Что называют модулем числа
Модуль числа
Чтобы понять это определение, подставим вместо переменной a любое число, например 3, и снова прочитаем его:
Мóдуль числá 3 — это расстояние от начала координат до точки А( 3 ).
То есть модуль это ни что иное как обычное расстояние. Давайте попробуем увидеть расстояние от начала координат до точки А(3)
Расстояние от начала координат до точки А(3) составляет 3 (три единицы или три шага).
Модуль числа обозначает двумя вертикальными линиями, например:
Модуль числа 3 обозначается так: |3|
Модуль числа 4 обозначается так: |4|
Модуль числа 5 обозначается так: |5|
Читается как «Модуль числа три равен три»
Модулем числа − 3 называют расстояние от начала координат до точки B(− 3 ).
Расстояние от одного пункта до другого не может быть отрицательным. Модуль это тоже расстояние, поэтому тоже не может быть отрицательным.
Читается как «Модуль числа минус три равен три»
«Модуль нуля равен нулю»
Сделаем выводы:
Противоположные числа
Числа, отличающиеся только знаками называют противоположными.
Например, числа −2 и 2 являются противоположными. Они отличаются только знаками. У числá −2 знак минуса, а у числá 2 знак плюса, но мы его не видим, поскольку плюс как говорилось ранее, не записывают.
Еще примеры противоположных чисел:
Противоположные числа имеют равные модули. Например, найдём модули чисел −3 и 3
На рисунке видно, что расстояние от начала координат до точек A(−3) и B(3) одинаково равно трём шагам.
Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках
Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже
13 thoughts on “Модуль числа”
Все доходчиво и ясно, спасибо.
Благодаря этому сайту, моё желание понимать математику стало реальностью
Модуль числа
Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).
Определение модуля числа
Алгебра дает четкое определение модуля числа. Модуль в математике — это расстояние от начала отсчёта до точки координатной прямой, соответствующей этому числу.
Если мы возьмем некоторое число «a» и изобразим его на координатной прямой точкой A — расстояние от точки A до начала отсчёта (то есть до нуля) длина отрезка OA будет называться модулем числа «a».
Знак модуля: |a| = OA.
Разберем на примере:
Точка В, которая соответствует числу −3, находится на расстоянии 3 единичных отрезков от точки O (то есть от начала отсчёта). Значит, длина отрезка OB равна 3 единицам.
Число 3 (длину отрезка OB) называют модулем числа −3.
Обозначение модуля: |−3| = 3 (читают: «модуль числа минус три равен трём»).
Точка С, которая соответствует числу +4, находится на расстоянии четырех единичных отрезков от начала отсчёта, то есть длина отрезка OС равна четырем единицам.
Число 4 называют модулем числа +4 и обозначают так: |+4| = 4.
Также можно опустить плюс и записать значение, как |4| = 4.
Записывайся на занятия по математике для учеников с 1 по 11 классы.
Свойства модуля числа
Давайте рассмотрим семь основных свойств модуля. Независимо от того, в какой класс перешел ребенок — эти правила пригодятся всегда.
1. Модуль числа — это расстояние, а расстояние не может быть отрицательным. Поэтому и модуль числа не бывает отрицательным:
2. Модуль положительного числа равен самому числу.
3. Модуль отрицательного числа равен противоположному числу.
4. Модуль нуля равен нулю.
5. Противоположные числа имеют равные модули.
6. Модуль произведения равен произведению модулей этих чисел.
Геометрическая интерпретация модуля
Как мы уже знаем, модуль числа — это расстояние от нуля до данного числа. То есть расстояние от точки −5 до нуля равно 5.
Нарисуем числовую прямую и отобразим это на ней.
Эта геометрическая интерпретация используется для решения уравнений и неравенств с модулем. Давайте рассмотрим на примерах.
Решим уравнение: |х| = 5.
Мы видим, что на числовой прямой есть две точки, расстояние от которых до нуля равно 5. Это точки 5 и −5. Значит, уравнение имеет два решения: x = 5 и x = −5.
График функции
График функции равен y = |х|.
Для x > 0 имеем y = x.
Этот график можно использовать при решении уравнений и неравенств.
Корень из квадрата
Оно равно a при а > 0 и −а, при а
Модуль комплексного числа
Чему равен модуль числа в данном случае? Это арифметический квадратный корень из суммы квадратов действительной и мнимой части комплексного числа:
Свойства модуля комплексных чисел
Модуль рационального числа
Как найти модуль рационального числа — это расстояние от начала отсчёта до точки координатной прямой, которая соответствует этому числу.
Модуль рационального числа, примеры:
Модуль вещественных чисел
Модуль противоположного числа, нуля, отрицательного и положительного чисел
Закрепим свойства модуля числа, которые мы рассмотрели выше:
Модуль числа — теория и решение задач
Модуль числа – это такая забавная концепция в математике, с пониманием которой у многих людей возникают трудности 🙂
А между тем она проста как апельсин. Но, чтобы ее понять, давай сначала разберемся, зачем и кому он нужен.
Ситуация первая
В жизни, часто встречаются ситуации, где отрицательные числа не имеют никакого практического смысла.
Например, мы не можем проехать на машине «минус 70 километров» (мы проедем 70 километров, не важно, в каком направлении), как и не можем купить «минус 5 кг апельсинов». Эти значения всегда должны быть положительными.
Именно для обозначения таких ситуаций математики придумали специальный термин – модуль или абсолютная величина.
Ситуация вторая
Ты покупаешь пакет чипсов «Lay’s». На пакете написано, что он весит 100 грамм. Но, если ты начнешь взвешивать пакеты, вряд ли они будут весить ровно 100 грамм. Какой-то из них будет весить 101 грамм, а какой-то 99.
И что, можно идти судиться с компанией «Lay’s», если они тебе недовесили?
Нет. Потому что «Lay’s» устанавливает допуск и говорит, что пакет будет весить 100 грамм, плюс-минус 1 грамм. Вот это «плюс-минус» – это и есть модуль.
Ситуация третья
В жизни вообще не бывает 100% точных величин. Всегда есть вот такие допуски. В зарплате, например: «Я согласен работать за 250 тыс рублей в месяц, плюс-минус 20 тыс!» 20 тысяч – это и есть модуль.
А вообще для простоты запомни, что модуль это расстояние от точки отсчета в любую сторону.
Ну вот, ты уже почти все знаешь. Давай теперь подробнее…
Модуль числа
Модуль числа и уравнения с модулем — тема особенная, прямо-таки заколдованная 🙂 Она совсем не сложная, просто в школе её редко объясняют нормально. В результате без специальной подготовки почти никто из школьников не может дать правильное определение модуля и тем более решить уравнение с модулем. И эту картину мы наблюдаем на протяжении многих лет.
Поэтому осваивайте тему «Уравнения и неравенства с модулем» по нашим статьям и на наших занятиях! Вы сумеете обойти множество конкурентов на ЕГЭ, олимпиадах и вступительных экзаменах.
Модуль числа называют ещё абсолютной величиной этого числа. Попросту говоря, при взятии модуля нужно отбросить от числа его знак. В записи положительного числа и так нет. никакого знака, поэтому модуль положительного числа равен ему самому. Например, 
Модуль нуля равен нулю. А модуль отрицательного числа равен противоположному ему положительному
(без знака!). Например, 
Обратите внимание: модуль числа всегда неотрицателен: 
От большинства известных из школы определений оно отличается лишь одним: в нём есть выбор. Есть условие. И в зависимости от этого условия мы раскрываем модуль либо так, либо иначе.
Так же, как в информатике — в разветвляющихся алгоритмах с применением условных операторов. Как, вообще-то, и в жизни: сдал ЕГЭ на минимальный балл — можешь подавать документы в ВУЗ. Не сдал на минимальный балл — можешь идти в армию 🙂
Таким образом, если под знаком модуля стоит выражение, зависящее от переменной, мы раскрываем модуль по определению. Например,
В некоторых случаях модуль раскрывается однозначно. Например, 
так как выражение под знаком модуля неотрицательно при любых x и y. Или: 
так так как выражение под модулем неположительно при любых z.
Геометрическая интерпретация модуля
Нарисуем числовую прямую. Модуль числа — это расстояние от нуля до данного числа. Например, 
То есть расстояние от точки −5 до нуля равно 5. 
Эта геометрическая интерпретация очень полезна для решения уравнений и неравенств с модулем.
Рассмотрим простейшее уравнение 
. Мы видим, что на числовой прямой есть две точки, расстояние от которых до нуля равно трём. Это точки 3 и −3. Значит, у уравнения есть два решения: x = 3 и x = −3.
Вообще, если имеются два числа a и b, то 
равно расстоянию между ними на числовой прямой. 
(В связи с этим нередко встречается обозначение 
длины отрезка AB, то есть расстояния от точки A до точки B.)
Ясно, что 
(расстояние от точки a до точки b равно расстоянию от точки b до точки a).
Решим уравнение 
. Эту запись можно прочитать так: расстояние от точки x до точки 3 равно 4. Отметим на числовой прямой точки, удовлетворяющие этому условию.
Мы видим, что наше уравнение имеет два решения: −1 и 7. Мы решили его самым простым способом — без использования определения модуля.
Перейдём к неравенствам. Решим неравенство 
.
Эту запись можно прочитать так: «расстояние от точки x до точки −7 меньше четырёх». Отмечаем на числовой прямой точки, удовлетворяющие этому условию.
Другой пример. Решим неравенство |10 − x| ≥ 7.
Расстояние от точки 10 до точки x больше или равно семи. Отметим эти точки на числовой прямой. 
Ответ: 
График функции 
Этот график надо знать обязательно. Для 
имеем y = x. Для 
имеем y = −x. В результате получаем: 
С помощью этого графика также можно решать уравнения и неравенства.
Корень из квадрата
Нередко в задачах ЕГЭ требуется вычислить 
, где – некоторое число или выражение. Не забывайте, что 
Действительно, по определению арифметического квадратного корня — это такое неотрицательное число, квадрат которого равен 
. Оно равно при 
и при 
, т. е. как раз 
.
Примеры заданий ЕГЭ
1. Найдите значение выражения 
при 
.
Заметим, что 
при . Следовательно, значение нашего выражения равно: 
.
2. Найдите значение выражения 
при 
.
В следующей статье мы рассмотрим более сложные уравнения и неравенства с модулем.
Урок 29 Бесплатно Модуль числа
Обратите внимание на картинку.
Для того чтобы узнать тему нашего урока, попробуйте отгадать ребус.
На этом уроке разберемся, что называют модулем числа, раскроем его геометрический смысл, рассмотрим основные свойства модуля, научимся находить модуль числа и применять эти знания при решении задач.
Модуль числа (абсолютная величина)
В переводе с латинского «модуль» (modulus) означает мера, размер.
Считается, что данный термин впервые ввел в пользование английский философ и математик Роджер Котс, друг и ученик Исаака Ньютона.
Многие ученые использовали в своих научных трудах понятие модуль, однако символьное обозначение он приобрел только в конце XIX века.
В 1841 году выдающийся немецкий ученый Карл Теодор Вильгельм Вейерштрасс ввел символьное обозначение модуля числа, которое используют и применяют по сегодняшний день.
В некоторых случаях вместо «модуль числа» говорят: «абсолютная величина», но надо понимать, что это тождественно равные понятия.
У меня есть дополнительная информация к этой части урока!
Понятие «модуль» используется во многих областях деятельности человека.
Можно сказать, что квартира- это модуль дома, а бетонный блок- модуль здания.
Применение модуля придает строениям, сооружениям и их отдельным частям соизмеримость, единообразную форму, координацию размеров частей здания и комплекса в целом; облегчает установление норм и правил по строительству.
В космонавтике модуль- это автономная управляемая часть космического корабля (например, стыковочный модуль, орбитальный модуль и т.п.).
В радиоэлектронике модуль- это автоматизированный блок, функционально законченный узел радиоэлектронной аппаратуры.
В точных науках и технике модуль служит для названия некоторых коэффициентов и величин (например, модуль упругости, модуль сдвига, модуль сопротивления и другое).
В издательском деле модуль- это шаг сетки, основа расположения полос и разворотов в модульной системе верстки.
В судостроении все более широкое применение находит модульное строение судов и плавучих сооружений.
Блоки секций или блоки судна- типовые повторяющие блоки, так называемые модули, составляют корпус судна.
В программировании модули- это законченные самостоятельные фрагменты программы. Разделение программы на небольшие части- модули, позволяют облегчить программу, так как модуль можно применять повторно, его легче отладить и написать, повышает качество программного кода.
В общем говоря, под модулем часто понимают и представляют исходную единицу измерения, составную часть, служащую мерилом, или самостоятельную часть некоторой системы, часть конструкции
В математике модуль имеет несколько значений. Разберем, что в математике называют модулем числа (абсолютной величиной).
Рассмотрим понятие модуль с геометрической точки зрения.
Вам уже известно, что на координатной прямой мы отмечаем действительные числа, а каждому действительному числу на этой прямой соответствует определенная точка и наоборот, каждой точке на координатной прямой соответствует действительное число.
Точка задается некоторым расстоянием от начала координат.
Длина отрезка от начала координат до точки вмещает в себя определенное количество единичных отрезков координатной прямой.
Длина такого отрезка всегда неотрицательная величина.
Два мяча катнули по одной прямой. Первый мяч откатился вправо от исходной точки на 4 м, второй мяч влево от исходной точки на 6 м.
Изобразим координатную прямую и отметим на ней координаты точек остановки этих двух мячей.
Точка О— это исходная точка мячей- точка начала отсчета.
Единичный отрезок координатной прямой равен 1 деление- 1 метр.
Вправо откладываем координату первого мяча А (+4)
Влево откладываем координату второго мяча В (-6)
Расстояние от точки А до начала отсчета 4 единичных отрезка.
Длина ОА = 4 единичных отрезка.
Расстояние от точки В до начала отсчета 6 единичных отрезков.
Длина ОВ = 6 единичных отрезков.
Расстояние ОА и ОВ называют абсолютной величиной, модулем числа, они всегда положительны.
Таким образом, модулем числа называют расстояние на координатной прямой от начала отсчета до заданной точки (выраженной в единичных отрезках).
Обозначается модуль двумя вертикальными чертами слева и справа от числа | |.
Запись |A| читается как «Модуль А» или «Модуль числа А».
Пример 1
|7|— модуль числа 7
Изобразим координатную прямую, отметим на ней точку с координатой 7
Значит, модуль числа 7 равен самому числу 7
|7| = 7
Пример 2
Изобразим координатную прямую, отметим на ней точку с координатой (-5).
Зная определение модуля числа, мы можем утверждать, что от точки с координатой (-5) до точки начала отсчета О помещается 5 единичных отрезков.
Значит, модуль числа (-5) равен 5
|-5| = 5
Пример 3
|-1|— модуль числа (-1)
В расстояние от точки с координатой (-1) до точки начала отсчета помещается только один единичный отрезок этой прямой, поэтому модуль (-1) равен 1.
|-1| = 1
Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации
Свойства модуля (абсолютной величины)
Рассмотрим некоторые свойства модуля числа.
1. Модуль нуля равен нулю
Так как от нуля до начала отсчета нет никакого расстояния (0 единичных отрезков), модуль нуля и есть нуль.
|0| = 0
2. Модуль числа всегда число неотрицательное (т.е. положительное или нуль)
Мяч катнули вдоль прямой на расстояние, равное 3 м вправо, мяч ударился о стену и покатился вдоль прямой в обратном направлении на 3 м и остановился.
Изобразим на координатной прямой координаты точек в момент каждой остановки мяча.
Точка О на координатной прямой- это точка откуда катнули мяч- точка начала отсчета.
Единичный отрезок координатной прямой равен 1 деление- 1метр.
Можно ли утверждать, что мяч не преодолевал никакого расстояния, оставаясь в исходной точке в состоянии покоя, ведь в конечном счете мяч оказался в точке 0 м (от точки ноль до начала отсчета О не помещается ни одного единичного отрезка)? Конечно же, нет!
Путь мяча был бы равен нулю, если бы его вообще никуда не пинали, и он оставался в состоянии покоя в точке О.
Но мы должны понимать, что путь (расстояние), которое преодолел мяч, состоит из 3 единичных отрезков в правую сторону и 3 единичных отрезков в левую сторону; сложив все единичные отрезки, получим:
3 единичных отрезка + 3 единичных отрезка = 6 единичных отрезков
6 единичных отрезков = 6 м
Для определения пути мы складывали только числовое значение без учета направления. Это числовое значение и есть модуль числа.
Таким образом, можно сказать, что любое число состоит из знака и абсолютного значения (модуля).
Поэтому, чтобы найти модуль числа, нужно записать это число без учета знака.
У меня есть дополнительная информация к этой части урока!
В математике для лучшего восприятия темы «Модуль числа» придумали шуточную ассоциацию.
Заходя в баню (оказываясь под знаком модуль), отрицательное число моется, освобождается от знака. Из бани (из под знака модуль) число выходит «чистым»- без знака «минус».
В такой бане могут «мыться» положительные, отрицательные числа и ноль.
3. Модули противоположных чисел равны
Рассмотрим на примере данное утверждение:
Пусть модуль х равен 4, получим равенство |x| = 4
Отметим на координатной прямой точки, которые удовлетворяют этому равенству:
Модул ь- это расстояние от начала отсчета до точки в единичных отрезках, равное в данном случае четырем.
Откладываем 4 единичных отрезка вправо, получаем точку с координатой 4
Но такое же количество единичных отрезков можно отложить влево, тогда получим точку с координатой (-4)
Получим на координатной прямой две точки, которые удовлетворяют условию |x| = 4
В данном примере значение х может быть равным:
х = 4
На координатной прямой противоположные числа, хоть и по разные стороны от точки начала отсчета, но находятся на равных расстояниях от этой точки, т.е. по модулю равны.
4. Модуль произведения двух чисел равен произведению модулей этих чисел
В буквенном выражении это можно записать так:
5. Квадрат модуля числа равен квадрату этого числа
6. Модуль частного двух чисел равен частному их модулей
\(\mathbf<\Bigl| \frac
Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации
Решение задач с применением модуля числа
Рассмотрим несколько примеров таких задач.
Задача 1
Запишите все числа, имеющие модуль 142.
Решение:
Представим координатную прямую с началом отсчета в точке О
142 единичных отрезка мы можем отложить на координатной прямой вправо и получим точку с координатой 142.
Также 142 единичных отрезка мы можем отложить влево от нуля, в этом случае получаем точку с координатой 142.
На координатной прямой находятся два числа, которые имеют модуль 142, а расстояние до этих точек содержат по 142 единичных отрезка.
|142| = 142
|-142| = 142
Задача 2
Решение:
Для этого найдем модули каждого из них:
|-15| = 15
|-1| = 1
|4| = 4
|7| = 7
Модули чисел получились: 15, 1, 4, 7
Расположим эти числа в порядке возрастания (от самого маленького к самому большому):
1, 4, 7, 15.
Получаем такую последовательность равенств,
|-1| = 1
|4| = 4
|7| = 7
|-15| = 15
Следовательно, числа в порядке возрастания их модулей должны располагаться так: -1, 4, 7, -15
Задача 3
На координатной прямой отметили две точки -73 и 68. Модуль какого числа больше?
Решение:
Представим, что на координатной прямой на определенном расстоянии от точки О (налала отсчета) отмечены две точки.
Слева от точки начала отсчета расположена точка с координатой -73
Справа от точки начала отсчета расположена точка с координатой 68
Расстояние от точки О до точки с координатой -73 содержит больше единичных отрезков, чем расстояние от точки О до точки с координатой 68 (т.е. координата точки -73 находится дальше от начала координат, чем точка с координатой 68).
Значит, модуль числа -73 больше модуля числа 68
|-73| = 73
|68| = 68
73 > 68, а это значит:
|-73| > |68|
Ответ: |-73| > |68|
Задача 4
Чему равны координаты этих точек?
Чему равен модуль каждой координаты?
Решение:
Построим координатную прямую, за начала отсчета примем точку О
Единичный отрезок равен 1 деление- 1 единица.
На координатной прямой отметим точки А и В
Точка А имеет координату A (-2), так как она отодвинута влево от точки О на расстояние в два единичных отрезка.
Точка В имеет координату В (6), так как она отодвинута вправо от точки О на расстояние в шесть единичных отрезков.
Получили точки с координатами A (-2) и В (6)
Модуль-это расстояние в единичных отрезках от заданной точки до начала отсчета.
|-2| = 2
Модуль 6 равен 6
|6| = 6
Ответ: Модули координат точек A (-2) и В (6) равны 2 и 6 соответственно.
Наверное, вы уже заметили, что значение координат может быть положительным и отрицательным, а модули только положительными.
Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации