Что называется расстоянием между параллельными плоскостями

Расстояние между двумя параллельными плоскостями – определение и примеры нахождения.

В этой статье содержится ответ на вопрос: «Как найти расстояние между двумя параллельными плоскостями методом координат»? Сначала дано определение расстояния между параллельными плоскостями. Далее получена формула, позволяющая вычислять расстояние между параллельными плоскостями, которые заданы в прямоугольной системе координат. В заключении разобраны решения примеров и задач на нахождение расстояния между параллельными плоскостями.

Навигация по странице.

Расстояние между двумя параллельными плоскостями – определение.

Расстояние между двумя параллельными плоскостями определяется через расстояние от точки до плоскости. Покажем, как это делается.

Рассмотрим две параллельные плоскости и . Возьмем на любой из этих плоскостей точку М₁ и опустим перпендикуляр М₁H₁ из этой точки на другую плоскость. Длина перпендикуляра M₁H₁ является расстоянием между параллельными плоскостями и .

Расстояние между параллельными плоскостями – это расстояние от произвольной точки одной из параллельных плоскостей до другой плоскости.

Такое определение расстояния между параллельными плоскостями не случайно. Оно тесно связано со следующей теоремой.

Все точки одной из параллельных плоскостей находятся на одинаковом расстоянии от другой плоскости.

Следует отметить, что расстояние между параллельными плоскостями является наименьшим из расстояний между произвольными точками этих параллельных плоскостей.

Нахождение расстояния между параллельными плоскостями – теория, примеры, решения.

Переходим к вопросу нахождения расстояния между параллельными плоскостями.

На уроках геометрии в 10-11 классах расстояние между параллельными плоскостями находится примерно так: строится какой-нибудь перпендикуляр от некоторой точки одной плоскости к другой плоскости и определяется его длина. Для этого, в зависимости от условий задачи, применяется либо теорема Пифагора, либо признаки равенства или подобия соответствующих треугольников, либо определения синуса, косинуса, тангенса угла.

Если же есть возможность ввести прямоугольную систему координат и заданные параллельные плоскости описать с помощью уравнений, то расстояние между параллельными плоскостями можно отыскать методом координат. Давайте детально его разберем.

Сформулируем условие задачи.

Пусть в трехмерном пространстве зафиксирована прямоугольная система координат Oxyz и заданы две параллельные плоскости и . Требуется найти расстояние между этими параллельными плоскостями.

Решение будем строить на основе определения расстояния между параллельными плоскостями.

Итак, чтобы найти расстояние между двумя параллельными плоскостями нужно:

В частности, если в прямоугольной системе координат Oxyz плоскости соответствует общее уравнение плоскости , а плоскости — общее уравнение плоскости вида , то расстояние между параллельными плоскостями и вычисляется по формуле .

Поясним, как была получена эта формула.

Пусть точка лежит в плоскости . Тогда координаты точки М₁ удовлетворяют уравнению плоскости , то есть, справедливо равенство , откуда имеем . Это равенство мы используем позже.

Нормальное уравнение плоскости в зависимости от знака числа D₂ имеет вид или . Но при любом значении числа D₂ расстояние от точки до плоскости можно вычислить по формуле . Учитывая полученное выше равенство , последняя формула примет вид .

Осталось разобрать решения нескольких примеров.

Найдите расстояние между параллельными плоскостями и , которые в прямоугольной системе координат Oxyz определены уравнениями и соответственно.

Приведем общее уравнение плоскости к нормальному виду:

Теперь вычисляем расстояние от точки до плоскости :
.

Это и есть искомое расстояние между заданными параллельными плоскостями.

.

Вычислите расстояние между параллельными плоскостями и .

Несомненно, можно было использовать первый способ.

Пусть точка лежит в плоскости , тогда ее координаты удовлетворяют уравнению плоскости, то есть, справедливо равенство . Приняв , вычислим x₁ : . Следовательно, .

Теперь приведем общее уравнение плоскости к нормальному виду: . Тогда искомое расстояние между параллельными плоскостями равно .

.

Источник

Расстояние между плоскостями. Онлайн калькулятор

Страница обновляется. Могут возникнуть ошибки. Спасибо за понимание!

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти расстояние между плоскостями. Дается подробное решение с пояснениями. Для нахождения расстояния между плоскостями, введите элементы уравнения плоскости в ячейки и нажимайте на кнопку «Решить».

Предупреждение

Расстояние между плоскостями − теория

Заметим, сначала, что расстояние между плоскостями определена, если плоскости параллельны или, что то же самое, нормальные векторы этих плоскостей коллинеарны. Вычисление расстояния между двумя плоскостями можно свести к вычислению расстояния от точки первой плоскости до второй плоскости. Вычисление расстояния от точки до плоскости (онлайн калькулятор, теория, примеры) посмотрите на странице Расстояние от точки до плоскости онлайн.

Алгоритм вычисления расстояния между плоскостями содержит следующие шаги:

Выведем формулу вычисления расстояния между плоскостями.

Запишем уравнения двух плоскостей:

Очевидно, что нормальные векторы n₁ и n₂ не могут быть нулевыми векторами.Если из пары коэффициентов (A₁,A₂),(B₁,B₂), (C₁,C₂) один нулевой а другой − нет, то нормальные векторы n₁ и n₂ неколлинеарны. Т.е. задача неразрешима.

Нормальный вектор уравнения (2′) имеет следующий вид:

Для коллинеарности векторов n₁ и n’₂(или n₁ и n₂) необходимо и достаточно выполнение следующих равенств:

Если удовлетворяется условие (3) (или (3′)), то векторы n₁ и n’₂(или n₁ и n₂) коллинеарны, т.е. плоскости (1) и (2′) (или (1) и (2) ) параллельны. Тогда уравнение плоскости (2′) можно представить так:

2. Найдем некоторую точку на плоскости (1).

Легко убедится, что точка

принадлежит плоскости (1):

3. Расстояние от точки M₀(x₀, y₀, z₀) до плоскости (2») вычисляется с помощью выражения (подробнее смотрите на странице расстояние от точки до плоскости):

Подставляя координаты точки M₀ из (4) в (5), получим формулу вычисления расстояния между плоскостями (1) и (2») (или (1) и (2)):

Расстояние между плоскостями − примеры и решения

Пример 1. Найти расстояние между плоскостями

Проверим, являются ли эти плоскости параллельными. Для этого умножим второе уравнение на 1/3.

Общее уравнение плоскости имеет вид:

где n=(A,B,C)− называется нормальным вектором плоскости.

Нормальный вектор плоскости (7) равен n₁=(1, 2, −4), нормальный вектор плоскости (8′) равен n₂=(1, 2, −4). n₁=n₂. Следовательно эти плоскости параллельны.

Найдем расстояние между плоскостями (7) и (8′), используя следующую формулу:

Ответ. Расстояние между плоскостями равен:

Пример 2. Найти расстояние между плоскостями

Эти плоскости не параллельны, так как коэффициент переменного z уравнения (10) нулевой а коэффициент переменного z уравнения (11)−нет. Невозможно найти расстояние между непараллельными плоскостями.

Пример 3. Найти расстояние между плоскостями

Проверим, являются ли эти плоскости параллельными. Для этого умножим второе уравнение на 4/3.

Нормальный вектор плоскости (12) равен n₁=(4, 2, 8), нормальный вектор плоскости (13′) равен n₂=(4, 16/3, 64/3). n₁≠n₂. Нормальные векторы этих плоскостей неколлинеарны. Тогда эти плоскости не параллельны и, следовательно, задача неразрешима.

Источник

Расстояние между двумя параллельными плоскостями: определение и примеры нахождения

Материал данной статьи позволяет получить навык определения расстояния между двумя параллельными плоскостями при помощи метода координат. Дадим определение расстояния между параллельными плоскостями, получим формулу для его расчета и рассмотрим теорию на практических примерах.

Расстояние между двумя параллельными плоскостями: определение

Расстояние между параллельными плоскостями – это расстояние от произвольной точки одной из рассматриваемых параллельных плоскостей до другой плоскости.

Указанное определение расстояния между параллельными плоскостями имеет взаимосвязь со следующей теоремой.

Если две плоскости параллельны, то все точки одной из параллельных плоскостей находятся на одном и том же расстоянии от другой плоскости.

Заметим также, что расстояние между параллельными плоскостями – наименьшее из расстояний между произвольными точками этих плоскостей.

Нахождение расстояния между параллельными плоскостями

В случае, когда уже задана или есть возможность задать прямоугольную систему координат, то мы имеем возможность определить расстояние между параллельными плоскостями при помощи метода координат.

Резюмируем. Для того,чтобы определить расстояние между двумя параллельными плоскостями, необходимо:

Покажем, как данная формула получена.

M 1 H 1 = A · x 1 + B · y 1 + C · z 1 + D 2 A 2 + B 2 + C 2 = A · x 1 + B · y 1 + C · z 1 + D 2 A 2 + B 2 + C 2

Решение

Решим задачу двумя способами.

Преобразуем общее уравнение плоскости ϒ 2 в нормальный вид:

Так мы получили искомое расстояние между исходными параллельными плоскостями.

Воспользуемся формулой для нахождения расстояния между параллельными плоскостями:

Решение

Источник

Расстояние между плоскостями. Иллюстрированный гид

Устал от плоскостей? Все кажется двумерным и скучным?

Выход есть – попробуй стереометрию!

Так, ладно, хватит говорить, как человек из рекламы.

В этой статье ты научишься одной важной вещи – находить расстояние между плоскостями. Это умение поможет тебе в решении множества задач по стереометрии.

Определение расстояния между параллельными плоскостями

Расстояние между параллельными плоскостями – длина отрезка их общего перпендикуляра, заключенного между плоскостями

\( \displaystyle AB\) – расстояние между плоскостями.

Да, но как найти это расстояние в задачах?

Иногда бывает так, что по каким-то соображениям можно прямо увидеть этот общий перпендикуляр.

Решение задачи №1

Решаем:

Проведем диагональ куба \( \displaystyle A<_<1>>\).

1) \( \displaystyle C<_<1>>\bot ABCD\rightarrow AC\) – проекция \( \displaystyle A<_<1>>\) на \( \displaystyle ABCD\).

\( \displaystyle AC\bot BD\) т.к. (\( \displaystyle ABCD\) – квадрат), значит (Внимание!) по теореме о трех перпендикулярах \( \displaystyle A<_<1>>\bot BD\)

(смотри тему «Перпендикулярность в пространстве», если не совсем хорошо помнишь все теоремы).

Теперь нужно найти \( \displaystyle KM\) — и все!

Нарисуем теперь плоскость \( \displaystyle A<_<1>><_<1>>C\) отдельно.

Посмотри внимательно и убедись, что чертеж именно такой! А теперь уже легко:

Но иногда бывает еще хуже: общего перпендикуляра не видно. Нельзя сказать: вот эта линия перпендикулярна обеим плоскостям. Что же тогда делать?

Для того, чтобы найти расстояние между параллельными плоскостями, часто нужно подобрать удобную точку на одной плоскости и найти расстояние от этой точки до другой плоскости.

Как найти расстояние от точки до плоскости, мы подробно обсуждаем в теме «Расстояние от точки до плоскости».

Здесь же мы рассмотрим один пример, чтобы понять, как же это «подобрать удобную точку» в конкретных задачах.

Решение задачи №2

В правильной шестиугольной пирамиде \( \displaystyle SABCDEF\) точки \( \displaystyle M\) и \( \displaystyle N\) — середины ребер \( \displaystyle SD\) и \( \displaystyle SE\) соответственно.

Найти расстояние между плоскостями \( \displaystyle MNC\) и \( \displaystyle SAB\), если сторона основания пирамиды равна \( \displaystyle 1\), а боковое ребро равно \( \displaystyle 2\).

\( \displaystyle CF||MN\Rightarrow \) точка \( \displaystyle F\in CMN\) и \( \displaystyle CMNF\) – трапеция.

Какая же удобная точка?

Вот представь себе – это точка \( \displaystyle O\)!

Ну, во первых она лежит на плоскости \( \displaystyle CMN\) — это уже хорошо. А во-вторых из нее удобно опускать перпендикуляр на плоскость \( \displaystyle SAB\). Давай увидим это:

Пусть \( \displaystyle K\) – середина \( \displaystyle AB\).

Тогда \( \displaystyle SK\bot AB\) и \( \displaystyle OK\bot AB\).

Значит \( \displaystyle AB\bot SOK\)

Опустим \( \displaystyle OH\) – высоту в \( \displaystyle \Delta SOK\)

Тогда \( \displaystyle OH\bot SK\) – по построению и \( \displaystyle OH\bot AB\), т.к. \( \displaystyle AB\bot SOK\) \( \displaystyle \rightarrow OH\bot SAB\).

Значит, \( \displaystyle OH\) и есть расстояние между \( \displaystyle SAB\) и \( \displaystyle CMN\).

Осталось это \( \displaystyle OH\) найти.

\( \displaystyle OA=OB=AB=1\Rightarrow OK=1\cdot \sin 60<>^\circ =\frac<\sqrt<3>><2>\)

\( \displaystyle S<^<2>>+1=4\Rightarrow S<^<2>>=3\); \( \displaystyle SO=\sqrt<3>\).

\( \displaystyle S<^<2>>+O<^<2>>=S<^<2>>\left( \Delta SOK \right)\Rightarrow \)

\( \displaystyle \Rightarrow 3+\frac<3><4>=S<^<2>>\); \( \displaystyle SK=\frac<\sqrt<15>><2>\)

\( \displaystyle OH=\frac\) (высота прямоугольного треугольника)

Ответ: \( \displaystyle \sqrt<\frac<3><5>>\)

КОРОТКО О ГЛАВНОМ

Расстояние между параллельными плоскостями – длина отрезка их общего перпендикуляра, заключенного между плоскостями

\( \displaystyle AB\) – расстояние между плоскостями.

Источник

5.3.3. Как найти расстояние между плоскостями?

Об этом расстоянии заходит речь, когда плоскости параллельны:

И если мы знаем точки , то никаких проблем. Впрочем, знать их не обязательно, поскольку перпендикуляр между плоскостями можно «протянуть» в любом месте. Гораздо выгоднее располагать уравнениями .

В этом случае можно найти любую точку любой плоскости и воспользоваться формулой предыдущего параграфа.

Но и тут есть спецформула:

Расстояние между параллельными плоскостями , заданными в декартовой системе, выражается формулой: .

Задача 139

Найдём расстояние между параллельными плоскостями

Это плоскости из Задачи 137.

Решение: используем формулу:

Ответ:

И вот здесь уже можно предложить занятный пример:

Задача 140

Найти расстояние между параллельными плоскостями

Есть два пути решения:

1) Найти какую-нибудь точку, принадлежащую любой из плоскостей. Проще всего взять первую плоскость и обнулить «икс» и «зет». Далее используем формулу расстояния от точки до плоскости.

2) Используем формулу .

…Предложенные уравнения не имеют вид ? Подумайте, что можно сделать 😉 Решение и ответ в конце книги.

Источник