Что называют линиями связи какие они бывают начертательная геометрия

Из геометрии известна аксиома: через две точки можно провести одну и только одну прямую. Следовательно, прямая на эпюре определяется проекциями двух точек.

Прямые линии могут занимать по отношению к плоскостям проекций различные положения (рис.8).

Прямые общего положения

Прямая (отрезок), не параллельная и не перпендикулярная ни к одной из плоскостей проекций, называется прямой общего положения (рис. 9).

Прямые уровня

Прямые, параллельные какой-либо плоскости проекций, называются прямыми уровня (таблица 2)

Наименование прямой	Положение прямой	Наглядное изображение	Эпюр
Горизонтальная (горизонталь)	АВ║П1
Фронтальная (фронталь)	АВ║П2
Профильная прямая	АВ║П3

Проецирующие прямые.

Прямые, перпендикулярные плоскостям проекций, называются проецирующими (таблица 3).

Наименование прямой	Положение прямой	Наглядное изображение	Эпюр
Горизонтально-проецирующая	АВ┴П1
Фронтально-проецирующая	АВ┴П2
Профильно-проецирующая	с┴П3

Взаимное положение прямых

Пересекающиеся прямые

Пересекающиеся прямые имеют общую точку. Проекции этой точки должны принадлежать одноименным проекциям обеих прямых. Из этого следует, что точки пересечения одноименных проекций пересекающихся прямых лежат на одной линии связи. На рис. 11 изображены пересекающиеся в точке D прямые m и n.

Параллельные прямые

У параллельных прямых параллельны одноименные проекции. На рис. 12 изображены параллельные прямые m и n.

Скрещивающиеся прямые.

Скрещивающиеся прямые не имеют общей точки. Следовательно, точка пересечения одноименных проекций таких прямых (например, m и n, рис. 13) не лежит на одной линии связи, так как каждая из них является изображением двух разных точек (точки 1, 2 и 3, 4).

1.6. Способы задания плоскости. Плоскость общего положения.

Способы задания плоскости представлены в таблице 4.

Способ задания	Наглядное изображение	Эпюр
Три точки, не лежащие на одной прямой
Прямой и точкой, не лежащей на этой прямой
Двумя пересекающимися прямыми
Двумя параллельными прямыми
Любой плоской фигурой

Плоскости бывают общего и частного положения (рис.14)

Если плоскость не перпендикулярна ни одной из плоскостей проекций, то она называется плоскостью общего положения. Примеры чертежа плоскости общего положения показаны в таблице 4.

Проецирующие плоскости

Если плоскость перпендикулярна только одной плоскости проекций, то она называется проецирующей(табл. 5).

Наименование плоскости	Положение плоскости	Наглядное изображение	Эпюр
Горизонтально проецирующая	ΔАВС┴П1
Фронтально-проецирующая	ΔАВС┴П2
Профильно-проецирующая	α┴П3

Плоскости уровня

Если плоскость перпендикулярна одновременно двум плоскостям проекций, а, следовательно, параллельна третьей, то она называется плоскостью уровня(таблица 6).

Наименование плоскости	Положение плоскости	Наглядное изображение	Эпюр
Горизонтальная	ΔАВС║П1
Фронтальная	ΔАВС║П2
Профильная	α║П3

│АВС│- натуральная (истинная) величина ΔАВС.

Прямая и точка в плоскости

Прямая принадлежит плоскости, если она имеет с ней две общие точки.Точка принадлежит плоскости, если она принадлежит какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости (рис. 15).Точка М принадлежит плоскости α(a∩b),так как находится на прямой k, принадлежащей этой плоскости.

Прямая принадлежит плоскости, если проходит через одну точку плоскости и параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости (рис. 16). Прямая k параллельна прямой АВ.

Точка М принадлежит плоскости ΔАВС, так как находится на прямой k, принадлежащей заданной плоскости.

Фронталь плоскости.

Это прямая, принадлежащая плоскости, и параллельная фронтальной плоскости проекций (рис. 18а, б). Построение фронтали всегда начинают с горизонтальной проекции, так как она всегда параллельна оси х₁₂. Все фронтали плоскости параллельны между собой.

Для решения задач

Пример. Найти длину отрезка АВ.

Чтобы найти длину отрезка занимающего в пространстве общее положение относительно плоскостей П₁ и П_2, надо построить дополнительную ортогональную проекцию отрезка АВ на плоскость П₄ ему параллельную ( П₄║АВ) и П₄^П₁ (рис. 24).

Поэтапное решение задачи на эпюре показано на рис. 25

Пример 2. Построить дополнительную ортогональную проекцию плоскости общего положения α(ΔАВС) на плоскости П_4,перпендикулярной к плоскости α и к плоскости П_1.

Из геометрии известно, что две плоскости взаимноперпендикулярны, если одна из них содержит прямую, перпендикулярную другой плоскости. В данном примере перпендикуляром к плоскости П₄ является горизонталь h (рис. 26).

Исходя из этого, ось х₁₄ проведена перпендикулярно горизонтальной проекции h₁ горизонтали h плоскости ΔАВС (рис. 27).По отношению к плоскости П₄ плоскость ΔАВС является проецирующей и изображается на ней в виде прямой А₄ В₄ С_4.

Пример3. Построить дополнительную ортогональную проекцию прямой общего на плоскость ей перпендикулярную.

Рещение задачи на эпюре показано на рис. 29

Пример 4.Определить размеры треугольника АВС.

Чтобы найти величину ΔАВС,являющегося плоскостью общего положения,надо построить его дополнительную ортогональную проекцию на плоскость ему параллельную. Для этого надо сначала построить дополнительную ортогональную проекцию плоскости общего положения α(ΔАВС) на плоскости П_4,перпендикулярной к плоскости α(ΔАВС) и к плоскости П₁ (см.пример2).А затем построить его дополнительную ортогональную проекцию на плоскость П₅ ему параллельную(П_5║ ΔАВС) и П₅┴ П₄ (рис.30а).Решение задачи на эпюре показано на рис.30б.

Основные положения начертательной геометрии

Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим.

Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций.

Источник

Лекция 1. Методы проецирования

1.1. Центральное проецирование

Проецирование (лат. Projicio – бросаю вперёд) – процесс получения изображения предмета (пространственного объекта) на какой-либо поверхности с помощью световых или зрительных лучей (лучей, условно соединяющих глаз наблюдателя с какой-либо точкой пространственного объекта), которые называются проецирующими.

Центральное проецирование заключается в проведении через каждую точку (А, В, С,…) изображаемого объекта и определённым образом выбранный центр проецирования (S) прямой линии (SA, SB, >… — проецирующего луча).

Рисунок 1.1 – Центральное проецирование

Введём следующие обозначения (Рисунок 1.1):

SA, SB – проецирующие прямые (проецирующие лучи).

Примечание: левой клавишей мыши можно переместить точку в горизонтальной плоскости, при щелчке на точке левой клавишей мыши, изменится направление перемещения и можно будет ее переместить по вертикали.

Центральной проекцией точки называется точка пересечения проецирующей прямой, проходящей через центр проецирования и объект проецирования (точку), с плоскостью проекций.

Докажем это утверждение.

На рисунке 1.1: точка А₁ – центральная проекция точки А на плоскости проекций π₁. Но эту же проекцию могут иметь все точки, лежащие на проецирующей прямой. Возьмём на проецирующей прямой SA точку С. Центральная проекция точки С (С₁) на плоскости проекций π₁ совпадает с проекцией точки А (А₁):

Следует вывод, что по проекции точки нельзя судить однозначно о её положении в пространстве.

Чтобы устранить эту неопределенность, т.е. сделать чертеж обратимым, введём еще одну плоскость проекций (π₂) и ещё один центр проецирования (S₂) (Рисунок 1.2).

Рисунок 1.2 – Иллюстрация 1-го и 2-го свойств

Построим проекции точки А на плоскости проекций π₂. Из всех точек пространства только точка А имеет своими проекциями А₁ на плоскость π₁ и А₂ на π₂ одновременно. Все другие точки лежащие на проецирующих лучах будут иметь хотя бы одну отличную проекцию от проекций точки А (например, точка В).

Докажем данное свойство.

Соединим точки А и В между собой (Рисунок 1.2). Получим отрезок АВ, задающий прямую. Треугольник ΔSAB задает плоскость, обозначенную через σ. Известно, что две плоскости пересекаются по прямой: σ∩π₁=А₁В₁, где А₁В₁ – центральная проекция прямой, заданной отрезком АВ.

Метод центрального проецирования – это модель восприятия изображения глазом, применяется главным образом при выполнении перспективных изображений строительных объектов, интерьеров, а также в кинотехнике и оптике. Метод центрального проецирования не решает основной задачи, стоящей перед инженером – точно отразить форму, размеры предмета, соотношение размеров различных элементов.

1.2. Параллельное проецирование

Рассмотрим метод параллельного проецирования. Наложим три ограничения, которые позволят нам, пусть и в ущерб наглядности изображения, получить чертёж более удобным для использования его на практике:

Таким образом, наложив эти ограничения на метод центрального проецирования, мы пришли к его частному случаю – методу параллельного проецирования (Рисунок 1.3).Проецирование, при котором проецирующие лучи, проходящие через каждую точку объекта, параллельно выбранному направлению проецирования P, называется параллельным.

Рисунок 1.3 – Метод параллельного проецирования

Проведём через точки А и В проецирующие лучи, параллельные заданному направлению проецирования Р. Проецирующий луч проведённый через точку А пересечёт плоскость проекций π₁ в точке А₁. Аналогично проецирующий луч, проведённый через точку В пересечет плоскость проекций в точке В₁. Соединив точки А₁ и В₁, получим отрезок А₁ В₁– проекция отрезка АВ на плоскость π₁.

1.3. Ортогональное проецирование. Метод Монжа

Четырехугольник АА₁В₁В задаёт плоскость γ, которая называется проецирующей, поскольку она перпендикулярна к плоскости π₁ (γ⊥π₁). В дальнейшем будем использовать только прямоугольное проецирование.

Рисунок 1.4 – Ортогональное проецирование

Рисунок 1.5- Монж, Гаспар (1746-1818)

Основоположником ортогонального проецирования считается французский учёный Гаспар Монж (Рисунок 1.5).

До Монжа строители, художники и учёные обладали довольно значительными сведениями о проекционных способах, и, всё же, только Гаспар Монж является творцом начертательной геометрии как науки.

Гаспар Монж родился 9 мая 1746 года в небольшом городке Боне (Бургундия) на востоке Франции в семье местного торговца. Он был старшим из пяти детей, которым отец, несмотря на низкое происхождение и относительную бедность семьи, постарался обеспечить самое лучшее образование из доступного в то время для выходцев из незнатного сословия. Его второй сын, Луи, стал профессором математики и астрономии, младший — Жан также профессором математики, гидрографии и навигации. Гаспар Монж получил первоначальное образование в городской школе ордена ораторианцев. Окончив её в 1762 году лучшим учеником, он поступил в колледж г. Лиона, также принадлежавший ораторианцам. Вскоре Гаспару доверяют там преподавание физики. Летом 1764 года Монж составил замечательный по точности план родного города Бона. Необходимые при этом способы и приборы для измерения углов и вычерчивания линий были изобретены самим составителем.

Во время обучения в Лионе получил предложение вступить в орден и остаться преподавателем колледжа, однако, вместо этого, проявив большие способности к математике, черчению и рисованию, сумел поступить в Мезьерскую школу военных инженеров, но (из-за происхождения) только на вспомогательное унтер-офицерское отделение и без денежного содержания. Тем не менее, успехи в точных науках и оригинальное решение одной из важных задач фортификации (о размещении укреплений в зависимости от расположения артиллерии противника) позволили ему в 1769 году стать ассистентом (помощником преподавателя) математики, а затем и физики, причём уже с приличным жалованием в 1800 ливров в год.

В 1770 году в возрасте 24-х лет Монж занимает должность профессора одновременно по двум кафедрам — математики и физики, и, кроме того, ведёт занятия по резанию камней. Начав с задачи точной резки камней по заданным эскизам применительно к архитектуре и фортификации, Монж пришёл к созданию методов, обобщённых им впоследствии в новой науке – начертательной геометрии, творцом которой он по праву считается. Учитывая возможность применения методов начертательной геометрии в военных целях при строительстве укреплений, руководство Мезьерской школы не допускало открытой публикации вплоть до 1799 года, книга вышла под названием Начертательная геометрия (Géométrie descriptive) (стенографическая запись этих лекций была сделана в 1795 году). Изложенный в ней подход к чтению лекций по этой науке и выполнению упражнений сохранился до наших дней. Еще один значительный труд Монжа – Приложение анализа к геометрии (L’application de l’analyse à la géometrie, 1795) – представляет собой учебник аналитической геометрии, в котором особый акцент делается на дифференциальных соотношениях.

В 1780 был избран членом Парижской академии наук, в 1794 стал директором Политехнической школы. В течение восьми месяцев занимал пост морского министра в правительстве Наполеона, заведовал пороховыми и пушечными заводами республики, сопровождал Наполеона в его экспедиции в Египет (1798–1801). Наполеон пожаловал ему титул графа, удостоил многих других отличий.

Метод изображения объектов по Монжу заключается в двух основных моментах:

1. Положение геометрического объекта в пространстве, в данном примере точки А, рассматривается относительно двух взаимно перпендикулярных плоскостей π₁ и π₂ (Рисунок 1.6).

Они условно разделяют пространство на четыре квадранта. Точка А расположена в первом квадранте. Декартова система координат послужила основой для проекций Монжа. Монж заменил понятие координатных осей проекций на линию пересечения плоскостей проекций (ось проекций) и предложил совместить координатные плоскости в одну путем поворота их вокруг координатных осей.

Рисунок 1.6 – Модель построения проекций точки

π₁ – горизонтальная (первая) плоскость проекций

π₂ – фронтальная (вторая) плоскость проекций

Рассмотрим пример проецирования точки А на две взаимно перпендикулярные плоскости проекций π₁ и π₂.

Опустим из точки А перпендикуляры (проецирующие лучи) на плоскости π₁ и π₂ и отметим их основания, то есть точки пересечения этих перпендикуляров (проецирующих лучей) с плоскостями проекций. А₁ – горизонтальная (первая) проекция точки А;А₂ – фронтальная (вторая) проекция точки А; АА₁ и АА₂ – проецирующие прямые. Стрелки показывают направление проецирования на плоскости проекций π₁ и π₂. Такая система позволяет однозначно определить положение точки относительно плоскостей проекций π₁ и π₂:

2. Совместим поворотом вокруг оси проекций π₂/π₁ плоскости проекций в одну плоскость (π₁ с π₂), но так, чтобы изображения не накладывались друг на друга, (в направлении α, Рисунок 1.6), получим изображение, называемое прямоугольным (ортогональным) чертежом (Рисунок 1.7):

Рисунок 1.7 – Ортогональный чертеж

1.4. Прямоугольные проекции точки. Свойства ортогонального чертежа

1. Две прямоугольные проекции точки лежат на одной линии проекционной связи, перпендикулярной к оси проекций.

2. Две прямоугольные проекции точки однозначно определяют её положение в пространстве относительно плоскостей проекций.

Убедимся в справедливости последнего утверждения, для чего повернём плоскость π₁ в исходное положение (когда π₁⊥π₂). Для того, чтобы построить точку А необходимо из точек А₁ и А₂ восстановить проецирующие лучи, а фактически – перпендикуляры к плоскостям π₁и π₂, соответственно. Точка пересечения этих перпендикуляров фиксирует в пространстве искомую точку А. Рассмотрим ортогональный чертеж точки А (Рисунок 1.8).

Рисунок 1.8 – Построение эпюра точки

Введём третью (профильную) плоскость проекций π₃ перпендикулярную π₁ и π₂ (задана осью проекций π₂/π₃).

Расстояние от профильной проекции точки до вертикальной оси проекций А‘₀A₃ позволяет определить расстояние от точки А до фронтальной плоскости проекций π₂. Известно, что положение точки в пространстве можно зафиксировать относительно декартовой системы координат с помощью трёх чисел (координат) A(X_A; Y_A; Z_A) или относительно плоскостей проекций с помощью её двух ортогональных проекций (A₁=(X_A; Y_A); A₂=(X_A; Z_A)). На ортогональном чертеже по двум проекциям точки можно определить три её координаты и, наоборот, по трём координатам точки, построить её проекции (Рисунок 1.9, а и б).

а б
Рисунок 1.9 – Построение эпюра точки по её координатам

По расположению на эпюре проекций точки можно судить о её расположении в пространстве:

Для определения в каком квадранте пространства расположена точка, достаточно определить знак координат точки.

Упражнение

Решение задачи: по оси OX отложить значение координаты X_A=60, затем через эту точку на оси OX восстановить линию проекционной связи, перпендикулярную к OX, по которой вверх отложить значение координаты Z_A=40, а вниз – значение координаты Y_A=20 (Рисунок 1.10). Все координаты положительные, значит точка расположена в I квадранте.

Рисунок 1.10 – Решение задачи

1.5. Задачи для самостоятельного решения

1. По эпюру определите положение точки относительно плоскостей проекций (Рисунок 1.11).

Рисунок 1.11

2. Достройте недостающие ортогональные проекции точек А, В, С на плоскости проекций π₁, π₂, π₃ (Рисунок 1.12).

Рисунок 1.12

3. Постройте проекции точки:

4. Постройте ортогональные проекции точки К, расположенной во втором квадранте и удаленной от плоскостей проекций π₁ на 40 мм, от π₂ — на 15 мм.

Источник