Что называется жесткостью сечения при кручении бруса

Кручение.

Чистый сдвиг

Напряженное состояние, при котором на гранях элемента конструкции возникают только касательные напряжения, называют чистым сдвигом.

Закон Гука при сдвиге имеет вид:

Для изотропных материалов существует зависимость между константами упругости:

Кручение

Кручением называется вид деформации, при котором в любом поперечном сечении бруса возникает только один крутящий момент.

Знак крутящего момента не имеет физического смысла.

Угол закручивания бруса определяется формулой:

Жесткостью сечения при кручении круглого бруса называется величина [GI_p]=H*м 2

Полярным моментом сопротивления сечения кручению называется величина:

Максимальные касательные напряжения достигаются на поверхности круглого бруса и равны:

Опасным сечением при кручении называется поперечное сечение бруса, в котором возникает максимальное касательное напряжение.

Угол закручивания бруса длиной l при постоянном крутящем моменте равен:

Расчеты на прочность и жесткость при кручении.

Расчеты на прочность.

1. При проверочном расчете определяется наибольшее касательное напряжение, которое сравнивается с допускаемым касательным напряжением:

2. При проектном расчете определяется площадь и диаметр опасного сечения стержня из условия:

3.При определении допускаемой нагрузки рассчитывается максимальный допускаемый крутящий момент:

Расчеты на жесткость.

1. Условие жесткости при кручении имеет вид:

2.Подбор поперечного сечения бруса осуществляется из условия:

Источник

Тема 2.4. Кручение

Под кручением понимается такой вид деформации, когда в поперечных сечениях бруса действует только крутящий момент M_k, (другое обозначение T, M_z), а остальные силовые факторы (нормальная и поперечная силы и изгибающие моменты) отсутствуют.

Или другое определение кручением называют деформацию, возникающую при действии на стержень пары сил, расположенной в плоскости, перпендикулярной к его оси (рис.1).

Кручение возникает в валах, винтовых пружинах, в элементах пространственных конструкций и т.п.

Деформация кручения наблюдается если прямой брус нагружен внешними моментами (парами сил M), плоскости действия которых перпендикулярны к его продольной оси

В чистом виде деформация кручения встречается редко, обычно присутствуют и другие внутренние силовые факторы (изгибающие моменты, продольные силы).

Стержни круглого или кольцевого сечения, работающие на кручение, называют валами.

Внешние крутящие моменты передаются на вал в местах посадки на него шкивов, зубчатых колес, там, где поперечная нагрузка смещена относительно оси вала.

Мы будем рассматривать прямой брус только в состоянии покоя или равномерного вращения. В этом случае алгебраическая сумма всех внешних скручивающих моментов, приложенных к брусу, будет равна нулю.

При расчете брусьев, испытывающий деформацию кручения, на прочность и жесткость при статическом действии нагрузки, надо решить две основные задачи. Это определение напряжений (от M_k), возникающих в брусе, и нахождение угловых перемещений в зависимости от внешних скручивающих моментов.

При расчете валов обычно бывает известна мощность, передаваемая на вал, а величины внешних скручивающих моментов, подлежат определению. Внешние скручивающие моменты, как правило, передаются на вал в местах посадки на него шкивов, зубчатых колес и т.п.

§2. Построение эпюр крутящих моментов

Для определения напряжений и деформаций вала необходимо знать значения внутренних крутящих моментов M_k (M_z) в поперечных сечениях по длине вала. Диаграмму, показывающую распределение значений крутящих моментов по длине бруса, называют эпюрой крутящих моментов. Зная величины внешних скручивающих моментов и используя метод сечений, мы можем определить крутящие моменты, возникающие в поперечных сечениях вала.

В простейшем случае, когда вал нагружен только двумя внешними моментами (эти моменты из условия равновесия вала ΣM_z=0 всегда равны друг другу по величине и направлены в противоположные стороны), как показано на рис. 1, крутящий момент M_z в любом поперечном сечении вала (на участке между внешними моментами) по величине равен внешнему моменту |M₁|=|M₂|.

Источник

iSopromat.ru

Кручением называется такой вид деформации бруса, при котором в его поперечных сечениях возникает только один внутренний силовой фактор – крутящий момент T.

Брусья, испытывающие кручение, принято называть валами.

Внутренний крутящий момент

Внутренние скручивающие моменты появляются под действием внешних крутящих моментов m_i, расположенных в плоскостях, перпендикулярных к продольной оси бруса.

Скручивающие моменты передаются на вал в местах посадки зубчатых колес, шкивов ременных передач и т.п.

Величина крутящего момента в любом сечении вала определяется методом сечений:

т.е. крутящий момент численно равен алгебраической сумме скручивающих моментов m_i, расположенных по одну сторону от рассматриваемого сечения.

Правило знаков внутренних скручивающих моментов:
Положительными принимаются внутренние моменты, стремящиеся повернуть рассматриваемую часть вала против хода часовой стрелки, при рассмотрении со стороны отброшенной части вала.

В технике наиболее широко используются валы круглого поперечного сечения.

Теория кручения круглых валов основана на следующих гипотезах:

Напряжения при кручении

В поперечных сечениях вала при кручении имеют место только касательные напряжения.
Касательные напряжения, направленные перпендикулярно к радиусам, для произвольной точки, отстоящей на расстоянии ρ от центра, вычисляются по формуле:

где I_ρ — полярный момент инерции.
Эпюра касательных напряжений при кручении имеет следующий вид:

Касательные напряжения меняются по линейному закону и достигают максимального значения на контуре сечения при ρ= ρ_max:

Здесь:

— полярный момент сопротивления.
Геометрические характеристики сечений:
а) для полого вала:


б) для вала сплошного сечения (c=0)

в) для тонкостенной трубы (t 0,9)

где

— радиус срединной поверхности трубы.

Деформации

Деформации валов при кручении заключаются в повороте одного сечения относительно другого.

Угол закручивания вала на длине Z определяется по формуле:

Если крутящий момент и величина GI_ρ, называемая жесткостью поперечного сечения при кручении, постоянны, для участка вала длиной l имеем:

Угол закручивания, приходящийся на единицу длины, называют относительным углом закручивания:

Расчет валов сводится к одновременному выполнению двух условий:

Для стальных валов принимается:

Используя условия прочности и жесткости, как и при растяжении – сжатии можно решать три типа задач:

Из двух найденных значений крутящего момента необходимо принять меньшее.

Потенциальная энергия упругой деформации определяется по формуле

или для участка вала при постоянном T и GI_ρ

Уважаемые студенты!
На нашем сайте можно получить помощь по техническим и другим предметам:
✔ Решение задач и контрольных
✔ Выполнение учебных работ
✔ Помощь на экзаменах

Источник

Лекция 16. Расчёты на прочность и жёсткость при кручении.

Расчёты на прочность при кручении бруса круглого поперечного сечения проводятся по максимальным касательным напряжениям. В основе расчётов на проч-

ность при кручении лежит условие прочности: РН ≤ ДН (рабочие напряжения должны быть меньше, или равны допускаемым напряжениям).

Различают три вида расчётов на прочность:

1. Проверочный расчёт ≤ Цель проверочного расчёта проверить соблюдение условия прочности.

2. Проектный расчёт . Цель расчёта определить размеры опасного поперечного сечения бруса, обеспечивающих прочность.

Для круглого поперечного сечения , следовательно, d = .Полученные значения диаметра округляют в большую сторону до целого чётного, или кратного 5 числа.

3. Определение допускаемой нагрузки. . Цель расчёта определить грузоподъёмность бруса при условии соблюдения его прочности.

Расчёты на жёсткость при кручении бруса круглого поперечного сечения производятся по удельному углу закручивания его поперечного сечения . Удельным углом закручивания называется угол закручивания круглого поперечного сечения бруса на единицу его длины: , где

Мz Нмм – крутящий момент;

G = 8∙ Н/ — модуль упругости второго рода материала (сталь) бруса;

— полярный момент инерции круглого поперечного сечения бруса.

В основе расчётов на жёсткость лежит условие жёсткости: , где

рад/мм – допускаемый удельный угол закручивания. Чаще всего он задаётся в градусах на метр. В этом случае применяется переводной коэффициент

Различают три вида расчётов на жёсткость:

1. Проверочный расчёт . Его цель проверить соблюдение условия жёсткости.

2. Проектный расчёт = → d = . Его цель определить диаметр вала, обеспечивающий его жёсткость.

3. Определение допускаемой нагрузки . Его цель определить грузоподъёмность вала при условии его жёсткости.

Как правило, расчёты на жёсткость проводятся вместе с расчётами на прочность. При этом надо иметь в виду, что:

1. При проведении проверочных расчётов необходимо, чтобы соблюдались оба условия (прочности и жёсткости).

2. При проведении проектных расчётов окончательно принимается наибольшее значение диаметра вала.

3. При проведении расчётов определение допускаемой нагрузки окончательно принимается наименьшее значение нагрузки.

Пример решения задачи.

Производим проектный расчёт на прочность при кручении. Формула расчёта:

Определим диаметры ступеней распределительного вала, используя построенную ранее рациональную расчётную схему и эпюру крутящего момента (рисунок 41).

Диаметр ступени вала, на которой действует крутящий момент 300 Нм: мм. Принимаем окончательно d = 44 мм (ближайшее большее чётное число).

мм. Принимаем окончательно d = 50 мм (число, кратное пяти).

Диаметры ступеней вала, на которых не действует крутящий момент, принимаем равными наименьшему расчётному значению, т. е. d = 44 мм.

Производим проектный расчёт на жёсткость

Диаметр ступени вала, на который действует момент 300 Нм:

мм. Принимаем d = 52 мм.

Диаметры ступеней вала, на которые действует момент 500 Нм:

мм. Принимаем d = 60 мм.

Сравнивая полученные результаты с результатами расчётов на прочность окончательно принимаем большие, то есть, полученные при расчёте на жёсткость. Эти размеры проставляем на эскизе вала. Диаметры ступеней вала, на которых момент равен 0, принимаем равными диаметру ступени, на которой действует момент 300 Нм.

Рисунок 47. Рациональная расчётная схема распределительного вала, эпюра крутящих моментов и эскиз вала.

Источник

И ЖЕСТКОСТЬ ПРИ КРУЧЕНИИ

Сдвигом называют такой вид напряженного состояния, когда на гранях элемента действуют только касательные напряжения. Деформации, возникающие при сдвиге, называют угловыми деформациями или углом сдвига.

Кручением называют такой вид простого нагружения, при котором внешние пары сил действуют в плоскостях поперечных сечений. Стержень, работающий на кручение, называют валом.

В поперечных сечениях вала возникает только крутящий момент М_х., который в произвольном поперечном сечении численно равен алгебраической сумме всех внешних моментов, приложенных по одну сторону от рассматриваемого сечения и вращающих вокруг продольной оси х.

Между интенсивностью внешнего скручивающего момента m и внутреннего крутящего момента M имеется соотношение

Из геометрического смысла производной (первая производная равна тангенсу угла между касательной к кривой и осью

Рис. 6 Эпюра касательных напряжений в поперечном сечении и напряжения в наклонных сечениях при кручении

абсцисс) следуют правила для проверки соответствия эпюры крутящих моментов расчетной схеме такие же, как для растяжения.

При кручении круглого бруса в поперечных сечениях действуют и подлежат определению касательные напряжения, меняющиеся вдоль радиуса по линейному закону:

. (24)

Здесь M_х – внутренний крутящий момент в сечении вала, ρ – полярная координата произвольной точки в поперечном сечении, J₀ – полярный момент инерции сечения. (Таким образом, в записи формулы использована полярная система координат.)

Наиболее опасными точками сечения вала, в которых действуют наибольшие касательные напряжения, являются точки около наружной поверхности (на контуре сечения), где

, (25)

где W₀ – полярный момент сопротивления сечения.

Для кольцевого профиля (труба) снаружным диаметром Dивнутренним d соответствующие характеристики имеют вид

Условие прочности вала имеет вид

(26)

где[t] – допускаемое касательное напряжение, которое определяется аналогично допускаемому нормальному напряжению или приближенно [t] ≈ (0.5 0.6)[σ].

Если необходимо определить диаметр вала из условия прочности (26), то решение проводится относительно момента сопротивления:

. (27)

Определение полного угла закручивания вала или угла поворота сечения вокруг продольной оси х проводят по закону Гука при кручении:

, (28)

где G (МПа) – модуль упругости материала второго рода (модуль сдвига, модуль Стокса), i – номер участка.

Для валов с переменными параметрами перемещения вычисляются по формуле

.

При расчете валов наряду с выполнением условия прочности может потребоваться выполнение условия жесткости. Условие жесткости заключается в том, что максимальный относительный угол закручивания θ_max, то есть угол приходящийся на единицу длины вала, не должен превышать допустимых значений [θ].

(29)

Допустимый относительный угол закручивания устанавливается техническими условиями. Его величина для разных энергетических конструкций и различных режимов работы вала колеблется в достаточно широких пределах:

.

По условию жесткости возможно решение тех же трех вариантов задач, что и по условию прочности.

Расчетное соотношение для определения диаметра вала из условия жесткости приобретает вид:

. (30)

При расчете бруса на прочность (27) и жесткость (30) из двух найденных значений диаметра следует принять то, которое удовлетворяет обоим условиям надежности, то есть большее.

Диаметры вала в местах посадки на него различных деталей (дисков, шкивов, подшипников и т.п.) округляют до ближайшего стандартного значения.

Для заданного вала (рис. 7,а), нагруженного скручивающими сосредоточенными и распределенными моментами, выполнить расчет на прочность и жесткость. Здесь принято М =m l.

1. Реактивный момент.

Вычисляется из уравнения равновесия – по условию равенства нулю суммы моментов относительно оси вращения (10,4):

→

2. Внутренние усилия.

Вал имеет два участка. Следовательно, для построения эпюры внутренних крутящих моментов достаточно два раза применить метод сечений.

Для первого сечения (рис.7,б) для левой части вала уравнение равновесия имеет вид

(на эпюре наклонная прямая).

Рис. 7. Кручение (к примеру 2):

а – расчетная схема; б – рассматриваемые отсеченные части;

в – эпюра крутящих моментов; г – эпюра касательных напряжений;

д – эпюра угловых перемещений

На первом участке границы изменения x₁: . Подставляя эти значения, определяют величины моментов на границах участка:

,

или (для правой части вала) .

Эпюра внутренних крутящих моментов приведена на рис.7,в. Согласно указанным ранее правилам на первом участке она ограничена наклонной прямой, а на втором – прямой параллельной оси.

Из эпюры видно, что максимальное значение момента |M_max| =2M (а не 3M). Именно для этого опасного значения и проводится последующий расчет на прочность.

3. Касательные напряжения.

В рассматриваемом примере эпюра максимальных касательных напряжений (рис. 7,г) качественно повторяет эпюру моментов M_x (рис. 7,в), так как вал имеет постоянное сечение по

длине. Условие прочности проверяется для опасного сечения, которое находится на границе между участками:

Если взять не сплошное, а кольцевое сечение, то при сохранении прежнего значения наружного диаметра, максимальные касательные напряжения существенно увеличиваются. Это объясняется уменьшением момента сопротивления.

Из условия прочности при кручении, как и при растяжении и сжатии, в зависимости от постановки задачи может быть определена допускаемая нагрузка:

В рассмотренном примере │M_х│= 2М. Следовательно, допустимая нагрузка на вал

.

Из условия прочности при кручении в зависимости от постановки задачи может быть определен диаметр вала по (25).

.

3. Угловые перемещения.

Определение полного угла закручивания вала или угла поворота сечения вокруг продольной оси х производят по закону Гука при кручении (28):

.

Для первого участка

, (на эпюре парабола выпуклостью вверх):

; .

Для второго участка

.

Знаки перед слагаемыми соответствуют знакам внутренних крутящих моментов (рис.7,в). Физически φ₂ означает угол закручивания второго участка вала– угол поворота сечения В относительно А вокруг продольной оси под действием внешней нагрузки, а φ_ВО означает угол поворота сечения В относительно жесткой связи 0.

Эпюра перемещений приведена на рис. 7,д. На первом участке она ограничена выпуклой к оси абсцисс параболой, а на втором – наклонной прямой. Здесь, как и в случае расчета перемещений при растяжении, для проверки соответствия эпюры крутящих моментов расчетной схеме можно использовать геометрический смысл (по площади) эпюры моментов.

Вопросы для самопроверки

Источник