Что называется пространством элементарных событий

Что называется пространством элементарных событий

уМЕДХЕФ РПНОЙФШ, ЮФП НЩ ЪБОЙНБЕНУС НБФЕНБФЙЛПК Й ЙНЕЕН ДЕМП ОЕ У ТЕБМШОПУФША, Б МЙЫШ У ЕЈ НБФЕНБФЙЮЕУЛПК НПДЕМША. нЩ Й ВХДЕН ЙЪХЮБФШ ФПМШЛП НБФЕНБФЙЮЕУЛЙЕ НПДЕМЙ, Б РТЙМПЦЕОЙЕ ЙИ Л ТЕБМШОПУФЙ ПУФБЧЙН ОБ ДПМА НБФЕНБФЙЮЕУЛПК Й РТБЛФЙЮЕУЛПК УФБФЙУФЙЛЙ.

рТЙНЕТЩ УПВЩФЙК: — ЧЩРБМП ПДОП ЙМЙ ДЧБ ПЮЛБ; — ЧЩРБМП ОЕЮЈФОПЕ ЮЙУМП ПЮЛПЧ.

рТЙНЕТЩ УПВЩФЙК:
— РТЙ РЕТЧПН РПДВТБУЩЧБОЙЙ ЧЩРБМП ПДОП ПЮЛП;
— РТЙ ЧФПТПН РПДВТБУЩЧБОЙЙ ЧЩРБМП ПДОП ПЮЛП;
— ОБ ЛПУФСИ ЧЩРБМП ПДЙОБЛПЧПЕ ЮЙУМП ПЮЛПЧ;
— ОБ ПВЕЙИ ЛПУФСИ ЧЩРБМП ОЕЮЈФОПЕ ЮЙУМП ПЮЛПЧ.

фБЛ, ЬЛУРЕТЙНЕОФЩ ЙЪ РТЙНЕТПЧ 1, 2 Й 4 (ОП ОЕ 3) РТЙЧПДСФ Л ДЙУЛТЕФОЩН РТПУФТБОУФЧБН ЬМЕНЕОФБТОЩИ ЙУИПДПЧ.

2. еУМЙ Й ОЕУПЧНЕУФОЩ, ФП ;

еУМЙ УПВЩФЙЕ УПУФПЙФ ЙЪ ЬМЕНЕОФБТОЩИ ЙУИПДПЧ, ФП ЧЕТПСФОПУФШ ЬФПЗП УПВЩФЙС ТБЧОСЕФУС ПФОПЫЕОЙА :

ОБЪЩЧБЕНПК ЛМБУУЙЮЕУЛЙН ПРТЕДЕМЕОЙЕН ЧЕТПСФОПУФЙ.

нЩ ЧЙДЙН ФЕРЕТШ, ЮФП РПДУЮЈФ ЧЕТПСФОПУФЙ Ч ЛМБУУЙЮЕУЛПК УИЕНЕ УЧПДЙФУС Л РПДУЮЈФХ ПВЭЕЗП ЮЙУМБ «ЫБОУПЧ» Й ЮЙУМБ ЫБОУПЧ, ВМБЗПРТЙСФУФЧХАЭЙИ ЛБЛПНХ-МЙВП УПВЩФЙА. юЙУМП ЫБОУПЧ УЮЙФБАФ У РПНПЭША ЖПТНХМ ЛПНВЙОБФПТЙЛЙ.

еУМЙ РПТСДПЛ ОЕ ХЮЙФЩЧБФШ, ФП УМЕДХЕФ ПВЯСЧЙФШ ДЧБ РПУМЕДОЙИ ЙУИПДБ ПДОЙН Й ФЕН ЦЕ ТЕЪХМШФБФПН ЬЛУРЕТЙНЕОФБ, Й РПМХЮЙФШ ОЕ ЮЕФЩТЕ, Б ФТЙ ЙУИПДБ:

рЕТЧЩЕ ДЧБ ЙУИПДБ ЙНЕАФ ЧЕТПСФОПУФЙ РП 1/4, Б РПУМЕДОЙК — ЧЕТПСФОПУФШ 1/4+1/4=1/2.

тЕЪХМШФБФПН ЬЛУРЕТЙНЕОФБ СЧМСЕФУС ОБВПТ ЙЪ ЫБТПЧ. нПЦОП ОЕ ХЮЙФЩЧБФШ ЙМЙ ХЮЙФЩЧБФШ РПТСДПЛ УМЕДПЧБОЙС ЫБТПЧ, ЧЕТПСФОПУФШ ОЕ ДПМЦОБ ЪБЧЙУЕФШ ПФ УРПУПВБ РПДУЮЈФБ.

чЩВПТ У ХЮЈФПН РПТСДЛБ. пВЭЕЕ ЮЙУМП ЬМЕНЕОФБТОЩИ ЙУИПДПЧ ЕУФШ ЮЙУМП УРПУПВПЧ ТБЪНЕУФЙФШ ЬМЕНЕОФПЧ ОБ НЕУФБИ: РП ФЕПТЕНЕ 2,

Источник

Что называется пространством элементарных событий

2.1 Пространство элементарных событий

В предыдущей главе Вы ознакомились с методами определения числа способов осуществления того или иного действия.

На практике же нас чаще всего интересует другая проблема: как часто случается та или иная ситуация (происходит то или иное событие)? То есть, можно ли заранее предсказать или оценить возможный результат?

То есть, какова вероятность или шанс, что интересующее нас событие произойдет?

Для того чтобы мы могли получать ответы на подобные вопросы, построим следующую модель.

Пусть есть комплекс условий.

Например, у нас есть монета. Мы собираемся ее подбросить и посмотреть: какой стороной она выпадет вверх.

Каждое осуществление комплекса условий называется ОПЫТОМ или ИСПЫТАНИЕМ.

Возможные результаты опыта называются СОБЫТИЯМИ или ИСХОДАМИ.

При бросании монеты возможны следующие исходы:

монета встанет на ребро,

укатится и так далее.

В дальнейшем, мы ограничимся только двумя первыми результатами.

Среди всех возможных событий, которые, по воле случая, в результате опыта происходят или не происходят; выделяют ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СОБЫТИЯ (ИСХОДЫ), которые обладают следующими свойствами:
1) они взаимно исключают друг друга, а в результате опыта происходит одно из них;
2) для любого события (возможного в результате опыта), по наступившему элементарному событию, можно определить: произошло оно или нет.

В модели с монетой элементарными событиями являются: выпадение «герба» и выпадение «решетки».

Элементарные события принято обозначать: w, w _i.

Совокупность всех элементарных событий, соответствующих опыту, называется ПРОСТРАНСТВОМ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ СОБЫТИЙ.

Любое подмножество множества W называется СОБЫТИЕМ.

Событие А происходит тогда и только тогда, когда происходит одно из элементарных событий, входящих в А (соответствующих А).

Событие, происходящее при любом опыте, называется ДОСТОВЕРНЫМ.

Событие, которое не происходит ни при одном опыте, называется НЕВОЗМОЖНЫМ.

ПРИМЕР 2.1 Рассмотрим кубик из детского набора «Юный математик», на грани которого нанесены цифры 1, 7, 0, 1, 2, 4.

Опыт состоит в том, что мы бросаем кубик и смотрим: какая цифра появляется на верхней грани.

Элементарными событиями в данном случае являются:

Пусть в результате опыта появилась цифра 7.

Очевидно, что в этом случае произошли события В и С; а событие А не произошло.

События называются СОВМЕСТНЫМИ, если появление одного не исключает появление другого. В противном случае, они называются НЕСОВМЕСТНЫМИ.

Невозможным для данного опыта является событие, состоящее в том, что появится цифра 5.

СУММОЙ событий А и В называется событие С = < wОW | wО A или wО B>.

ОБОЗНАЧЕНИЕ: С = А + В, С = A И B.

Событие А + В происходит тогда и только тогда, когда происходит или событие А, или событие В (то есть, хотя бы одно из них).

ПРОИЗВЕДЕНИЕМ событий А и В называется событие С = < wОW | wО A и wО B>.

ОБОЗНАЧЕНИЕ: С = АВ, С = A З B.

Событие АВ происходит тогда и только тогда, когда одновременно происходят события А и В.

РАЗНОСТЬЮ событий А и В называется событие С = < wОW | wО A и wП B>.

Событие А`В происходит тогда и только тогда, когда А происходит, а В не происходит.

Событие W `А называется ПРОТИВОПОЛОЖНЫМ событию А.

ОБОЗНАЧЕНИЕ:

Событие происходит тогда и только тогда, когда событие А не происходит.

© Центр дистанционного образования ОГУ, 2000

Источник

Пространство элементарных событий. Алгебра событий

Одним из основных понятий теории вероятностей является оnыт. Под оnытом понимается выполнение комплекса условий, в результате которого происходят или не происходят определенные события (факты).

Простейшие неразложимые результаты опыта называются элементарными событиями (ω_i), а вся совокупность элементарных событий называется nространством элементарных событий Ω=<ω_i>. С каждым опытом связано свое пространство элементарных событий Ω. Например, игральная кость подбрасывается один раз. Элементарные события: w₁ – появление 1, w₂ – 2, w₃ – 3, w₄ – 4, w₅ – 5, w₆ – 6. Пространство элементарных событий W=1, w₂, w₃, w₄, w₅, w₆>.

Любое конечное или счетное подмножество Ω, называется событием. Различают три типа событий:

1) достоверные, которые всегда произойдут в результате опыта (Ω);

2) случайные, могут либо произойти в результате опыта, либо нет;

3) невозможные, никогда не произойдут в результате опыта (0 или ).

События обычно обозначают первыми прописными буквами латинского алфавита: A, В, С.

Элементы последовательности событий A₁, A₂. A_n nоnарно несовместны, если любые два из них несовместны. Например, при подбрасывании игральной кости никакие два элементарные исхода (появление цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6) не могут произойти одновременно.

Несколько событий равновозможны, если ни одно из них не имеет объективного преимущества перед другими. Например, элементарные исходы при подбрасывании монеты, игральной кости.

События А₁, A₂. A_n образуют nолную груnnу, если в результате опыта кроме этих событий ничего не может произойти.

Приведем примеры полных групп событий:

— выигрыш и проигрыш в лотерее для одного лица;

— выпадение «герба» и «цифры» при бросании одной монеты;

— появление числа очков 1, 2, 3, 4, 5, 6 в опыте с игральной костью;

— появление четной или нечетной цифры в том же опыте.

Обычно Ω изображают на плоскости в виде некоторой области, а ω_i в виде точек этой области, устанавливая, таким образом, соответствие между событиями и точечными множествами.

Для действий над событиями вводятся операции, совпадающие с операциями над множествами: сумма, произведение, отрицание.

Суммой событий A и В называется такое третье событие A+В (или AÈВ), которое заключается в наступлении хотя бы одного из событий или А, или В (рис. 1.1.1).

Если A и В несовместны, то появление обоих вместе отпадает и сумма сводится к появлению любого из событий, безразлично какого (рис.1.1.1). Можно складывать несколько событий.

Рис. 1.1.1. Сумма событий

Разберем это на следующих примерах.

Рис. 1.1.2. Иллюстрация к примеру 2

Пример 3. Опыт: бросают игральную кость. События: A – выпадение цифры 1, В – выпадение цифры 3, С – выпадение цифры 5. A, В, С – несовместные события. S = A + B + C – появление нечетной цифры, т. е. выпадение либо 1, либо 3, либо 5.

Пример 4. Опыт: проводят соревнования по футболу, баскетболу и волейболу. События: A – друзья пошли на футбол, В – друзья пошли на баскетбол, С – друзья пошли на волейбол. A, В, С – несовместные события.

S = A + B + C – друзья пошли на соревнования.

Если в условиях данного опыта несколько событий A₁, A₂,…, A_n образуют полную группу, то их сумма является достоверным событием.

Произведением двух событий A и В называется такое третье событие A·В (или A∩В), которое заключается в наступлении событий A и В одновременно. Если события A и В несовместны, то A×В=Æ (рис. 1.1.3).

Рис. 1.1.3. Произведение событий

Пример 5.Опыт: вынимают наугад одну карту из колоды. События: A – появление туза, В – появление бубновой масти.

C = A · В – появление бубнового туза.

Пример 6. Опыт: бросание трех монет.

A₁ – выпадение «герба» на первой монете,

В₁ – выпадение «решки» на первой монете,

A₂ – «герб» на второй монете,

В₂ – «решка» на второй монете,

A₃ – «герб» на третьей монете,

В₃ – «решка» на третьей монете.

Отрицанием события A называется событие (не A), заключающееся в ненаступлении события A ( Æ, ). Причем, если в результате опыта может произойти событие A, то может произойти и обратное ему событие (рис. 1.1.4).

Рис. 1.1.4. — отрицание события А

Пример7. Проводят следующий опыт: один выстрел по мишени. В этом случае событие A – попадание в десятку, противоположное событие` – непопадание в десятку.

Если наступление события A приводит к наступлению события В и наоборот (наступление В влечет наступление A), то события A и В равны (A=В).

3) если , то , тогда множество S называется алгеброй событий или s-алгеброй.

Источник

Пространство элементарных событий. Определение вероятности

п.1. Опыт(испытание) и событие (исход)

Выпадение орла или решки

Попадание в 10 или в 9,… на мишени, или в молоко, или выстрел мимо мишени

Подбрасывание игрального кубика

Выпадение 6 или 5,… или 1

Выбор карты из колоды

Выбор пикового туза или любой другой из 54 карт

Ставка при игре в рулетку

Выигрыш на «7 красное» или любой другой из ставок

Событие называется достоверным, если оно обязательно произойдёт в условиях данного опыта.
Событие называется возможным (случайным), если в результате опыта оно может появиться, но может и не появиться.
Событие называется невозможным, если оно не может произойти в условиях данного опыта.
Например:
1) При бросании кубика выпадение 2 – это возможное событие, а выпадение 8 – невозможное. Достоверное событие «1 или 2 или 3 или 4 или 5 или 6».
2) При бросании монеты выпадение орла – это возможное событие, а зависание монеты в воздухе – невозможное. Достоверное событие «орёл или решка».

События называют несовместными, если они не могут произойти одновременно в результате одного опыта.
Например:
1) Нельзя одновременно A=«попасть в 10» и B=«промахнуться» при стрельбе. События A и B – несовместны.
2) Нельзя одновременно C=«достать белый шарик» и D=«достать черный шарик» из коробки. События C и D – несовместны.

События называют равновозможными, если по условиям опыта ни одно из событий не имеет преимуществ перед другими при появлении.

п.2. Пространство элементарных событий

Например:
Пусть при бросании кубика A= <1;3;5>– выпадение нечётного числа. Событие A будет происходить каждый раз при наблюдении элементарных событий 1 или 3 или 5.

п.3. Классическое определение вероятности

Данное определение сформулировано Лапласом в 1795 г. в курсе лекций «Опыт философии теории вероятностей».
Рассмотрим пространство элементарных событий, которое состоит из конечного числа элементарных исходов:

п.4. Геометрическое определение вероятности

Недостатком классического определения вероятности является требование конечности множества событий.
Но нам известны удачные модели бесконечных множеств, которые используются даже в элементарной математике: числовые прямые, системы координат на плоскости и в пространстве. Попробуем их использовать.
Например, рассмотрим опыт со стрельбой в мишень радиуса R=1. Пусть стрелок всегда попадает в мишень. Пространство элементарных событий ограничено кругом x 2 + y 2 ≤1. Круг содержит в себе бесконечное множество точек и все возможные исходы (свойство полноты). Случайное попадание в эту область равновероятно для любой точки (свойство равновозможности). Одновременно попасть в две разные точки области невозможно (свойство несовместности).
Пусть событие A, которое нас интересует, описывается другим ограничением: попаданием в круг \(\mathrm< \left(x-\frac12\right)^2+y^2\leq \frac14. >\)
Тогда:

\begin \mathrm< \Omega: x^2+y^2\leq 1,\ \ \left(x-\frac12\right)^2+y^2\leq \frac14. >\\ \mathrm< S_A=\frac<\pi r^2><2>=\frac<\pi><2>\cdot \frac14=\frac<\pi> <8>>\\ \mathrm< S_<\Omega>=\frac<\pi r^2><2>=\frac<\pi><2>\cdot 1=\frac<\pi> <2>>\\ \mathrm< P(A)=\frac<\pi><8>:\frac<\pi><2>= \frac14 > \end

Геометрическое определение вероятности можно использовать при моделировании бесконечных множеств любой размерности: от одномерных (прямая, на которой определена длина) до многомерных (N-мерные пространства, на которых определены свои меры) (см. также §38 данного справочника).

п.5. Статистическое определение вероятности

Многочисленные опыты с подбрасыванием монеты показывают, что число выпадений «орла» приближается к 1/2, может быть немного больше или меньше, но никогда не равно половине в точности.

К-во бросков монеты

Частота выпадения орла

В принципе, чем больше будет проведено опытов, тем ближе будет экспериментальная величина к теоретической. Поэтому, с точки зрения статистики:

Такое понимание вероятности очень продуктивно, т.к. позволяет вывести важные теоремы, которые широко используются в статистике и других областях прикладной математики.

В современной математике вероятность определяется аксиоматически, в рамках аксиоматики Колмогорова. Если ваша будущая профессия будет связана с математикой, вам обязательно об этом расскажут.

п.6. Примеры

Пример 1. Из хорошо тасованной колоды в 32 карты выбирается наугад одна карта. Какова вероятность того, что это:
1) туз;
2) карта бубновой масти;
3) либо король, либо дама, либо валет;
4)* какова вероятность, что в данной колоде сверху – пиковая дама?

1) Всего карт n = 32, тузов k = 4
Вероятность выбрать туз: \(\mathrm< P=\frac=\frac<4><32>=\frac<1><8>=0,125 >\)
2) Всего карт n = 32, бубновой масти k = 8
Вероятность выбрать карту бубновой масти: \(\mathrm< P=\frac=\frac<8><32>=\frac<1><4>=0,25 >\)
3) Всего карт n = 32, королей, дам и валетов k = 12
Вероятность выбрать короля, даму или валета: \(\mathrm< P=\frac=\frac<12><32>=\frac<3><8>=0,375 >\)

4) Каждое тасование колоды – это перестановка без повторений (см.§34 данного справочника)
Общее количество возможных перестановок: P₃₂=32!
Если зафиксировать первую карту – пиковую даму, то общее количество возможных перестановок оставшихся карт P₃₁=31! – количество вариантов колод с пиковой дамой наверху.
n = 32!, k = 31!
Искомая вероятность:\(\mathrm< P=\frac=\frac<31!><32!>=\frac<1><32>=0,03125 >\)
Ответ: 1) 0,125; 2) 0,25; 3) 0,375; 4) 0,03125.

Пример 2. В слове «КОРОНАВИРУС» наугад выбирается одна буква.
Какова вероятность, что это буква:
1) гласная;
2) согласная;
3) буква «Р»;
4) буква «Ц».

1) Всего букв n = 11, гласных букв k = 5
Вероятность выбрать гласную букву: \(\mathrm< P=\frac=\frac<5> <11>>\)
2) Всего букв n = 11, согласных букв k = 6
Вероятность выбрать согласную букву: \(\mathrm< P=\frac=\frac<6> <11>>\)
3) Всего букв n = 11, букв «Р» k = 2
Вероятность выбрать букву «Р»: \(\mathrm< P=\frac=\frac<2> <11>>\)
4) Всего букв n = 11, букв «Ц» k = 0
Вероятность выбрать букву «Ц»: \(\mathrm< P=\frac=0 >\) – невозможное событие.
Ответ: \(\mathrm< 1)\ \frac<5><11>;\ 2)\ \frac<6><11>;\ 3)\ \frac<2><11>;\ 4)\ 0. >\)

Пример 4. Деревянный куб покрасили и распилили на 1000 кубиков.
Какова вероятность, что случайно выбранный кубик имеет:
1) три окрашенных грани;
2) две окрашенных грани;
3) одну окрашенную грань;
4) ни одной окрашенной грани?

1) Три окрашенных грани будут иметь кубики на вершинах куба.
Вершин у куба 8, значит k = 8. Вероятность \(\mathrm< P=\frac<8><1000>=0,008>\)
2) Две окрашенных грани будут иметь кубики на ребрах куба, кроме вершин.
Всего ребёр у куба 12, на каждом ребре по 8 кубиков без вершин, k = 12 · 8 = 96.
Вероятность \(\mathrm< P=\frac<96><1000>=0,096>\)
3) Одну окрашенную грань будут иметь кубики на гранях куба, кроме ребер и вершин.
Всего граней у куба 6, на каждой грани по 8 · 8 = 64 внутренних кубика, k = 6 · 64 = 384. Вероятность \(\mathrm< P=\frac<384><1000>=0,384>\)
4) Неокрашенными будут k = 8 · 8 · 8 = 512 кубиков.
Вероятность \(\mathrm< P=\frac<512><1000>=0,512>\)
Ответ: 1) 0,008; 2) 0,096; 3) 0,384; 4) 0,512.

Источник

Вероятностное пространство с примерами решения и образцами выполнения

Взяв практически любую статью по теории вероятностей, мы увидим, что либо она начинается словами: «Пусть — вероятностное пространство», либо в одной из первых же фраз написано: «где — вероятностное пространство». Иногда добавляется: — пространство элементарных исходов, — -алгебра (сигма-алгебра) событий, — вероятностная мера (или вероятность)». Естественно, у неискушенного читателя пропадает всякое желание читать эту статью дальше. Однако понятие вероятностного пространства является весьма естественным математическим обобщением хорошо известных физических понятий: исход опыта, случайное событие, вероятность события. В настоящей главе мы попытаемся, насколько это возможно, дать читателю, знакомому только с основами высшей математики, разъяснение этого основополагающего для теории вероятностей понятия.

Пространство элементарных исходов

Рассмотрим простейший вариант случайного испытания — подбрасывание монеты. Если отвлечься от чисто гипотетических возможностей — падения монеты на ребро или вообще исчезновения монеты, то возможны только два исхода: выпадение «герба» и выпадение «цифры». Эти два исхода в рамках данного опыта уже нельзя разбить на более мелкие составляющие, т.е. они являются в некотором роде «элементарными». При бросании игральной кости такими неделимыми исходами являются: выпадение одного очка, выпадение двух очков, …, выпадение шести очков. Значит, мы имеем уже 6 элементарных исходов. Более сложный пример получим, если рассмотрим падение идеальной (т. е. не имеющей размера) частицы на плоскость. Тогда результат испытания представляет собой попадание частицы в определенную точку плоскости и его можно отождествить с двумерным вектором в некоторой системе координат на плоскости.

Аналогично, если проанализировать любое испытание со случайным исходом, можно заметить, что его результат представляет собой один из множества допустимых исходов. Поскольку в математике принято абстрагироваться от несущественных деталей, то всегда можно рассматривать все возможные в данном опыте исходы как некоторое множество которое и носит название пространства элементарных исходов или пространства элементарных событий. Сами элементарные исходы будем обозначать строчной буквой снабжая ее при необходимости индексами.

Пример:

При подбрасывании монеты пространство элементарных исходов состоит всего из 2 исходов: — выпадение «герба» и — выпадение «цифры».

Пример:

При бросании игральной кости возможны 6 элементарных исходов: — выпадение одного очка, — выпадение 2 очков….. — выпадение 6 очков.

Пример:

При подбрасывании двух монет пространство элементарных исходов содержит уже 4 исхода. Перечислим их: — пара «герб»-«герб», — «герб»-«цифра», — «цифра»-«герб», — «цифра»-«цифра». При подбрасывании трех монет возможны 8 элементарных исходов типа «герб»-«цифра»-«герб» и т.д.

Пример:

При определении времени жизни элементарной частицы пространство элементарных исходов представляет собой полупрямую

Следует отметить, что в практических исследованиях существует определенный произвол в описании пространства элементарных исходов Так, однократное подбрасывание монеты (пример 1) можно рассматривать как часть более сложного опыта, заключающегося в подбрасывании двух или более монет (пример 3). При определении времени жизни частицы (пример 4) можно также рассматривать типы получившихся после распада частиц и т. д. Очевидно, при решении практических задач разумно выбирать всегда наиболее простой вариант пространства элементарных исходов, необходимый для решения стоящей перед исследователем задачи.

События, действия над ними

Понятие «событие» лингвистически отличается от понятия «элементарное событие» только отсутствием прилагательного «элементарное». Естественно поэтому определить событие так же, как исход испытания, но только не обязательно неделимый.

Пример:

При бросании игральной кости (см. пример 2) событиями являются: выпадение четного числа очков (это событие происходит тогда и только тогда, когда появляется один из элементарных исходов выпадение нечетного числа очков (элементарные исходы выпадение не менее двух очков (элементарные исходы и т. д.

Пример:

При подбрасывании двух монет примерами событий будут: падение обеих монет на одну и ту же сторону (появлению этого события благоприятствуют элементарные исходы из примера 3); падение монет на разные стороны (элементарные исходы выпадение, по крайней мере, одного «герба» (элементарные исходы и т. п.

Пример:

При определении времени безотказной работы электрической лампочки можно привести следующие примеры событий: безотказная работа лампочки до момента Т; отказ лампочки до момента Т; отказ лампочки между моментами и т. д. Здесь так же, как и в примере 4, пространство элементарных исходов представляет собой полупрямую Тогда первому событию соответствует множество точек на полупрямой второму — на интервале третьему — на интервале

Вспоминая, что в результате опыта может произойти один и только один элементарный исход из пространства элементарных исходов мы приходим к теоретико-множественному определению события как произвольного набора элементарных исходов или, иными словами, произвольного подмножества множества элементарных исходов События будем обозначать прописными латинскими буквами, снабженными при необходимости индексами: и т.д.

Заметим, что приведенное выше определение события не всегда позволяет построить логически безупречную аксиоматику теории вероятностей. Поэтому в следующем параграфе мы уточним понятие «событие». Сейчас же наша цель состоит в описании теоретико-множественных операций над событиями, и нам удобно отказаться от несущественных пока деталей.

Часто бывает полезным наглядное представление событий в виде так называемой диаграммы Эйлера-Венна. Будем изображать все пространство элементарных исходов прямоугольником (рис.1). Тогда каждый элементарный исход соответствует точке внутри прямоугольника, а каждое событие А отождествимо с некоторой областью.

Само пространство элементарных исходов представляет собой событие, состоящее из всех возможных исходов, т. е. происходящее всегда (при любом элементарном исходе ), и носит название достоверного события. Таким образом, пространство элементарных исходов выступает в двух качествах: в качестве собственно множества всех элементарных исходов и в качестве достоверного события.

Для дальнейшего нам удобно ввести еще одно событие называемое невозможным. Невозможное событие не происходит никогда, т.е. не содержит ни одного элементарного исхода.

Пример:

При бросании игральной кости событие «выпадение не менее одного очка» является достоверным событие «выпадение более 6 очков» — невозможным

Над событиями как над подмножествами фиксированного множества можно производить действия, которые мы сейчас опишем.

Пересечением (произведением) двух событий А и В называется событие С, происходящее тогда и только тогда, когда наступают одновременно оба события А и В, или, иными словами, состоящее из тех элементарных исходов, которые принадлежат и А, и В (рис. 2).

Пересечение событий А и В записывается следующим образом:

Аналогично определяется пересечение трех и более событий.

Пример:

Событие А — при подбрасывании двух монет падение их одной стороной, событие В — выпадение хотя бы одного «герба». Пересечением событий А и В является событие С, состоящее в выпадении двух «гербов».

Пример:

Событие А — выпадение четного числа очков при бросании игральной кости, событие В — выпадение не менее 3 очков. Пересечение А ий — событие С, состоящее в выпадении 4 или 6 очков. □

События А и В называются непересекающимися или несовместными, если их пересечение является невозможным событием, т.е. (рис.3).

Для трех и более событий понятие несовместности можно определить разными способами. Мы будем, в основном, пользоваться следующим понятием несовместности n событий, которое также называется попарной несовместностью событий: события называются (попарно) несовместными, или (попарно) непересекающимися, если для любых при

Пример:

Событие А — выпадение четного числа очков при бросании игральной кости, событие В — выпадение нечетного числа очков. События А и В несовместны.

Нетрудно видеть, что справедливы следующие простейшие формулы для пересечения двух событий, одно из которых достоверно или невозможно:

Объединением (суммой) двух событий А и В называется событие С, происходящее тогда и только тогда, когда наступает хотя бы одно из событий А или В, т. е. состоящее из тех элементарных исходов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А или В (рис.4).

Для объединения событий А и В применяется запись

Пример:

Событие А — выпадение 1 или 3 очков при бросании игральной кости, событие В — выпадение 3 или 5 очков. Объединением событий А и В является событие С, состоящее в выпадении нечетного числа очков.

Для объединения двух событий, одно из которых достоверно или невозможно, имеют место следующие формулы:

В том случае, когда события А и В несовместны, наряду со знаком для их объединения употребляют знак «+». Обычно знак «+» применяют тогда, когда заведомо известно, что А и В несовместны, и это особо хотят подчеркнуть. В частности, поскольку невозможное событие несовместно с любым событием А, то

Аналогично определяется объединение трех и более событий. При этом знак «+» используется в случае попарной несовместности входящих в объединение событий.

Разность событий А и В записывается в виде

Пример:

Событие А — выпадение хотя бы одного «герба» при подбрасывании двух монет, событие В — падение обеих монет одной стороной. Разность С событий А к В представляет собой событие, заключающееся в выпадении ровно одного «герба».

Справедливы следующие формулы для разности двух событий, одно из которых достоверно или невозможно:

Кроме того, если А и В несовместны

Симметрической разностью двух событий А и В (обозначается знаком или называется событие С, представляющее собой объединение событий

Поскольку события несовместны (рис. 6), симметрическую разность можно записать также в виде

Нетрудно заметить, что симметрическая разность есть объединение событий а и в без их общей части:

Пример:

Событие А — выпадение не менее 2 очков при бросании игральной кости, событие в — выпадение не более 4 очков. Симметрической разностью событий а и в является событие С, заключающееся в выпадении 1, 5 или 6 очков.

Если А и В несовместны, то

Дополнением события А (обычно обозначается называется событие, происходящее тогда и только тогда, когда не происходит событие А (рис. 7), или, иными словами,

Пример:

Событие А — выпадение четного числа очков при бросании игральной кости. Дополнительное событие — выпадение нечетного числа очков.

Если некоторое событие записано в виде нескольких действий над различными событиями, то сначала вычисляются дополнения, затем выполняются умножения и, наконец, сложения и вычитания событий. Так, формула

Пользуясь диаграммой Эйлера-Венна, нетрудно показать справедливость следующих формул (формулы де Моргана):

Формулы де Моргана элементарно переносятся на произвольное число событий. В частности, для n событий они имеют вид:

Следует отметить, что все действия над событиями можно получить с помощью только двух действий — объединения и дополнения (или пересечения и дополнения). Основанием для этого утверждения служат формулы де Моргана, а также соотношение

Кроме вышеперечисленных действий над событиями нам в дальнейшем понадобится понятие включения. Событие А принадлежит (содержится в, включается в) событию В (записывается если появление события А обязательно влечет за собой наступление события В (рис.8) или, иными словами, каждый элементарный исход принадлежащий А, обязательно принадлежит и В. Ясно, что включение эквивалентно выполнению равенства

Используют и обратное понятие: событие В содержит (включает) событие если

Пример:

Событие А — выпадение четного числа очков при бросании игральной кости, событие В — выпадение не менее 2 очков. Событие А принадлежит событию В, поскольку если выпало четное число очков (2, 4 или 6), то обязательно выпало не менее 2 очков.

Следующие включения очевидны:

Кроме того, если то

Алгебра событий

-алгебра событий

Итак, мы назвали событием произвольное подмножество пространства элементарных исходов Такое определение прекрасно работает, когда конечно или даже счетно (т.е. его можно пересчитать с помощью чисел натурального ряда). Однако если более чем счетно,

то, вообще говоря, мы уже не сможем построить логически непротиворечивую теорию, называя событием произвольное подмножество Причина этого заключается в существовании так называемых неизмеримых множеств, что в свою очередь кроется в топологической структуре классических рассматриваемых пространств (прямой, плоскости, трехмерного пространства и т.д.). Поэтому приходится отказаться от, казалось бы, естественного желания назвать событием любое подмножество пространства элементарных исходов и выделить среди всех подмножеств некоторый класс подмножеств Именно только подмножества из выделенного класса и будут называться событиями. Интуитивно ясно, что описанные в предыдущем пункте теоретико-множественные операции над событиями не должны приводить к подмножествам, не являющимся событиями.

С точки зрения повседневной практики подмножества пространства элементарных исходов не являющиеся событиями, представляют собой чистую математическую абстракцию и в реальной жизни никогда не встречаются. Даже само доказательство их существования представляет весьма сложную задачу. Поэтому читателю, не желающему вдаваться в математические тонкости, мы рекомендуем пропустить параграф, посвященный -алгебре событий, и в дальнейшем под событием понимать произвольное подмножество элементарных исходов а под -алгеброй — систему всех этих подмножеств. Любознательному читателю мы предоставляем возможность познакомиться со строгим определением последнего понятия, излагаемым ниже.

Алгеброй событий назовем непустую систему подмножеств удовлетворяющую следующим аксиомам:

Если подмножество А принадлежит (является событием), то дополнение также принадлежит (является событием).

Если подмножества А и В принадлежат (являются событиями), то и объединение принадлежит (является событием).

Как мы знаем, любую из рассмотренных нами операций над подмножествами можно получить с помощью только двух операций: дополнения и объединения. Поэтому пересечение и разность двух событий также будут событиями. Поскольку то все пространство элементарных исходов и пустое подмножество обязательно являются событиями в любой алгебре событий. Очевидно также, что объединение и пересечение любого конечного числа событий снова будет событием. Иными словами, алгебру событий можно определить как систему подмножеств пространства элементарных исходов замкнутую относительно конечного числа теоретико-множественных операций.

Однако понятие алгебры событий также оказывается недостаточным для аксиоматического построения теории вероятностей в том случае, когда пространство элементарных исходов не является конечным. Интересы общей теории меры требуют, чтобы аксиома А2 была заменена на более сильную, и мы приходим к новому определению:

-алгеброй событий назовем систему подмножеств из удовлетворяющую аксиоме А1 и аксиоме

2′. Если подмножества принадлежат (являются событиями), то и их (счетное) объединение также принадлежит (является событием).

Основываясь на формулах де Моргана, нетрудно показать, что пересечение счетного числа событий снова будет событием. Таким образом, -алгебру событий можно определить как систему подмножеств пространства элементарных исходов замкнутую относительно счетного числа теоретико-множественных операций.

.Любая -алгебра событий является одновременно и алгеброй событий. Обратное, вообще говоря, не верно, т.е. существуют алгебры событий, не являющиеся -алгебрами. Однако если пространство элементарных исходов конечно, то любая алгебра событий будет также и -алгеброй событий, т.е. в этом случае понятия алгебры событий и -алгебры событий эквивалентны.

-алгебра событий является второй компонентой вероятностного пространства

Пример:

Для любого пространства элементарных исходов содержащего хотя бы один исход, семейство подмножеств, состоящее всего из двух подмножеств является -алгеброй. Ясно, однако, что на такой ст-алгебре, состоящей всего из достоверного и невозможного событий, сколь-нибудь содержательную теорию построить невозможно, и мы ее в дальнейшем рассматривать не будем.

Пример 18. Пусть пространство элементарных исходов содержит по крайней мере два исхода. Возьмем в некоторое подмножество А, отличное от Тогда система из четырех подмножеств будет являться -алгеброй Поскольку в дальнейшем мы будем рассматривать только события, а других событий, кроме перечисленных четырех, -алгебра не содержит, то естественно отождествить ее с -алгеброй, определенной на пространстве элементарных исходов состоящем всего из двух элементарных исходов: и содержащей подмножества Здесь мы имеем дело с тем принципом упрощения пространства элементарных исходов, о котором говорилось в параграфе 1.

В качестве иллюстрации рассмотрим время работы электрической лампочки. Первоначально пространство элементарных исходов представляет собой полупрямую Однако если наблюдателю доступна только информация, произошел отказ за фиксированное время Т (событие A) или нет (событие то он фактически имеет дело с двумя элементарными исходами: и соответствующая -алгебра состоит из четырех событий, описанных выше. В этом случае наблюдение за работой электрической лампочки с точки зрения числа возможных элементарных исходов ничем не отличается от наблюдения за подбрасыванием монеты.

Пример:

Пусть пространство элементарных исходов содержит конечное или счетное число исходов. Такое пространство называется дискретным. В качестве -алгебры возьмем систему всех подмножеств. Именно эту -алгебру мы всегда будем рассматривать в дальнейшем в случае дискретного пространства элементарных исходов. Нетрудно видеть, что любое событие А можно отождествить с последовательностью из 0 и 1, причем 0 на месте означает, что элементарный исход не принадлежит событию А. В частности, невозможному событию соответствует последовательность 0,0…..а достоверному Ясно, что если число исходов n конечно, то -алгебра содержит событий (на каждом из n мест последовательности может стоять одно из двух чисел: 0 или 1).

В случае дискретного -алгебру можно определить исходя и из других предпосылок. Для этого достаточно объявить событиями все элементарные исходы Поскольку в случае дискретного любое его подмножество будет содержать не более счетного числа элементарных исходов, то в соответствии с аксиомой оно обязательно будет событием. Таким образом, -алгебру можно трактовать как -алгебру, порожденную всеми элементарными исходами.

В частности, в случае конечного -алгебра порождается конечным числом элементарных исходов и поэтому совпадает с алгеброй порожденной всеми элементарными исходами Однако в случае счетного алгебра порожденная всеми элементарными исходами , уже не будет совпадать с -алгеброй поскольку она будет содержать только подмножества, состоящие из конечного числа элементарных исходов (как объединения событий в соответствии с аксиомой А2) или подмножества, состоящие из всех элементарных исходов за исключением их конечного числа (как дополнения к подмножествам первого типа в соответствии с аксиомой А1).

Пример:

Пусть пространство элементарных исходов представляет собой прямую И здесь система всех подмножеств будет представлять собой -алгебру. Однако оказывается, что такая «максимальная» -алгебра в наиболее интересных случаях представляет собой негодный объект для дальнейших исследований. Дело в том, что введение понятия -алгебры является вспомогательным процессом, необходимым для дальнейшего определения собственно вероятности, и, если бы только было возможно, никто не стал бы «городить огород» ради, разве что, красивого названия.

О невозможности использования «максимальной» -алгебры мы еще скажем несколько слов, когда будем рассматривать геометрическую вероятность. Сейчас попробуем построить другую -алгебру, опираясь на более умеренные запросы. Итак, что бы мы хотели от -алгебры на прямой? Разумеется, основное требование к ней заключается в том, чтобы ей принадлежали всевозможные интервалы Минимальная -алгебра, удовлетворяющая этому требованию, носит название борелевской —алгебры и является тем объектом, на котором без всяких логических противоречий можно построить математически строгую теорию.

Все сказанное относительно прямой в полной мере относится и к пространствам элементарных исходов, представляющим собой плоскость, трехмерное пространство и пространства более высоких размерностей, а также их невырожденные части (отрезки, многоугольники, круги, шары и т.д.). В теории вероятностей такие пространства элементарных исходов называются непрерывными. □

Определение вероятности

Приступим теперь к аксиоматическому определению последней составляющей вероятностного пространства — вероятности или, как иногда говорят, вероятностной меры Р.

Предположим сначала, что пространство элементарных исходов конечно. Пусть каждому событию А ( т.е. подмножеству А пространства элементарных исходов принадлежащему -алгебре поставлено в соответствие число Р(A). Числовая функция Р(A) (заданная на -алгебре ) называется вероятностью, если она удовлетворяет следующим аксиомам:

(аксиома неотрицательности );

(аксиома нормированности);

(аксиома сложения), если и

Как говорилось во введении, аксиомы вероятности представляют собой не что иное, как математическое отражение основных свойств частоты.

Из аксиом Р1-РЗ можно вывести ряд очевидных свойств вероятности.

Поскольку то по аксиоме сложения или, с учетом аксиомы нормированности,

(вероятность дополнительного события).

Далее, поскольку то из аксиомы сложения имеем

(вероятность невозможного события).

Пусть Тогда по аксиоме сложения и из аксиомы неотрицательности получаем

(«большему» событию соответствует большая вероятность).

В частности, так как всегда то, с учетом аксиомы неотрицательности,

(вероятность заключена между 0 и 1).

Наконец, поскольку то из аксиомы сложения находим: Следовательно,

(вероятность объединения двух событий).

Последнее свойство допускает очевидное, но весьма полезное обобщение на случай произвольного числа слагаемых

Свойство 6 доказывается индукцией по n. Так, для трех событий А, В и С

Из свойств 6 и 2 имеем для любого числа n (попарно) непересекающихся событий

В случае, когда содержит конечное число n элементарных исходов, вероятность можно определить конструктивно.

Действительно, с одной стороны, пусть на пространстве элементарных исходов задана некоторая вероятность Обозначим через вероятности элементарных исходов Тогда по аксиоме сложения РЗ вероятность любого события А определяется формулой где суммирование ведется по всем индексам соответствующим входящим в событие А элементарным исходам. В силу аксиом не отрицательности Р1 и нормированности Р2 числа являются неотрицательными и удовлетворяют свойству

С другой стороны, пусть — любой набор неотрицательных чисел, таких, что Поставим в соответствие каждому элементарному исходу число а любому событию А — число где суммирование ведется по всем индексам соответствующим входящим в событие А элементарным исходам. Очевидно, достоверному событию мы должны сопоставить число Нетрудно видеть, что определенная таким образом функция Р(А) удовлетворяет аксиомам Р1-РЗ, т.е. является вероятностью.

Итак, существует взаимно однозначное соответствие между всеми вероятностями Р(А) на наборами неотрицательных чисел, удовлетворяющими условию

В частности, мы можем всем элементарным исходам приписать одну и ту же вероятность В этом случае реализуется так называемый принцип классической вероятности, о котором мы подробно поговорим в следующей главе.

В случае произвольного (не обязательно конечного) пространства элементарных исходов аксиому РЗ необходимо заменить более сильной расширенной аксиомой сложения

справедливой для счетного числа попарно несовместных событий.

Именно аксиомы и определяют аксиоматическое понятие вероятности.

Очевидно, что свойства вероятности 1-7 сохраняются и в этом случае.

Пример:

Пусть состоит из счетного числа элементарных исходов И в этом случае любую вероятностную меру Р(А) можно получить, задав вероятности элементарных исходов, причем последовательность должна удовлетворять только условиям неотрицательности и нормированности По-прежнему вероятность любого события А определяется как сумма вероятностей всех входящих в А элементарных исходов однако если событие А содержит бесконечное число элементарных исходов, то и сумма будет бесконечной.

Пример:

Пусть пространство элементарных исходов представляет собой прямую с борелевской -алгеброй на нем (см. пример 20). Теперь уже в наиболее интересных случаях мы не можем приписать каждому элементарному исходу иной вероятности, кроме и, следовательно, определить вероятность любого события на основе вероятностей входящих в него элементарных исходов. Тем не менее и сейчас вероятность можно задать конструктивно.

Для того чтобы показать это, предположим сначала, что она каким-то образом уже задана для всех событий (элементов борелевской -алгебры), и рассмотрим функцию равную вероятности события состоящего из всех точек полупрямой Как вероятность функция F(x) обязана обладать определенными свойствами, которые мы сейчас опишем.

Во-первых, значения функции F(x) как вероятности должны лежать между 0 и 1.

Во-вторых, так как для любых событие содержится в событии Иными словами, F(x) — неубывающая функция аргумента х.

В-третьих, поскольку событие невозможно, а событие достоверно, то

Наконец, так как событие представляет собой объединение счетного числа событий то из расширенной аксиомы сложения и монотонности F(x) можно вывести (см. параграф 2 гл. 5), что F(x) — непрерывная слева функция.

Зная функцию F(a-), можно определить вероятности любых других событий. В частности, вероятность события определяется формулой

Таким образом, любая вероятность на прямой полностью определяется своей функцией F(x), которая удовлетворяет перечисленным выше свойствам.

Справедливо и обратное. Любая неубывающая непрерывная слева функция F(x), удовлетворяющая условиям задает некоторую вероятность на прямой Действительно, достаточно сопоставить каждому событию число а событию — число Можно показать, что определенная таким образом для всех событий числовая функция Р(А) будет удовлетворять трем аксиомам вероятности. Для любых других событий, составляющих борелевскую -алгебру на прямой, вероятность определяется единственным образом с помощью так называемой теоремы о продолжении меры.

Вероятное пространство

Решение заданий и задач по предметам:

Дополнительные лекции по теории вероятностей:

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

Источник