Что называется первообразной функции
Что называется первообразной функции
Изучая математику, мы не раз сталкивались со взаимно-обратными операциями.
Примерами взаимно-обратных операций являются:
Операция, обратная дифференцированию, называется интегрированием, а процессом, обратным нахождению производной, является процесс нахождения первообразной.
Или Первообразной для функции F(x) называется функция, производная которой равна данной.
Зад ача интегрирования состоит в том, чтобы для заданной функции найти все ее первообразные. Важную роль в решении этой задачи играет признак постоянства функции:
Если
Все первообразные функции а можно записать с помощью одной формулы, которую называют общим видом первообразных для функции f.
Основное свойство первообразных:
Любая первообразная для функции f на промежутке I может быть записана в виде
где F(x) – одна из первообразных для функции f(х) на промежутке I, а С – произвольная постоянная.
В этом утверждении сформулированы два свойства первообразной
1) какое бы число ни подставить вместо С, получим первообразную для f на промежутке I;
2) какую бы первообразную Ф для f на промежутке I ни взять, можно подобрать такое число С, что для всех х из промежутка I будет выполнено равенство Ф(х) = F(x) + C.
Геометрический смысл первообразной
Пример 1. Выяснить, является ли функция F (x) = х 3 – 3х + 1 первообразной для функции f(x) = 3(х 2 – 1).
Решение: F'(x) = (х 3 – 3х + 1)′ = 3х 2 – 3 = 3(х 2 – 1) = f(x), т.е. F'(x) = f(x), следовательно, F(x) является первообразной для функции f(x).
Пример 2. Найти все первообразные функции f(x): f(x) = х 4 + 3х 2 + 5
Решение: Используя таблицу и правила нахождения первообразных, получим:
Ответ:
Задание № 1
Скачай задание из Приложений к странице. Распечатай, выполни предложенные задания, отсканируй и отошли учителю
Первообразная функция и неопределенный интеграл
Первообразная
Определение первообразной функции
Можно прочесть двумя способами:
Правила вычисления первообразных
Запомни!
Любая функция F(x) = х 2 + С, где С — произвольная постоянная, и только такая функция, является первообразной для функции f(x) = 2х.
Связь между графиками функции и ее первообразной:
Неопределенный интеграл
Определение:
Свойства неопределённого интеграла
Таблица первообразных и неопределенных интегралов
Функция
Первообразная
F(x) + C
Неопределенные интегралы
\int f(x) dx = F(x) + C
Формула Ньютона–Лейбница
Пусть f (х) данная функция, F её произвольная первообразная.
То есть, интеграл функции f (x) на интервале [a;b] равен разности первообразных в точках b и a.
Площадь криволинейной трапеции
Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная графиком неотрицательной и непрерывной на отрезке [a;b] функции f, осью Ox и прямыми x = a и x = b.
Площадь криволинейной трапеции находят по формуле Ньютона-Лейбница:
Первообразная и неопределенный интеграл, их свойства
Определение первообразной
Определение неопределенного интеграла
Имея заданный дифференциал функции, мы можем найти неизвестную функцию.
∫ f ( x ) d x ‘ = F ( x ) + C ‘ = f ( x )
∫ d ( F ( x ) ) = ∫ F ‘ ( x ) d x = ∫ f ( x ) d x = F ( x ) + C
∫ f ( x ) ± g ( x ) ) d x = ∫ f ( x ) d x ± ∫ g ( x ) d x
Промежуточные равенства первого и второго свойств неопределенного интеграла мы привели в качестве пояснения.
Для того, чтобы доказать третье и четвертое свойства, необходимо найти производные от правых частей равенств:
k · ∫ f ( x ) d x ‘ = k · ∫ d ( x ) d x ‘ = k · f ( x ) ∫ f ( x ) d x ± ∫ g ( x ) d x ‘ = ∫ f ( x ) d x ‘ ± ∫ g ( x ) d x ‘ = f ( x ) ± g ( x )
Производные правых частей равенств равны подынтегральным функциям, что является доказательством первого свойства. Его же мы используем в последних переходах.
Как видите, задача интегрирования представляет собой обратный процесс по отношению к задаче дифференцирования. Обе эти задачи тесно связаны между собой.
Первое свойство может быть использовано для проведения проверки интегрирования. Для проверки нам достаточно вычислить производную полученного результата. Если полученная функция будет равна подынтегральной функции, то интегрирование проведено верно.
Благодаря второму свойству по известному дифференциалу функции мы можем найти ее первообразную и использовать ее для вычисления неопределенного интеграла.
Решение
Используя таблицу производных основных элементарных функций получаем
d ( ln x ) = ( ln x ) ‘ d x = d x x = f ( x ) d x ∫ f ( x ) d x = ∫ d x x = ∫ d ( ln ( x ) )
Ответ: f ( x ) = 1 x = ln ( x ) + 1
Необходимо найти неопределенный интеграл ∫ 2 sin x 2 cos x 2 d x и проверить результат вычисления дифференцированием.
Решение
Используем таблицу производных для тригонометрических функций, получим:
Проверим полученный результат дифференцированием.
В результате проверки мы получили подынтегральную функцию. Это значит, что интегрирование было проведено нами верно. Для осуществления последнего перехода мы использовали формулу синуса двойного угла.
Если таблицу производных основных элементарных функций переписать в виде дифференциалов, то из нее по второму свойству неопределенного интеграла можно составить таблицу первообразных.
Подробнее эту тему мы рассмотрим в следующем разделе «Таблица первообразных (таблица неопределенных интегралов)».
Первообразная функции. Формула Ньютона-Лейбница
Функция F(x), для которой f(x) является производной, называется первообразной функции y = f(x). Функции вида у = F(x) + C образуют множество первообразных функции у = f(x).
Сейчас объясним, что это значит.
Посмотрим на таблицу первообразных. Каждая функция в левом столбце таблицы является производной для функции в правом столбце.
Таблица первообразных
Первообразная суммы функций равна сумме их первообразных.
Первообразная разности функций — разности первообразных.
Множество всех первообразных функции называется неопределенным интегралом данной функции. Записывается это так:
Нахождение первообразной называется также интегрированием функции. А нахождение производной — дифференцированием функции. Интегрирование (то есть нахождение первообразной) и дифференцирование (взятие производной) — взаимно-обратные действия.
Но интегралы — отдельная тема. В задачах ЕГЭ по математике неопределенные интегралы не встречаются, а теме «Первообразная» посвящено всего несколько задач в первой части ЕГЭ. Для их решения надо знать только таблицу первообразных и еще одну важную формулу.
Формула для вычисления площади под графиком функции (Формула Ньютона-Лейбница)
Тогда площадь этой фигуры вычисляется по формуле:
Такую фигуру называют еще криволинейной трапецией. А сама формула носит название «Формула Ньютона-Лейбница».
Найдем первообразную функции с помощью таблицы первообразных. Получим:
Найдем первообразную функции с помощью таблицы первообразных. Получим:
При x = 0 получим: Значит, и
По формуле Ньютона-Лейбница, разность первообразных — это площадь, ограниченная графиком функции, осью X и прямыми y=a и y=b.
Решение. По формуле Ньютона-Лейбница, площадь под графиком функции на отрезке [a,b] равна разности значений первообразной в концах отрезка, то есть
Основная информация
Первообразная некоторой функции находится при помощи операции интегрирования. Последняя является обратной для вычисления производной. Например, существует какое-то выражение Z(p). Его производной является некоторая функция z(р), то есть [Z(p)]’ = z(p). Нахождение Z(p) осуществляется по таблице первообразных или интегралов. Когда такой нет под рукой, то можно применить и таблицу производных. При этом следует учитывать константу.
Табличные значения специалисты не рекомендуют заучивать, поскольку такие действия приводят к потере драгоценного времени. Они считают, что в процессе нахождения интегралов информация отложится в голове. Для начала рекомендуется рассмотреть неопределенный интеграл, а затем переходить к другим его видам.
Применение интеграла
Интеграл — один из основных элементов высшей математики. Его обозначают «∫». После этого символа следует подынтегральное выражение, которое записывается в следующем виде: (функция)d(переменная). Следует отметить, что совокупность символов «d(переменная)» обозначает, по какой переменной следует осуществлять операцию интегрирования.
При помощи операции поиска первообразной можно находить площади некоторых фигур, величину пути при неравномерном движении и множество других параметров, для которых невозможно применить общие формулы и соотношения.
Алгебраический смысл интеграла заключается в представлении некоторой суммы в виде маленьких слагаемых. Их бывает много видов: неопределенный, определенный, двойной и так далее. Однако конечным результатом является некоторая производная. Следует отметить, что идет строгое разделение по переменным, по которым выполняется интегрирование. В этом случае их нужно классифицировать на два вида: определенный и неопределенный.
Неопределенным интегралом произвольной функции z(p) называется выражение, представленное в виде ее первообразной с учтенной константой Z(p) + C, то есть ∫(z(p)) dp = Z(p) + С. У него отсутствуют ограничения в виде некоторых числовых значений границ. Первообразная находится в общем виде. Во втором случае также следует найти исходную функцию, но по формуле Ньютона-Лейбница подставляются числовые значения. Далее находится конкретная числовая величина.
Чтобы найти первообразную, необходимо руководствоваться некоторыми правилами. Математики рекомендуют их знать, поскольку это поможет в дальнейшем обучении.
Методика нахождения
Существуют определенные правила нахождения первообразных. Для нахождения интеграла простейшей функции необходимо воспользоваться таблицей первообразных (рис. 1). Далее нужно найти соответствующее выражение и записать результат. Однако задания не всегда могут быть простыми, поскольку некоторые выражения следует упростить, а другие — решаются только при помощи формул интегрирования по частям.
Рисунок 1. Таблица первообразных.
Методика нахождения первообразной для простой табличной функции состоит из двух этапов. Для этой цели следует воспользоваться обыкновенным алгоритмом, который рекомендуют математики всего мира:
Если первый метод не подходит, то следует воспользоваться формулой первообразной, которая позволяет выполнять операцию интегрирования по частям. Прибегать к такому варианту следует в том случае, когда функция является сложной и ее нет в таблицах производных и интегралов.
Суть соотношения заключается в упрощении сложного выражения и сведении его к табличному значению. Следует отметить, что методика может применяться много раз и без каких-либо ограничений. Специалисты выделили отдельные подынтегральные функции, к которым нужно применять эту методику:
Если по какой-то причине интеграл невозможно взять, то это объясняется только наличием ошибок при интегрировании. Специалисты рекомендуют пересмотреть ход решения или начать его заново. Иногда необходимо осуществить замену подынтегрального выражения, но этот способ не будет рассматриваться, поскольку он является очень сложным.
Геометрический смысл
У интеграла есть определенный геометрический смысл, который заключается в нахождении площади криволинейной трапеции. К последним принадлежат плоские фигуры, ограниченные некоторым заданным графиком, а также прямыми или другими графиками. Основные требования — непрерывность и конечное значение S (площади) должно быть больше нуля. Как правило, в подынтегральную часть идет сама функция, а границами являются значения переменных.
В качестве ограничителей могут выступать также и оси декартовой системы координат. Чтобы вычислить площадь этой фигуры, необходимо выполнить такие операции:
Проверив результат при расчетах и на калькуляторе интегралов, можно сделать вывод, что задача решена правильно. Кроме того, следует проверять подынтегральное выражение. Например, если дана функция с корнем четной степени (квадрат, четвертая и так далее), то необходимо указывать, что функция должна быть больше или равна 0.