежащей обеим граням, то есть AC. Продлим прямые NM и HL и найдем точку их пересечения. Эта точка не будет принадлежать прямой AC. Значит, точки N, M, L, H не образуют плоский многоугольник. Невозможно.
Задача 3. Построить сечение тетраэдра ABCS плоскостью, проходящей через точки K, L, N, где K и N — середины ребер SA и SB соответственно (рис. 4).
1. В какой грани можно построить стороны сечения?
[ASB, ASC]
2. Выбираем одну из точек, на которой оборвалось сечение.
Решение. Способ I. Выбираем точку L.
Определяем грань, в которой лежит выбранная точка и в которой надо построить сечение.
[ABC]
Определяем грань, в которой лежит прямая KN, не проходящая через выбранную точку L.
[ASB]
Находим линию пересечения граней ABC и ASB.
[AB]
Каково взаимное расположения прямых KN и AB (рис. 5)?
[Параллельны.]
Что нужно построить, если секущая плоскость проходит через прямую, параллельную линии пересечения плоскостей?
[Через точку L провести прямую, параллельную AB. Эта прямая пересекает ребро CB в точке P.]
Соединяем точки, принадлежащие одной грани. KLPN — искомое сечение.
Способ II. Выбираем точку N (рис. 6).
Определяем грани, в которых лежат точка N и прямая KL.
[SBC и SAC]
Линией пересечения этих плоскостей будет прямая SC. Находим точку пересечения прямых KL и SC. Обозначим ее Y.
Соединяем точки N и Y. Прямая NY пересекает ребро CB в точке P.
Соединяем точки, принадлежащие одной грани.
KLNP — искомое сечение.
Объясните данное решение.
Один учащийся работает у доски, остальные в тетрадях.
Задача 4. Построить сечение параллелепипеда, проходящее через точки M, P и H, H ` (A1B1C1) (рис. 7).
Решение. 1. Соедините точки, принадлежащие одной грани.
2. Какую прямую и точку выбираем для построения сечения?
3. Что определяем дальше?
4. Каково взаимное расположение выбранной прямой и линии пересечения граней (рис. 8)?
5. Как построить след секущей плоскости на грани B1C1D1A1, проходящий через точку H?
6. Соедините точки, принадлежащие одной грани.
7. Какую прямую и точку нужно выбрать для построения следа секущей плоскости на грани AA1D1D?
8. Каково взаимное расположение граней BB1C1C и AA1D1D?
9. Каким свойством необходимо воспользоваться для построения следа секущей плоскости на грани AA1D1D?
10. Назовите искомое сечение.
Задача 5. Построить сечение пирамиды SABCD, проходящее через точки M, P и H,
H` (ABC) (рис. 9).
Ответ: см. рисунок 10.
Задание на дом
Задача. Как изменятся построения, если точ-
ка H изменит свое положение? Построить сечения, используя разные варианты (рис. 11).
Презентация была опубликована 9 лет назад пользователемschool49.tomsk.ru
Похожие презентации
Презентация на тему: » Определение сечения. Секущей плоскостью многогранника назовем любую плоскость, по обе стороны от которой имеются точки данного многогранника. Секущая.» — Транскрипт:
3 Определение сечения. Секущей плоскостью многогранника назовем любую плоскость, по обе стороны от которой имеются точки данного многогранника. Секущая плоскость пересекает грани многогранника по отрезкам. Многоугольник, сторонами которого являются эти отрезки, называется сечением многогранника.
4 Секущая плоскость А В С D M N K α
5 сечение A B C D M N K α
6 Т.к. тетраэдр имеет четыре грани, то в сечении могут получиться либо треугольники, либо четырехугольники.
7 Какие многоугольники могут получиться в сечении параллелепипеда?
8 Повторение: Построение точки пересечения прямой АВ с выделенной плоскостью. M K Т A B 1. Построить линию пересечения выделенной плоскости и плоскости в которой лежит прямая АВ. 2. Точка пересечения построенной прямой и прямой АВ является искомой. N Р
10 А С В D N P Q R На ребрах AB, AD, CD тетраэдра ABCD отмечены точки Q, N, P. Построить сечение тетраэдра плоскостью QNP. Построение: E
11 Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки А, В, С. M K A B M N C D M N K D B C A Е F
12 Постойте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через указанные точки. А M D С С1С1 А1А1 В D1D1 В1В1 N Р А M D С N С1С1 А1А1 В D1D1 В1В1 Р Если секущая плоскость пересекает противоположные грани параллелепипеда по каким-либо отрезкам, то эти отрезки параллельны. S L K Построение:
13 1.Построить точки пересечения секущей плоскости с рёбрами многогранника (тетраэдра, параллелепипеда). 2. Полученные точки, лежащие в одной грани, соединить отрезками. 3. Многоугольник, ограниченный данными отрезками, и есть построенное сечение. Замечание: Если секущая плоскость пересекает противоположные грани параллелепипеда по каким-либо отрезкам, то эти отрезки параллельны. Алгоритм построения сечения многоугольника плоскостью:
14 Практическая работа. Постройте сечение многогранника плоскостью, проходящей через указанные точки. M A А1А1 1) 1)1) 2)2) 2)2) В С К В A С A D C B A В С D B1B1 С1С1 D1D1 C1C1 B1B1 A1A1 D1D1 E F H E H F H E F F H E 1 вариант 2 вариант
15 Проверьте правильность построения сечения. M A А1А1 1) 2) 3) 4) В С К В A С A D C B A В D B1B1 С1С1 D1D1 C1C1 B1B1 A1A1 D1D1 E F H E H F H E F F H E 1 вариант 2 вариант
Презентация была опубликована 8 лет назад пользователемnikschool3.org
Похожие презентации
Презентация на тему: » Геометрия 10 класс. Определение сечения. Секущей плоскостью многогранника назовем любую плоскость, по обе стороны от которой имеются точки данного многогранника.» — Транскрипт:
1 Геометрия 10 класс
2 Определение сечения. Секущей плоскостью многогранника назовем любую плоскость, по обе стороны от которой имеются точки данного многогранника. Секущая плоскость пересекает грани многогранника по отрезкам. Многоугольник, сторонами которого являются эти отрезки, называется сечением многогранника.
3 Секущая плоскость А В С D M N K α
4 сечение A B C D M N K α
5 На каких рисунках сечение построено не верно? B А А А А А DDD D D BB B B C C CCC N MM M M M NQ P P Q S
6 P N Построить сечение тетраэдра плоскостью, заданной тремя точками. Построение: А В С D P M N 2. Отрезок PN А В С D M L 1. Отрезок MP Построение: 3. Отрезок MN MPN – искомое сечение 1. Отрезок MN 2. Луч NP; луч NP пересекает АС в точке L 3. Отрезок ML MNL –искомое сечение
7 Построить сечение тетраэдра плоскостью, заданной тремя точками. Построение: А С В D N P Q R E 1. Отрезок NQ 2. Отрезок NP Прямая NP пересекает АС в точке Е 3. Прямая EQ EQ пересекает BC в точке R NQRP – искомое сечение
8 Построить сечение тетраэдра плоскостью, заданной тремя точками. Построение: А B C D M N P X K S L 1. MN; отрезок МК 2. MN пересекает АВ в точке Х 3. ХР; отрезок SL MKLS – искомое сечение
9 Аксиоматический метод Метод следов Суть метода заключается в построении вспомогательной прямой, являющейся изображением линии пересечения секущей плоскости с плоскостью какой-либо грани фигуры. Удобнее всего строить изображение линии пересечения секущей плоскости с плоскостью нижнего основания. Эту линию называют следом секущей плоскости. Используя след, легко построить изображения точек секущей плоскости, находящихся на боковых ребрах или гранях фигуры.
10 Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через три точки M,N,P. XY – след секущей плоскости на плоскости основания D C B А Z Y X M N P S F
11 XY – след секущей плоскости на плоскости основания D CB Z Y X M N P S Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через три точки M,N,P. А F
12 Практическая работа. Постройте сечение многогранника плоскостью, проходящей через указанные точки. M A 1) 1)1) 2)2) 2)2) В С К В A С E F H E H F 1 вариант 2 вариант D C B M N P А F D C B MN P А F
13 Проверьте правильность построения сечения. M A 1) 2) В С К В A С E F H E H F 1 вариант 2 вариант D C B M N P А F F X Y Z X D C B MN P А F X Y