Что называют отношением чисел

10.04.202214.04.2022 admin 0 Comments

Отношение чисел

Отношения чисел: определение, свойства, виды

Определение

Отношением пары чисел называют результат их деления одно на другое. То есть понятия частного и отношения являются синонимами, обозначая одно и то же понятие. При этом число, которое делят, называют предыдущим членом, а число, на которое осуществляется деление, – последующим.

Для обозначения отношения чисел используется знак деления «:» либо черта дроби.

Общая форма записи отношения чисел: a : b или, соответственно, . В таких записях a – предыдущий член отношения, b – последующий. Обязательное условие для всякого отношения: .

3:2

Здесь 3 и 4 – предыдущие члены отношений, 2 и 9 – последующие.

Свойства отношений

Свойство №1. Членами всякого отношения могут быть как целые, так и дробные, рациональные или другие числа.

Примеры отношений, члены которых являются целыми числами, приведены выше (см. Пример №1).

Пример №2. Отношения, члены которого дробные числа:

Свойство №2. Если члены отношения умножить (либо разделить) на одно и то же число, то его значение не изменится. Это свойство называют основным для отношений чисел.

Деление членов отношения на одно и то же число называют сокращением отношения.

Это свойство нередко используется для перехода от нецелых членов отношения к целым, что более удобно для расчетов.

Свойство №3. В отношении могут участвовать и более 2-х членов. Так, в прикладных задачах нередко используются пропорциональные величины, значения которых выражаются как раз через их отношения. Количество членов при этом может быть произвольным и равняться трем, четырем и так далее. В общем виде такие отношения записываются как a:b:c:d:…n и читаются так: «величины относятся между собой как a, b, c…»

Пример №4. Имеется треугольник, длины сторон которого относятся как 3:4:5.

Пример №5. Даны 4 пропорциональных числа, которые относятся между собой как 1:2:4:5.

В задачах, в которых приведены такого рода отношения, обычно вводится коэффициент пропорциональности и, используя свойства объекта, для которого они приведены, и (или) данные из условия, по заданному отношению находят абсолютные значения величин для этого объекта. При этом под абсолютными величинами понимают величины, выраженные в конкретных единицах измерения – кг, км и так далее.

Процентное отношение

Процентное отношение – это характерное и одно из наиболее распространенных направлений прикладного использования отношения чисел. Обозначение процентного отношения – % (процент). 1 % – это сотая часть от целого.

Процентное отношение основывается на обычном отношении, которое множат на 100. Процентное отношение показывает часть объекта (величины) в сравнении с его 100 частями, которые принимаются за целое.

Где a – часть целого, выраженная в единицах измерения, b – значение целого, выраженное в тех же единицах, z – количество процентов, которое составляет данная часть от целого.

Пример №6. На книжной полке 80 книг. Сколько процентов от этого количества составляют 36 книг?

Обозначим искомую величину через х. Тогда получаем:

Пример №7. Фермер посеял пшеницу на 2 га, что составляет 80 % от всех его посевных площадей. Какова общая посевная площадь, которой он располагает?

Обозначим искомую величину через х. Составим процентное отношение на основании данных задачи:

Нередко вместо понятия процентного отношения используют понятие долей. В этом случае целое абстрактно принимается за 1, а понятие процента не используется. Доля (часть) от данного целого в такой ситуации – это всегда будет величина, меньшая 1. Для определения доли (части) от целого используется обычное отношение:

Где b – часть от целого, c – величина целого, a – доля, которую b составляет от c.

Специальной единицы измерения доля не имеет и измеряется просто в единицах.

Пример №8. Какую долю тиража изданной книги удалось продать писателю, если тираж составляет 10 тысяч экземпляров, а приобретено было 6830 книг?

Обозначим искомую величину через х. Составим отношение и найдем х:

Переход от долей к процентам предельно прост: достаточно умножить долю на 100. Так, в предыдущем примере 0,683 по отношению к общему тиражу составит .

Пример №9. С 1 га планировалось собрать 40 тонн картофеля. Реальная урожайность составила 0,7 от планируемой. Сколько тонн картофеля собрали?

Обозначим искомую величину через х. Составим выражение для расчета реальной урожайности и найдем х:

Пропорция

Пропорцией называют равенство двух числовых отношений. В общем виде такое равенство записывают как , где a и d называют крайними членами пропорции, b и c – средними. Прочтение пропорции: отношение a к b равно отношению c к d, или a относится к b как c к d, или a во столько раз больше b во сколько больше d.

Пример №9. Примеры конкретных пропорций:

При решении практических задач с использованием отношений в виде пропорции чаще всего от деления переходят к умножению ее членов. Для этого используют основное ее свойство.

Основное свойство пропорции: произведение ее крайних членов равно произведению средних. Математически это свойство записывается так:

Если провести дальнейшие вычисления, то в итоге мы должны прийти к равенству чисел слева и справа. А именно:

Отсюда следует важная особенность: основное свойство применяют для проверки истинности составленной пропорции. Если в результате числовых преобразований получено верное равенство, то это означает, что исходные 4 числа действительно могут составить пропорцию.

Когда один из членов пропорции неизвестен и требуется найти его, то применяют правило: для вычисления неизвестного крайнего (среднего) члена перемножают средние (крайние) и делят полученное произведение на известный крайний (средний) член.

Математически это выражается так:

То есть для определения неизвестного члена перемножают пару соответствующих известных и делят их на тот известный член, который не имеет известной пары.

Источник

Что такое отношение двух чисел: определение, запись, примеры

В данной публикации мы рассмотрим, что такое отношение двух чисел, как записывается, а также, какие действия с ним можно выполнять, чтобы оно осталось неизменным. Представленная информация сопровождается практическими примерами.

Определение отношения чисел

Отношением двух чисел называется их частное, т.е. деление одного на другое.

Например, отношение 24 к 6 можно записать как или представить в виде обыкновенной дроби. В этом случае в знаменателе пишется число, с которым выполняется сравнение, а в числителе – то, которое сравнивается:

Примечание: вместо предлога “к” иногда используется “по сравнению с”.

С помощью отношения чисел показывается:

1. Во сколько раз одно из них больше другого (когда делимое больше делителя).

То есть 14 в два раза больше 7.

2. Какую часть одно число занимает в другом (делитель больше делимого).

То есть 5 составляет одну четвертую часть от числа 20 (или 25%).

Умножение/деление отношения на число

Если умножить или разделить оба элемента отношения на одно и то же число, отличное от нуля, в результате получится новое отношение, которое равно исходному.

Примечание: Это есть не что иное как основное свойство дроби.

Источник

Отношения

Нам известно, что для ответа на вопрос во сколько раз одно число больше другого (или меньше), или какую часть одно из них составляет от другого надо найти частное данных чисел.

Частное двух чисел и , отличных от нуля, называют отношением чисел и , или отношением числа к числу .

Где и — члены отношения; число — предыдущий член отношения; — последующий член отношения.

— отношение числа к числу ;

Отношение двух чисел показывает, во сколько раз одно число больше другого, или какую часть одно число составляет от другого. То есть отношение чисел и показывает, во сколько раз число больше числа или какую часть число составляет от числа .

Мы помним, что деление можно заменить чертой дроби, значит, отношение чисел и можно записать двумя способами: : и .

Основное свойство отношения:

Отношение не изменится, если его члены умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю.

Запишем отношение числа 3 к числу 10 и найдем его значение:

То есть отношение двух чисел можно выразить в процентах.

Процентное отношение показывает, сколько процентов одно число составляет от другого.

Чтобы найти процентное отношение двух чисел, надо их отношение умножить на 100 и к результату дописать знак процента.

Пример:

Сколько процентов составляет число 5 от числа 10?

Ответ: 50% составляет число 5 от числа 10.

Если значение двух величин выражены одной и той же единицей измерения, то их отношение называют также отношением этих величин. При этом если значения величин выражены разными единицами измерения, то для нахождения отношения этих величин надо сначала перейти к одной единице измерения.

Например:

Дан прямоугольник, длина которого равна 12 см, а ширина 1 м. Найдем отношение длин сторон прямоугольника.

Отношение длины прямоугольника к его ширине равно 12 : 100 = .

Отношение ширины прямоугольника к его длине равно 100 : 12 = .

Дроби и взаимно обратны, поэтому и отношения 12 к 100 и 100 к 12 называют взаимно обратными.

На практике отношение величин используется, например, при составлении планов и географических карт. В этом случае участки земли на бумаге изображают в уменьшенном виде, при этом на карте или плане указывают отношение, которое показывает, во сколько раз длина отрезка на рисунке меньше длины длины соответствующего отрезка на местности.

Отношение длины отрезка на карте к длине соответствующего отрезка на местности называют масштабом карты (плана).

Пусть на карте задан масштаб , то есть карта сделана в масштабе одна десятитысячная.

Найдем, какой длине на местности соответствует отрезок 5 см на карте.

Для решения обозначим через длину отрезка на местности (в сантиметрах). Тогда отношение длины отрезка на карте к длине отрезка на местности: 5 : , данное отношение равно масштабу карты, поэтому получаем уравнение:

5 : = 1 : 10 000;

Решаем данное уравнение:

= 510 000;

= 50 000;

50 000 см = 500 м = 0,5 км.

Ответ: отрезок 5 см на карте соответствует 0,5 км на местности.

Найдем, какой длине на карте соответствует отрезок 9,5 км на карте.

Для решения обозначим через длину отрезка на карте (в километрах). Тогда отношение длины отрезка на карте к длине отрезка на местности: : 9,5, данное отношение равно масштабу карты, поэтому получаем уравнение:

: 9,5 = 1 : 10 000;

Решаем данное уравнение:

= 9,5 : 10 000;

= 0,00095;

0,00095 км = 0,95 м = 95 см.

Ответ: отрезок 9,5 км на карте соответствует 95 см на карте.

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Источник

Урок 21 Бесплатно Отношения

В этом уроке мы узнаем, что такое отношения. Также поймем, что нам показывает отношение двух чисел. И в завершение узнаем, как определить часть одного числа от другого.