Что называется рациональным числом
Рациональные числа: определения, примеры
Данная статья посвящена изучению темы «Рациональные числа». Ниже приведены определения рациональных чисел, даны примеры, рассказано о том, как определить, является ли число рациональным, или нет.
Рациональные числа. Определения
Прежде чем дать дефиницию рациональных чисел вспомним, какие еще есть множества чисел, и как они связаны между собой.
Натуральные числа, в совокупности с противоположными им и числом ноль образуют множество целых чисел. В свою очередь, совокупность целых дробных чисел образует множество рациональных чисел.
Определение 1. Рациональные числа
Таким образом, можно оставить ряд свойств рациональных чисел:
Приведенное выше определение рациональных чисел можно сформулировать более кратко. Еще раз ответим на вопрос, что такое рациональное число.
Определение 2. Рациональные числа
Можно показать, что данное определение равносильно предыдущему определению рациональных чисел. Чтобы сделать это, вспомним, что черта дроби равносильна знаку деления. С учетом правил и свойств деления целых чисел, можно записать следующие справедливые неравенства:
Таким образом, можно записать:
Приведем еще одну эквивалентную форму определения рациональных чисел.
Определение 3. Рациональные числа
Данное определение напрямую следует из самого первого определения этого пункта.
Подведем итог и сформулируем резюме по данному пункту:
Какое из чисел является рациональным?
Как мы уже выяснили, любое натуральное число, целое число, правильная и неправильная обыкновенная дробь, периодическая и конечная десятичная дробь являются рациональными числами. Вооружившись этими знаниями можно без труда определить, является ли какое-то число рациональным.
Однако на практике часто приходится иметь дело не с числами, а с числовыми выражениями, которые содержат корни, степени и логарифмы. В некоторых случаях ответ на вопрос «рационально ли число?» является далеко не очевидным. Рассмотрим методы ответа на этот вопрос.
Таким образом, упрощение сложного числового выражения позволяет определить, рационально ли заданное им число.
Теперь разберемся со знаком корня.
5 = 2 log 2 5 = 2 m n 5 n = 2 m
Очевидно, последнее равенство невозможно так как в левой и правой частях находятся соответственно нечетное и четное числа. Следовательно, сделанное предположение неверно, и число log 2 5 не является рациональным числом.
Числа. Рациональные числа.
Какие числа рациональные? Рациональные числа (в отличии от иррациональных)– это числа с положительным или отрицательным знаком (целые и дробные) и ноль. Более точное понятие рациональных чисел, звучит так:
Рациональное число — число, которое представляется обычной дробью m/n, где числитель m — целые числа, а знаменатель n — натуральные числа, к примеру 2/3.
Бесконечные непериодические дроби НЕ входят в множество рациональных чисел.
Поэтому число «Пи» (π = 3,14. ), основание натурального логарифма, e (e = 2,718..) или √2 НЕ являются рациональными числами.
Рациональные числа, примеры:
Множество рациональных чисел.
Множество рациональных чисел обозначают 
и его можно записать вот так:
Кроме того, одну дробь можно записать разными способами и видами, но значение ее не потеряется. Например, 3/4 и 9/12, (любая дробь, которую можно получить из другой дроби (и наоборот) умножая их либо деля числитель и знаменатель на одинаковое натуральное число, являются одним и тем же рациональным числом). Так как делением числителя и знаменателя дроби на НОД, можем получить единственное представление рационального числа, которое нельзя сократить, то можем говорить об их множестве как о множестве несократимых дробей со взаимно простыми целым числителем и натуральным знаменателем:
Использование рациональных чисел в реальной жизни.
В реальной жизни множество рациональных чисел используется для счёта частей некоторых целых делимых объектов, например, тортов или других продуктов, которые разрезаются на части перед употреблением, или для грубой оценки пространственных отношений протяжённых объектов.
Свойства рациональных чисел.
Основные свойства рациональных чисел.
Правило суммирования выглядит так:
3. Операция умножения. Для всяких рациональных чисел a и b есть правило умножения, оно ставит им в соответствие определенное рациональное число c. Число c называют произведением чисел a и b и обозначают (a⋅b), а процесс нахождения этого числа называют умножение.
4. Транзитивность отношения порядка. Для любых трех рациональных чисел a, b и c если a меньше b и b меньше c, то a меньше c, а если a равно b и b равно c, то a равно c.
5. Коммутативность сложения. От перемены мест рациональных слагаемых сумма не изменяется.
6. Ассоциативность сложения. Порядок сложения 3-х рациональных чисел не оказывает влияния на результат.
7. Наличие нуля. Есть рациональное число 0, оно сохраняет всякое другое рациональное число при складывании.
8. Наличие противоположных чисел. У любого рационального числа есть противоположное рациональное число, при их сложении получается 0.
9. Коммутативность умножения. От перемены мест рациональных множителей произведение не изменяется.
10. Ассоциативность умножения. Порядок перемножения 3-х рациональных чисел не имеет влияния на итог.
11. Наличие единицы. Есть рациональное число 1, оно сохраняет всякое другое рациональное число в процессе умножения.
12. Наличие обратных чисел. Всякое рациональное число, отличное от нуля имеет обратное рациональное число, умножив на которое получим 1.
13. Дистрибутивность умножения относительно сложения. Операция умножения связана со сложением при помощи распределительного закона:
14. Связь отношения порядка с операцией сложения. К левой и правой частям рационального неравенства прибавляют одно и то же рациональное число.
15. Связь отношения порядка с операцией умножения. Левую и правую части рационального неравенства можно умножить на одинаковое неотрицательное рациональное число.
16. Аксиома Архимеда. Каким бы ни было рациональное число a, легко взять столько единиц, что их сумма будет больше a.
Числа. Рациональные числа.
Какие числа рациональные? Рациональные числа (в отличии от иррациональных)– это числа с положительным или отрицательным знаком (целые и дробные) и ноль. Более точное понятие рациональных чисел, звучит так:
Рациональное число — число, которое представляется обычной дробью m/n, где числитель m — целые числа, а знаменатель n — натуральные числа, к примеру 2/3.
Бесконечные непериодические дроби НЕ входят в множество рациональных чисел.
Поэтому число «Пи» (π = 3,14. ), основание натурального логарифма, e (e = 2,718..) или √2 НЕ являются рациональными числами.
Рациональные числа, примеры:
Множество рациональных чисел.
Множество рациональных чисел обозначают и его можно записать вот так:
Кроме того, одну дробь можно записать разными способами и видами, но значение ее не потеряется. Например, 3/4 и 9/12, (любая дробь, которую можно получить из другой дроби (и наоборот) умножая их либо деля числитель и знаменатель на одинаковое натуральное число, являются одним и тем же рациональным числом). Так как делением числителя и знаменателя дроби на НОД, можем получить единственное представление рационального числа, которое нельзя сократить, то можем говорить об их множестве как о множестве несократимых дробей со взаимно простыми целым числителем и натуральным знаменателем:
Использование рациональных чисел в реальной жизни.
В реальной жизни множество рациональных чисел используется для счёта частей некоторых целых делимых объектов, например, тортов или других продуктов, которые разрезаются на части перед употреблением, или для грубой оценки пространственных отношений протяжённых объектов.
Свойства рациональных чисел.
Основные свойства рациональных чисел.
Правило суммирования выглядит так:
3. Операция умножения. Для всяких рациональных чисел a и b есть правило умножения, оно ставит им в соответствие определенное рациональное число c. Число c называют произведением чисел a и b и обозначают (a⋅b), а процесс нахождения этого числа называют умножение.
4. Транзитивность отношения порядка. Для любых трех рациональных чисел a, b и c если a меньше b и b меньше c, то a меньше c, а если a равно b и b равно c, то a равно c.
5. Коммутативность сложения. От перемены мест рациональных слагаемых сумма не изменяется.
6. Ассоциативность сложения. Порядок сложения 3-х рациональных чисел не оказывает влияния на результат.
7. Наличие нуля. Есть рациональное число 0, оно сохраняет всякое другое рациональное число при складывании.
8. Наличие противоположных чисел. У любого рационального числа есть противоположное рациональное число, при их сложении получается 0.
9. Коммутативность умножения. От перемены мест рациональных множителей произведение не изменяется.
10. Ассоциативность умножения. Порядок перемножения 3-х рациональных чисел не имеет влияния на итог.
11. Наличие единицы. Есть рациональное число 1, оно сохраняет всякое другое рациональное число в процессе умножения.
12. Наличие обратных чисел. Всякое рациональное число, отличное от нуля имеет обратное рациональное число, умножив на которое получим 1.
13. Дистрибутивность умножения относительно сложения. Операция умножения связана со сложением при помощи распределительного закона:
14. Связь отношения порядка с операцией сложения. К левой и правой частям рационального неравенства прибавляют одно и то же рациональное число.
15. Связь отношения порядка с операцией умножения. Левую и правую части рационального неравенства можно умножить на одинаковое неотрицательное рациональное число.
16. Аксиома Архимеда. Каким бы ни было рациональное число a, легко взять столько единиц, что их сумма будет больше a.
Какие числа называют рациональными в математике
Рациональные числа в математике — какие так называются
Множество рациональных чисел не бесконечно, существуют примеры исключений. Доказательством тому служит множество иррациональных чисел. К примеру, рациональными не считают:
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
Для чего нужны, какой буквой обозначается
Для обозначения множества рациональных чисел используют букву Q. Это множество можно записать в виде:
Название множества произошло от латинского слова «ratio», которое означает «отношение», «дробь». То есть рациональные числа — это дробные числа. Их применяют при счете целых объектов и их частей — например, если порезать яблоко на несколько долек.
Свойства рациональных чисел
Одно из основных свойств рациональных чисел — их замкнутость относительно всех арифметических операций.
Это свойство можно объяснить на примере натуральных чисел: 16+14=30. 30 — это натуральное число, как и его слагаемые. Это значит, что множество натуральных чисел замкнуто относительно операции сложения.
С помощью рациональных чисел можно выполнять любые арифметические операции:
Таким образом, множество Q замкнуто относительно всех четырех операций.
Список свойств рациональных чисел широк. Его можно сократить до нескольких основных пунктов.
Классификация рациональных чисел, виды с примерами
Выделяют несколько групп рациональных чисел.
Какая разница между целыми, натуральными и рациональными числами
Натуральные числа — это все целые числа, начиная с 1. Их множество обозначают буквой N.
1, 14, 47 относятся к натуральным числам.
Это понятие появилось раньше других. Натуральные числа используют для простого счета существующих в окружающем мире предметов. Ноль, отрицательные и дробные числа не входят в множество N. Оно замкнуто относительно операций сложения и умножения.
Целые числа включают в себя натуральные числа, а также ноль и числа, противоположные натуральным — отрицательные. Их множество обозначают буквой Z.
Исторически целые числа возникли как решение проблемы ограниченности натуральных чисел. С развитием математики стало известно о существовании нуля и отрицательных чисел. Однако множество Z не включает в себя дробные числа. Оно замкнуто относительно всех операций, кроме деления.
Множество рациональных чисел, исходя из определения, является наиболее широким из трех. Оно включает в себя все натуральные и целые числа.
Систему отношений между множествами можно представить в виде кругов Эйлера. Схема представлена ниже.
Что такое Рациональные числа
Определение рациональных чисел
Рациональное число — это число, которое можно представить как дробь. Т.е. если число можно получить делением двух целых чисел (число без дробной части), то это число рациональное.
Это число, которое можно представить обыкновенной дробью 
, где числитель m – целое число, и знаменатель n – натуральное число.
Множество рациональных чисел обозначается буквой “Q”.
Слово «рациональный» произошло от латыни «ratio», которое имеет несколько значений — число, расчёт, нумерация, рассуждение, разум и др.
Свойства рациональных чисел
Допустим а, b и c — любые рациональные числа.
Переместительные и сочетательные законы
а + b = b + а, например: 2 + 3 = 3 + 2;
а + (b + с) = (а + b) + с, например: 2 + (3 + 4) = (2 + 3) + 4;
а + 0 = а, например: 2 + 0 = 2;
а + (– а) = 0, например: 2 + (– 2) = 0
Переместительные и сочетательные законы при умножении
a × b = b × a, например: 2 × 3 = 3 × 2
a × (b × c) = (a × b) × c, например: 2 × (3 × 4) = (2 × 3) × 4
а × 1 = а, например: 2 × 1 = 2
а × 1/a = 1, если а ≠ 0; например: 2 × 1/2 = 1
а × 0 = 0, например: 2 × 0 = 0
а × b = 0, значит: или а = 0, или b = 0, или оба равны нулю
Распределительный закон умножения
(а + b) × с = ас + bс например: (2 + 3) × 4 = 2×4 + 3×4
(а – b) × с = ас – bс например: (3 – 2) × 4 = 3×4 – 2×4
Иррациональные числа
Иррациональные числа — противоположность рациональным числам, это те, которые НЕ могут быть записаны как простая дробь.
Множество иррациональных чисел обозначается буквой “I”.
Какая разница между целыми, натуральными и рациональными числами
Целые числа — это натуральные числа, противоположные им числа (ниже нуля) и нуль.
Все целые числа являются рациональными числами (натуральные в том числе), т. к. их можно представить в виде обыкновенной дроби.
Множество целых чисел в математике обозначается буквой Z.
Натуральные числа
Натуральные числа — это только целые числа, начиная с 1.
Этот счёт появился натуральным способом, когда люди ещё считали на пальцах и не знали цифр («у меня столько коз, сколько пальцев на обеих руках»), поэтому нуль не входит в натуральные числа.
Множество натуральных чисел в математике обозначается буквой N.
Все десятичные дроби рациональные числа?
Десятичные дроби выглядят таким образом:
Это обычные дроби, у которых знаменатель равен 10, 100, 1000 и т. д. Наши примеры мы можем записать в таком виде:
3,4 = 
;
;2,19 = ;
;0,561 = .
.Это означает, что любая конечная десятичная дробь является рациональным числом.
Любую периодическую дробь тоже можно представить в виде обыкновенной дроби:
(3 повторяется)
Следовательно, любая периодическая дробь является рациональным числом.
Но БЕСКОНЕЧНЫЕ и НЕПЕРИОДИЧЕСКИЕ десятичные дроби не считаются рациональными числами, т. к. их нельзя показать в виде обыкновенной дроби.
Можно запомнить, как шпаргалку, что число Пи (3,14159. ) иррациональное. У него очень много неповторяющихся знаков после запятой и его невозможно представить в виде обыкновенной дроби.
Корни — рациональные числа или иррациональные?
Подавляющая часть квадратных и кубических корней — иррациональные числа. Но бывают исключения: если его можно представить как дробь (по определению рационального числа). Например:
История рациональных чисел и дробей
Самое раннее известное упоминание иррациональных чисел было между 800 и 500 г. до н. э. в индийской Сулба-Сутре.
Первое доказательство существования иррациональных чисел принадлежит древнегреческому философу-пифагорейцу Гиппасу из Метапонта. Он доказал (вероятнее всего геометрически) иррациональность квадратного корня из 2.
Легенда гласит, что Гиппас из Метапонта открыл иррациональные числа когда попытался представить квадратный корень из 2 в виде дроби. Однако Пифагор верил в абсолютность чисел и не смог принять существование иррациональных чисел.
Считается, что из-за этого между ними получился конфликт, который породил множество легенд. Многие говорят о том, что как раз это открытие убило Гиппаса.
В вавилонских записях по математике часто можно увидеть шестидесятеричную систему счисления, в которой уже использовались дроби. Эти записи были сделаны более 4000 лет назад, система была немного не такой, как у нас, но смысл тот же.
У египтян, которые жили в более поздний период, также был свой способ записи дробей, что-то похожее на: 3⁻¹ или 5⁻¹.