Что называется цепью графа

Цепи и циклы в графах

Дата добавления: 2014-05-01 ; просмотров: 11262 ; Нарушение авторских прав

Цепь– маршрут, в котором все ребра различны.

Простая цепь – цепь, в которой все вершины различны.

Лес— совокупность деревьев.

Пример:

В графах выделяют два замечательных цикла: эйлеров и гамильтонов.

Граф называетсяэйлеровым, если для всякой вершины графа найдется маршрут начинающейся и заканчивающейся в этой вершине и проходящий через каждое ребро только один раз. Такой маршрут называется эйлеровым циклом.

Задача возникла из следующего примера. В XIII веке жители Кенигсберга, прогуливаясь по мостам реки, Прегель пытались решить задачу: можно ли обойти все мосты, проходя по каждому из них только один раз (рис. 1.8)

Эйлеру удалось доказать, что искомого маршрута обхода города не существует.

Ответ может быть получен на основе следующей теоремы.

Теорема. Граф является эйлеровым тогда и только тогда, когда степени всех его вершин четные.

Как следует из рисунка, у графа, моделирующего схему мостов, все вершины имеют нечетную степень. Следовательно, эйлерова цикла в этом графе не существует.

Пример графа, имеющего эйлеров, цикл показан на рис. 1.9.

Граф называется гамильтоновым, если для каждой вершины графа найдется маршрут начинающейся и заканчивающей в этой вершине и проходящий через все вершины только один раз (при этом могут участвовать не все ребра). Такой маршрут называется гамильтоновым циклом.

Гамильтоновы графы применяются для моделирования многих практических задач, например, служат моделью при составлении расписания движения поездов. Основой всех таких задач служит классическая задача коммивояжера: коммивояжер должен совершить поездку по городам и вернуться обратно, побывав в каждом городе ровно один раз, сведя при этом затраты на передвижения к минимуму.

Источник

Виды вершин и рёбер графа. Маршруты, цепи, циклы в графах

Виды вершин и рёбер графа

Пример 1. Найти звенья в графе, представленном на рис А (под примером).

Ответ. Звенья данного графа изображены линиями 8 и 11 без указания направления.

Иначе говорят также, что в описанном случае порядок двух концов ребра графа не существенен. В случае, когда порядок, в котором указаны вершины в инциденции, существенен, соответствующее ребро называет дугой.

Пример 2. Найти дуги в графе, представленном на рис А.

Пример 3. Найти петли в графе, представленном на всё том же рис А.

Голой называют вершину, которая не инцидентна ни одному ребру графа.

Пример 4. Найти голую вершину в графе, представленном на всё том же рис А.

Изолированной называется вершина графа, которая инцидентна одной или нескольким петлям.

Две вершины a и b называются смежными, если существует по крайней мере одно соединяющее их ребро. В частности, вершина смежна сама с собой в том и только в том случае, когда при ней имеется хотя бы одна петля.

Пример 5. В графе, представленном на рис А, найти изолированные вершины, смежные и не смежные вершины, вершины, смежные сами с собой.

Кратными называются рёбра, соединяющие одну и ту же пару вершин.

Пример 6. Найти кратные рёбра в графе, представленном на всё том же рис А.

Количество рёбер, инцидентных вершине графа, называется степенью этой вершины графа.

Маршруты, цепи и циклы в графах

Маршрут, в котором все рёбра различны, называется цепью.

Цепь, в которой все вершины, кроме, возможно, первой и последней, различны, называется простой цепью.

Замкнутая цепь с положительной длиной называется циклом. Замкнутая простая цепь с положительной длиной называется простым циклом.

Пример 7. В графе, представленном на рисунке ниже, найти примеры маршрута (указать длину), любой цепи, простой цепи, цепи, не являющейся простой, любого цикла (указать длину), простого цикла (указать длину).

Ответ. В данном графе:

Граф называется связным, если существует цепь между любыми двумя его вершинами.

Источник

Что называется цепью графа

3.3 гЕРЙ. гЙЛМЩ. уЧСЪОПУФШ

нБТЫТХФ, Ч ЛПФПТПН УПЧРБДБАФ ЕЗП ОБЮБМП Й ЛПОЕГ ν₀=ν_n, ОБЪЩЧБЕФУС ГЙЛМЙЮЕУЛЙН.

нБТЫТХФ, Ч ЛПФПТПН ЧУЕ ТЕВТБ ТБЪОЩЕ, ОБЪЩЧБЕФУС ГЕРША. гЕРШ, ОЕ РЕТЕУЕЛБАЭБС УЕВС, Ф.Е. ОЕ УПДЕТЦБЭБС РПЧФПТСАЭЙИУС ЧЕТЫЙО, ЙНЕОХЕФУС РТПУФПК ГЕРША.

гЙЛМЙЮЕУЛЙК НБТЫТХФ ОБЪЩЧБЕФУС ГЙЛМПН, ЕУМЙ ПО СЧМСЕФУС ГЕРША, Й РТПУФЩН ГЙЛМПН, ЛПЗДБ ЬФП РТПУФБС ГЕРШ.

зТБЖ G ОБЪЩЧБЕФУС УЧСЪОЩН, ЕУМЙ ЧУЕ ЕЗП ЧЕТЫЙОЩ УЧСЪБОЩ НЕЦДХ УПВПК. рПЬФПНХ ЧУЕ РПДЗТБЖЩ УЧСЪОЩ Й ОБЪЩЧБАФУС УЧСЪОЩНЙ ЛПНРПОЕОФБНЙ ЗТБЖБ.

лБЦДЩК ОЕПТЙЕОФЙТПЧБООЩК ЗТБЖ ТБУРБДБЕФУС ЕДЙОУФЧЕООЩН ПВТБЪПН Ч РТСНХА УХННХ УЧПЙИ УЧСЪОЩИ ЛПНРПОЕОФ

чЕТЫЙООПК УЧСЪОПУФША (G) ЗТБЖБ G ОБЪЩЧБЕФУС ОБЙНЕОШЫЕЕ ЮЙУМП ЧЕТЫЙО, ХДБМЕОЙЕ ЛПФПТПК ДЕМБЕФ ЗТБЖ ОЕУЧСЪОЩН ЙМЙ ПДОПЧЕТЫЙООЩН. дМС ЧУЕИ G (G)=0

тЕВЕТОПК УЧСЪОПУФША (G) ЗТБЖБ G ОБЪЩЧБЕФУС ОБЙНЕОШЫЕЕ ЮЙУМП ТЕВЕТ, ХДБМЕОЙЕ ЛПФПТЩИ РТЙЧПДЙФ Л ОЕУЧСЪОПНХ ЗТБЖХ. дМС ОЕУЧСЪОПЗП ЙМЙ ПДОПЧЕТЫЙООПЗП ЗТБЖБ (G)=0.

хДБМЕОЙЕ ЧЕТЫЙОЩ ЙЪ ЗТБЖБ G РТЙЧПДЙФ Л РПДЗТБЖХ G-V, УПДЕТЦБЭЕНХ ЧУЕ ЧЕТЫЙОЩ ЗТБЖБ G, ЛТПНЕ н Й ТЕВТБ ЗТБЖБ G, ОЕЙОГЕДЕОФОЩИ V.

пТЗТБЖ ОБЪЩЧБЕФУС УЙМШОПУЧСЪОЩН, ЕУМЙ МАВЩЕ ДЧЕ ЕЗП ЧЕТЫЙОЩ ДПУФЙЦЙНЩ ДТХЗ ЙЪ ДТХЗБ. пТЗТБЖ ОБЪЩЧБЕФУС ПДОПУФПТПООЕ УЧСЪОЩН, ЕУМЙ ДМС МАВПК РБТЩ ЕЗП ЧЕТЫЙО РП НЕОШЫЕК НЕТЕ ПДОБ ДПУФЙЦЙНБ ЙЪ ДТХЗПК.

дМЙОБ ЛТБФЮБКЫЕЗП НБТЫТХФБ (РТПУФПК ГЕРЙ) НЕЦДХ ν_i Й ν_j ОБЪЩЧБЕФУС ТБУУФПСОЙЕН НЕЦДХ ЧЕТЫЙОБНЙ Й ПВПЪОБЮБЕФУС L(ν_iν_j). дМС ЖЙЛУЙТПЧБООПК ЧЕТЫЙОЩ x i ЧЕМЙЮЙОБ

е(νi)=

l(νi)

ОБЪЩЧБЕФУС ЬЛУГЕОФТЙУЙФЕФПН ЧЕТЫЙОЩ ν_i.

нБЛУЙНБМШОЩК УТЕДЙ ЧУЕИ ЬЛУГЕОФТЙУЙФЕФПЧ ЬЛУГЕОФТЙУЙФЕФ ЧЕТЫЙОЩ ОБЪЩЧБЕФУС ДЙБНЕФТПН ЗТБЖБ G Й ПВПЪОБЮБЕФУС ЮЕТЕЪ d(G). уМЕДПЧБФЕМШОП

d(G)=

l(νiνj)

чЕТЫЙОБ ν_i ОБЪЩЧБЕФУС РЕТЙЖЕТЙКОПК, ЕМУЙ l(ν_i)=d(G). рТПУФБС ГЕРШ ДМЙОЩ d(G) ОБЪЩЧБЕФУС ДЙБНЕФТБМШОПК ГЕРША.

нЙОЙНБМШОЩК ЙЪ ЬЛУГЕОФТЙУЙФЕФПЧ ЧЕТЫЙО УЧСЪОПЗП ЗТБЖБ G ОБЪЩЧБЕФУС ЕЗП ТБДЙХУПН Й ПВПЪОБЮБЕФУС r(G).

r(G)=

l(νi)=

l(νi), l(νj)

рХФШ ОБЪЩЧБЕФУС ПТЙЕОФЙТПЧБООПК ГЕРША (РТПУФП ГЕРША), ЕУМЙ МАВПЕ ТЕВТП ЧУФТЕЮБЕФУС Ч ОЕН ОЕ ВПМЕЕ ПДОПЗП ТБЪБ Й РТПУФПК ГЕРША, ЕУМЙ МАВБС ЧЕТЫЙОБ ЗТБЖБ G ЙОГЙДЕОФОБ ОЕ ВПМЕЕ ЮЕН ДЧХН ЕЗП ТЕВТБН.

пТЗТБЖ G ЙНЕОХЕФУС УЧСЪОЩН, ЕУМЙ ПО УЧСЪЕО ВЕЪ ХЮЕФБ ПТЙЕОФБГЙЙ ДХЗ, Й УЙМШОП УЧСЪЕО, ЕУМЙ ЙЪ МАВПК ЧЕТЫЙОЩ ν ‘ Ч МАВХА ν » УХЭЕУФЧХЕФ РХФШ.

юЙУМП ТЕВЕТ НБТЫТХФБ (РХФЙ) ОБЪЩЧБЕФУС ЕЗП ДМЙОПК.

юФПВЩ Ч ЛПОЕЮОПН ОЕПТЙЕОФЙТПЧБООПН ЗТБЖЕ G УХЭЕУФЧПЧБМБ ЬКМЕТПЧБ ГЕРШ, ОЕПВИПДЙНЩ Й ДПУФБФПЮОЩ ЕЗП УЧСЪОПУФШ Й ЮЕФОПУФШ УФЕРЕОЕК ЧУЕИ ЧЕТЫЙО, ЛТПНЕ ОБЮБМШОПК ν ‘ Й ЛПОЕЮОПК ν » (ν ‘ Й ν » ДПМЦОЩ ЙНЕФШ ЛПОЕЮОЩЕ УФЕРЕОЙ). юФПВЩ Ч ЛПОЕЮОПН ЗТБЖЕ УХЭЕУФЧПЧБМ ЬКМЕТПЧ ГЙЛМ, ОЕПВИПДЙНЩ Й ДПУФБФПЮОЩ ЕЗП УЧСЪОПУФШ, Б ФБЛЦЕ ТБЧЕОУФЧП УФЕРЕОЕК ЧЕТЫЙО ЬФПЗП ЗТБЖБ РП ЧИПДСЭЙН Й ЧЩИПДСЭЙН ТЕВТБН, Ф.Е. ρ₁(ν)=ρ₁(ν), ν G.

уЧПКУФЧБ ПФОПЫЕОЙК УЧСЪОПУФЙ ЧЕТЫЙО ЗТБЖБ

еУМЙ ЗТБЖ ЙНЕЕФ РТПУФПК ГЙЛМ, УПДЕТЦБЭЙК ЧУЕ ЧЕТЫЙОЩ ЗТБЖБ, ФП ФБЛПК ГЙЛМ ОБЪЩЧБЕФУС ЗБНЙМШФПОПЧЩН ГЙЛМПН, Б ЗТБЖ ОБЪЩЧБЕФУС ЗБНЙМШФПОПЧЩН ЗТБЖПН.

фЕПТЕНБ (дЙТБЛБ). еУМЙ Ч ЗТБЖЕ G(ν, E), ν V

d(ν) p/2, ФП G СЧМСЕФУС ЗБНЙМШФПОПЧЩН.

рПДНОПЦЕУФЧП ЧЕТЫЙО ЗТБЖБ, СЧМСАЭЕЕУС ПДОПЧТЕНЕООП ОЕЪБЧЙУЙНЩН Й ДПНЙОЙТХАЭЙН, ОБЪЩЧБЕФУС СДТПН ЗТБЖБ.

оБРТЙНЕТ, ПТЗТБЖ ОБ ТЙУ. 3(Б) ЙНЕЕФ ДЧБ СДТБ S₁=<1, 3>; S₂=<2,4>.

Источник

Цепи и циклы графов

Цепь — конечная или бесконечная последовательность ребер S=(…n₁,n₂,…), в которой у каждого ребра n_к одна из вершин явля­ется вершиной ребра n_к-1, при этом ребро и одна из вершин могут встречаться несколько раз. Каждая цепь имеет начальную и конеч­ную вершину, остальные вершины называются внутренними (про­межуточными).

Цепь называется простой, если любое реьро не повторяется в цепи дважды. Составной (сложной) в противном случае; элементар­ной, если в ней ни одна из вершин не повторяется дважды.

Цикл — конечная цепь, начинающаяся и заканчивающаяся на той же вершине.

Цикл называется простым, если все его ребра различны, в ином случае — составным (сложным), и элементарным — если при об­ходе его ни одна из вершин не встречается дважды.

Цикл, не содержащий вершины, кроме той, на которой он начи­нается и заканчивается, называется петлей.

Цикл, у которого начальная и конечная вершины различны, на­зывается путем.

Он также может быть простым (никакая дуга не встречается дважды), составным или элементарным (никакая вершина не встре­чается дважды).

Длина пути — число ребер (дуг) в нем.

Цикл, начинающаяся и заканчивающаяся в начальной вершине, называется контуром.

Граф называется конечным, если число вершин его конечно, и бесконечным — в ином случае.

Граф Н(v,u,j) называется частичным для графа G(v,u,j), если все ребра и вершины графа Н, являются соответственно ребрами и вершинами графа G, т.е. если НÌG, то для всех n ÎV.

Нуль-граф считается частичным графом любого графа. Все частичные графы Н_i для G(v,u,j) можно получить, выбирая в качестве ребер всевозможные подмножества ребер графа G.

Подграфом G_А(А) графа G(v) называется граф, вершинами кото­рого являются вершины АÌv, а ребрами — все ребра из G, оба конца которых лежат в А.

Если А=v, то G_А(А)=G(v); если А=<а>, т.е. А состоит из одной вершины, то G_А(а) состоит из петель в а; если АÌv — подмножество изолированных вершин графа G(v), то подграфом графа G(v) будет нуль-граф.

Частичным подграфом Н_А(А), АÌХ графа G(v) называется подграф, ребрами которого являются некоторые ребра из G(v), оба конца которых лежат в А.

Дополнительным частичным подграфом Н_А(А) графа G(v) является единственный граф, состоящий из ребер графа G(v), не принадлежащих некоторому частичному подграфу Н_А(А) графа G(v).

Звездным графом, определяемым вершиной v, называется граф, состоящий из ребер G(v), имеющих v концевой вершиной. При этом петли в v могут включаться, либо не включаться в звездный граф.

Две вершины n_i и n_j неорганизованного графа G(v) называются связными, если существуюет цепь S с концами n_i и n_j. При прохож­дении пути через некоторую вершину n_к более одного раза цикл в вершине n_к можно удалять из цепи S.

Неориентированный граф называется связным, если любая пара его вершин связана. Отношение связности для вершин графа явля­ется отношением эквивалентности. Оно разбивает множество вер­шин графа на классы.

Подграфы, »натянутые» на эти классы вершин, называются компонентами связности графа. Другими словами, компонентами связности неориентированного графа G(v) называется подграф Н_А(А) с множеством вершин АÌv и множеством ребер в G(v), инцидентных только вершинам из А, причем ни одна из v_iÎA не смежна с верши­нами из множества vÇА.

Несвязный граф состоит из нескольких отдельных частичных подграфов:

В сильно связанном ориентированном графе для любой пары вершин обязательно существует соединяющий их путь. Компонентой сильной связности ориентированного графа G(v) называется сильно связанный подграф Н_А(А) с множеством вершин АÌv и множеством дуг, имеющих начало и конец в множестве А, причем ни одна из вершин v_iÎA и ни одна из вершин v_jÎ vÇА не смежны между собой. Очевидно, что сильно связанный ориентированный граф имеет только одну компоненту сильной связности. Пример ориентированного графа, состоящего из 2-х компонент сильной связности, приведен ниже

Отдельными, широко используемыми видами графов являются деревья и прадеревья.

Деревом называется конечный связный граф, состоящий по крайней мере из двух вершин и не содержащий циклов.

Такой граф не имееи кратных ребер:

Ветвями дерева называются ребра графа, входящие в дерево.

Хордами дерева называют ребра, взодящие в граф, дополнительный к данному графу.

Источник

Теория графов. Основные понятия и виды графов

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Теория графов

В переводе с греческого граф — «пишу», «описываю». В современном мире граф описывает отношения. И наоборот: любое отношение можно описать в виде графа.

Теория графов — обширный раздел дискретной математики, в котором системно изучают свойства графов.

Теория графов широко применяется в решении экономических и управленческих задач, в программировании, химии, конструировании и изучении электрических цепей, коммуникации, психологии, социологии, лингвистике и в других областях.

Для чего строят графы: чтобы отобразить отношения на множествах. По сути, графы помогают визуально представить всяческие сложные взаимодействия: аэропорты и рейсы между ними, разные отделы в компании, молекулы в веществе.

Давайте на примере.

На множестве A зададим отношение знакомства между людьми из этого множества. Строим граф из точек и связок. Связки будут связывать пары людей, знакомых между собой.

Число знакомых у одних людей может отличаться от числа знакомых у других людей, некоторые могут вовсе не быть знакомы (такие элементы будут точками, не соединёнными ни с какой другой). Так получился граф:

В данном случае точки — это вершины графа, а связки — рёбра графа.

Теория графов не учитывает конкретную природу множеств A и B. Существует большое количество разных задач, при решении которых можно временно забыть о содержании множеств и их элементов. Эта специфика не отражается на ходе решения задачи.

Например, вопрос в задаче стоит так: можно ли из точки A добраться до точки E, если двигаться только по соединяющим точки линиям. Когда задача решена, мы получаем решение, верное для любого содержания, которое можно смоделировать в виде графа.

Не удивительно, что теория графов — один из самых востребованных инструментов при создании искусственного интеллекта: ведь искусственный интеллект может обсудить с человеком вопросы отношений, географии или музыки, решения различных задач.

Графом называется система объектов произвольной природы (вершин) и связок (ребер), соединяющих некоторые пары этих объектов.

Пусть V — (непустое) множество вершин, элементы v ∈ V — вершины. Граф G = G(V) с множеством вершин V есть некоторое семейство пар вида: e = (a, b), где a, b ∈ V, указывающих, какие вершины остаются соединёнными. Каждая пара e = (a, b) — ребро графа. Множество U — множество ребер e графа. Вершины a и b — концевые точки ребра e.

Широкое применение теории графов в компьютерных науках и информационных технологиях можно объяснить понятием графа как структуры данных. В компьютерных науках и информационных технологиях граф можно описать, как нелинейную структуру данных.

Линейные структуры данных особенны тем, что связывают элементы отношениями по типу «простого соседства». Линейными структурами данных можно назвать массивы, таблицы, списки, очереди, стеки, строки. В нелинейных структурах данных элементы располагаются на различных уровнях иерархии и подразделяются на три вида: исходные, порожденные и подобные.

Основные понятия теории графов

Граф — это геометрическая фигура, которая состоит из точек и линий, которые их соединяют. Точки называют вершинами графа, а линии — ребрами.

Лемма о рукопожатиях

В любом графе сумма степеней всех вершин равна удвоенному числу ребер.

Доказательство леммы о рукопожатиях

Если ребро соединяет две различные вершины графа, то при подсчете суммы степеней вершин мы учтем это ребро дважды.

Если же ребро является петлей — при подсчете суммы степеней вершин мы также учтем его дважды (по определению степени вершины).

Из леммы о рукопожатиях следует: в любом графе число вершин нечетной степени — четно.

Пример 1. В классе 30 человек. Может ли быть так, что у 9 из них есть 3 друга в этом классе, у 11 — 4 друга, а у 10 — 5 друзей? Учесть, что дружбы взаимные.

Если бы это было возможно, то можно было бы нарисовать граф с 30 вершинами, 9 из которых имели бы степень 3, 11 — со степенью 4, 10 — со степенью 5. Однако у такого графа 19 нечетных вершин, что противоречит следствию из леммы о рукопожатиях.

Пример 2. Каждый из 102 учеников одной школы знаком не менее чем с 68 другими. Доказать, что среди них найдутся четверо ребят с одинаковым числом знакомых.

Сначала предположим противоположное. Тогда для каждого числа от 68 до 101 есть не более трех человек с таким числом знакомых. С другой стороны, у нас есть ровно 34 натуральных числа, начиная с 68 и заканчивая 101, а 102 = 34 * 3.

Это значит, что для каждого числа от 68 до 101 есть ровно три человека, имеющих такое число знакомых. Но тогда количество людей, имеющих нечетное число знакомых, нечетно. Противоречие.

Путь и цепь в графе

Путем или цепью в графе называют конечную последовательность вершин, в которой каждая вершина (кроме последней) соединена со следующей в последовательности вершин ребром.

Циклом называют путь, в котором первая и последняя вершины совпадают.

Путь или цикл называют простым, если ребра в нем не повторяются.

Если в графе любые две вершины соединены путем, то такой граф называется связным.

Можно рассмотреть такое подмножество вершин графа, что каждые две вершины этого подмножества соединены путем, а никакая другая вершина не соединена ни с какой вершиной этого подмножества.

Каждое такое подмножество, вместе со всеми ребрами исходного графа, соединяющими вершины этого подмножества, называется компонентой связности.

Один и тот же граф можно нарисовать разными способами. Вот, например, два изображения одного и того же графа, которые различаются кривизной:

Два графа называются изоморфными, если у них поровну вершин. При этом вершины каждого графа можно занумеровать числами так, чтобы вершины первого графа были соединены ребром тогда и только тогда, когда соединены ребром соответствующие занумерованные теми же числами вершины второго графа.

Граф H, множество вершин V’ которого является подмножеством вершин V данного графа G и множество рёбер которого является подмножеством рёбер графа G соединяющими вершины из V’ называется подграфом графа G.

Визуализация графовых моделей

Визуализация — это процесс преобразования больших и сложных видов абстрактной информации в интуитивно-понятную визуальную форму. Другими словами, когда мы рисуем то, что нам непонятно — и сразу все встает на свои места.

Графы — и есть помощники в этом деле. Они помогают представить любую информацию, которую можно промоделировать в виде объектов и связей между ними.

Граф можно нарисовать на плоскости или в трехмерном пространстве. Его можно изобразить целиком, частично или иерархически.

Изобразительное соглашение — одно из основных правил, которому должно удовлетворять изображение графа, чтобы быть допустимым. Например, при изображении блок-схемы программы можно использовать соглашение о том, что все вершины должны изображаться прямоугольниками, а дуги — ломаными линиями с вертикальными и горизонтальными звеньями. При этом, конкретный вид соглашения может быть достаточно сложен и включать много деталей.

Виды изобразительных соглашений:

Виды графов

Виды графов можно определять по тому, как их построили или по свойствам вершин или ребер.

Ориентированные и неориентированные графы

Графы, в которых все ребра являются звеньями, то есть порядок двух концов ребра графа не существенен, называются неориентированными.

Графы, в которых все ребра являются дугами, то есть порядок двух концов ребра графа существенен, называются ориентированными графами или орграфами.

Неориентированный граф можно представить в виде ориентированного графа, если каждое его звено заменить на две дуги с противоположным направлением.

Графы с петлями, смешанные графы, пустые графы, мультиграфы, обыкновенные графы, полные графы

Если граф содержит петли — это обстоятельство важно озвучивать и добавлять к основной характеристике графа уточнение «с петлями». Если граф не содержит петель, то добавляют «без петель».

Смешанным называют граф, в котором есть ребра хотя бы двух из упомянутых трех разновидностей (звенья, дуги, петли).

Пустой граф — это тот, что состоит только из голых вершин.

Мультиграфом — такой граф, в котором пары вершин соединены более, чем одним ребром. То есть есть кратные рёбра, но нет петель.

Граф без дуг, то есть неориентированный, без петель и кратных ребер называется обыкновенным.

Граф называют полным, если он содержит все возможные для этого типа рёбра при неизменном множестве вершин. Так, в полном обыкновенном графе каждая пара различных вершин соединена ровно одним звеном.

Двудольный граф

Граф называется двудольным, если множество его вершин можно разбить на два подмножества так, чтобы никакое ребро не соединяло вершины одного и того же подмножества.

Например, полный двудольный граф состоит из двух множеств вершин и из всевозможных звеньев, которые соединяют вершины одного множества с вершинами другого множества.

Эйлеров граф

Эйлеров граф отличен тем, что в нем можно обойти все вершины и при этом пройти одно ребро только один раз. В нём каждая вершина должна иметь только чётное число рёбер.

Пример. Является ли полный граф с одинаковым числом n рёбер, которым инцидентна каждая вершина, эйлеровым графом?

Регулярный граф

Регулярным графом называется связный граф, все вершины которого имеют одинаковую степень k.

Число вершин регулярного графа k-й степени не может быть меньше k + 1. У регулярного графа нечётной степени может быть лишь чётное число вершин.

Пример. Построить регулярный граф, в котором самый короткий цикл имеет длину 4.

Чтобы длина цикла соответствовала заданному условию, нужно чтобы число вершин графа было кратно четырем. Если число вершин равно четырём — получится регулярный граф, в котором самый короткий цикл имеет длину 3.

Увеличим число вершин до восьми (следующее кратное четырем число). Соединим вершины ребрами так, чтобы степени вершин были равны трём. Получаем следующий граф, удовлетворяющий условиям задачи:

Гамильтонов граф

Гамильтоновым графом называется граф, содержащий гамильтонов цикл.

Гамильтоновым циклом называется простой цикл, который проходит через все вершины рассматриваемого графа.

Говоря проще, гамильтонов граф — это такой граф, в котором можно обойти все вершины, и каждая вершина при обходе повторяется лишь один раз.

Взвешенный граф

Взвешенным графом называется граф, вершинам и/или ребрам которого присвоены «весы» — обычно некоторые числа. Пример взвешенного графа — транспортная сеть, в которой ребрам присвоены весы: они показывают стоимость перевозки груза по ребру и пропускные способности дуг.

Графы-деревья

Деревом называется связный граф без циклов. Любые две вершины дерева соединены лишь одним маршрутом.

Приведенное соотношение выражает критическое значение числа рёбер дерева, так как, если мы присоединим к дереву ещё одно ребро — будет создан цикл. А если уберем одно ребро, то граф-дерево разделится на две компоненты. Граф, состоящий из компонент дерева, называется лесом.

Определение дерева

Деревом называется связный граф, который не содержит циклов.

Таким образом, в дереве невозможно вернуться в исходную вершину, перемещаясь по ребрам и не проходя по одному ребру два или более раз.

Циклом называется замкнутый путь, который не проходит дважды через одну и ту же вершину.

Простым путем называется путь, в котором никакое ребро не встречается дважды.

Легко проверить, что дерево — это граф, в котором любые две вершины соединены ровно одним простым путем. Если выкинуть любое ребро из дерева, то граф станет несвязным. Поэтому:

Дерево — минимальный по числу рёбер связный граф.

Висячей вершиной называется вершина, из которой выходит ровно одно ребро.

Определения дерева:

Очень часто в дереве выделяется одна вершина, которая называется корнем дерева. Дерево с выделенным корнем называют корневым или подвешенным деревом. Пример: генеалогическое дерево.

Когда изображают деревья, то часто применяют дополнительные соглашения, эстетические критерии и ограничения.

Например, при соглашении включения (рис. 1) вершины корневого дерева изображают прямоугольниками, а соглашение — опрокидывания (рис. 2) подобно классическому соглашению нисходящего плоского изображения корневого дерева. Вот так могут выглядеть разные изображения одного дерева:

Теоремы дерева и их доказательства

В дереве с более чем одной вершиной есть висячая вершина.

Доказательство первой теоремы:

Пойдем из какой-нибудь вершины по ребрам. Так как в дереве нет циклов, то мы не вернемся в вершину, в которой уже побывали. Если у каждой вершины степень больше 1, то найдется ребро, по которому можно уйти из неё после того, как мы пришли в нее.

Но поскольку количество вершин в дереве конечно, когда-нибудь мы остановимся в некоторой вершине. Противоречие. Значит, когда-нибудь мы дойдём в висячую вершину. Если же начать идти из неё, то мы найдём вторую висячую вершину.

В дереве число вершин на 1 больше числа ребер.

Доказательство второй теоремы:

Докажем по индукции по количеству вершин в дереве n. Если в дерево одна вершина, то факт верен. Предположим, что для всех n

У любого связного графа есть остовное дерево.

Доказательство третьей теоремы:

Чтобы найти остовное дерево графа G, можно найти цикл в графе G и выкинуть одно ребро цикла — потом повторить. И так пока в графе не останется циклов. Полученный граф будет связным, так как мы выкидывали рёбра, не нарушая связность, но в нём не будет циклов. Значит, он будет деревом.

Теория графов и современные прикладные задачи

На основе теории графов создали разные методы решения прикладных задач, в которых в виде графов можно моделировать сложные системы. В этих моделях узлы содержат отдельные компоненты, а ребра отражают связи между компонентами.

Графы и задача о потоках

Система водопроводных труб в виде графа выглядит так:

Каждая дуга графа отображает трубу. Числа над дугами (весы) — пропускная способность труб. Узлы — места соединения труб. Вода течёт по трубам только в одном направлении. Узел S — источник воды, узел T — сток.

Задача: максимизировать объём воды, протекающей от источника к стоку.

Для решения задачи о потоках можно использовать метод Форда-Фулкерсона. Идея метода в том, чтобы найти максимальный поток по шагам.

Сначала предполагают, что поток равен нулю. На каждом последующем шаге значение потока увеличивается, для чего ищут дополняющий путь, по которому поступает дополнительный поток. Эти шаги повторяют до тех пор, пока существуют дополнительные пути.

Задачу успешно применяют в различных распределенных системах: система электроснабжения, коммуникационная сеть, система железных дорог.

Графы и сетевое планирование

В задачах планирования сложных процессов, где много разных параллельных и последовательных работ, часто используют взвешенные графы. Их еще называют сетью ПЕРТ (PERT).

PERT (Program (Project) Evaluation and Review Technique) — техника оценки и анализа программ (проектов), которую используют при управлении проектами.

Сеть ПЕРТ — взвешенный ациклический ориентированный граф, в котором каждая дуга представляет работу (действие, операцию), а вес дуги — время, которое нужно на ее выполнение.

Если в сети есть дуги (a, b) и (b, c), то работа, представленная дугой (a, b), должна быть завершена до начала выполнения работы, представленной дугой (b, c). Каждая вершина (vi) представляет момент времени, к которому должны быть завершены все работы, задаваемые дугами, оканчивающимися в вершине (vi).

Путь максимальной длины между этими вершинами графа называется критическим путем. Чтобы выполнить всю работу быстрее, нужно найти задачи на критическом пути и придумать, как их выполнить быстрее. Например, нанять больше людей, перепридумать процесс или ввести новые технологии.

Источник

• визитки установка дверей шаблоны →