Что называется случайной величиной что называется дискретной случайной величиной

Дискретные случайные величины

Дискретная случайная величина — это такая случайная величина, значения которой могут быть не более чем счетными, то есть либо конечными, либо счетными. Под счетностью имеется ввиду, что значения случайной величины можно занумеровать.

Пример 1. Приведем примеры дискретных случайных величин:

в) число прибывших кораблей на борт (счетное множество значений).

г) число вызовов, поступающих на АТС (счетное множество значений).

1. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины.

$\begin<|c|c|>
\hline
X_i & x_1 & x_2 & \dots & x_n \\
\hline
p_i & p_1 & p_2 & \dots & p_n \\
\hline
\end$

$\begin<|c|c|>
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 \\
\hline
\end$

2. Математическое ожидание дискретной случайной величины.

3. Дисперсия дискретной случайной величины.

Возможные значения случайных величин с равными математическими ожиданиями могут по-разному рассеиваться вокруг своих средних значений. Например, в двух студенческих группах средний балл за экзамен по теории вероятностей оказался равным 4, но в одной группе все оказались хорошистами, а в другой группе — только троечники и отличники. Поэтому возникает необходимость в такой числовой характеристике случайной величины, которая бы показывала разброс значений случайной величины вокруг своего математического ожидания. Такой характеристикой является дисперсия.

4. Функция распределения дискретной случайной величины.

Способ представления дискретной случайной величины в виде ряда распределения не является единственным, а главное он не является универсальным, поскольку непрерывную случайную величину нельзя задать с помощью ряда распределения. Существует еще один способ представления случайной величины — функция распределения.

Источник

Дискретная случайная величина

Содержание

Дискретная случайная величина [ править ]

Примеры [ править ]

Проще говоря, дискретные случайные величины — это величины, количество значений которых можно пересчитать. Например:

Существуют также непрерывные случайные величины. Например, координаты точки попадания при выстреле.

Функция распределения [ править ]

Если случайная величина [math]\xi[/math] дискретна, то есть её распределение однозначно задаётся функцией [math]\mathbb

(\xi = x_i) = p_i,\; i=1,2,\ldots[/math]

Функция распределения [math]F(x)[/math] этой случайной величины кусочно-постоянна и может быть записана как [math]F(x) = \sum\limits_

Свойства функции распределения дискретной случайной величины:

Примеры [ править ]

В отличие от дискретной случайной величины, непрерывная случайная величина может принять любое действительное значение из некоторого промежутка ненулевой длины, что делает невозможным её представление в виде таблицы или перечисления состояний. Поэтому ее часто явно задают через функцию распределения, например [math] F(x) = \begin 0, & x \lt 0 \\ \dfrac><9>, & 0 \leqslant x \leqslant 3\\ 1, & x \gt 3 \end[/math]

Функция плотности распределения вероятностей [ править ]

Свойства функции плотности вероятности:

Для примера выше [math] f(x)=F'(x) = \begin (0)’, & x \lt 0 \\ \left(\dfrac> <9>\right)’, & 0 \leqslant x \leqslant 3\\ (1)’, & x \gt 3 \end = \begin 0, & x \lt 0 \\ \dfrac<2x><9>, & 0 \leqslant x \leqslant 3\\ 0, & x \gt 3 \end [/math]

Для дискретной случайной величины не существует функции плотности распределения вероятностей, так как такая случайная величина не является абсолютно непрерывной функцией.

Источник

Дискретные случайные величины

I. Определение случайной величины (СВ), дискретной случайной величины (ДСВ). Закон и многоугольник распределения ДСВ

При бросании игральной кости могут появиться числа 1, 2, 3, 4, 5 и 6. Заранее определить возможные исходы невозможно, так как они зависят от многих случайных причин, которые не могут быть полностью учтены. В данном примере выпавшее число очков есть величина случайная, а числа 1, 2, 3, 4, 5 и 6 есть возможные значения этой величины.

Из приведенного выше примера, видно, что случайная величина Х может принять одно из следующих возможных значений: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Эти значения отделены одно от другого промежутками, в которых нет возможных значений Х. Таким образом, в этом примере СВ принимает отдельные, изолированные возможные значения.

Дискретной (прерывной) называют случайную величину, которая принимает отдельные, изолированные возможные значения с определенными вероятностями. Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным или бесконечным.

Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между возможными значениями и их вероятностями; его можно задать таблично, аналитически (в виде формулы) и графически.

Закон распределения ДСВ Х удобно задавать с помощью следующей таблицы

Графически ряд распределения изображают в виде многоугольника (или полигона) распределения.

Решение.

$x_2=2$ — первая вынутая деталь нестандартная, вторая стандартная;

$x_3=3$ — первая деталь нестандартная, вторая деталь нестандартная, третья деталь стандартная.

Тогда закон распределения дискретной случайной величины Х примет вид:

Построим многоугольник распределения, отложив на оси абсцисс (ОХ) значения ДСВ Х, а на оси ординат (ОY) соответствующие им вероятности:

1.2. В партии, содержащей 20 изделий, имеется четыре изделия с дефектами. Наудачу отобрали три изделия для проверки их качества. Построить ряд распределения числа дефектных изделий, содержащихся в указанной выборке.

Решение.

$X$ — число дефектных изделий, содержащихся в выборке.

$x_1=0$ — ни одно изделие выборки не является дефектным, т.е. все изделия удовлетворяют стандарту;

$x_2=1$ — выборка содержит одно изделие с дефектом и два стандартных изделия;

$x_3=2$ — выборка содержит два изделия с дефектом и одно стандартное изделие;

$x_4=3$ — выборка содержит три изделия с дефектом;

Тогда закон распределения дискретной случайной величины Х примет вид:

1.3. Три стрелка, ведущие огонь по цели, сделали по одному выстрелу. Вероятности их попадания в цель соответственно равны 0,5; 0,6; 0,8. Построить ряд и многоугольник распределения СВ X — числа попаданий в цель.

Решение.

$p_0=P\=g_1 \cdot g_2 \cdot g_3 =0,5\cdot 0,4 \cdot 0,2=0,04;$

$p_1=P\=h_1 \cdot g_2 \cdot g_3+g_1 \cdot h_2 \cdot g_3 +g_1 \cdot g_2 \cdot h_3=\\

=0,5\cdot 0,4 \cdot 0,2+0,5\cdot 0,6 \cdot 0,2+0,5\cdot 0,4 \cdot 0,8=0,04+0,06+0,16=0,26.$

$p_2=P\=h_1 \cdot h_2 \cdot g_3+g_1 \cdot h_2 \cdot h_3 +h_1 \cdot g_2 \cdot h_3=\\

=0,5\cdot 0,6 \cdot 0,2+0,5\cdot 0,6 \cdot 0,8+0,5\cdot 0,4 \cdot 0,8=0,06+0,24+0,16=0,46$ — (двое из трех поразили цель);

$p_3=P\=h_1 \cdot h_2 \cdot h_3=0,5\cdot 0,6 \cdot 0,8=0,24$ — (три стрелка поразили цель).

Свойства функции распределения:

Функция распределения ДСВ имеет вид

1.4. Задан закон распределения ДСВ Х:

Найти функцию распределения и построить ее график.

Решение.

По определению функции распределения находим:

II. Операции над дискретными случайными величинами

2.1. Задано распределение ДСВ Х

Построить ряд распределения случайных величин:

Возможные значения СВ Y таковы:

$$z_3=1^2=1; z_4=2^2=4; z_5=3^2=9$$

При этом мы должны помнить, что при одинаковых значениях СВ Z, соответствующие им вероятности нужно сложить, т.е.

Поэтому ряд распределения СВ Z имеет вид

2.2. Дискретная случайная величина Х имеет ряд распределения:

б) График функции распределения СВ Y

Решение.

Составим вспомогательную таблицу ряда распределения:

Составим ряд распределения.

Т. е. записываем значения ДСВ Y в таблицу в порядке возрастания. При одинаковых значениях ДСВ соответствующие вероятности складываем.

2.3. Заданы распределения двух независимых случайных величин X и Y:

а) функцию распределения СВ Х;

Решение.

а) Найдите функцию распределения СВ Х самостоятельно.

Предлагаю сделать это так, первое значение ДСВ Х сложить последовательно с каждым значением ДСВ Y, потом то же самое проделать со вторым значением ДСВ Х и с третьим. Все операции показаны в таблице ниже.

Найдем вероятности этих значений:

Многоугольник распределения СВ Z представлен ниже:

Все вычисления сведены в таблицу ниже.

Замечание. Как вы видите, я выписал для удобства все значения СДВ W в порядке возрастания, так как при составления ряда распределения их (значения случайной величины) нужно располагать по возрастанию.

Найдем вероятности этих значений:

Многоугольник распределения СВ W представлен ниже:

По аналогии с предыдущими пунктами найдем все значения ДСВ V : $v_=x_\cdot y_$. Все вычисления сведены в таблицу ниже.

Найдем вероятности этих значений:

Многоугольник распределения СВ V представлен ниже:

Найдем вероятности всех значений ДСВ М, которые меньше, либо равны 2

Список использованной литературы:

Источник

Дискретные распределения вероятностей и их параметры

п.1. Общие свойства дискретного распределения

Согласно данному определению дискретная величина может быть определена либо на бесконечном счетном множестве, либо на конечном множестве (которое всегда счетное).
Напомним, что счетным называется множество, которое эквивалентно множеству натуральных чисел, т.е. элементы которого можно пронумеровать (см. §11 справочника для 8 класса).

Например:
1) При подбрасывании игрального кубика мы получаем всего 6 исходов. Случайная величина X – выпавшее число очков – принимает конечное число значений \(\Omega=\left\<1;2;3;4;5;6\right\>\), т.е. является дискретной конечной случайной величиной.
2) Случайная величина X – количество поступивших вызовов на сервер за сутки – не ограничена сверху и может принимать значения \(\Omega=\left\<1;2;3;. \right\>\)

Случайная величина полностью описывается своим законом распределения.
Закон распределения может быть задан аналитически (формулой), таблично или графически.

Например:
В результате измерения температуры учеников школы получен следующий ряд распределения:

Чтобы вспомнить о несовместных событиях и полной группе событий – см. §39 справочника для 9 класса.

п.2. Функция распределения дискретной случайной величины

Для дискретной случайной величины функция распределения будет ступенчатой кусочно-непрерывной функцией, область значений которой: \(F(x)\in[0;1]\).
Слева на графике функции распределения будет нулевая «ступенька», а справа – единичная «ступенька».

Например:
Найдем из закона распределения случайной величины k, полученного в предыдущем примере для урны с шарами, функцию распределения.

Изобразим графически закон распределения в виде гистограммы:

Построим график для функции распределения: \begin F(k)= \begin 0,\ k\leq 0\\ \frac<27><125>,\ 0\lt k\leq 1\\ \frac<81><125>,\ 1\lt k\lt 2\\ \frac<117><125>,\ 2\lt k\leq 3\\ 1,\ k\gt 3 \end \end

п.3. Числовые характеристики дискретного распределения

Числовыми характеристиками дискретного распределения являются математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратичное отклонение (СКО).
Подробно о свойствах этих характеристик – см. §41 справочника для 9 класса.

Здесь мы приведем только основные определения.

Например:
Рассчитаем числовые характеристики для урны с шарами из предыдущего примера.
Составим расчетную таблицу:

п.4. Таблица дискретных распределений и их параметров

п.5. Примеры

Пример 1. Выведите формулы для мат.ожидания и дисперсии дискретного равномерного распределения

Пример 2. Выведите формулы для мат.ожидания и дисперсии распределения Бернулли.

Рассмотрим другой пример – бросание фальшивой монеты, для которой вероятность выпадения орла (k=1) равна p=0,7. Тогда \(M(k)=p=0,7\), дисперсия \(D(k)=0,7\cdot 0,3=0,21\). Как и ожидалось, для фальшивой монеты средняя величина возрастает (70% бросков заканчивается выпадением орла). При этом дисперсия уменьшается.

Пример 3. Выведите формулы для мат.ожидания и дисперсии биномиального распределения.

Математическое ожидание и дисперсию для одного опыта Бернулли мы получили в примере 2: \(M(X)=p,\ D(X)=pq\).

Пример 4. Выведите формулы для мат.ожидания и дисперсии распределения Пуассона.

Источник