Что называется шкалой интервалов
Шкала интервалов, примеры
Вы будете перенаправлены на Автор24
Что такое шкала интервалов?
Шкала интервалов – это метрическая шкала, определяющая размер и количество отличий между объектами в выражении их особенностей, качеств.
Такая шкала открывает возможности определения не только отличительных характеристик объектов, но и их количество в проявлении того или иного свойства объекта. Она составляет группировки объектов по признаку большего, либо меньшего размера на конкретное количество единиц. Над существующими измерениями допускается производить разнообразные арифметические операции.
Построение данной шкалы базируется на ведущем понятии – интервал. Он представляет собой размер диагностируемого показателя качества между двумя, рядом находящимися позициями, занимающими шкалу интервалов.
Каждый интервал характеризуется определенным размером. Размер интервала является постоянным и не может быть изменен ни на одном участке шкалы. Для определения интервального размеры осуществляется установка единиц измерения. Для этого, объекту или качеству дается число, которое отражает количество единиц измерения, равноценное размеру, имеющегося качества.
Шкала интервалов не располагает точкой отсчета т.е. нулевой отметки, свидетельствующей об отсутствии измеряемого признака не имеется. Точнее, нуль на шкале присутствует, но является условным показателем.
Целевым назначением шкалы интервалов является проведение сравнительной характеристики двух объектов или процессов, с определением преобладания определенного признака или качества у одного из них.
Проведение анализа различных процессов и явлений с применением интервальной шкалы дает возможности использования любого рода статистических методов. Можно применять приемы дисперсии, методы определения среднего арифметического, чтобы охарактеризовать приоритетную тенденцию развития.
Готовые работы на аналогичную тему
Рисунок 1. Шкала интервалов. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Существует два основных вида интервальных шкал:
Применение шкалы актуально для определения уровней проявления разнообразных свойств психического и физиологического характера, определения и сравнения температурных показателей, проведения оценочной статистики в образовательной системе, оценки спортивных мероприятий, результатов спортивных игр, учебных и спортивных достижений.
В основе применения шкалы лежит следующий статистический аппарат:
Типичные примеры применения интервальных шкал
Применение шкалы интервалов актуально тогда, когда не имеет значения во сколько раз больше или меньше определенный показатель, параметр, свойство объекта или процесса. Это касается температурных шкал. Например, шкала измерения температуры воздуха по Цельсию или по Фаренгейту строится именно по принципу интервалов. Она призвана показать температуру воздуха в данный временной промежуток, не отражая данные о том, во сколько раз отличается утренняя температура от вечерней, дневная от утренней и т.д.
Рисунок 2. Шкалы интервалов. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Распространено применение интервальных шкал в психологии. Шкала позволяет измерять различные психологические особенности личности, ее взгляды, социальные установки, ценностные ориентиры. Кроме того, применяются тестовые шкалы, построенные на базе метричности измерений. Например, это тесты IQ, T-шкала. При этом, многие ученые подвергают сомнению возможность применения интервалов для определения уровня интеллекта. Это объясняется тем, что любой тестируемый может получить нулевой был при невыполнении задания или же, напротив, максимальный балл при его полном и быстром выполнении. Также, отдельные значения шкалы имеют неодинаковую разницу.
Шкалы интервалов используются также для составления календарей, независимо от избранной точки отсчета летоисчисления. Это может быть, как дата сотворения мира, рождество Христово, день рождения первого человека на Земле, так и иное значимое событие.
Применение шкалы интервалов особенно актуально при проведении опросов. Ее использование помогает определить отношение респондента к конкретной проблеме, теме, вопросу. При этом ее построение зависит от конкретной тематики опроса, его содержания и целевого назначения. Здесь, важное значение имеет построение оптимальной шкалы интервалов, которое не будет содержать избыточного или недостаточного количества интервалов.
Шкалы интервалов могут иметь следующий вид:
Рисунок 3. Шкала интервалов. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
В системе образования, применение шкал интервалов возможно для оценивания интенсивности формирования того или иного свойства у ребенка (получение определенного навыка, формирование дисциплинированности, развитие творческих способностей и т.д.), оценки степени его подготовленности по определенной теме, дисциплине, курсу. При этом, по данной шкале невозможно сопоставить учащихся и их достижения в процентном отношении друг к другу. Например, если за выполнение творческой работы Петров получил оценку 5, а Иванов оценку 3, то мы не можем сказать во сколько раз творческие способности Петрова оказались более развитыми, чем Иванова.
Затруднения в применении шкал интервалов в системе образования связаны с тем, что достаточно проблематично доказать равенство между всеми, имеющимися пунктами шкалы.
Шкалы интервалов применяются в маркетинговых исследованиях, в комплексе с показателями рейтинговых шкал. В данном случае, параметры, полученные по рейтинговой шкале проходят обработку с помощью шкалы интервалов.
При использовании интервальных шкал, любые тестовые заключения носят относительный характер. Они зависят от параметров той выборки, в которой производилась стандартизация теста.
Получи деньги за свои студенческие работы
Курсовые, рефераты или другие работы
Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 29 07 2021
Виды шкал и их особенности
Проблема обеспечения высокого качества продукции тесным образом связана с проблемой качества измерений. Между ними явно прослеживается непосредственная связь: там, где качество измерений не соответствует требованиям технологического процесса, невозможно достичь высокого уровня качества продукции. Поэтому качество продукции в значительной степени зависит от успешного решения вопросов, связанных с точностью измерений параметров качества материалов и комплектующих изделий и поддержания заданных технологических режимов. Иными словами, технический контроль качества осуществляется путем замеров параметров технологических процессов, результаты измерений которых необходимы для регулирования процессом.
Следовательно, качество измерений представляет собой совокупность свойств состояния измерений, обеспечивающих результаты измерений с требуемыми точностными характеристиками, получаемые в необходимом виде за определенный отрезок времени.
Основные свойства состояния измерений:
• точность результатов измерений;
• воспроизводимость результатов измерений;
• сходимость результатов измерений;
• быстрота получения результатов;
При этом под воспроизводимостью результатов измерений понимается близость результатов измерений одной и той же величины, полученные в разных местах, разными методами, разными средствами, разными операторами, в разное время, однако в одних и тех же условиях измерений (температуре, давлении, влажности и т.д.).
Сходимость результатов измерений — это близость результатов измерений одной и той же величины, проведенных повторно с применением одних и тех же средств, одним и тем же методом в одинаковых условиях и с той же тщательностью.
Любое измерение или количественное оценивание чего-либо осуществляется, используя соответствующие шкалы.
Шкала — это упорядоченный ряд отметок, соответствующий соотношению последовательных значений измеряемых величин. Шкалой измерений называется принятая по соглашению последовательность значений одноименных величин различного размера.
В метрологии шкала измерений является средством адекватного сопоставления и определения численных значений отдельных свойств и качеств различных объектов. Практически используют пять видов шкал: шкалу наименований, шкалу порядка, шкалу интервалов, шкалу отношений и шкалу абсолютных значений.
Шкала наименований (номинальная шкала). Это самая простая из всех шкал. В ней числа выполняют роль ярлыков и служат для обнаружения и различения изучаемых объектов. Числа, составляющие шкалу наименований, разрешается менять местами. В этой шкале нет отношений типа «больше—меньше», поэтому некоторые полагают, что применение шкалы наименований не стоит считать измерением. При использовании шкалы наименований могут проводится только некоторые математические операции. Например, ее числа нельзя складывать и вычитать, но можно подсчитывать, сколько раз (как часто) встречается то или иное число.
Шкала порядка. Места, занимаемые величинами в шкале порядка, называются рангами, а сама шкала называется ранговой, или неметрической. В такой шкале составляющие ее числа упорядочены по рангам (т.е. занимаемым местам), но интервалы между ними точно измерить нельзя. В отличие от шкалы наименований шкала порядка позволяет не только установить факт равенства или неравенства измеряемых объектов, но и определить характер неравенства в виде суждений: «больше—меньше», «лучше—хуже» и т.п.
С помощью шкал порядка можно измерять качественные, не имеющие строгой количественной меры, показатели. Особенно широко эти шкалы используются в гуманитарных науках: педагогике, психологии, социологии. К рангам шкалы порядка можно применять большее число математических операций, чем к числам шкалы наименований.
Шкала интервалов. Это такая шкала, в которой числа не только упорядочены по рангам, но и разделены определенными интервалами. Особенность, отличающая ее от описываемой дальше шкалы отношений, состоит в том, что нулевая точка выбирается произвольно. Примерами могут быть календарное время (начало летоисчисления в разных календарях устанавливалось по случайным причинам, температура, потенциальная энергия поднятого груза, потенциал электрического поля и др.).
Результаты измерений по шкале интервалов можно обрабатывать всеми математическими методами, кроме вычисления отношений. Данные шкалы интервалов дают ответ на вопрос «на сколько больше?», но не позволяют утверждать, что одно значение измеренной величины во столько-то раз больше или меньше другого. Например, если температура повысилась с 10 до 20°С, то нельзя сказать, что стало в два раза теплее.
Шкала отношений. Эта шкала отличается от шкалы интервалов только тем, что в ней строго определено положение нулевой точки. Благодаря этому шкала отношений не накладывает никаких ограничений на математический аппарат, используемый для обработки результатов наблюдений.
По шкале отношений измеряют и те величины, которые образуются как разности чисел, отсчитанных по шкале интервалов. Так, календарное время отсчитывается по шкале интервалов, а интервалы времени — по шкале отношений.
При использовании шкалы отношений (и только в этом случае!) измерение какой-либо величины сводится к экспериментальному определению отношения этой величины к другой подобной, принятой за единицу. Измеряя длину объекта, мы узнаем, во сколько раз эта длина больше длины другого тела, принятого за единицу длины (метровой линейки в данном случае) и т.п. Если ограничиться только применением шкал отношений, то можно дать другое (более узкое, частное) определение измерения: измерить какую-либо величину — значит найти опытным путем ее отношение к соответствующей единице измерения.
Шкала абсолютных величин. Во многих случаях напрямую измеряется величина чего-либо. Например, непосредственно подсчитывается число дефектов в изделии, количество единиц произведенной продукции, сколько студентов присутствует на лекции, количество прожитых лет и т.д. и т.п. При таких измерениях на измерительной шкале отмечаются
абсолютные количественные значения измеряемого. Такая шкала абсолютных значений обладает и теми же свойствами, что и шкала отношений, с той лишь разницей, что величины, обозначенные на этой шкале, имеют абсолютные, а не относительные значения.
Результаты измерений по шкале абсолютных величин имеют наибольшую достоверность, информативность и чувствительность к неточностям измерений.
Шкалы интервалов, отношений и абсолютных величин называются метрическими, так как при их построении используются некоторые меры, т.е. размеры, принятые в качестве единиц измерений.
ШКАЛА ИНТЕРВАЛОВ
Смотреть что такое «ШКАЛА ИНТЕРВАЛОВ» в других словарях:
ШКАЛА, ИНТЕРВАЛОВ — Шкала, которая отражает точные утверждения относительно различий между наблюдаемыми величинами; то есть где интервал измерения определен. Классические примеры здесь – шкалы измерения температуры (Фаренгейта, Цельсия), где интервал между, например … Толковый словарь по психологии
ШКАЛА ИНТЕРВАЛОВ — шкала, с помощью которой измеряют количественные признаки, здесь степень проявления признака можно измерить числом и, следовательно, производить определенные арифметические операции … Большой экономический словарь
шкала интервалов — Непрерывная числовая шкала с нефиксированным началом. Для такой шкалы осмысленна операция вычитания, но не сложения. Пример интервальной шкалы время: разность двух дат вполне понятна, сумме двух дат трудно придумать разумную интерпретацию.… … Словарь социологической статистики
Шкала интервалов — применяется довольно редко. Примером ее является шкала температур по Цельсию. Реомюру или Фаренгейту … Исследовательская деятельность. Словарь
Шкала интервалов — измерительная шкала, пункты которой расположены на одинаковом расстоянии друг от друга; содержательный нуль отсутствует … Социологический словарь Socium
ШКАЛА ИНТЕРВАЛОВ — предусматривает определенные расстояния между двумя любыми числами на шкале. Пример такой шкалы – система школьных отметок в баллах, которые позволяют ранжировать учащихся по уровню знаний, умений, навыков. Однако, сравнивая баллы, нельзя сказать … Современный образовательный процесс: основные понятия и термины
Шкала интервалов Л. Терстоуна — Шкала равнокажущихся интервалов Л.Терстоуна метод измерения в шкале интервалов психологических и социальных характеристик исследуемых. Первая шкала равнокажущихся интервалов была описана в работе 1929 года, посвященной социальному исследованию… … Википедия
шкала — (лат. scala лестница) инструмент для измерения непрерывных свойств объекта; представляет собой числовую систему, в которой отношения между различными свойствами объектов выражены свойствами числового ряда. В психологии и социологии различные Ш.… … Большая психологическая энциклопедия
ШКАЛА ИЗМЕРИТЕЛЬНАЯ — алгоритм присвоения объекту числа, отражающего наличие или степень выраженности у него некоторого свойства. Различают четыре основных типа Ш.И.: шкала наименований, шкала порядка, шкала интервалов и шкала отношений. Шкалы наименований и порядка… … Социология: Энциклопедия
Шкала измерения — это числовая система, в которой отношения между различными свойствами изучаемых явлений, процессов переведены в свойства того или иного числового ряда. Шкала измерений делится на четыре основных класса: шкала отношений, шкала интервалов, шкала… … Исследовательская деятельность. Словарь
Шкала интервалов, примеры — Типы интервалов
Измерение может быть независимым методом исследования, но оно также может выступать в качестве компонента целостной экспериментальной процедуры. Как самостоятельный метод измерение служит для выявления индивидуальных различий в поведении испытуемых и их отражения в окружающем мире, а также для изучения адекватности отражения и структуры индивидуального опыта.
Измерение в экспериментальной методике рассматривается как способ регистрации состояния объекта исследования и, соответственно, изменения этого состояния в ответ на экспериментальное воздействие.
Понятие измерительной шкалы ввел в психологию американский ученый С. Стивенс. Его интерпретация шкалы до сих пор используется в научной литературе.
Итак, присвоение объектов номерам создает масштаб. Создание шкалы возможно, поскольку существует изоморфизм между формальными системами и системами действий, выполняемых над реальными объектами.
Система счисления представляет собой набор элементов с реализованными на них связями и служит моделью для набора измеряемых объектов.
Есть несколько типов таких систем и, соответственно, несколько типов весов. Операции, а именно методы измерения объектов, задают тип шкалы. Масштаб, в свою очередь, характеризуется типом преобразований, которые можно отнести к результатам измерений. Если это правило не соблюдается, то структура шкалы будет нарушена, и данные измерений не смогут быть осмысленно интерпретированы.
Тип шкалы однозначно определяет набор статистических методов, которые могут применяться для обработки данных измерений.
Масштаб (лат. Scala — лестница) — инструмент для измерения непрерывных свойств объекта; — это система счисления, в которой взаимосвязь между различными свойствами объектов выражается свойствами числового ряда.
Обычно в качестве системы счисления выбирается система действительных чисел или ее подсистема. Множество A — это множество измеряемых объектов с определенной на этом множестве системой отношений. Отображение f — это правило присвоения каждому объекту определенного номера.
В настоящее время уточнено определение Suppes и Zines. Сначала G вводится в определение шкалы — группы допустимых преобразований. Во-вторых, множество A понимается не только как система счисления, но и как любая формальная знаковая система, которую можно связать с гомоморфизмом с эмпирической системой.
В настоящее время под измерением понимается построение любой функции, которая изоморфно отображает эмпирическую структуру в символьную. Как отмечалось выше, эта структура не обязательно должна быть числовой. Это может быть любая структура, которую можно использовать для измерения характеристик объектов, заменяя их другими, более удобными в использовании (в том числе цифрами).
Типы интервалов
В психологии используются разные шкалы для изучения разных характеристик социально-психологических явлений.
Первоначально выделяли четыре типа числовых систем, которые соответственно определяли четыре уровня или шкалы измерения:
Первые две шкалы были названы неметрическими, вторые две — метрическими. В соответствии с этим психология говорит о двух подходах к психологическим измерениям: метрическому (более строгому) и неметрическому (менее строгому).
Ряд специалистов также выделяют абсолютную шкалу и шкалу разностей.
Рассмотрим особенности каждого типа весов.
Шкала номинала
Шкала номинала или номинальная шкала используется только для обозначения принадлежности объекта к одному из нескольких непересекающихся классов. Символы, присвоенные объектам, которые могут быть числами, буквами, словами или некоторыми специальными символами, являются только метками соответствующих классов. Характерной чертой номинальной шкалы является принципиальная невозможность упорядочить классы по измеримому признаку — к ним не могут применяться суждения типа больше — меньше, лучше — хуже и т. д. Примеры номинальных шкал: пол и национальность, профессия по образованию, марка сигарет, предпочтительный цвет. Единственное отношение, определяемое на шкале именования, — это отношение идентичности: объекты, принадлежащие к одному классу, считаются идентичными, к разным классам — разными. Частным случаем шкалы именования является дихотомическая шкала, с помощью которой фиксируется наличие определенного качества в объекте или его соответствие определенному требованию.
На этой шкале номера, присвоенные объектам, только указывают на то, что эти объекты различны. По сути, это шкала оценок. Так, например, исследователь может приписать ноль женщинам и один мужчина, или наоборот, и это только говорит о том, что это два разных класса объектов. В шкале наименований может быть столько чисел, сколько классов объектов, которые нужно измерить, но ни сумма этих чисел, ни их разность, ни произведение не будут иметь никакого смысла, потому что ни одна арифметическая операция в этой шкале невозможна. шкала именования. Цифры в шкале именования могут быть любыми, хотя отрицательные, как правило, не используются. Чаще всего в психологических исследованиях используется дихотомическая шкала именования, которая задается двумя числами — нулем и единицей. Наиболее распространенными примерами таких шкал в психологии являются: пол (мужчина — женщина), успешность задания (справилась — не удалось), соответствие норме (норма — патология), психологический тип (экстраверт — интроверт).
Шкала именования получается путем присвоения имен объектам. В этом случае необходимо разбить множество объектов на непересекающиеся подмножества.
Другими словами, объекты сравниваются между собой, и определяется их эквивалентность — неэквивалентность. В результате процедуры формируется набор классов эквивалентности. Объекты, принадлежащие к одному классу, эквивалентны друг другу и отличаются от объектов, принадлежащих другим классам. Эквивалентным объектам присваивается одно и то же имя.
Сравнение — это основная операция для построения любого масштаба. Для построения такой шкалы объект должен быть равен или подобен самому себе (x = x для всех значений x), т.е. на множестве объектов должно реализовываться отношение рефлексивности. Для психологических объектов, например, предметов или мысленных образов, эта связь реализуема, если мы абстрагируемся от времени. Но поскольку операции попарного (в частности) сравнения множества всех объектов эмпирически реализуются не одновременно, то в процессе эмпирического измерения даже это простейшее условие не выполняется.
При этом следует помнить: любая шкала — это идеализация, модель действительности, даже такая простая, как шкала имен.
Кроме того, многократное повторение эксперимента (накопление статистики) приводит к перемешиванию состава классов: в лучшем случае мы можем получить оценку вероятности принадлежности объекта к классу.
Таким образом, нет оснований говорить о шкале наименований (номинативной шкале или шкале строгой классификации) как о простейшей шкале, исходном уровне измерения в психологии.
Существуют более примитивные (с эмпирической, но не с математической точки зрения) типы шкал: шкалы, основанные на отношениях толерантности; шкалы нечеткой классификации и тому подобное.
О шкале наименования можно говорить в том случае, когда эмпирические объекты просто помечаются цифрой.
Итак, если объекты в каком-то отношении эквивалентны, то мы имеем право классифицировать их как один класс. Главное, что, как и Стивенс сказал, не присваивать один и тот же символ для различных классов или различных символов, к тому же классу.
Несмотря на тенденцию переоценивать силу шкалы, психологи очень часто используют шкалу именования в исследованиях. Объективные измерительные процедуры в диагностике личности приводят к типологии : отнесению конкретной личности к определенному типу. Примером такой типологии являются классические темпераменты: холерик, сангвиник, меланхолик и флегматик.
Простейшая номинативная шкала называется дихотомической. При измерении в дихотомической шкале измеренные объекты могут быть закодированы двумя символами или числами, например, 0 и 1, или 2 и 6, или буквами A и B, а также любыми двумя символами, которые отличаются друг от друга. Признак, измеренный по дихотомической шкале, называется альтернативой. В дихотомической шкале все объекты, знаки или изучаемые свойства делятся на два неперекрывающихся класса, при этом исследователь поднимает вопрос о том, проявился ли интересующий предмет или нет.
Исследователь, использующий шкалу именования, может применять следующую инвариантную статистику: относительные частоты, режим, корреляции случайных событий, критерий.
Понятие шкалы интервалов
Такая шкала открывает возможность определения не только отличительных характеристик предметов, но и их количества в проявлении того или иного свойства предмета. Он группирует объекты на основе большего или меньшего размера для определенного количества единиц. С существующими измерениями разрешены различные арифметические операции.
Каждый интервал характеризуется определенным размером. Размер интервала постоянен и не может быть изменен в любом месте шкалы. Для определения размеров интервала задаются единицы измерения. Для этого объекту или качеству присваивается число, которое отражает количество единиц измерения, равное размеру доступного качества.
На шкале интервалов нет точки отсчета, т.е. отсутствует нулевая отметка, указывающая на отсутствие измеряемого признака. Точнее, на шкале ноль, но это условный показатель.
Назначение шкалы интервалов — провести сравнительную характеристику двух объектов или процессов с определением преобладания определенного признака или качества в одном из них.
Анализ различных процессов и явлений с использованием интервальной шкалы позволяет использовать любые статистические методы. Вы можете использовать методы дисперсии, методы определения среднего арифметического, чтобы охарактеризовать приоритетную тенденцию развития.
Существует два основных типа интервальных шкал:
Применение шкалы актуально для определения уровней проявления различных свойств психического и физиологического характера, определения и сравнения температурных показателей, ведения оценочной статистики в системе образования, оценки спортивных событий, результатов спортивных игр, учебных и спортивных. достижения.
Применение интервальных весов
Использование шкалы интервалов актуально, когда не имеет значения, во сколько раз больше или меньше тот или иной показатель, параметр, свойство объекта или процесса. Это касается температурных шкал. Например, шкала для измерения температуры воздуха в градусах Цельсия или Фаренгейта построена именно по принципу интервалов. Он предназначен для отображения температуры воздуха в заданном временном интервале, без отражения данных о том, во сколько раз утренняя температура отличается от вечерней, дневная от утренней и т. д.
Широко распространено использование интервальных шкал в психологии. Шкала позволяет измерить различные психологические характеристики человека, ее взгляды, социальные установки, ценностные ориентации. Кроме того, используются испытательные шкалы исходя из метричности измерений. Например, это тесты IQ, T-шкала. В то же время многие ученые ставят под сомнение возможность использования интервалов для определения уровня интеллекта. Это связано с тем, что любой тестируемый может получить нулевой балл, когда задание не было выполнено, или, наоборот, максимальный балл, когда оно было выполнено и быстро выполнено. Кроме того, отдельные значения шкалы имеют неодинаковые различия.
Интервальные шкалы также используются для составления календарей, независимо от выбранной отправной точки для хронологии. Это может быть дата сотворения мира, Рождества Христова, дня рождения первого человека на Земле или другого знаменательного события.
Использование интервальной шкалы особенно важно при проведении обследований. Его использование помогает определить отношение респондента к конкретной проблеме, теме, вопросу. Причем его построение зависит от конкретной тематики опроса, его содержания и цели. Здесь важно построить оптимальную шкалу интервалов, которая не будет содержать чрезмерного или недостаточного количества интервалов.
В системе образования возможно использование интервальных шкал для оценки интенсивности формирования того или иного свойства у ребенка (получение определенного навыка, развитие дисциплины, развитие творческих способностей и т. д.), Оценка степени его подготовленности к конкретная тема, дисциплина, курс. В то же время по этой шкале невозможно сравнивать учеников и их достижения в процентном соотношении друг к другу. Например, если за выполнение творческой работы Петров получил 5 баллов, а Иванов — 3 балла, то мы не можем сказать, во сколько раз творческие способности Петрова оказались более развитыми, чем Иванов.
Интервальные шкалы используются в маркетинговых исследованиях совместно с показателями рейтинговых шкал. В этом случае параметры, полученные из рейтинговой шкалы, обрабатываются с использованием интервальной шкалы.
При использовании интервальных шкал любые выводы теста относительны. Они зависят от параметров образца, на котором был стандартизирован тест.
Образовательный сайт для студентов и школьников
Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.
© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института