Что называется сектором круга
Сектор (геометрия)
Сектор в геометрии — часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами, соединяющими концы дуги с центром круга.
Свойства
См. также
Полезное
Смотреть что такое «Сектор (геометрия)» в других словарях:
Сегмент (геометрия) — У этого термина существуют и другие значения, см. Сегмент. Сегмент круга закрашен жёлтым цветом Сегмент плоская фигура, заключённая между кривой и её хордой. Как частный сл … Википедия
Жёсткий диск — Запрос «HDD» перенаправляется сюда; см. также другие значения … Википедия
Польша — (Polska) Польская Народная Республика (Polska Rzeczpospolita Ludowa), ПНР. I. Общие сведения П. социалистическое государство в Центральной Европе, в бассейне рр. Висла и Одра, между Балтийским морем на С., Карпатами и… … Большая советская энциклопедия
БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ИСЧИСЛЕНИЕ — термин, ранее объединявший различные разделы математич. анализа, связанные с понятием бесконечно малой функции. Хотя метод бесконечно малых (в той или иной форме) с успехом применялся учеными Древней Греции и средневековой Европы для решения… … Математическая энциклопедия
Кравец, Торичан Павлович — В Википедии есть статьи о других людях с такой фамилией, см. Кравец. Торичан Павлович Кравец Дата рождения: 10 (22) марта 1876( … Википедия
Югославия — (Jugoslavija, Jyгославиja) Социалистическая Федеративная Республика Югославия, СФРЮ (Socialistička Federativna Republika Jugoslavija, Социjaлистичка Федеративна Република Jyгославиja). I. Общие сведения Ю.… … Большая советская энциклопедия
Цфасман, Михаил Анатольевич — В Википедии есть статьи о других людях с такой фамилией, см. Цфасман. Михаил Анатольевич Цфасман Дата рождения: 23 июля 1954(1954 07 23) (58 лет) Место рождения: Москва, СССР Страна … Википедия
что такое сектор круга? помогите пожалуйста! (по научному)
Определения. Все приводимые определения эквивалентны:
Сектор круга — это пересечение круга и некоторого его центрального угла.
Сектор круга — это часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами, соединяющими концы дуги с центром.
Сектор круга — это часть угла, включающая точки удаленные от вершины угла не более чем на некоторое расстояние (радиус сектора).
Параметры сектора. Форму и размеры сектора полностью определяют два параметра:
угол θ,
радиус R.
Критерий конгруэнтности. Сектора, у которых совпадают оба параметры параметра R и θ, — конгруэнтны.
Критерий подобия. Сектора, у которых совпадают параметры θ, — подобны.
Площадь сектора:
S = θR2/2, если угол θ выражен в радианах,
S = (θ/360°)·πR2, если угол θ выражен в градусах.
Периметр сектора:
P = (2 + θ)·R, если угол θ выражен в радианах,
P = (2 + πθ/180°)·R, если угол θ выражен в градусах, а π — постоянная пи.
Частные случаи секторов:
При θ = 0 получается вырожденный сектор, совпадающий с отрезком длиной R.
У сектора с углом θ = 1 радиан (≈57°) длины всех сторон равны R, а периметр — 3R.
Сектор с углом θ = 90° называется квадрантом; особенность квадранта: все три его угла имеют величину 90°.
У сектора с углом θ = 2 радиана (≈114°) площадь равна квадрату радиуса R2.
Сектор с углом θ = 180° представляет собой половину окружности; особенность: такой сектор имеет только 2 угла величиной 90°.
При θ > 180° сектор становится невыпуклой фигурой.
При θ = 360° сектор вырождается в полную окружность.
Дополнительные сектора. Любые два радиуса разбивают круг на пару секторов. Такие сектора называются взаимно дополнительными, их сумма углов составляет 360°.
Круговые диаграммы. Два или более радиусов разбивают круг на такое же число секторов, сумма углов которых составляет 360°. Это свойство используется при построении так называемых секторных (круговых) диаграмм, в которых вся окружность принимается за 100% некоторого ресурса, а отдельные сектора отражают его разделение по долям.
Развертка конуса. Любой невырожденный сектор представляет собой развертку конуса (без основания). Высоту h этого конуса можно найти по формуле:
h = R√(1 — θ2/4π2), если угол θ выражен в радианах,
h = R√(1 — (θ/360°)2), если угол θ выражен в градусах.
Площадь сектора круга.
Сектор круга — пересечение круга и некоторого его центрального угла, то есть часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами.
Площадь сектора круга равна произведению его дуги на половину радиуса.
Пусть дуга AB сектора AOB содержит n°.Очевидно, что площадь сектора, дуга которого содержит 1°, равна πR 2 /360:
Следовательно, площадь S сектора, дуга которого содержит n°, равна:
.
Поскольку πRn/180 выражает длину дуги AB, то обозначив ее через s, получим:
.
Вычислить площадь сегмента, зная радиус круга и число градусов, заключающееся в дуге сегмента.
Чтобы получить площадь сегмента ASB, достаточно из площади сектора AOB вычесть площадь треугольника AOB.
Таким образом, вопрос сводится к вычислению высоты AС. Геометрически ее можно вычислить только в некоторых частных случаях следующим способом. Продолжив AС до пересечения с окружностью в точке D, мы увидим, что AС = СD и ∪AB = ∪BD. Значит, AС есть половина хорды, стягивающей дугу, вдвое большую дуги сегмента.
Отсюда заключаем, что если хорда, стягивающая двойную дугу, будет стороной такого правильного вписанного многоугольника, для которого мы знаем формулу его стороны, то высота AС определится геометрически.
Например, пусть дуга сегмента содержит 60°. Тогда AD есть сторона правильного вписанного треугольника. Значит, AС = 1/2R√3.
Дуга AB в этом случае равна 1 /6 окружности, т.е. 1 /3 πR.
Поэтому: площадь сегмента равна:
.
Выполняя инженерные расчёты при проектировании различных объектов строительства, создании роботов, автоматизированных систем, станков, машин, самолётов, ракет, современных средств вооружения часто бывает необходимо найти площадь сектора круга.
Геометрия помогает при этом решать задачи на нахождение центра тяжести (центр масс), вычислять его координаты для плоских пластин, имеющих, в частности, форму правильного многоугольника.
Измерять и вычислять величины считается базовым умением. Оно включено в первую часть профильной программы выпускного экзамена ЕГЭ и ОГЭ по математике.
Сектор круга
Существует несколько определений, каждое из которых отличается только формулировкой, не меняющей подход к рассмотрению понятия:
Часть плоскости, ограниченная центральным углом и соответствующей дугой окружности.
Часть круга, заключённая между двумя радиусами.
Часто эту формулировку заменяют похожей, описывающей построение непосредственно: часть круга, лежащего внутри соответствующего центрального угла.
Площадь сектора круга через радиус и длину дуги
Пусть известны радиус круга R, длина дуги l. Как в этом случае определить площадь сектора, стягиваемого данной дугой?
Для ответа на вопрос понадобится формула нахождения длины окружности:
Определение, представленное через третью формулировку, даёт возможность соотнести численные величины понятий: сектор и круг, дуга и окружность, центральный и полный углы.
После сокращения дроби получают формулу:
Примеры решения задач
Задача №1
Найти площадь сектора круга радиусом 2 см, имеющего длину дуги 4 см.
Подставляя имеющиеся величины в формулу, получаем:
Задача №2
Подставив известные данные в формулу, получим:
Тот же результат получился бы при первоначальной работе в «общем виде»:
Площадь сектора круга через радиус и угол сектора
Если известна градусная мера центрального угла (n°), то, находя отношение её к полному кругу (к 360º), также умножают результат на площадь круга:
Задача №3
Чему равна площадь фигуры, изображённой на рисунке?
Центральный угол изображённого сектора равен
Подставляя в формулу величины, несложно получить искомый результат:
Также аналогичным образом решаются обратные задачи.
Площадь сектора круга через угол сектора в радианах
Пусть центральный угол задан своей радианной мерой. Учитывая, что
несложно получить искомую формулу:
Задача №4
Чему равен центральный угол сектора в радианах (рад.), если его площадь равна 32, а радиус – 4?
Выразив α, затем подставив числовые данные, легко получить результат:
Благодаря этой формуле, несложно доказать, что площади двух секторов с равными центральными углами относятся как квадраты радиусов соответствующих окружностей:
С другой стороны, площадь части кольца находится из условия:
Сегмент круга
Существует два подхода к определению понятия:
Геометрическая фигура, являющаяся общей частью круга и полуплоскости, называется сегментом круга.
Часть плоскости, заключённая между хордой и окружностью.
Оба определения характеризуют один и тот же объект с разных сторон, выражая, по сути одно и то же.
Иногда проводится описательное построение. В этом случае второй вариант быстрее приводит к данному термину.
Площадь сегмента круга по хорде и высоте
Тогда можно приближённо считать, что
Погрешность такого вычисления уменьшается вместе с отношением
В частности, когда дуга содержит угол, меньший 50º, то есть,
погрешность оказывается менее 1%.
Более точной является формула для любого сегмента меньшего полукруга:
Точный расчёт производится, исходя из свойства нахождения сложной фигуры, являющейся суммой или разностью двух и более объектов.
Сегмент является частью сектора, к которому либо добавлен треугольник, содержащий центральный угол (для дуг больших 180º), либо убран (соответствующий центральный угол меньше 180º).
Отсюда следует, что
Задача №5
Вычислить стрелку и площадь сегмента, если центральный угол содержит 60º, а
Для нахождения стрелки достаточно из радиуса вычесть высоту треугольника AOB. Поскольку угол AOB по условию равен 60º, то треугольник AOB равносторонний. Поэтому его высота в √3/2 раз отличается от стороны (от радиуса).
Отсюда следует, что:
Площадь по первой формуле будет приблизительно равна
Применяя точную формулу и учитывая, что
Площадь сегмента круга через синус угла
Рассматривая точную формулу, площадь треугольника можно находить, используя половину произведения сторон на синус угла между ними. А значит:
Многие вычисления помогает провести онлайн калькулятор. Достаточно ввести исходные данные и запросить результат.
Площадь сектора круга — формулы и примеры расчетов
Сектор круга
Существует несколько определений, каждое из которых отличается только формулировкой, не меняющей подход к рассмотрению понятия:
Часть плоскости, ограниченная центральным углом и соответствующей дугой окружности.
Часть круга, заключённая между двумя радиусами.
Часто эту формулировку заменяют похожей, описывающей построение непосредственно: часть круга, лежащего внутри соответствующего центрального угла.
Площадь сектора круга через радиус и длину дуги
Пусть известны радиус круга R, длина дуги l. Как в этом случае определить площадь сектора, стягиваемого данной дугой?
Для ответа на вопрос понадобится формула нахождения длины окружности:
Определение, представленное через третью формулировку, даёт возможность соотнести численные величины понятий: сектор и круг, дуга и окружность, центральный и полный углы.
Поскольку отношения постоянны, то для ответа на поставленный вопрос достаточно найти отношение части к целому, затем умножить полученный результат на площадь круга S = πR2.
После сокращения дроби получают формулу:
Примеры решения задач
Задача №1
Найти площадь сектора круга радиусом 2 см, имеющего длину дуги 4 см.
Подставляя имеющиеся величины в формулу, получаем:
Ответ: Sсект
= 4 см2.
Задача №2
Чему равна длина дуги закрашенного сектора, если Sсект = 32 см2, R = 4 см.
Подставив известные данные в формулу, получим:
Тот же результат получился бы при первоначальной работе в «общем виде»:
Площадь сектора круга через радиус и угол сектора
Если известна градусная мера центрального угла (n°), то, находя отношение её к полному кругу (к 360º), также умножают результат на площадь круга:
Задача №3
Чему равна площадь фигуры, изображённой на рисунке?
Центральный угол изображённого сектора равен
Подставляя в формулу величины, несложно получить искомый результат:
Ответ: Sсект = 27 см2.
Также аналогичным образом решаются обратные задачи.
Площадь сектора круга через угол сектора в радианах
Пусть центральный угол задан своей радианной мерой. Учитывая, что
несложно получить искомую формулу:
Задача №4
Чему равен центральный угол сектора в радианах (рад.), если его площадь равна 32, а радиус – 4?
Выразив α, затем подставив числовые данные, легко получить результат:
Благодаря этой формуле, несложно доказать, что площади двух секторов с равными центральными углами относятся как квадраты радиусов соответствующих окружностей:
С другой стороны, площадь части кольца находится из условия:
Сегмент круга
Существует два подхода к определению понятия:
Геометрическая фигура, являющаяся общей частью круга и полуплоскости, называется сегментом круга.
Часть плоскости, заключённая между хордой и окружностью.
Оба определения характеризуют один и тот же объект с разных сторон, выражая, по сути одно и то же.
Иногда проводится описательное построение. В этом случае второй вариант быстрее приводит к данному термину.
Площадь сегмента круга по хорде и высоте
Пусть градусная мера ограничивающей дуги мала, длина хорды равна a, h — высота сегмента (перпендикуляр, опущенный из точки на окружности к середине хорды). Примечание: часто высота сегмента называется «стрелкой».
Тогда можно приближённо считать, что
Погрешность такого вычисления уменьшается вместе с отношением 
.
В частности, когда дуга содержит угол, меньший 50º, то есть,
погрешность оказывается менее 1%.
Более точной является формула для любого сегмента меньшего полукруга:
Точный расчёт производится, исходя из свойства нахождения сложной фигуры, являющейся суммой или разностью двух и более объектов.
Сегмент является частью сектора, к которому либо добавлен треугольник, содержащий центральный угол (для дуг больших 180º), либо убран (соответствующий центральный угол меньше 180º).
Отсюда следует, что
Задача №5
Вычислить стрелку и площадь сегмента, если центральный угол содержит 60º, а
.
Для нахождения стрелки достаточно из радиуса вычесть высоту треугольника AOB. Поскольку угол AOB по условию равен 60º, то треугольник AOB равносторонний. Поэтому его высота в √3/2 раз отличается от стороны (от радиуса).
Отсюда следует, что:
Площадь по первой формуле будет приблизительно равна
Применяя точную формулу и учитывая, что
Ответ: Sсегм = 1,26 см2.
Площадь сегмента круга через синус угла
Рассматривая точную формулу, площадь треугольника можно находить, используя половину произведения сторон на синус угла между ними. А значит:
Многие вычисления помогает провести онлайн калькулятор. Достаточно ввести исходные данные и запросить результат.