Что называется трением качения

Трение качения

Тре́ние каче́ния — сопротивление движению, возникающее при перекатывании тел друг по другу. Проявляется, например, между элементами подшипников качения, между шиной колеса автомобиля и дорожным полотном. В большинстве случаев величина трения качения гораздо меньше величины трения скольжения при прочих равных условиях, и потому качение является распространенным видом движения в технике.

Трение качения возникает на границе двух тел, и поэтому оно классифицируется как вид внешнего трения.

Содержание

Сила трения качения

Пусть на тело вращения, располагающееся на опоре, действуют

Если векторная сумма этих сил равна нулю

Эта зависимость подтверждается экспериментально. Для малой скорости качения сила трения качения не зависит от величины этой скорости. Когда скорость качения достигает значений, сопоставимых со значениями скорости деформации в материале опоры, трение качения резко возрастает и даже может превысить трение скольжения при аналогичных условиях.

Момент сил трения качения

Определим для подвижного цилиндра момент, тормозящий вращательное движение тела. Рассматривая данный момент относительно оси вращающегося колеса (например, колеса автомобиля), находим, что он равен произведению тормозного усилия на оси на радиус колеса. Относительно точки контакта движущегося тела с землей момент будет равен произведению внешней силы, уравновешивающей силу трения, на радиус колеса (рис. 2) :

.

С другой стороны, момент трения равен моменту прижимающей силы на плечо, длина которого равна коэффициенту трения качения f :

Коэффициент трения качения

Из выписанного выше уравнения следует, что коэффициент трения качения может быть определен как отношение момента трения качения к прижимной силе N :

Коэффициент трения качения имеет следующие физические интерпретации:

Ориентировочные значения коэффициента трения для различных пар качения

Источники

Полезное

Смотреть что такое «Трение качения» в других словарях:

трение качения — Трение движения, при котором скорости соприкасающихся тел одинаковы по значению и направлению, по крайней мере в одной точке зоны контакта. [ГОСТ 27674 88] Тематики трение, изнашивание и смазка EN rolling friction … Справочник технического переводчика

трение качения — riedėjimo trintis statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. rolling friction vok. Rollreibung, f; Wälzreibung, f rus. трение качения, n pranc. frottement de roulement, m … Fizikos terminų žodynas

трение качения — rolling friction Сопротивление движению, возникающее при качении одного деформируемого тела по другому. Шифр IFToMM: 3.5.45 Раздел: ДИНАМИКА МЕХАНИЗМОВ … Теория механизмов и машин

трение качения с проскальзыванием — Трение движения двух соприкасающихся тел при одновременном трении качения и скольжения в зоне контакта. [ГОСТ 27674 88] Тематики трение, изнашивание и смазка EN combined rolling and sliding friction … Справочник технического переводчика

внешнее трение качения — [rolling friction] механическое сопротивление, возникающее в зоне контакта при качении одного тела по другому; силы трения качения очень малы по сравнению с силами трения скольжения. Внешнее трение качения обусловлено: потерями на упругий… … Энциклопедический словарь по металлургии

ТРЕНИЕ ВНЕШНЕЕ — механич. сопротивление, возникающее в плоскости касания двух прижатых друг к другу тел при их относит. перемещении. Сила сопротивления F, направленная противоположно относит. перемещению данного тела, наз. силой трения, действующей на это тело. Т … Физическая энциклопедия

ТРЕНИЕ ВНЕШНЕЕ — механическое сопротивление, возникающее в плоскости касаний двух соприкасающихся, прижатых друг к другу тел при их относительном перемещении. Сила сопротивления, направленная противоположно относительному перемещению тела, называется силой трения … Большой Энциклопедический словарь

Трение — – процесс, возникающий на поверхности соприкосновения тел, как находящихся в состоянии покоя, так и взаимного перемещения. … … Энциклопедия терминов, определений и пояснений строительных материалов

Трение внешнее — механическое сопротивление, возникающее в плоскости касания двух соприкасающихся тел при их относительном перемещении. Сила сопротивления F, направленная противоположно относительно перемещению данного тела, называется силой трения,… … Большая советская энциклопедия

трение внешнее — механическое сопротивление, возникающее в плоскости касаний двух соприкасающихся, прижатых друг к другу тел при их относительном перемещении. Сила сопротивления, направленная противоположно относительному перемещению тела, называется силой трения … Энциклопедический словарь

Источник

Сила трения качения – формула, определение

Силы трения возникают при непосредственном контакте поверхностей двух твердых тел. Различают силы трения — покоя, скольжения и качения. Когда тело не скользит по поверхности другого тела, а катится, то в этом случае сопротивление оказывает сила трения качения. Трение качения в десятки раз меньше трения скольжения. Разберемся с механизмом возникновения этой силы.

Катить легче, чем тащить

В повседневной жизни мы пользуемся преимуществами качения практически ежедневно:

Конечно, изобретение колеса — это одно из самых выдающихся достижений человеческой цивилизации.

Рис. 1. Примеры силы трения качения.

Итак, сила трения качения — это сила, возникающая при качении тела по поверхности без проскальзывания. Существенным моментом в этом определении является исключение проскальзывания, потому что при проскальзывании трение возрастает в десятки раз!

Почему возникает сила трения качения

Круглый предмет (диск, шар, цилиндр) при качении слегка вдавливается в поверхность, образуя “ямку и бугорок”. Получается так, катящееся тело собственным весом создает себе препятствие (бугорок), и преодолевает его как бы вкатываясь все время в гору. При этом само тело тоже немного деформируется.

Вторая причина – сила сцепления (адгезия), возникающая между поверхностями в момент контакта. Адгезия возникает в результате межмолекулярного взаимодействия.

Рис. 2. Возникновение силы трения качения.

Чем тверже поверхность, по которой катится тело, тем меньше будет “ямка” (вдавливание) и, значит, меньше сила трения качения. Сопротивление качению меньше, чем трение скольжения, потому что площадь контакта обычно очень мала, и поэтому нормальная сила, придавливающая тело к поверхности, тоже мала и недостаточна, чтобы предотвратить движение тела.

Для железнодорожного транспорта, где колеса и рельсы стальные, трение при качении во много раз меньше, чем у грузовых автомобильных шин. Если бы само тело и поверхность были абсолютно твердыми, то сила трения была бы рана нулю.

От чего зависит и чему равна сила трения качения

Если круглое тело, например, колесо радиусом R катится по поверхности, то для формулы силы трения качения Ft справедливо следующее выражение:

N — прижимающая сила, Н;

μ — коэффициент трения качения, м/Н.

Из формулы следует, что Ft растет с ростом массы тела и уменьшается с увеличением радиуса колеса R. Это и понятно: чем больше колесо, тем меньшее значение имеют для него неровности поверхности (бугорки), по которой оно катится.

Рис. 3. Формула для силы трения качения.

Подшипники

Для снижения трения скольжения сначала была изобретена смазка, которая позволила добиться уменьшения трения в 8-10 раз. И только в конце ХIХ века возникла идея заменить в подшипнике трение скольжения трением качения. Эту замену осуществляют шариковые и роликовые подшипники. При вращении колеса или вала двигателя шарики (или ролики) катятся по втулке (обойме для шариков), а вал или ось колеса — по шарикам. Таким способом удалось снизить трение в десятки раз.

Что мы узнали?

Итак, мы узнали что представляет собой сила трения качения. Рассмотрели два основных механизма, вызывающих эту силу. Согласно формуле (1) сила трения качения растет с ростом веса тела и уменьшается с увеличением радиуса колеса. Роликовые и шариковые подшипники качения находят свое применение в большинстве устройств, имеющих вращающиеся детали.

Источник

iSopromat.ru

Трением качения называется локальное сопротивление, возникающее при качении одного тела по другому, которое обусловлено деформациями этих тел в зоне их контакта (рисунок 28).

На рисунке 28 показано два разных состояния одного и того же катка. Слева изображен каток в состоянии покоя.

Удельное давление на контактной площадке (которая образуется в результате деформации контактирующих звеньев) распределяется симметрично (по теории Герца – по эллиптическому закону) относительно линии действия приложенной нагрузки. В результате нормальная реакция совпадает с линией действия внешней силы и уравновешивает ее.

Справа каток движется под действием силы F, приложенной к катку на некотором плече h. Происходит перераспределение деформации таким образом, что впереди катка (по ходу движения) образуется волна деформации.

Эпюра удельного давления трансформируется и нормальная реакция смещается вперед по ходу движения катка на величину k, создавая момент сопротивления. Этот момент сопротивления называется моментом силы трения качения, плечо k – коэффициентом трения качения.

Формула для определения момента трения качения аналогична формуле для определения силы трения в поступательной паре (коэффициент трения качения, как и коэффициент трения скольжения, является справочным материалом – определяется экспериментально). Однако надо помнить, что коэффициент трения качения величина размерная – имеет линейную размерность (м, см, мм).

В высшей кинематической паре возможно не только качение одного звена по поверхности другого, но и относительное скольжение соприкасающихся поверхностей. Поэтому представляет интерес условие, при котором будет происходить тот или иной процесс.

Для того чтобы звено катилось, движущий момент должен быть больше момента сопротивления (или равен ему). В данном случае в качестве момента сопротивления выступает момент трения качения:

Для того чтобы звено скользило вдоль поверхности второго, движущая сила должна быть больше силы трения скольжения (или равна ей):

Звено будет двигаться по пути наименьшего сопротивления. Поэтому будет происходить чистое качение, если:

Соответственно условие чистого скольжения:

При k/h = f происходит неопределенное движение (одновременное качение со скольжением).

Если движущая сила приложена в центре катка, то вместо плеча h надо подставить радиус катка r.

Видно, что с уменьшением радиуса резко возрастает сопротивление качению и, с большей вероятностью, под действием движущей силы каток будет скользить (поэтому колеса транспортных машин, требующих значительной проходимости в любую погоду, – колесные трактора, вездеходы, «внедорожники» – имеют большой диаметр).

Уважаемые студенты!
На нашем сайте можно получить помощь по техническим и другим предметам:
✔ Решение задач и контрольных
✔ Выполнение учебных работ
✔ Помощь на экзаменах

Источник

Общие сведения

Во время перекатывания тел возникает их взаимодействие. Описывается оно силой трения качения. Её существование возможно только при контакте поверхностей. При этом наряду с качением возникают силы покоя и скольжения. Объект, катящийся по другому телу, испытывает только трение, вызванное качением. По сравнению с другими силами оно небольшое, но при этом помогает осуществлять перемещение.

С физической точки зрения, трение представляет собой вектор, направление которого совпадает с линией, проходящей вдоль касательной трущихся поверхностей. Сила, измеряемая относительно перемещения соприкасающихся тел, называется внешней, а возникающая в области одного объекта, например, газа — внутренней.

Трение зависит от поверхности тел. Оно может быть сухим или вязким. В единицах СИ сила измеряется в ньютонах: [P]=H. Существует такое понятие, как адгезия, то есть способность тел «прилипать» друг к другу. Зависит она от шероховатости. Чем этот параметр больше, тем больше нужно затратить энергии для смещения поверхностей, но в то же время её затраты будут меньше для полного торможения.

Таким образом, трение может приносить как пользу, так и вред. С одной стороны, при работе за счёт силы происходит износ поверхностей, а с другой — выполняется торможение. Для уменьшения эффекта существуют несколько способов изменить трение: сгладить поверхности, сменить смазку, заменить скольжение качением.

Вычисление силы выполняют по формуле: F = k * N. Здесь:

Приложенное сопротивление направлено в противоположную сторону движения, при этом реакция силы опоры происходит перпендикулярно площади соприкосновения. Коэффициент является безразмерной величиной и не зависит от размера контакта. Если энергия движения совпадает по величине с трением, тело движется равномерно по прямой. Если же движущая сила будет меньше, объект остановится.

Основная формула силы трения учитывает различные моменты, оказывающие влияние на перемещение. Но при этом, если при соприкосновении с вращением не будет проскальзывания, формула изменится. В ней главную роль будет играть прижимающее давление.

Качение тела

Из названия силы можно сделать вывод, что сила качения возникает, когда одно тело перекатывается по поверхности другого. Например, езда с использованием колеса, работа подшипника. По сути, это явление, происходящее из-за деформации катка и опорной поверхности. При этом полагается, что тяговых и тормозных процессов нет.

Из-за того, что трение качения в несколько раз меньше скольжения, оно является довольно распространённым видом перемещения. Например, груз катить легче, чем тянуть. Это происходит из-за меньшего количества контактов с поверхностью. При этом отталкиваться от твёрдого тела проще, чем от мягкого.

Для определения процесса физики используют следующее объяснение: пусть имеется тело, которое располагается на опоре. Относительно неё происходит вращение. В любой выбранный момент времени на вращающийся объект будет действовать момент сил. При этом векторная сумма их будет равняться нулю: N + P +Ro = 0. Действующий момент состоит из внешней силы (P), прижимной (N) и реакции опоры (Ro).

Если сумма векторов равняется нулю, ось симметрии находится в равномерном и прямолинейном движении или остаётся в одном положении (неподвижная). Другими словами, вектор силы трения качения противодействует перемещению. Следовательно, прижимной момент уравновешивается реакцией опоры, а, точнее, её вертикальной составляющей. Внешняя же сила находится в равновесии с горизонтальной составляющей.

Равномерность обозначает, что воздействующие моменты компенсируют друг друга. А значит, формула для описания процесса будет выглядеть как Ft * R = N * f, где Ft — сила трения качения. Из этой формулы можно найти силу: Ft = f * N /R. Рассматриваемое воздействие прямо пропорционально произведению коэффициента трения и прижимной силы, обратно пропорционально радиусу катящегося тела. Фактически это и есть определение трения качения.

Правильность формулы подтверждают различные экспериментальные измерения. Действительно, при малой скорости качения процесс не зависит от неё. Когда же скорость возрастает до величин сопоставимых с деформацией в опоре, сопротивление движению становится пропорциональным её росту и влияние оказывает уже скольжение.

Момент и коэффициент

Пусть имеется цилиндр, расположенный на идеальной гладкой жёсткой поверхности. Какую бы силу Q ни приложили, уравновесить её можно только противодействующей энергией. Если же такой энергии нет, под действием Q цилиндр должен катиться. Но опыты показывают совершенно другое. Например, если подойти к многотонному грузовику и попробовать его толкнуть, он не покатится. Хотя теория утверждает обратное.

Но здесь дело в том, что поверхность считается идеальной. В момент времени на тело, кроме Q, действует равное ей сцепление. Эти силы будут уравновешенными. В вертикальной же плоскости на тело действует нормаль (N) и противодействующая ей сила равновесия (P).

На самом деле при прикосновении тело деформируется. Образуется впадина, при этом колесо всей своей тяжестью будет опираться на крайнюю правую точку деформированной поверхности. Момент сил здесь будет следующим:

Перемещению препятствует равновесие пары PN. При этом плечо пары будет половиной размера, то есть возникает момент сил трения. Определяют его как эн делённое на дельту и называют моментом трения: Mтр = N * d. Эта формула совпадает по форме записи с законом Амонтона — Кулона. И там, и тут фигурирует величина опоры.

Становится очевидным, что R * Q = Mтр = P * d. Используя эту запись, можно обнаружить предельный импульс, который необходимо приложить к колесу, чтобы заставить его двигаться: Q = p d /R. При этом если колесо будет скользить, а не катиться, Q будет уже зависеть от трения: Q = P * f.

При сравнении двух формул видно, что d / r будет намного меньше f, поэтому качение произойдёт раньше. Это свойство как раз и используется в подшипниках. Нахождение коэффициента трения можно выполнить через момент трения качения и давление прижима: f = Mтр / N.

Он определяется следующими физическими интерпретациями:

Для мягкого дерева, катящегося по стали, коэффициент составляет 0,8 мм, стали по асфальту — 6 мм, железа по граниту — 2,1 мм. Это справочная величина, установленная экспериментально, которую не нужно вычислять самостоятельно.

Решение задач

При решении задач нужно помнить, что трение кручения зависит не только от свойств материалов, участвующих в движении, но и от радиуса. При этом часто областью деформации пренебрегают, так как величина смятия ничтожно мала, поэтому нахождение по формуле силы трения через массу при качении не выполняют.

Алгоритм решения примеров:

Например, имеются 2 цилиндра с одинаковыми радиусами: R = 50 см. Их вес составляет соответственно 20 и 30 ньютон. Они соединены стержнем массой 40 ньютон. Первый цилиндр катится без сопротивления, а второй испытывает трение d = 2 мм. К первому кольцу приложена пара моментов, а к оси второго — нагрузка в 10 ньютон. Определить пределы изменения момента в условиях равновесия.

Для решения задачи нужно воспользоваться формулой: Мтр = N2 * d. Систему можно разбить на 3 тела. Связи заменить реакциями Fc1, N1, Fc2, N2. Внутренние связи обозначить x1, y1, x2, y2. При составлении системы нужно избегать уравнений с реакциями F. Равновесие для первого цилиндра можно определить из системы:

Для второго колеса:

Для стержня:

Из решения системы можно определить, что М = (√3R FR √2 — d (G3 + 2G2 + FV2)) / (R (√3+d)). Все вычисления нужно делать в метрах. Подставив значения, заданные условием, можно вычислить, что М = 3,414. Нормальные реакции будут равны: N = 36,058 Н, N2 = 61,013 Н. Аналогичные вычисления выполняют и при изменении направления возможного перемещения. В ответе должно получиться, что M = 3, 66 Нм, N1 = 35.8 Н, Т2 = 61,3 Н. Таким образом, предел будет лежать в области от 3,414 Нм до 3, 66 Нм.

Источник

Что называется трением качения

Когда мы говорим «абсолютно гладкая поверхность» — это значит, что между ней и телом нет трения. Такая ситуация в реальной жизни практически невозможна. Избавиться от трения полностью невероятно трудно.

Чаще при слове «трение» нам приходит в голову его «тёмная» сторона — из-за трения скрипят и прекращают качаться качели, изнашиваются детали машин. Но представьте, что вы стоите на идеально гладкой поверхности, и вам надо идти или бежать. Вот тут трение бы, несомненно, пригодилось. Без него вы не сможете сделать ни шагу, ведь между ботинком и поверхностью нет сцепления, и вам не от чего оттолкнуться, чтобы двигаться вперёд.

Трение — это взаимодействие, которое возникает в плоскости контакта поверхностей соприкасающихся тел.
Сила трения — это величина, которая характеризует это взаимодействие по величине и направлению.

Основная особенность: сила трения приложена к обоим телам, поверхности которых соприкасаются, и направлена в сторону, противоположную мгновенной скорости движения тел друг относительно друга. Поэтому тела, свободно скользящие по какой-либо горизонтальной поверхности, в конце концов остановятся. Чтобы тело двигалось по горизонтальной поверхности без торможения, к нему надо прикладывать усилие, противоположное и хотя бы равное силе трения. В этом заключается суть силы трения.

Откуда берётся трение

Трение возникает по двум причинам:

Виды силы трения

В зависимости от вида трущихся поверхностей, различают сухое и вязкое трение. В свою очередь, оба подразделяются на другие виды силы трения.

Сила трения покоя

Рассмотрим силу трения покоя подробнее.

Обычная ситуация: на кухне имеется холодильник, его нужно переставить на другое место.

Когда никто не пытается двигать холодильник, стоящий на горизонтальном полу, трения между ним и полом нет. Но как только его начинают толкать, коварная сила трения покоя тут же возникает и полностью компенсирует усилие. Причина её возникновения — те самые неровности соприкасающихся поверхностей, которые деформируясь, препятствуют движению холодильника. Поднатужились, увеличили силу, приложенную к холодильнику, но он не поддался и остался на месте. Это означает, что сила трения покоя возрастает вместе с увеличением внешнего воздействия, оставаясь равной по модулю приложенной силе, ведь увеличиваются деформации неровностей.

Пока силы равны, холодильник остаётся на месте:

Сила трения, которая действует между поверхностями покоящихся тел и препятствует возникновению движения, называется силой трения покоя

Сила трения скольжения

Что же делать с холодильником и можно ли победить силу трения покоя? Не будет же она расти до бесконечности?

Зовём на помощь друга, и вдвоём уже удаётся передвинуть холодильник. Получается, чтобы тело двигалось, нужно приложить силу, большую, чем самая большая сила трения покоя:

Теперь на движущийся холодильник действует сила трения скольжения. Она возникает при относительном движении контактирующих твёрдых тел.

Итак, сила трения покоя может меняться от нуля до некоторого максимального значения — Fтр. пок. макс И если приложенная сила больше, чем Fтр. пок. макс, то у холодильника появляется шанс сдвинуться с места.

Теперь, после начала движения, можно прекратить наращивать усилие и ещё одного друга можно не звать. Чтобы холодильник продолжал двигаться равномерно, достаточно прикладывать силу, равную силе трения скольжения:

Как рассчитать и измерить силу трения

Чтобы понять, как измеряется сила трения, нужно понять, какие факторы влияют на величину силы трения. Почему так трудно двигать холодильник?

Самое очевидное — его масса играет первостепенную роль. Можно вытащить из него все продукты и тем самым уменьшить его массу, и, следовательно, силу давления холодильника на опору (пол). Пустой холодильник сдвинуть с места гораздо легче!
Следовательно, чем меньше сила нормального давления тела на поверхность опоры, тем меньше и сила трения. Опора действует на тело с точно такой же силой, что и тело на опору, только направленной в противоположную сторону.

Сила реакции опоры обозначается N. Можно сделать вывод

Второй фактор, влияющий на величину силы трения, — материал и степень обработки соприкасающихся поверхностей. Так, двигать холодильник по бетонному полу гораздо тяжелее, чем по ламинату. Зависимость силы трения от рода и качества обработки материала обеих соприкасающихся поверхностей выражают через коэффициент трения.

Коэффициент трения обозначается буквой μ (греческая буква «мю»). Коэффициент определяется отношением силы трения к силе нормального давления.

Он чаще всего попадает в интервал от нуля до единицы, не имеет размерности и определяется экспериментально.

Можно предположить, что сила трения зависит также от площади соприкасающихся поверхностей. Однако, положив холодильник набок, мы не облегчим себе задачу.

Ещё Леонардо да Винчи экспериментально доказал, что сила трения не зависит от площади соприкасающихся поверхностей при прочих равных условиях.

Сила трения скольжения, возникающая при контакте твёрдого тела с поверхностью другого твёрдого тела прямо пропорциональна силе нормального давления и не зависит от площади контакта.

Этот факт отражён в законе Амонтона-Кулона, который можно записать формулой:

где μ — коэффициент трения, N — сила нормальной реакции опоры.

Для тела, движущегося по горизонтальной поверхности, сила реакции опоры по модулю равна весу тела:

Сила трения качения

Ещё древние строители заметили, что если тяжёлый предмет водрузить на колёсики, то сдвинуть с места и затем катить его будет гораздо легче, чем тянуть волоком. Вот бы пригодилась эта древняя мудрость, когда мы тянули холодильник! Однако всё равно нужно толкать или тянуть тело, чтобы оно не остановилось. Значит, на него действует сила трения качения. Это сила сопротивления движению при перекатывании одного тела по поверхности другого.

Причина трения качения — деформация катка и опорной поверхности. Сила трения качения может быть в сотни раз меньше силы трения скольжения при той же силе давления на поверхность. Примерами уменьшения силы трения за счёт подмены трения скольжения на трение качения служат такие приспособления, как подшипники, колёсики у чемоданов и сумок, ролики на прокатных станах.

Направление силы трения

Сила трения скольжения всегда направлена противоположно скорости относительного движения соприкасающихся тел. Важно помнить, что на каждое из соприкасающихся тел действует своя сила трения.

Бывают ситуации, когда сила трения не препятствует движению, а совсем наоборот.

Представьте, что на ленте транспортёра лежит чемодан. Лента трогается с места, и чемодан движется вместе с ней. Сила трения между лентой и чемоданом оказалась достаточной, чтобы преодолеть инерцию чемодана, и эти тела движутся как одно целое. На чемодан действует сила трения покоя, возникающая при взаимодействии соприкасающихся поверхностей, которая направлена по ходу движения ленты транспортёра.

Если бы лента была абсолютно гладкой, то чемодан начал бы скользить по ней, стремясь сохранить своё состояние покоя. Напомним, что это явление называется инерцией.

Сила трения покоя, помогающая нам ходить и бегать, также направлена не против движения, а вперёд по ходу перемещения. При повороте же автомобиля сила трения покоя и вовсе направлена к центру окружности.

Для того чтобы понять, как направлена сила трения покоя, нужно предположить, в каком направлении стало бы двигаться тело, будь поверхность идеально гладкой. Сила трения покоя в этом случае будет направлена как раз в противоположную сторону. Пример, лестница у стены.

Подведём итоги

У нас вы сможете учиться в удобном темпе, делать упор на любимые предметы и общаться со сверстниками по всему миру.

Попробовать бесплатно

Интересное по рубрике

Найдите необходимую статью по тегам

Подпишитесь на нашу рассылку

Мы в инстаграм

Домашняя онлайн-школа
Помогаем ученикам 5–11 классов получать качественные знания в любой точке мира, совмещать учёбу со спортом и творчеством

Посмотреть

Рекомендуем прочитать

Реальный опыт семейного обучения

Звонок по России бесплатный

Посмотреть на карте

Если вы не нашли ответ на свой вопрос на нашем сайте, включая раздел «Вопросы и ответы», закажите обратный звонок. Мы скоро свяжемся с вами.

Источник