Что называется неопределенным интегралом

Первообразная и неопределенный интеграл, их свойства

Определение первообразной

Определение неопределенного интеграла

Имея заданный дифференциал функции, мы можем найти неизвестную функцию.

∫ f ( x ) d x ‘ = F ( x ) + C ‘ = f ( x )

∫ d ( F ( x ) ) = ∫ F ‘ ( x ) d x = ∫ f ( x ) d x = F ( x ) + C

∫ f ( x ) ± g ( x ) ) d x = ∫ f ( x ) d x ± ∫ g ( x ) d x

Промежуточные равенства первого и второго свойств неопределенного интеграла мы привели в качестве пояснения.

Для того, чтобы доказать третье и четвертое свойства, необходимо найти производные от правых частей равенств:

k · ∫ f ( x ) d x ‘ = k · ∫ d ( x ) d x ‘ = k · f ( x ) ∫ f ( x ) d x ± ∫ g ( x ) d x ‘ = ∫ f ( x ) d x ‘ ± ∫ g ( x ) d x ‘ = f ( x ) ± g ( x )

Производные правых частей равенств равны подынтегральным функциям, что является доказательством первого свойства. Его же мы используем в последних переходах.

Как видите, задача интегрирования представляет собой обратный процесс по отношению к задаче дифференцирования. Обе эти задачи тесно связаны между собой.

Первое свойство может быть использовано для проведения проверки интегрирования. Для проверки нам достаточно вычислить производную полученного результата. Если полученная функция будет равна подынтегральной функции, то интегрирование проведено верно.

Благодаря второму свойству по известному дифференциалу функции мы можем найти ее первообразную и использовать ее для вычисления неопределенного интеграла.

Решение

Используя таблицу производных основных элементарных функций получаем

d ( ln x ) = ( ln x ) ‘ d x = d x x = f ( x ) d x ∫ f ( x ) d x = ∫ d x x = ∫ d ( ln ( x ) )

Ответ: f ( x ) = 1 x = ln ( x ) + 1

Необходимо найти неопределенный интеграл ∫ 2 sin x 2 cos x 2 d x и проверить результат вычисления дифференцированием.

Решение

Используем таблицу производных для тригонометрических функций, получим:

Проверим полученный результат дифференцированием.

В результате проверки мы получили подынтегральную функцию. Это значит, что интегрирование было проведено нами верно. Для осуществления последнего перехода мы использовали формулу синуса двойного угла.

Если таблицу производных основных элементарных функций переписать в виде дифференциалов, то из нее по второму свойству неопределенного интеграла можно составить таблицу первообразных.

Подробнее эту тему мы рассмотрим в следующем разделе «Таблица первообразных (таблица неопределенных интегралов)».

Источник

Интегралы для чайников: как решать, правила вычисления, объяснение

Решение интегралов – задача легкая, но только для избранных. Эта статья для тех, кто хочет научиться понимать интегралы, но не знает о них ничего или почти ничего. Интеграл. Зачем он нужен? Как его вычислять? Что такое определенный и неопределенный интегралы?

Если единственное известное вам применение интеграла – доставать крючком в форме значка интеграла что-то полезное из труднодоступных мест, тогда добро пожаловать! Узнайте, как решать простейшие и другие интегралы и почему без этого никак нельзя обойтись в математике.

Ежедневная рассылка с полезной информацией для студентов всех направлений – на нашем телеграм-канале.

Изучаем понятие « интеграл »

Интегрирование было известно еще в Древнем Египте. Конечно, не в современном виде, но все же. С тех пор математики написали очень много книг по этой теме. Особенно отличились Ньютон и Лейбниц, но суть вещей не изменилась.

Как понять интегралы с нуля? Никак! Для понимания этой темы все равно понадобятся базовые знания основ математического анализа. Сведения о пределах и производных, необходимые и для понимания интегралов, уже есть у нас в блоге.

Неопределенный интеграл

Пусть у нас есть какая-то функция f(x).

Неопределенным интегралом функции f(x) называется такая функция F(x), производная которой равна функции f(x).

Другими словами интеграл – это производная наоборот или первообразная. Кстати, о том, как вычислять производные, читайте в нашей статье.

Первообразная существует для всех непрерывных функций. Также к первообразной часто прибавляют знак константы, так как производные функций, различающихся на константу, совпадают. Процесс нахождения интеграла называется интегрированием.

Простой пример:

Чтобы постоянно не высчитывать первообразные элементарных функций, их удобно свести в таблицу и пользоваться уже готовыми значениями.

Полная таблица интегралов для студентов

Определенный интеграл

Имея дело с понятием интеграла, мы имеем дело с бесконечно малыми величинами. Интеграл поможет вычислить площадь фигуры, массу неоднородного тела, пройденный при неравномерном движении путь и многое другое. Следует помнить, что интеграл – это сумма бесконечно большого количества бесконечно малых слагаемых.

В качестве примера представим себе график какой-нибудь функции.

Как найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции? С помощью интеграла! Разобьем криволинейную трапецию, ограниченную осями координат и графиком функции, на бесконечно малые отрезки. Таким образом фигура окажется разделена на тонкие столбики. Сумма площадей столбиков и будет составлять площадь трапеции. Но помните, что такое вычисление даст примерный результат. Однако чем меньше и уже будут отрезки, тем точнее будет вычисление. Если мы уменьшим их до такой степени, что длина будет стремиться к нулю, то сумма площадей отрезков будет стремиться к площади фигуры. Это и есть определенный интеграл, который записывается так:

Точки а и b называются пределами интегрирования.

Бари Алибасов и группа

Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы

Правила вычисления интегралов для чайников

Свойства неопределенного интеграла

Как решить неопределенный интеграл? Здесь мы рассмотрим свойства неопределенного интеграла, которые пригодятся при решении примеров.

Свойства определенного интеграла

Как считать определенный интеграл? С помощью формулы Ньютона-Лейбница.

Мы уже выяснили, что определенный интеграл – это предел суммы. Но как получить конкретное значение при решении примера? Для этого существует формула Ньютона-Лейбница:

Примеры решения интегралов

Ниже рассмотрим неопределенный интеграл и примеры с решением. Предлагаем самостоятельно разобраться в тонкостях решения, а если что-то непонятно, задавайте вопросы в комментариях.

Для закрепления материала посмотрите видео о том, как решаются интегралы на практике. Не отчаиваетесь, если интеграл не дается сразу. Обратитесь в профессиональный сервис для студентов, и любой тройной или криволинейный интеграл по замкнутой поверхности станет вам по силам.

Иван Колобков, известный также как Джони. Маркетолог, аналитик и копирайтер компании Zaochnik. Подающий надежды молодой писатель. Питает любовь к физике, раритетным вещам и творчеству Ч. Буковски.

Источник

Неопределенный интеграл с примерами решений

Содержание:

Неопределенный интеграл. Понятие первообразной и неопределенного интеграла

В дифференциальном исчислении мы решали следующую задачу: дана функция , найти ее производную . В математике и ее приложениях часто возникает обратная задача: дана функция , найти функцию такую, что .

Определение 1. Функция называется первообразной функции на промежутке , если для любого выполняется равенство

.

Например, , тогда за первообразную можно взять , поскольку . Пусть , тогда в качестве первообразной можно взять , так как . Заметим, что в первом случае мы могли вместо в качестве первообразной взять, например, или , поскольку и , и .

Теорема 1 (об общем виде первообразной). Если — первообразная для функции на промежутке , то все первообразные для функции имеют вид , где — произвольная постоянная.

Доказательство. Пусть — первообразная для . Тогда выполняется равенство . Для любой постоянной

,

а это означает, что — также первообразная для .

Обратно, пусть наряду с данной первообразной функция — также первообразная для . Тогда выполняются равенства

,

откуда . Тогда разность этих двух первообразных будет тождественно равна константе:

, или ,

что завершает доказательство теоремы.

Эта теорема позволяет ввести основное понятие интегрального исчисления.

Определение 2. Если — первообразная для , то выражение , где произвольная постоянная, называется неопределенным интегралом функции .

Неопределенный интеграл обозначается (читается «интеграл эф от икс дэ икс»). Таким образом,

.

Знак называют знаком интеграла, функцию — подынтегральной функцией, — подынтегральным выражением, — постоянной интегрирования. Таким образом, символ обозначает множество всех первообразных данной функции.

Нахождение функции по ее производной или, что то же, отыскание неопределенного интеграла по данной подынтегральной функции называется интегрированием данной функции. Интегрирование является операцией, обратной дифференцированию. Для того, чтобы проверить, правильно ли выполнено интегрирование, надо взять производную от полученного результата и убедиться, что получена подынтегральная функция.

Свойства неопределенного интеграла

1. Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции; дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, т.е.

.

2. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции плюс произвольная постоянная, т.е.

.

Поскольку , то .

3. Постоянный множитель можно вынести из-под знака неопределенного интеграла, т.е.

.

4. Неопределенный интеграл от суммы функций равен сумме интегралов от слагаемых, т.е.

.

Действительно, дифференцируя левую часть равенство, получим по свойству 1 , а производная правой части

,

так что производные равны, что и требовалось проверить.

Таблица основных интегралов

Приведем таблицу основных интегралов. Часть формул этой таблицы непосредственно следует из таблицы производных. Интегралы, содержащиеся в этой таблице, принято называть табличными.

Таблица основных интегралов

Пример №81

Найти .

Решение:

Разделим почленно числитель на знаменатель и применим сначала свойства 3 и 4, а затем табличные интегралы II и III.

.

Пример №82

Найти .

Решение:

Сначала преобразуем подынтегральную функцию

Теперь запишем исходный интеграл как разность табличных интегралов II и X (при а = 1):

.

Пример №83

Найти .

Решение:

Используя формулу представим данный интеграл в виде разности табличных интегралов VIII и VII:

.

Эта лекция взята из раздела о предмете высшая математика, там вы найдёте другие лекци по всем темам высшей математики:

Другие темы которые вам помогут понять высшую математику:

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Источник

Методы интегрирования неопределенного интеграла с примерами решения

Содержание:

При решении многих практических задач таких, как вычисление длин линий, площадей, отыскание траекторий движения и других, вводится понятие интегрирования.

Определения

Определение: Первообразной функции

Теорема: (о существовании первообразной) Если функция f(x) непрерывна на сегменте то на этом интервале существует первообразная этой функции.

Доказательство:

ТЗ. Если и первообразные функции f(х), то они отличаются друг от друга на постоянную величину.

Доказательство: Пусть Введем в рассмотрение вспомогательную функцию и рассмотрим эту функцию на открытом интервале По теореме Лагранжа для любого интервала выполняется равенство По условию теоремы следовательно, . В силу произвольности точек полученное равенство выполняется для всего исследуемого интервала. Это означает, что откуда и вытекает утверждение теоремы.

Пример:

Пусть дана функция Найти первообразную этой функции.

Решение:

В случае наличия двух первообразных показать, что они отличаются на постоянную величину.

Для функции существуют две первообразные Их разность

Определение: Совокупность всех первообразных функции называется неопределенным интегралом и обозначается — переменная интегрирования, — подынтегральная функция, — подынтегральное выражение.

На основании теорем можно записать, что

Определение: Отыскание всех первообразных называется неопределенным интегрированием.

Выясним геометрический смысл неопределенного интеграла. Пусть дана функция и требуется найти такую кривую y = F(x), для которой в каждой ее точке тангенс угла наклона касательной равен значению функции f(х) в этой точке. Такой линией будет кривая, для которой F’(x) = f(х). Таким образом, неопределенный интеграл определяет все кривые, у которых тангенс угла наклона в каждой ее точке совпадает со значением функции f(х).

Пример:

Построить кривые, которые задаются неопределенным интегралом

Решение:

Первообразной для под интегральной функции f(х) = 2х будет функция следовательно, Построим эти кривые (Рис. 1):

Рис. 1. Интегральные кривые

Свойства неопределенного интеграла

1. Производная от неопределенного интеграла равна под интегральной функции

Доказательство: По определению неопределенного интеграла

2. Дифференциал неопределенного интеграла равен под интегральному выра- жению

Доказательство: По определению дифференциала от неопределенного интеграла имеем

3. Если под интегральное выражение является дифференциалом некоторой функции F(x), тo неопределенный интеграл равен

Доказательство: Так как

4. Неопределенный интеграл от линейной комбинации функций равен той же самой линейной комбинации неопределенных интегралов от этих функций

5. Формула неопределенного интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования

Таблица основных неопределенных интегралов

Методы интегрирования

Метод тождественных преобразований под интегральной функции

Данный метод основан на использовании простых приемов, алгебраических и тригонометрических формул, свойств подынтегральной функции, разложения полиномов на простые множители и свойств неопределенного интеграла. Рассмотрим этот метод на конкретных примерах.

1. Почленное деление числителя дроби на ее знаменатель

Замечание: Следует запомнить, что нет формулы почленного деления знаменателя дроби на ее числитель, т.е.

Пример:

Найти

Решение:

Выполним в под интегральной функции почленное деление числителя дроби на ее знаменатель и воспользуемся свойством линейности неопределенного интеграла

Замечание: Из этого примера видно, что слова «найти неопределенный интеграл” означают: за счет преобразований подынтегральной функции и использования свойств неопределенного интеграла данный интеграл надо привести к совокупности табличных интегралов и воспользоваться этой таблицей.

Замечание: Из примера также видно, что, несмотря на наличие двух табличных интегралов, константа интегрирования С пишется один раз, так как сумма или разность постоянных интегрирования все равно есть постоянная величина.

2. Использование противоположных арифметических операций (например, сложение-вычитание).

Пример:

Найти

Решение:

Анализ под интегральной функции показывает, что в числитель дроби надо добавить и вычесть 1 (при этом подынтегральная функция не изменится), а затем воспользоваться первым приемом (почленное деление числителя дроби на ее знаменатель)

3. Использование алгебраических и тригонометрических формул, например,

и других формул.

Пример:

Найти

Решение:

Воспользуемся формулой квадрата разности

Пример:

Найти

Решение:

4. Использование свойств функций, например,

Пример:

Вычислить

Решение:

Пример:

Вычислить

Решение:

5. Использование разложения полиномов на простые множители, например, , где и корни уравнения

Пример:

Найти

Решение:

По теореме Виета уравнение имеет корни следовательно, разложение квадратичного полинома на простые множители имеет вид: Подставим полученное выражение в подынтегральную функцию, получим

Метод замены переменной интегрирования

Данный метод основан на формуле

Метод замены переменной интегрирования применяется в двух случаях:

а) Если аргумент функции отличается от простого аргумента х, то этот сложный аргумент принимается в качестве новой переменной интегрирования t.

Пример:

Вычислить

Решение:

Так как показатель степени экспоненты отличается от простого аргумента х, то этот показатель степени принимаем в качестве новой переменной интегрирования, т.е.

Замечание: После нахождения первообразной с новой переменной интегрирования надо обязательно вернуться к старой переменной интегрирования.

Пример:

Вычислить

Решение:

Выражение, стоящее в круглых скобках, является аргументом степенной функции и отличается от простого аргумента х, поэтому принимаем его в качестве новой переменной интегрирования, т.е.

Пример:

Вычислить

Решение:

Выражение, стоящее в круглых скобках, является аргументом функции синус и отличается от простого аргумента х, поэтому принимаем его в качестве новой переменной интегрирования, т.е. б) Если элементарная функция, содержащаяся в подынтегральном выражении, имеет простой аргумент и в качестве множителя при dx присутствует первая производная этой функции, то в качестве новой переменной интегрирования принимается элементарная функция.

Пример:

Найти

Решение:

В подынтегральном выражении содержится элементарная функция tgx и в качестве множителя при dx присутствует ее первая производная следовательно, в качестве новой переменной интегрирования принимаем /gx:

Пример:

Найти

Решение:

Данный пример объединяет первый метод с методом замены переменной интегрирования. Выполним почленное деление числителя дроби на ее знаменатель и разобьем интеграл на два интеграла, для которых применяются два случая замены переменной интегрирования

Замечание: Умение отыскивать подходящую замену вырабатывается в процессе многократных упражнений, однако можно указать ряд случаев, когда можно сразу увидеть необходимую замену переменной интегрирования при анализе подынтегрального выражения, например, Из показанных примеров видно, что умение хорошо интегрировать зависит от хорошего знания таблицы производных от элементарных функций (см. Лекцию № 17 из Первого семестра).

Метод интегрирования по частям

Интегрирование по частям основано на использовании формулы дифференциала от произведения двух функций откуда находим, что произведение

Таким образом, для неопределенного интеграла формула интегрирования по частям имеет вид:

Для того чтобы знать, какую из функций принимать за U (все остальное в подынтегральном выражении принимается за dV), рассмотрим наиболее часто встречающиеся случаи:

1. — полином (многочлен) порядка n.

В этом случае

Замечание: Для нахождения функции dU используют определение дифференциала функции. При вычислении функции V интегрируют выражение dV, при этом постоянная интегрирования полагается равной нулю (С = 0). После выполнения этих действий применяют формулу интегрирования по частям.

Пример:

Вычислить

Решение:

Применим метод интегрирования по частям

Замечание: Из приведенного примера видно, что при необходимости метод интегрирования по частям применяется повторно.

2. Для интегралов вида

Пример:

Вычислить

Решение:

Действуя согласно методике, получим

3. Для интегралов вида которые называются возвратными, на первом шаге интегрирования безразлично, какую из функций (показательную или тригонометрическую ) принимать в качестве функции U. Однако на втором шаге в качестве функции U надо обязательно принимать ту из функций (показательную или тригонометрическую ), которая была принята на первом шаге, в противном случае интеграл возвращается к своему исходному виду при отсутствии проинтегрированной части.

Пример:

Найти

Решение:

(если сейчас в качестве функции U выбрать экспоненту, то интеграл вернется к своему первоначальному виду при отсутствии проинтегрированной части; убедитесь в этом самостоятельно)

Решим полученное уравнение относительно буквы Отсюда находим, что

4. Нестандартные интегралы требуют для своего вычисления приобретения опыта на практических занятиях.

Пример:

Найти

Решение:

Неопределенный интеграл

Определение 1. Пусть Δ − промежуток действительной оси. Функция y=F(x) называется первообразной для функции y=f(x) на промежутке Δ, если F(x) − дифференцируема на Δ и (1)

Пример:

а) F(x)=x − первообразная для
б) − первообразная для − на любом промежутке из области определения функции f(x).
в) − первообразная для Действительно,
− на любом промежутке, не содержащем точку 0.

Теорема 1. Две дифференцируемые на промежутке Δ функции и будут первообразными для одной и той же функции y=f(x) тогда и только тогда, когда

. Докажем, что они отличаются на константу. Пусть

Тогда Пусть
По теореме Лагранжа (теорема 4 § 12):

Достаточность. Обозначим
Тогда то есть — первообразные
для одной и той же функции y=f(x), что и требовалось доказать.

Свойства неопределенного интеграла

Свойства 1 – 4 легко выводятся из определения первообразной и интеграла
и соответствующих свойств производной.
Докажем, например, свойство 3.

Из определений 1,2 следует, что интегрирование – действие обратное
дифференцированию (находится функция, производная которой равна данной).

Таблица интегралов

При вычислении интегралов в простых случаях применяют свойства 1 – 4.

Пример:

Пример:

Замена переменной в неопределенном интеграле

Пример:

Пример:

Пример:

При поднесении под дифференциал можно использовать свойства
дифференциала (см. § 6) где с – константа.

Пример:

Пример:

Пример:

Иногда в формуле (2) легче вычислять левую часть, чем правую:
(5)
Формула (5) – формула интегрирования с помощью замены переменной ; при этом — обратная функция.

Пример:

Интегрирование по частям в неопределенном интеграле

Пример:

Пример:

Замечание.

Пример:

Пример:

Таким образом, проинтегрировав дважды по частям, получили уравнение,
содержащее в правой и левой части. Решив его, получим:

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Источник