Что называют координатной плоскостью
Урок 46 Бесплатно Координатная плоскость
До этого занятия мы обсуждали с вами только прямую и все, что с ней связано.
Сегодня урок посвятим изучению плоскости.
Узнаем, что называют координатной плоскостью и как получить её из обычной плоскости.
Познакомимся с прямоугольной системой координат на плоскости и разберем ее основные характеристики и особенности.
Выясним области применения и использования систем координат в практических целях и в жизни человека.
Научимся пользоваться прямоугольной системой координат на плоскости: определять координаты заданных точек и по заданным координатам точки находить ее положение на координатной плоскости.
Координатная плоскость и ее основные особенности
Представим движение автомобиля по прямолинейному участку дороги.
Любой прямолинейный участок дороги легко представить с помощью координатной прямой.
Координатная прямая позволяет нам связать точки на этой прямой с числом.
Вам уже известно, как из любой прямой получить координатную прямую.
Необходимо на прямой выбрать начало отсчета, задать направление и единичный отрезок (масштаб).
В результате с помощью координатной прямой вы однозначно определите, что конкретной точке на прямой соответствует ее единственное верное значение с соответствующим знаком.
И наоборот, если известна координата точки, то можно определить положение этой точки на координатной прямой.
Таким образом, для указания местоположения точки (в нашем случае автомобиля) на прямой нужна только одна координата на координатной оси.
В жизни часто приходится устанавливать положение точки по нескольким параметрам. В таком случае для однозначного определения положения точки требуется больше информации.
Предположим, купили мы билет на концерт.
Чтобы определить расположение конкретного кресла в зале, в билете указывают адрес места: номер ряда и номер кресла в ряду.
Так как каждому месту ставится в соответствие два числа, то для однозначного определения положения точки нам не будет хватать одной координатной прямой.
Для обозначения числами точного положения точки на плоскости используют математическую модель, которую называют координатной плоскостью.
Чтобы из обычной плоскости получить координатную, необходимо на этой плоскости задать определенную систему координат.
Существует различные системы координат.
Мы рассмотрим прямоугольную систему координат на плоскости.
Прямоугольной системой координат на плоскости называют систему из двух взаимно перпендикулярных прямых с общим началом отсчета и общей масштабной единицей.
Рассмотрим основные составляющие прямоугольной системы координат.
Единичный отрезок выбирается чаще всего одинаковый для каждой координатной оси.
Направление осей указывается стрелкой, каждая ось подписывается буквой.
Для координатных осей обычно выбирают положительное направление, т.е. «по умолчанию» принято использовать правостороннюю систему координат, в которой за положительное направление осей принимают ось ординат, направленную вверх, и ось абсцисс, направленную вправо.
Если приходится по каким-либо причинам использовать левостороннюю прямоугольную систему координат, то данный факт оговаривают в задаче.
Положение точки на плоскости определяется двумя упорядоченными числами: координатами х и y.
Координату точки на плоскости записывают так:
Например, координата точки A:
A(2;-1), где
У меня есть дополнительная информация к этой части урока!
Чтобы запомнить порядок следования абсциссы и ординаты в записи координаты точки, часто используют такое сравнение:
Представьте, многоэтажный дом, а в нем вашу квартиру.
Чтобы попасть домой, первым делом вам необходимо зайти в нужный подъезд (координата по оси Ох), а затем подняться на нужный этаж (координата по оси Оу).
Координаты могут иметь различные числовые значения, в том числе быть равными нулю.
Если ордината точки равна нулю, то точка лежит на оси Ох.
Если абсцисса точки равна нулю, то точка лежит на оси Оу.
Нумерация координатных плоскостей ведется против часовой стрелки римскими цифрами I, II, III, IV.
Если точка имеет положительную координату х (х > 0) и положительную координату у (у > 0), то она лежит в I координатной четверти.
Если точка имеет отрицательную координату х (х 0), то она лежит во II координатной четверти.
Античные ученые, мыслители (астрономы, философы, географы) на протяжении нескольких столетий пытались создать теорию о происхождении окружающего мира и всего мироздания в целом, изобразить известные им моря, океаны, страны в чертежах, а звездное небо на карте.
Благодаря великим умам появилось огромное множество фундаментальных знаний, понятий, представлений.
Появилось представление о Земле как о шаре, о ее расположение на звездном небе; создавались все более совершенные карты и планы, методы определения географических координат; на карту наносились линии широты и долготы, сетка параллелей и меридиан.
Долгое время лишь география и астрономия пользовались данными знаниями.
В XIV веке французский философ, астроном, математик Никола Орем пытался применить метод координат к геометрии.
Одной из самых важных математических работ Орема стал «Трактат о конфигурации качеств».
Именно в этой работе он ввел графическое изображение зависимости одной величины от другой с помощью прямоугольной системы координат, называя широтой и долготой то, что сейчас называют абсциссой и ординатой.
Это нововведение стало отправной точкой создания современного метода координат.
Научному обоснованию прямоугольной системы координат мы обязаны французскому ученому, философу Рене Декарту.
Он обобщил известные на то время знания по этой теме и дал научное истолкование прямоугольной системе координат.
Предложенная им прямоугольная система координат получила его имя, ее стали называть декартовой системой координат.
Координатный метод описания геометрических объектов положил начало аналитической геометрии.
Создание аналитической геометрии позволило переводить геометрические свойства тел и кривых на алгебраический язык, вместо геометрических построений использовать расчеты; кроме того, стало возможным анализировать геометрические объекты с помощью уравнений.
Развитием координатного метода и аналитической геометрии занимался также современник Рене Декарта, знаменитый французский ученый Пьер Ферма.
Однако все научные труды Ферма были опубликованы только после его смерти
Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации
Координатная плоскость
Если построить на плоскости две взаимно перпендикулярные числовые оси: OX и OY, то они будут называться осями координат. Горизонтальная ось OX называется осью абсцисс (осью x), вертикальная ось OY — осью ординат (осью y).
Точка O, стоящая на пересечении осей, называется началом координат. Она является нулевой точкой для обеих осей. Положительные числа изображаются на оси абсцисс точками вправо, а на оси ординат — точками вверх от нулевой точки. Отрицательные числа изображаются точками влево и вниз от начала координат (точки O). Плоскость, на которой лежат оси координат, называется координатной плоскостью.
Оси координат делят плоскость на четыре части, называемые четвертями или квадрантами. Принято эти четверти нумеровать римскими цифрами в том порядке, в котором они пронумерованы на чертеже.
Координаты точки на плоскости
Если взять на координатной плоскости произвольную точку A и провести от неё перпендикуляры к осям координат, то основания перпендикуляров лягут на два числа. Число, на которое указывает вертикальный перпендикуляр, называется абсциссой точки A. Число, на которое указывает горизонтальный перпендикуляр, — ординатой точки A.
На чертеже абсцисса точки A равна 3, а ордината 5.
Абсцисса и ордината называются координатами данной точки на плоскости.
Координаты точки записываются в скобках справа от обозначения точки. Первой записывается абсцисса, а за ней ордината. Так запись A(3; 5) обозначает, что абсцисса точки A равна трём, а ордината — пяти.
Координаты точки – это числа, определяющие её положение на плоскости.
Начало координат — точка O — имеет и абсциссу и ординату равные нулю: O (0; 0).
Данная система координат называется прямоугольной или декартовой.
Координатная плоскость
Урок 46. Математика 6 класс
В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам
Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобрев в каталоге.
Получите невероятные возможности
Конспект урока «Координатная плоскость»
В повседневной жизни вы могли слышать такую фразу: «Оставьте мне ваши координаты!».
Как вы понимаете эту фразу?
Это выражение означает, что собеседник должен оставить свой адрес или номер телефона, т.е. данные, по которым его можно найти.
Числа, с помощью которых указывают, где находится некоторый объект, называют его координатами.
С координатами вы уже не раз встречались и в математике. Вы умеете выполнять две операции: отмечать на координатной прямой точку с заданной координатой и, наоборот, определять координату заданной точки. Для этого на прямой выбирают начало отсчёта, положительное направление и единичный отрезок. После этого любая точка прямой получает свою собственную координату.
Координата точки указывает, таким образом, её место на координатной прямой.
Возникает вопрос: а можно ли определить местоположение точки на плоскости?
Наверняка, хоть раз в жизни вы играли в такую игру как «Морской бой».
Поле этой игры состоит из квадрата размерами 10 на 10 клеточек. В этом поле изображаются корабли: 1 четырёхклеточный, 2 трёхклеточных, 3 двухклеточных и 4 одноклеточных. При этом между любыми двумя соседними кораблями должен оставаться промежуток не меньше одной клетки.
На экране изображён один из вариантов расположения кораблей. Каждая клеточка квадрата обозначается парой: (буква –число), указанных вдоль нижней и левой сторон квадрата. Например, корабль расположен в клетке (Ж; 4). Суть этой игры найти все корабли соперника первым. При обозначении положения клетки первой указывают её горизонтальную координату, а второй – вертикальную.
Именно в этом и состоит суть координат или, как обычно говорят, системы координат: это правило, по которому определяется положение того или иного объекта.
Системы координат встречаются в нашей жизни постоянно.
Вы знакомы с системой координат в зрительном зале кинотеатра (номер ряда и номер места), в поезде (номер вагона и номер места), с системой географических координат (долгота и широта).
Что нужно знать для того, чтобы найти своё место в кинотеатре? Места в зрительном зале кинотеатра задают двумя числами: первым числом обозначают номер ряда, а вторым – номер кресла в этом ряду. Значит, чтобы правильно занять своё место в зрительном зале необходимо знать две координаты: ряд и место.
Например, в билете указаны: 3 ряд 2 место. Посмотрите где это место расположено.
Обратите внимание, что при определении местоположения нам необходимо знать две характеристики или два значения.
Подобным образом можно обозначить и положение точки на плоскости.
Рене Декарт – французский математик ввёл в 1637 году систему координат, которая используется во всем мире и известна каждому школьнику. Её называют также «Декартова система координат».
Чтобы задать декартову прямоугольную систему координат на плоскости проводят две взаимно перпендикулярные координатные прямые х и у, называемые координатными осями.
Точка пересечения осей – «O» называется началом координат.
На каждой оси ОX и ОY задаётся положительное направление и выбирается единичный отрезок.
Каждая из координатных осей имеет своё название: горизонтальную ось называют осью абсцисс (или осью х), вертикальную ось называют осью ординат (или осью у). Эти прямые составляют систему координат на плоскости.
Плоскость, на которой задана система координат, называется координатной плоскостью.
Оси разбивают координатную плоскость на четыре части, которые называют координатными четвертями. Их нумеруют римскими цифрами и против часовой стрелки.
Говорят: первая четверть, вторая четверть, третья четверть и четвертая четверть.
Каждая точка такой плоскости имеет две координаты.
Рассмотрим, как определяется положение точки на координатной плоскости.
Например, у нас есть точка М. И нужно определить её координаты. Для этого проведём перпендикуляр из этой точки на горизонтальную ось или ось абсцисс.
Точка пересечения с осью х называется абсциссой точки М.
В нашем случае, абсцисса точки М 3.
Далее, из этой же точки проведём перпендикуляр до пересечения с вертикальной осью, или осью ординат.
Точка пересечения с осью у называется ординатой точки М.
В нашем случае, ордината точки М 5.
Абсцисса и ордината точки М называются координатами этой точки. Их принято записывать рядом с буквой, обозначающей точку, в круглых скобках. Причем, на первом месте всегда пишется абсцисса, а на втором – ордината.
Читают эту запись так: «точка М с абсциссой 3 и ординатой 5», или «точка М с координатами 3 и 5». Обратите внимание, если переставить координаты местами, то получится совсем другая точка. Например, точка N (5; 3).
Координаты точки (х;у) на плоскости – это пара чисел, в которой на первом месте стоит абсцисса (х), а на втором – ордината (у) этой точки.
Сделаем вывод: координаты можно указать для любой точки координатной плоскости: для этого надо из точки провести перпендикуляры на координатные оси и определить, какому числу координатной оси соответствует основание перпендикуляра.
Точки любой прямой, перпендикулярной оси абсцисс, имеют одну и ту же абсциссу.
Например, все точки прямой а имеют абсциссу 4. Все точки оси ординат имеют абсциссу 0, т.е. координаты любой точки оси ординат имеют вид (0; у).
Точки любой прямой, перпендикулярной оси ординат, имеют одну и ту же ординату.
Начало координат – точка О – лежит и на оси абсцисс, и на оси ординат. Значит, её координаты (0; 0).
Построить точку по её координатам можно несколькими способами.
Например, построим точку А (-5; 7).
Второй способ построения точки по заданным координатам. Можно сместиться по оси ОХ влево на 5 единиц, т.к. абсцисса точки – отрицательное число. А затем, параллельно оси ОX вверх на 7 единиц, т.к. ордината точки положительное число. Точка, где пересеклись оба перпендикуляра, и есть искомая точка А.
Сделаем ещё один очень важный вывод:
Каждой точке на координатной плоскости соответствует пара чисел: её абсцисса и ордината. Наоборот, каждой паре чисел соответствует одна точка плоскости, для которой эти числа являются координатами.
Построите на координатной плоскости точки, а затем последовательно соедините их отрезками.
Какая фигура у нас получилась в итоге? Правильно! Это котик.
Координатная плоскость
Прямоугольная, или декартова система координат — наиболее распространённая система координат на плоскости и в пространстве.
Содержание
Прямоугольная система координат на плоскости
Прямоугольная система координат на плоскости образуется двумя взаимно перпендикулярными осями координат X’X и Y’Y. Оси координат пересекаются в точке O, которая называется началом координат, на каждой оси выбрано положительное направление.Положительное направление осей (в правосторонней системе координат) выбирают так, чтобы при повороте оси X’X против часовой стрелки на 90° её положительное направление совпало с положительным направлением оси Y’Y. Четыре угла (I, II, III, IV), образованные осями координат X’X и Y’Y, называются координатными углами (см. Рис. 1).
Положение точки A на плоскости определяется двумя координатами x и y. Координата x равна длине отрезка OB, координата y — длине отрезка OC в выбранных единицах измерения. Отрезки OB и OC определяются линиями, проведёнными из точки A параллельно осям Y’Y и X’X соответственно. Координата x называется абсциссой точки A, координата y — ординатой точки A. Записывают так: A(x, y).
Если точка A лежит в координатном угле I, то точка A имеет положительные абсциссу и ординату. Если точка A лежит в координатном угле II, то точка A имеет отрицательную абсциссу и положительную ординату. Если точка A лежит в координатном угле III, то точка A имеет отрицательные абсциссу и ординату. Если точка A лежит в координатном угле IV, то точка A имеет положительную абсциссу и отрицательную ординату.
Прямоугольная система координат в пространстве
Прямоугольная система координат в пространстве образуется тремя взаимно перпендикулярными осями координат OX, OY и OZ. Оси координат пересекаются в точке O, которая называется началом координат, на каждой оси выбрано положительное направление, указанное стрелками, и единица измерения отрезков на осях. Единицы измерения одинаковы для всех осей. OX — ось абсцисс, OY — ось ординат, OZ — ось апликат. Положительное направление осей выбирают так, чтобы при повороте оси OX против часовой стрелки на 90° её положительное направление совпало с положительным направлением оси OY, если этот поворот наблюдать со стороны положительного направления оси OZ. Такая система координат называется правой. Если большой палец правой руки принять за направление X, указательный за направление Y, а средний за направление Z, то образуется правая система координат. Аналогичными пальцами левой руки образуется левая система координат. Правую и левую системы координат невозможно совместить так, чтобы совпали соответствующие оси (см. Рис. 2).
Положение точки A в пространстве определяется тремя координатами x, y и z. Координата x равна длине отрезка OB, координата y — длине отрезка OC, координата z — длине отрезка OD в выбранных единицах измерения. Отрезки OB, OC и OD определяются плоскостями, проведёнными из точки A параллельно плоскостям YOZ, XOZ и XOY соответственно. Координата x называется абсциссой точки A, координата y — ординатой точки A, координата z — аппликатой точки A. Записывают так: A(a, b, c).
Прямоугольная система координат (любой размерности) также описывается набором ортов, сонаправленных с осями координат. Количество ортов равно размерности системы координат и все они перпендикулярны друг другу.
История
Впервые прямоугольную систему координат ввел Рене Декарт в своей работе «Рассуждение о методе» в 1637 году. Поэтому прямоугольную систему координат называют также — Декартова система координат. Координатный метод описания геометрических объектов положил начало аналитической геометрии. Вклад в развитие координатного метода внес также Пьер Ферма, однако его работы были впервые опубликованы уже после его смерти. Декарт и Ферма применяли координатный метод только на плоскости.
Координатный метод для трёхмерного пространства впервые применил Леонард Эйлер уже в XVIII веке.
Что называют координатной плоскостью
Зададим на плоскости две оси координат, расположив их под прямым углом друг к другу (такие прямые называются взаимно перпендикулярными),—ось х и ось у— с точкой пересечения О, являющейся начальной точкой каждой из этих осей. Единичные отрезки осей возьмем равными друг другу.
Говорят, что этим на плоскости определена прямоугольная система координат хОу. Ее называют еще декартовой системой координат по имени французского математика и философа Декарта, введшего в математику это важное понятие.
Ось х называют еще осью абсцисс, а ось у—осью ординат. Точку О пересечения осей координат называют началом системы координат. Плоскость, на которой задана декартова система координат, называют координатной плоскостью.
Обычно ось абсцисс рисуют в виде горизонтальной прямой, направленной вправо, а ось ординат—в виде вертикальной прямой, направленной вверх (рис. 9.9).
Пусть A — произвольная точка координатной плоскости. Проведем через точку А прямые, параллельные осям координат.
Прямая, параллельная оси у, пересечет ось х в точке A1, а прямая, параллельная оси х, пересечет ось у в точке А2. Координата точки A1 на оси х называется абсциссой точки А. Координата точки А2 на оси у называется ординатой точки А. Абсцисса х и ордината у точки А называются координатами точки А.
Координаты точки записывают в скобках рядом с буквой, обозначающей эту точку: А (х; у), причем на
первом месте пишется абсцисса, а на втором месте—ордината. Например, точка А, изображенная на рис. 9.10, имеет абсциссу х = 4 и ординату у = 3, поэтому пишут: А (4; 3).
Прямоугольная система координат хОу разделяет плоскость на четыре части, называемые координатными углами или координатными четвертями.
Мы обозначим их римскими цифрами I, II, III, IV (рис. 9.12).
Если исключить точки, лежащие на осях координат, то можно сказать, что точки угла I имеют координаты (х; у) такие, что x > 0, у > 0;
точки угла II имеют координаты (x; у) такие, что
точки угла III имеют координаты (х; у) такие, что