Что называется приращением независимой переменной и приращением функции

Приращения независимых переменных и приращение функции

Пусть f(x, y) задана в области D и P₀(x₀, y₀) – внутренняя точка области D. Дадим аргументам x и y приращения Dx и Dy – произвольные, такие, однако, чтобы точка еще не выпала из D. Тогда

(1.4)

– полное приращение функции.

Геометрически Dz дает изменение аппликаты точки на поверхности z = f(x, y) при переходе от позиции к позиции , т.е. разность длин “столбиков”, поставленных соответственно в точках и . Условие непрерывности f(x, y) в точке (x₀, y₀) можно записать и так:

. (1.5)

Если бы мы дали приращение Dx только переменному x или только приращение Dy переменному y, то возникли бы частные приращения функции:

(1.6)

Эти приращения – частные (по x и по y соответственно); теперь оправдано и название “полное” для (1.4).

Дифференциальное исчисление функций двух переменных

Частные производные

Частными производными в точке (x₀, y₀) по x и y называются соответственно

и . (1.7)

(Конечно, если эти пределы существуют.) Обозначаются они

, или , или , или (1.8)

и, если необходимо, показывается точка x₀, y₀ где вычислены частные производные: или , или – например. Символы (с круглыми ¶!) – не настоящие дроби в отличие от , а лишь стилизованные обозначения пределов.

Чтобы вычислить частную производную по какому-то из переменных, надо действовать по обычным правилам дифференцирования, считая другое переменное неизменным, постоянным.

Пример 1. ;

.

Пример 2. ;

.

Геометрический смысл частных производных

Проведем через точку (x₀, y₀) плоскость x = x₀, параллельную плоскости yOz. На рис. 6 это плоскость .

Из поверхности z = f(x, y) эта плоскость вырежет кривую L. На L получится точка – конец “столбика”, восстановленного из (x₀, y₀). Проведем через M₀ касательную прямую к линии L (в плоскости сечения). Тангенс угла наклона b касательной к оси (или, что то же, к оси Oy) и есть частная производная (по y) (рис. 6):

. (1.9)

Это вытекает из геометрического смысла обычной производной. Аналогичным образом истолковывается . Касательная M₀T задается в пространстве системой двух уравнений первой степени:

. (1.10)

Совершенно аналогичным образом, если провести сечение плоскостью y = y₀, то образуется касательная прямая в этой плоскости с уравнениями

. (1.10’)

Две касательные прямые, построенные в разделе 1.2.2, определяют плоскость. Эта плоскость называется касательной плоскостью к поверхности в точке M₀. Поскольку она проходит через точку , ее уравнение можно записать так:

. (1.11)

(Проверьте, что координаты удовлетворяют (1.11).)

В сечении этой плоскости плоскостью x = x₀ образуется построенная нами касательная
прямая M₀T, для которой (см. 1.10)

. (1.12)

Но из (1.11) следует, что

. (1.13)

Сравнивая (1.12) и (1.13), видим, что ; точно так же находится и . Подставляя все это в (1.11), получаем:

(1.14)

– уравнение касательной плоскости.

Дата добавления: 2018-09-23 ; просмотров: 195 ; Мы поможем в написании вашей работы!

Источник

Урок по теме: «Приращение функции»

Онлайн-конференция

«Современная профориентация педагогов
и родителей, перспективы рынка труда
и особенности личности подростка»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Не всегда в жизни нас интересуют точные значения каких-либо величин. Иногда интересно узнать изменение этой величины, например, средняя скорость автобуса, отношение величины перемещения к промежутку времени и т.д. Для сравнения значения функции в некоторой точке со значениями этой же функции в других точках, удобно использовать такие понятия, как «приращение функции» и «приращение аргумента».

Понятия «приращение функции» и «приращение аргумента»

Если мы изменяем аргумент, то и значение функции тоже будет изменяться.

Приращением функции f в точке x ₀ , соответствующим приращению ∆х называется разность f(x ₀ + ∆х) – f(x ₀ ). Приращение функции обозначается следующим образом ∆f. Таким образом получаем, по определению:

Иногда, ∆f еще называют приращением зависимой переменной и для обозначения используют ∆у, если функция была, к примеру, у=f(x).

Геометрический смысл приращения

Посмотрите на следующий рисунок.

Как видите, приращение показывает изменение ординаты и абсциссы точки. А отношение приращения функции к приращению аргумента определяет угол наклона секущей, проходящей через начальное и конечное положение точки.

Рассмотрим примеры приращения функции и аргумента

Воспользуемся формулами, приведенными выше:

∆ f=f(2.1) – f(2) = 2.1 2 – 2 2 = 0.41.

Опять же, воспользуемся формулами, полученными выше.

Пример 3. . Найти приращение функции y=2x 2 при x0=3 и Δx=0,1

Решение. Подставляя в формулу, получаем, что приращение функции:

Δy=y(3+0,1)−y(3)=2 ⋅ (3+0,1) 2 −2 ⋅ 3 2 =1,22

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Номер материала: ДБ-1547378

Не нашли то что искали?

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Путин поручил не считать выплаты за классное руководство в средней зарплате

Время чтения: 1 минута

Псковских школьников отправили на дистанционку до 10 декабря

Время чтения: 1 минута

Во Франции планируют ввести уголовное наказание за буллинг в школе

Время чтения: 1 минута

ВПР для школьников в 2022 году пройдут весной

Время чтения: 1 минута

Учителям предлагают 1,5 миллиона рублей за переезд в Златоуст

Время чтения: 1 минута

Учителям истории предлагают предоставить право бесплатно посещать музеи

Время чтения: 2 минуты

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Источник